28.2（3）相似三角形的性质（对应线段、周长、面积）与应用 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册
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内容正文：
28.2（3）相似三角形的性质（对应线段、周长、面积）与应用（解析版）
2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P65–68
📝 一、入门测（课前诊断）
限时 10 分钟 · 检测基础
本部分共 3 题，限时 10 分钟，检测判定与相似比的基础。
第 1 题
把的各边长都扩大为原来的4倍，得到，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．和的各对对应角相等
C．和的相似比为 D．和的相似比为4
【答案与解析】
【答案】D
【分析】由题意判定，再根据相似三角形性质逐项判定即可．
【详解】解：∵各边长扩大为原来的4倍得到，
∴，
∴，对应角相等，
∴与的相似比为
故选项D中结论错误，符合题意．
第 2 题
如图，已知，若、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案与解析】
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴，， ，
∴ ，
∴ ．
第 3 题
如图，已知，若，，，则的长为_________．
【答案与解析】
【答案】
4
【分析】过点作交于点，交于点，利用平行四边形性质和相似三角形性质求解．
【详解】解：过点作交于点，交于点，
，，
四边形和四边形均为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
🧭 二、课程导航
明确方向 · 有的放矢
🎯 学习目标
序号
学习目标（学完本讲，学生能够……）
重要程度
1
理解并证明相似三角形对应高的比等于相似比，会用这一结论求线段
★★★★
2
掌握对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，能三类线段互推
★★★★
3
掌握周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，会正反两向计算
★★★★
4
会用“对应高的比等于相似比”解决三角形内接正方形、内接矩形问题
★★★★
5
理解三角形内角平分线定理，会用平行线构造相似完成证明
★★★
⭐ 学习重点
三类比的互化：对应线段之比＝周长比＝相似比，面积比＝相似比的平方。
🔥 学习难点
面积比与相似比之间的平方关系；内接正方形问题中“高被分成两段”的列式。
📚 三、知识梳理
夯实基础 · 构建网络
🔑 一、对应线段的比等于相似比
相似三角形对应高的比等于相似比。证明思路是：由 △ABC∽△A₁B₁C₁ 得 ∠B＝∠B₁，加上 AD⊥BC、A₁D₁⊥B₁C₁ 得两个直角相等，于是 △ABD∽△A₁B₁D₁，所以 AD∶A₁D₁＝AB∶A₁B₁，即等于相似比。
同样的方法可以证明：对应中线的比、对应角平分线的比也都等于相似比。
（答案：证明套路统一为“先大后小”：先由已知相似得到一对角相等，再在一对“半个三角形”里证相似，最后把线段比转化为相似比。
🔑 二、周长比等于相似比
若 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，则 AB＝k·A′B′，BC＝k·B′C′，CA＝k·C′A′，三式相加即得周长比为 k。
（答案：周长比与对应线段之比是一回事，都等于相似比；只有面积比要平方。
🔑 三、面积比等于相似比的平方
由三角形面积公式，底之比为 k、对应高之比也为 k，所以两个相似三角形的面积比等于 k²。
已知相似比求面积比：直接平方；
已知面积比求相似比：先开方（取正根）；
已知面积比求周长比或对应线段比：开方后直接用。
🔑 四、内接正方形与内接矩形
正方形 DEFG 的一边在 BC 上，另两个顶点在 AB、AC 上。设边长为 x，高 AH 交 DG 于 P，则 DG∥BC 得 △ADG∽△ABC。
由“对应高的比等于相似比”列式：(AH－x)∶AH＝x∶BC，解出 x 即可。
（答案：关键一步是看清 AP＝AH－x：正方形（或矩形）的高正好是从顶点 A 到底边的那一段。矩形问题把 x 换成矩形的高，DG 换成矩形的长，其余照旧。
🔑 五、三角形内角平分线定理
在 △ABC 中，AP 平分 ∠BAC，交 BC 于 P，则 AB∶AC＝BP∶PC。
证明（课本例9）：过 B 作 BE∥AC 交 AP 的延长线于 E。由 BE∥AC 得 △BPE∽△CPA，所以 BE∶AC＝BP∶PC；又由平行得 ∠E＝∠PAC＝∠BAP，故 AB＝BE；代换即得 AB∶AC＝BP∶PC。
（答案：这个定理本身不在中考必考范围内，但“作平行线构造相似”的方法经常要用，重点掌握思路。
🧠 四、思维导图
左脑逻辑 · 右脑记忆
下图把三类比与内接正方形、角平分线定理串起来，可结合课堂笔记补充实例。
图1 本讲思维导图
💡 五、典例精讲
例题引领 · 变式深化
📌 题型一 对应线段（高、中线、角平分线）的比
✏ 题型模版
第1 步 先写出相似式，读出相似比 k；
