17.2　用公式法分解因式 (第2课时）教学设计2026-2027学年人教版八年级年数学上册

17.2　用公式法分解因式 第2课时 【教材分析】 上一课时解决的是“两个平方相减”，这一课时要处理的是三项：a²＋2ab＋b² 这样的完全平方式。教材的处理办法和上一课时完全一样——先把整式乘法的结果摆出来，再倒过来读。区别在于，平方差公式右边是两个二项式相乘，一眼能看见“分开了”；完全平方公式右边是一个二项式的平方，(x＋7)² 看上去和一个式子没两样，学生容易犯嘀咕：“这算分解完了吗？”所以这节课要先把这个疑虑解决掉：平方本身就是两个相同因式相乘，写成平方的形式同样是几个因式的积。 从知识上看，这节课把公式法补齐了：二项式用平方差，三项式用完全平方。学生手上从此有了一套“看项数选公式”的判断办法，也第一次碰到“同一个公式，正着用是乘法、倒着用是分解因式”的双向使用。 教材里还埋了一处提醒——因式分解里的完全平方公式和整式乘法里的完全平方公式方向相反。这句话看着简单，却是后面几课时“先提公因式、再用公式”的操作前提。 【学情分析】 学生手里有的：上节课刚学会把两个平方的差拆成两数和乘两数差，知道分解到什么程度才算完；完全平方公式的乘法在上学期或前面课时已经练过，a²＋2ab＋b² 和 (a＋b)² 两边都眼熟。 真上起来会卡的地方： 1．“写成平方的形式算不算分解完”。学生看到 (x＋7)² 会怀疑：这不还是原来那个算式的样子吗？得让他们自己说清楚——平方就是两个一样的因式相乘，是积的形式。 2．两个平方项的符号不看清。(1) x²＋2x－1 这类题，学生只数项数、只找平方项，忘了“两个平方项必须同号”。第三项负号一出现，判断就得打住。 3．中间那一项是不是“2倍”不细算。a²＋ab＋b² 里中间是 ab 不是 2ab，可它长得像，容易被放过；反过来，x²＋4x＋4 里 4x=2·x·2，学生常常不算这一步就直接下结论。 4．平方项前带负号时不会处理。－x²＋4xy－4y² 这种，学生要么愣住，要么直接把前三项当完全平方式硬套，忘了先把负号提出去。 5．整体代换的反应慢。(m＋n)²－6(m＋n)＋9 里的 (m＋n) 要当字母用，多数人第二遍才能反应过来；等到 16－8(x－y)＋(x－y)² 这种“平方项在后面”的，更是不知从哪儿下手。 【教学目标】 1．能说出完全平方式的结构特征：三项、两个平方项同号、剩下的一项是两平方项底数积的2倍；给出一组多项式，能判断哪些能用完全平方公式分解，并指出不符合的那一条错在哪儿。 2．会用 a²＋2ab＋b²=(a＋b)² 与 a²－2ab＋b²=(a－b)² 分解因式；遇到平方项带负号、有括号整体、平方项写在后面的式子，知道先提负号、先整体代换、先调整位置，再套公式。 3．能说清因式分解与整式乘法用的公式方向相反；会用完全平方公式解决 x²＋2xy＋y² 的求值问题，分解完会检查每个因式能不能再分。 【重点难点】 重点：认识完全平方式的结构，会用完全平方公式把三项式分解因式。 难点：在结构中不明显的式子里判断能不能用——中间项忘了乘2、平方项符号不一致、平方项前有负号、需要整体代换的，这几种情形都容易判断失误。 【教学准备】 多媒体课件：平方差与完全平方两组公式的对照表、几个三项式的结构标注图（把两个平方项和乘积项分别框出来）、检测题原题投影。 学生用品：练习本；一张“找两头、验中间”的提示卡——“两头”指两个平方项，“中间”指乘积项，卡片上写着“中间＝2×两底数之积”。 板书准备：黑板右侧固定留一块“本课公式”区，写 a²±2ab＋b²=(a±b)²；负号提取和整体代换的做法用红笔标出。 【教学过程】 一、创设情境，导入新课 [师]先热热身。前面我们学了因式分解，手上已经有提公因式法、平方差公式两件工具。现在看一个式子：a²＋2a＋1，能不能分解因式？（板书） [师]先别急着写答案，我们做几道填空，做完再看它。 在括号里填上适当的式子，使等式成立： （1）(a＋b)²=＿＿＿＿。 （2）(a－b)²=＿＿＿＿。 （3）a²＋＿＿＿＿＋1=(a＋1)²。 （4）a²－＿＿＿＿＋1=(a－1)²。 （学生独立填写，教师巡视） [师]四个空的答案一起对一下。 [生]（1）是 a²＋2ab＋b²；（2）是 a²－2ab＋b²。 [师]（3）（4）两个空呢？填的时候你是怎么想的？ [生]（3）右边是 (a＋1)²，前面已经有 a² 和 1，缺的就是中间那一项 2a；（4）缺的是 －2a。 [师]填空的根据是什么？ [生]就是乘法公式，平时算 (a＋1)² 展开的那一套。 [师]（板书）那再仔细看：第（1）（2）两式，从左到右做的是什么？第（3）（4）两式呢？ [生]（1）（2）是把两个括号乘开，算出来一个多项式，是乘法；（3）（4）是把一个多项式凑成括号的平方，是分解因式。 [师]（板书：左→右，乘法；左→右，分解因式）同样的公式，方向反过来了。上节课我们已经会用平方差公式倒着走，这节课再给它配一个能管三项式的工具。（板书课题：17.2　用公式法分解因式　第2课时） 二、探究归纳 活动一：什么样的三项式叫完全平方式 [师]（板书）把上节课学过的两个乘法公式摆出来： (a＋b)²=a²＋2ab＋b²，(a－b)²=a²－2ab＋b²。 [师]盯住等号右边这两个多项式，a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b²，它们有什么共同的样子？从头到尾数一数。 [生]都是三项。 [生]头一项和末一项都是平方，a² 是 a 的平方，b² 是 b 的平方。 [生]中间那一项正好是 a、b 相乘以后再乘2。 [师]把三句话连起来说。 [生]两个数的平方和，加上或者减去这两个数的积的2倍。 [师]那这两个多项式，是谁算出来的结果？ [生]完全平方公式。 [师]（板书）像 a²±2ab＋b² 这样的式子，给它一个名字，叫作完全平方式。 完全平方式的特征：（1）是一个三项式。（2）首尾两项是两个数的平方和，中间一项是这两个数积的2倍，符号可正可负。 [师追问]这里“两个数”的“两”很要紧。如果三项里只有一个平方，比如 x²＋4x＋9，能叫完全平方式吗？ [生]不能，9 不是 4x 里那个数的平方……（迟疑） [师]算算看：如果平方项是 x² 和 9，那两个底数分别是 x 和 3，中间应该是 2×x×3=6x，可题目给的是 4x，对不上，所以它不是。 活动二：把完全平方公式倒过来用 [师]上节课用平方差公式时，我们做过一件事——把乘法公式从右往左读。完全平方公式照样可以。 （板书） 1．倒过来写：a²＋2ab＋b²=(a＋b)²，a²－2ab＋b²=(a－b)²。 [师]右边这个 (a＋b)² 算不算“分解因式”？ [生]算吧？可是它看着还是个式子的平方…… [师]把 (a＋b)² 展开写写看。 [生]就是 (a＋b)(a＋b)，两个相同的因式相乘。 [师]（板书在旁）对，(a＋b)²=(a＋b)(a＋b)，是两个因式的积。写成平方只是写法的简化，本质上仍然是“把一个多项式化成了几个整式的积”。所以放心用。 2．为什么能用：a²＋2ab＋b² 的两头是 a、b 的平方，中间是 2ab，它正好是 (a＋b)² 展开的结果，所以能反向装回去。摸清了这一层，用的时候就不是碰运气了。 3．归纳：完全平方公式。 （1）语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 （2）符号表示：a²＋2ab＋b²=(a＋b)²，a²－2ab＋b²=(a－b)²。 [师]（板书）用一句话把它的样子记牢：首平方、尾平方，首尾积的2倍中间放。 [师]再看中间那一项的符号，它决定了右边是“和”还是“差”。中间是正号，右边就是 (a＋b)²；中间是负号，右边就是 (a－b)²。 注意：整式乘法里用的完全平方公式，和分解因式里用的这个，方向正好相反。看到 a²＋2ab＋b² 想乘法是往右走，想分解因式是往左走，别在一个式子上同时往两头使力。 