16.3.1 平方差公式 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

16.3.1 平方差公式（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十六章“整式的乘法”第 3 节第 1 课时）

教材分析

本节是第十六章“整式的乘法”中“乘法公式”的第 1 课时，安排在 16.1 幂的运算性质、16.2 整式的乘法之后。教材的编排分四步：第一步，让学生计算 (x+1)(x−1)、(m+2)(m−2)、(2x+1)(2x−1) 三个具体式子，观察“积只有两项、且是平方差”这一共同特征；第二步，把三个式子统一成 (a+b)(a−b) 的形式，用多项式乘法法则推出 (a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2，得到公式并给出文字表述，同时指出它是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p=a、q=−b 的特殊情形；第三步，用图 16.3-1 的面积剪拼给出几何解释——边长 a 的正方形挖去边长 b 的小正方形，剩下的 L 形剪拼成长 (a+b)、宽 (a−b) 的长方形，面积不变；第四步，通过例 1 学会“辨认 a、b”，通过例 2 学会连用、混合运算与简便运算。

从地位看，平方差公式是初中阶段得到的第一个乘法公式，它把“逐项相乘再合并”的过程压缩为“结构识别 + 一次平方差”，是运算能力的一次飞跃；公式的结构（相同项的平方减去相反项的平方）又是第十七章用公式法分解因式 a2−b2=(a+b)(a−b) 的直接来源，一正一反，构成本章与下一章的桥梁。

从后续看，二次根式的分母有理化、一元二次方程的因式分解解法、函数中的平方差变形，乃至高中的复数与三角公式，都要反复用到这一结构。因此本节不能停留在“记住公式”，而要让学生看清“为什么只剩两项”“哪一项是 a、哪一项是 b”。

从学段衔接看，小学的口算技巧（如 101×99）只是经验，本节要把它上升为有推导、有图形、有结构的公式。

核心素养目标

1. 运算能力：能运用平方差公式正确、简捷地进行整式乘法运算，会把 102×98 一类数的计算转化为公式计算。

2. 推理能力：能从三个具体算式的共同特征出发，用多项式乘法法则推导出一般公式，说明“中间两项互为相反数而抵消”的道理。

3. 几何直观：能借助面积剪拼图解释公式，把“代数恒等式”与“图形面积不变”对应起来。

4. 结构意识：能识别算式中“相同的项”与“互为相反数的项”，会用方框、三角等符号概括公式的结构。

5. 应用意识：能在简便运算、图形面积、规律探究等情境中使用公式，体会公式的价值。

教学重点

平方差公式的推导、结构识别与运用（含连用与简便运算）。

教学难点

在变式中准确找出“相同项 a”与“相反项 b”，特别是含负号、含整体的情形，如 (−a−2)(a−2)、(−x+2y)(−x−2y)。

学情分析

（1）已有基础：学生已掌握幂的运算性质与单项式、多项式的乘法法则，能熟练展开 (a+b)(p+q)，也学过用字母表示数、用面积解释代数恒等式。

（2）可能困难：①把公式记成“(a+b)(a−b)=a2−b2”却不会辨认 a、b，遇到 (−x+2y)(−x−2y) 时把 a 当成 x；②认为“两项必须一正一负”，把 (x+2y)(−x−2y) 误判为可用公式；③连用时忘记把 x2−1 看成整体；④简便运算不会拆分，直接硬算 102×98；⑤写完 a2−b2 后忘记把 a、b 的具体式子代回并化简。

（3）教学对策：用“标 a、标 b”的板书动作把结构外显；用“相同项在前、相反项在后”的口诀降低识别难度；用面积图说明“为什么没有中间项”；用辨析题集中暴露 (−a−2)(a−2) 一类错误；用“先写公式、再代换、后化简”的三步格式规范书写。