第2 步 确认题目问的是哪一类对应线段（高 / 中线 / 角平分线），它们的比都等于 k；
第3 步 若题目给的是两条具体线段，先算比值再按要求转换顺序。
典例 1
已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案与解析】
【答案】C
【详解】解：∵，和是对应中线，，，
∴两个三角形的相似比为，
∴对应角平分线的比为．
变式 1-1
若两个相似三角形对应边上的高的比为，则它们对应角平分线的比为（ ）
A．4:9 B．2:3 C．1:1 D．3:2
【答案与解析】
【答案】B
【分析】利用相似三角形对应线段的比等于相似比求解．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为，
∴这两个相似三角形的相似比为，
∴它们对应角平分线的比为．
变式 1-2
已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为，那么它们对应高的比为______．
【答案与解析】
【答案】
【分析】利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，对应中线比与对应高的比都等于相似比，可直接得出结果．
【详解】解：∵ 两个三角形相似，相似三角形对应中线的比和对应高的比都等于相似比．
∵ 已知两个相似三角形对应中线之比为．
∴ 它们对应高的比等于相似比，为．
变式 1-3
已知：如图，，，分别为的高和中线，，分别为的高和中线．求证：．
【答案与解析】
【答案】证明：，
，，
，分别是，的中线，
，，
，
，
，，
，
，
，分别是，的高线，
，
．
【分析】先由得，，再根据中线得，
从而，由此可知，最后根据高线得，即可得证．
【详解】略
📌 题型二 周长比等于相似比
✏ 题型模版
第1 步 由相似式确定相似比 k；
第2 步 周长比直接等于 k，不必逐边相加；
第3 步 已知一个周长求另一个时，注意是“乘 k”还是“除以 k”，看清谁大谁小。
典例 2
已知，在和中，，且的周长为，求的周长．
【答案与解析】
【答案】
【分析】证明，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的周长与的周长之比为，
∵的周长为，
∴的周长为
变式 2-1
已知，，的周长为，的周长为______．
【答案与解析】
【答案】
【分析】利用相似三角形的性质，由面积比求出相似比，再根据周长比与相似比的关系，结合已知的周长计算的周长．
【详解】解：∵，.
∴两三角形的相似比为.
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴，
∵，
∴．
变式 2-2
在和中，，且的周长为．的周长为____________．
【答案与解析】
【答案】
【分析】由三边对应成比例可得两个三角形相似，相似比等于对应边的比，利用相似三角形周长比等于相似比计算即可.
【详解】解：∵，
∴，相似比为，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴，
.
变式 2-3
两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2，2，3，另一个等腰三角形一边长为6，则另一个等腰三角形周长为_________．
【答案与解析】
【答案】
14或21
【分析】已知一个等腰三角形三边长确定，另一个等腰三角形只给出一条边长为6，未说明该边是腰还是底，需分两种情况结合相似三角形的性质求解，同时验证三角形三边关系．
【详解】解：首先计算已知等腰三角形的周长为，
分两种情况讨论：
①当边长为6的边是另一个等腰三角形的腰时：
∵两个等腰三角形相似，该腰对应原三角形的腰长2，
∴相似比为，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴另一个三角形周长为，
此时三边长为6，6，9，满足三角形三边关系，符合要求；
②当边长为6的边是另一个等腰三角形的底时：
∵两个等腰三角形相似，该底对应原三角形的底边长3
∴相似比为，
∴另一个三角形周长为，
此时三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，符合要求，
综上所述，另一个等腰三角形的周长为14或21．
📌 题型三 面积比等于相似比的平方
✏ 题型模版
第1 步 求出相似比 k（可由线段比、周长比直接得到）；
第2 步 面积比写成 k²，注意平方的是比而不是某条边；
第3 步 若已知面积比，先开方得 k，再回答周长比或线段比。
典例 3
如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案与解析】
【答案】D
【分析】先说明，即可得出和的相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴和的相似比为，
∴和的面积比为．
变式 3-1
如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案与解析】
【答案】D
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的关系求解．
【详解】解：两个三角形的相似比为，
面积比为.