活动三：例题讲与练 例：把下列多项式分解因式： （1）x²＋14x＋49。 （2）－x²＋4xy－4y²。 （3）(m＋n)²－6(m＋n)＋9。 [师]第（1）小题，先做判断。它符合完全平方式的三条吗？ [生]三项。x² 是 x 的平方，49 是 7²。中间 14x=2×x×7，对得上。 [师]那怎么装回去？ [生]中间是正号，取两数和的平方，所以是 (x＋7)²。 解析：（1）x²＋14x＋49=x²＋2×7x＋7²=(x＋7)²。 [师]第（2）小题，谁先看出来的？ [生]第一项是 －x²，带负号，不能直接用。 [师]那就先处理负号。三项都带不带负号？ [生]第一项和第三项都是负的，第二项 4xy 是正的。可以把 －1 提出来。 [师]提出来之后括号里是什么？ [生]－(x²－4xy＋4y²)，括号里三项都是正的平方项和一个正乘积，x² 是 x²，4y² 是 (2y)²，中间 4xy=2×x×2y，所以是 (x－2y)²。 [师]（红笔标出负号）别忘了外面的负号，答案得写全。 解析：（2）－x²＋4xy－4y²=－(x²－4xy＋4y²)=－(x－2y)²。 [师]第（3）小题，这里有 m 也有 n，两个平方项在哪儿？ [生]第一个是 (m＋n)²，最后一个 9 是 3²。 [师]那 (m＋n) 在这儿当什么看？ [生]当成一个字母，不能再展开了。 [师]中间那一项：－6(m＋n) 是不是 2 倍？ [生]是，－6(m＋n)=－2×(m＋n)×3，所以装回去是 (m＋n－3)²。 解析：（3）(m＋n)²－6(m＋n)＋9=(m＋n)²－2(m＋n)×3＋3²=(m＋n－3)²。 [师追问]第（3）小题最容易栽在哪一步？ [生]容易先把 (m＋n)² 展开成 m²＋2mn＋n²，越算越长，最后忘了要干什么。 [师]对，整体能当字母用的时候，就不要拆开。拆开不光麻烦，还看不出公式。 总结：用这个公式分解，注意两点： （1）先把两个平方项找出来，定下两个底数，再用 2 倍去验中间那一项；对不上，就说明不能用这个公式。 （2）两个平方项前面带负号的，先把负号提到括号外面，再回头用公式；提出来的负号一定不能丢。 三、交流反思 [师]把工具归归类。因为分解因式与整式乘法正好相反，把整式乘法的几个公式反过来读，就得到分解因式用的公式。常用的有三个： a²－b²=(a＋b)(a－b)； a²＋2ab＋b²=(a＋b)²； a²－2ab＋b²=(a－b)²。 [师]拿到一个多项式，怎么决定用哪一个？ [生]先数项数。两项就用平方差，三项就用完全平方。 [师]光数项数够不够？ [生]不够，还得看式子对不对得上公式的要求。 [师]对。两项的要满足“相减、都能写成平方”；三项的要满足“两个平方项同号、中间是两底数积的2倍”。对不上就不能硬套。 [师]还有一点要说在前面：式子的样子不一定跟公式长得一样。像 －x²＋4xy－4y²，要先把负号提出去；像 16－8(x－y)＋(x－y)²，要把平方项换到前面来看。该整理就整理，该代换就代换，收拾整齐了再套公式。最后，分解到每个因式都不能再分为止。 四、检测反馈 1．下列多项式是完全平方式的是（　　） A．a²－4a＋4　　　　　B．1＋4a² C．4b²＋4b－1　　　　D．a²＋ab＋b² 2．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（　　） A．x²＋1　　B．x²＋2x－1 C．x²＋x＋1　　D．x²＋4x＋4 3．若 x²＋6x＋k 是完全平方式，则 k=（　　） A．9　　B．－9　　C．±9　　D．±3 4．把 1－6ab²＋9a²b⁴ 分解因式的结果是（　　） A．(1－3ab)(1＋3ab)　　B．(1－3ab²)(1＋3ab²) C．(1－3ab²)²　　D．(1＋3ab²)² 5．把 16－8(x－y)＋(x－y)² 分解因式，结果是＿＿＿＿。 6．若 x=3.2，y=6.8，则 x²＋2xy＋y²=＿＿＿＿；当 m＋n=3 时，式子 m²＋2mn＋n² 的值为＿＿＿＿。 