教学方法

教法：归纳法、变式训练法、数形结合法、辨析纠错法。

学法：计算—观察—归纳—说理—应用。

手段：多媒体课件、正方形纸片剪拼、实物投影、当堂检测单、分层作业单。

课时安排

1 课时（45 分钟）：情境导入 3 分钟；探究与推导 5 分钟；归纳公式与结构 4 分钟；面积解释 4 分钟；例 1 示范 5 分钟；辨析纠错 4 分钟；例 2 连用与混合 5 分钟；简便运算 4 分钟；变式训练 3 分钟；当堂检测 4 分钟；小结与作业 4 分钟。

教学资源

人教版八年级上册教材、多媒体课件、边长分别为 a、b 的正方形纸片与剪刀、方格纸、当堂检测单、分层作业单。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

情境导入

发现特征

计算下列各题，并观察结果有什么共同特点：

（1）(x+1)(x−1)；　（2）(m+2)(m−2)；　（3）(2x+1)(2x−1)。

追问：三个式子都是“两个数的和”乘“这两个数的差”，结果为什么都只有两项？

指名三位学生板演，其余同学在练习本上完成；用彩色粉笔圈出中间两项 −ab 与 +ab。

独立计算，得到 x2−1、m2−4、4x2−1；观察后发现“结果都是平方减平方”。

能否算对三个式子；能否用自己的话概括“和乘差，得平方差”。

设计意图：先算后看，让规律从学生的计算中自然浮现，避免教师直接给公式。

环节二

一般化

推导公式

把三个式子写成 (a+b)(a−b) 的形式，用多项式乘法法则推导：

(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2。

关键：−ab 与 +ab 互为相反数，合并后为 0，所以只剩两项。

板书推导过程，追问“为什么中间两项一定抵消”；指出这是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a、q = −b 的特殊情形。

跟着推导，说出“因为两项相同、符号相反，所以乘积互为相反数”。

能否说清“抵消”的理由；能否指出公式是多项式乘法的特例。

设计意图：公式必须有推导，不能靠观察直接“规定”；同时建立与旧知的联系。

环节三

归纳公式

分析结构

平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2。

文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

结构：(□+△)(□−△)=□2−△2——相同项的平方减去相反项的平方。

用方框、三角把公式“框”起来；强调 a 是“相同的项”、b 是“符号相反的那一项”，a、b 可以是数、单项式，也可以是一个整体。

齐读文字表述；在练习本上把 (3x+2)(3x−2) 中的 a、b 标出来。

能否指出“谁是 a、谁是 b”；能否说出公式左右两边的结构差别。

设计意图：把“记公式”变成“认结构”，为后面的变式与因式分解打基础。

环节四

面积解释

数形结合

如图 16.3-1：边长为 a 的正方形挖去一个边长为 b 的小正方形，剩下的 L 形剪成两块，拼成一个长 (a+b)、宽 (a−b) 的长方形。

面积不变：a2−b2=(a+b)(a−b)。

用纸片现场剪拼，或用课件动画演示；引导比较“剪拼前后面积为什么相等”。

观察剪拼过程，说出“形状变了，面积没变”，并把面积关系写成等式。

能否把图形面积与公式两边对应起来；能否说出“形变积不变”。

设计意图：用几何直观支撑代数公式，让学生“看见”公式，而不是背符号。

环节五

例 1 示范

辨认 a、b

例 1　运用平方差公式计算：

（1）(3x+2)(3x−2)；（2）(−x+2y)(−x−2y)。

解：（1）(3x+2)(3x−2)=(3x)2−22=9x2−4；

（2）(−x+2y)(−x−2y)=(−x)2−(2y)2=x2−4y2。

示范“先标 a、b，再写公式，最后化简”的三步格式；第（2）题重点追问“相同的项是什么”，纠正“a 一定是正数”的误解。

先标出 a、b 再动笔；第（2）题说出“相同项是 −x，相反项是 2y”。

格式是否规范；第（2）题是否把 a 认成 x。

设计意图：例题的作用不是算对，而是把“认结构”的方法示范清楚。