变式 3-2
如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接．
(1)若，求线段的长；
(2)若的面积是36，求的面积．
【答案与解析】
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行可得，再由相似三角形的性质求解即可；
（2）利用共高三角形面积比等于底之比求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：由（1）可得
∴
∵共以为底边上的高，
∴
∴
∴．
变式 3-3
如图，点、分别在的边、上，若，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长；
(3)在（2）的条件下，若的面积为，求的面积．
【答案与解析】
【答案】(1)证明：，
，
，
，
；
(2)
(3)
【分析】（1）首先利用三角形内角和定理计算的度数，因为是两个三角形的公共角，如果能得到另一组对应角相等，那么可根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似；
（2）由可推出与的比值，因为已证两个三角形相似，所以对应边成比例，结合的长度，代入比例式即可求解；
（3）根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因为已得到两个三角形的相似比，结合的面积，即可求出的面积．
【详解】（1）略
（2），
，
，
，即，解得，
∴的长为；
（3），
，即，
，
∴的面积为．
📌 题型四 内接正方形与内接矩形
✏ 题型模版
第1 步 设正方形（或矩形的高）边长为 x，把相关线段用 x 表示；
第2 步 由平行得“上面小三角形”与原三角形相似；
第3 步 按“对应高的比＝对应边的比”列方程，解出 x，再回答所求量。
典例 4
如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ．
【答案与解析】
【答案】
【分析】过作于，交于，根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过作于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
变式 4-1
如图，长方形的边在的边上，顶点、分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的倍，那么的长度是 ______ ．
【答案与解析】
【答案】
【分析】设交于点，由长方形的边在的边上，顶点、分别在、上，是的高，得，则，四边形是矩形，所以，可证明，得，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点，
∵长方形的边在的边上，顶点、分别在、上，
∴，，
∴是的高，
∴，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴的长度是．
变式 4-2
如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点P、N分别在边上，点Q、M在上，那么矩形的周长为_____ ．
【答案与解析】
【答案】26
【分析】设与交于点E，证明四边形是矩形，得到；证明，推出，则，据此可得答案．
【详解】解：如图，设与交于点E，
∵四边形是矩形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴矩形的周长为．
变式 4-3
如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________．
【答案与解析】
【答案】1152
【分析】设正方形边长为x，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得到，然后利用矩形面积公式求解．
【详解】解：设正方形边长为x，则，，
∵
∴，
∴
∴，
解得，
∴，
∴矩形面积．
📌 题型五 相似与角平分线、等积式的综合
✏ 题型模版
第1 步 先找出角相等（角平分线、公共角、对顶角）与边成比例这两组条件；
第2 步 用判定定理证相似，再把相似转化为需要的线段比；
第3 步 遇到等积式，先化成比例式，必要时用面积比或平行线作过渡。
典例 5
如图，在和中，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案与解析】
【答案】(1)证明：，
，
即，
又，
，
；
(2)
【分析】（1）由，可得出，结合得出，可证出；
（2）由，利用相似三角形的性质可得出，结合，可求出的长．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，
，
，
．
变式 5-1
如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，在上取一点F，连接，使得．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，，求的长度和四边形面积．
【答案与解析】
【答案】(1)证明：，
，
，
四边形是平行四边形，
是的角平分线，
．
又，
．
．
，
四边形是菱形；
(2)，四边形面积为
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得，求得，得到，根据菱形的判定定理得出结论即可；
（2）根据菱形的性质得到，设菱形的边长为x，则，，根据相似三角形的性质得到，连接，交于点O，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接，交于点O，如图：
四边形是菱形，
，
设菱形的边长为x，则，，
，
，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
，
∴菱形的边长为，
在菱形中，，，
，
，
．
变式 5-2
如图，在中，点在边上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案与解析】
【答案】(1)证明：∵，，
∴．
(2)8
【分析】（1）直接利用两角对应相等的三角形相似即可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列比例式并代入已知数据求解即可．
【详解】（1）证明：略．
（2）解：由（1）可得
∴，即，解得：．
变式 5-3
如图，在中，，，垂足为．
(1)求证：
(2)若，，求长