7．将下列各式因式分解： （1）(4/9)m²＋(4/3)mn＋n²。 （2）(a＋2)²－2(a＋2)(b－3)＋(b－3)²。 8．已知 x＋y=7，xy=10，求下列各式的值： （1）x²＋y²。（2）(x－y)²。 【参考答案与解析】 第1题：答案 A。 解析：完全平方式要同时满足三条：三项、两个平方项同号、中间一项是两底数积的2倍。A 中 a² 是 a²，4 是 2²，中间 －4a=－2×a×2，符号、倍数都对，所以 a²－4a＋4=(a－2)²，是完全平方式。B 只有 1 和 4a² 两项，项数就不够；C 里 4b² 与 －1 符号相反，两个平方项不同号，不符合；D 的中间项是 ab，而两底数 a、b 的积的2倍应当是 2ab，对不上。 验算：取 a=3，A 式 9－12＋4=1，而 (3－2)²=1，两边一致。 第2题：答案 D。 解析：A 只有 1 与 x² 两项，不能用完全平方公式；B 里 x² 与 －1 符号相反，两个平方项不同号，排除；C 的中间项是 x，两底数 x 与 1 的积的2倍应为 2x，对不上；D 中 x² 是 x²，4 是 2²，中间 4x=2×x×2，三项都对得上，所以 x²＋4x＋4=(x＋2)²。 第3题：答案 A。 解析：完全平方式的中间项等于两底数积的2倍。这个式子的两个平方项是 x² 和 k，底数分别是 x 和 √k（设 k 为正的平方数）。中间项 6x=2×x×3，说明另一个底数是 3，那么 k=3²=9。 验算：k=9 时 x²＋6x＋9=(x＋3)²，确实是一个二项式的平方；若取 k=－9，式子成 x²＋6x－9，两个平方项符号相反，不能用；D 的 ±3 是把“底数”当成了 k，把 k 和 k 的平方根混为一谈。 第4题：答案 C。 解析：把式子按完全平方式的样子摆一遍：1=1²，9a²b⁴=(3ab²)²，中间 －6ab²=－2×1×3ab²，三项都对，且中间是负号，所以取两数差的平方，得 1－6ab²＋9a²b⁴=(1－3ab²)²。A 的结果 (1－3ab)(1＋3ab)=1－9a²b²，展开与原式不符；B 的结果 1－9a²b⁴，也不符；D 用了加号，展开后中间项是 ＋6ab²，与原式的 －6ab² 相反。 验算：取 a=1、b=1，原式 =1－6＋9=4；C 得 (1－3)²=4，两边一致。 第5题：答案 (x－y－4)²。 解析：先把式子改写成完全平方式的样子。16=4²，(x－y)² 就是平方项，中间 －8(x－y)=－2×4×(x－y)，三项齐全，且中间是负号，所以把它看成“4 与 (x－y) 两数差的平方”： 16－8(x－y)＋(x－y)²=4²－2×4×(x－y)＋(x－y)²=[4－(x－y)]²。 中括号里化简：4－(x－y)=4－x＋y，平方后与 (x－y－4)² 相等。 验算：取 x=10、y=1，原式 =16－8×9＋81=25；结果式 (10－1－4)²=5²=25，两边一致。 第6题：答案 100；9。 解析：x²＋2xy＋y² 正是完全平方式，可以装成 (x＋y)²。把 x=3.2、y=6.8 代入，(3.2＋6.8)²=10²=100。第二空同理，m²＋2mn＋n²=(m＋n)²，当 m＋n=3 时值为 3²=9。 这一题是这节课最实用的地方：先平方再相加要算两个小数平方，装成和以后再平方，一步就出来了。 第7题：答案（1）[(2/3)m＋n]²；（2）(a－b＋5)²。 解析： （1）先看两个平方项：(4/9)m²=[(2/3)m]²，n²=n²；再验中间：(4/3)mn=2×(2/3)m×n，正好是两底数积的2倍，中间是正号，所以 (4/9)m²＋(4/3)mn＋n²=[(2/3)m＋n]²。 验算：取 m=3、n=1，原式 =(4/9)×9＋(4/3)×3＋1=4＋4＋1=9；结果式 [(2/3)×3＋1]²=(2＋1)²=9，一致。 （2）平方项是 (a＋2)² 和 (b－3)²，把 (a＋2)、(b－3) 各当成一个整体；中间 －2(a＋2)(b－3) 正好是这两个整体积的2倍，中间是负号，所以原式=[(a＋2)－(b－3)]²。中括号里化简：a＋2－b＋3=a－b＋5，所以结果是 (a－b＋5)²。 验算：取 a=1、b=1，原式 =(3)²－2×3×(－2)＋(－2)²=9＋12＋4=25；结果式 (1－1＋5)²=25，一致。 第8题：答案（1）29；（2）9。 解析：这两个式子都能借 (x＋y)² 和 (x－y)² 与 xy 搭上关系。 （1）先把 (x＋y)² 展开：x²＋2xy＋y²=49，两边同时减去 2xy=20，得 x²＋y²=49－20=29。 （2）同理，(x－y)²=x²－2xy＋y²=(x²＋y²)－2xy=29－20=9。也可以直接用 (x－y)²=(x＋y)²－4xy=49－40=9。 验算：x＋y=7、xy=10，说明 x、y 是乘积为10、和为7的两个数，取 x=2、y=5，则 x²＋y²=4＋25=29，(x－y)²=9，与上面结果一致。 五、布置作业 教科书P131练习第1、2题，P132练习1、2题，P132习题17.2第2、3、4、5、6、8、9题。 选做：把 a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 里的 a、b 各换成你喜欢的一个单项式，写出两个完全平方式，再和同桌交换着分解。 六、板书设计 知识要点区 例题区 练习与提示区 课题：17.2　用公式法分解因式（第2课时） 例：（1）x²＋14x＋49=x²＋2×7x＋7²=(x＋7)²； “找两头、验中间”：两头是两个平方项，中间＝2×两底数之积 完全平方式：形如 a²±2ab＋b²（三项；两头平方同号；中间是两底数积的2倍） （2）－x²＋4xy－4y²=－(x²－4xy＋4y²)=－(x－y)²； 中间正号取和、负号取差；负号提出去不能丢 完全平方公式：a²＋2ab＋b²=(a＋b)²，a²－2ab＋b²=(a－b)² （3）(m＋n)²－6(m＋n)＋9=(m＋n)²－2(m＋n)×3＋3²=(m＋n－3)² 选公式：两项想平方差，三项想完全平方 口诀：首平方、尾平方，首尾积的2倍中间放 注意：先定两头、再验中间；带负号先提负号；整体能当字母就不展开 检测第4题的学生板演位 七、教学反思 1．“写成平方算不算分解完”这个疑虑，必须当堂消掉。上这节课之前我以为没人会问，结果一开口就有学生问 (x＋7)² 不就是原来那个式子吗。今年我把反问提前了——在写答案前先问“平方是什么样子”，让学生自己说出 (a＋b)²=(a＋b)(a＋b)，比事后解释管用得多。这个环节今后固定保留。 2．中间项“是不是2倍”，得让他们动笔算一遍。a²＋ab＋b² 这种题，学生大多靠眼睛扫，一扫就放过。我打算在下一次课上立个规矩：判断之前先在中间项下面写“2×底数×底数”，把这一步当成本节课的必做动作，写三次以后他们才会自觉。 3．带负号的式子要防“硬套”。－x²＋4xy－4y²，课上确实有人把前三项直接凑成 (x＋2y)²，负号丢了一边。处理办法是把“先提负号”写在板书固定位置，每道带负号的题都指一遍；同时追问一句“提出来的负号去哪了”，让他们自己找。 4．整体代换这块，学生第二遍才反应。第（3）小题讲完以后，我立刻补了一道 16－8(x－y)＋(x－y)²，让他们自己试着把 (x－y) 当字母。教室里安静了半分多钟才有人抬头，说明这一步必须当场练，不能只讲。 5．检测第6题的巧算值得多花两分钟。x=3.2、y=6.8 这种数据是特意配的，就是要让学生看见“先装成平方再算”比“先平方再相加”省事。今年我在讲这题时先让他们按老办法算一遍，等有人算出小数点忙不过来时再给巧算，印象就深了。 6．时间上，活动一的“特征归纳”别拖。三项式特征的讨论如果放开，学生会扯到很多细节。今年我把它压到四分钟以内：三项、两头平方、中间2倍，三句话说完就进例题，把时间留给带负号和整体代换这两处难点。 学科网（北京）股份有限公司 $