【答案与解析】
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)
【分析】（1）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）设，则，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）略．
（2）解：设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
即．
🚀 六、拓展提升（挑战题）
综合运用 · 提升能力
本部分共 2 题，需要综合运用比例与面积关系，鼓励先独立思考再对照解析。
挑战 1
如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案与解析】
【答案】A
【分析】根据平移性质证得 ，利用面积比等于相似比的平方建立方程求解．
【详解】解：设 交 于点 ， 交 于点
∵ 平移
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
解得 ．
挑战 2
某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D．
(1)兴趣小组的同学得出．理由如下：
①
②
∴．
请完成填空：①______________；②_____________；
(2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时，
①若，，求的值；
②求证：．
【答案与解析】
【答案】(1)，．
(2)①；
②证明：由①知，
∴，
∴．
由（1）得，
∴，
∴．
【分析】（1）证明即可解答；
（2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知，得出．再结合（1）即可证明结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
（2）解：①如图：连接，
∵，，
∴，
∴．
②略．
✅ 七、出门测（课后巩固）
限时 15 分钟 · 巩固提升
本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固三类比的互化。
第 1 题
如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案与解析】
【答案】D
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为，
∴相似比为，
∴它们的周长之比为．
第 2 题
若两个相似三角形的周长之比是，其中较小的一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_________．
【答案与解析】
【答案】
【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，先求出面积比，再计算另一个三角形的面积．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比是，
∴两个相似三角形的相似比为，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个三角形的面积比为，
设另一个三角形的面积为，已知较小三角形面积为，
则，
解得．
第 3 题
若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案与解析】
【答案】B
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴它们的面积比为．
🏠 八、课后作业（巩固提升）
独立完成 · 夯实所学
本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。
第 1 题
若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案与解析】
【答案】C
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为，
∴相似比为，
∴对应边上的高之比为．
第 2 题
一题多解法 如图，在中，已知，垂足为D，．若E是的中点，则______．
【答案与解析】
【答案】1
【分析】解法一：根据已知线段关系推出，结合可得出，由相似三角形对应边成比例求出；
解法二：过点E作，根据三角形中位线性质可求出，且得出；结合已知条件，根据等腰三角形三线合一性质得出即可求解．
解法三：将、分别设为未知数x、y，根据线段间的关系表示出、、，在中，运用勾股定理得出，然后在中继续使用勾股定理可得，即可求出．
【详解】解：解法一：，
．
∵E是AD的中点，
，
，
．
又，
，
．
．
，
．
解法二：如图，过点E作，交于点F．
∵E是的中点，且，
∴是的中位线，
，．
又，
．
，
∴垂直平分，
．
解法三：设，，
∵E是的中点，
∴，，
∵，
∴．
，
，
在中，，
∴
．
在中，，
∴，即，
∴．
第 3 题
如图，在中，，，点P是边上的动点，点Q在上且，当以点Q，B，P为顶点的三角形与相似时，________．
【答案与解析】
【答案】2或8/8或2
【分析】两个三角形有一个公共角，分两种情况讨论：（1）当时，有；（2）当时，有，进而可求出的长．
【详解】解：当时，
则，
，，
，
，
当时，
则，
，，
，
，
综上所述：或8．
第 4 题
如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________．
【答案与解析】
【答案】6
【分析】由平行得出，进而求出，，求出，，即可求出结论．
【详解】解：∵，且，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
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28.2（3）相似三角形的性质（对应线段、周长、面积）与应用（原卷版）
2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P65–68
📝 一、入门测（课前诊断）
限时 10 分钟 · 检测基础
本部分共 3 题，限时 10 分钟，检测判定与相似比的基础。
第 1 题
把的各边长都扩大为原来的4倍，得到，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．和的各对对应角相等
C．和的相似比为 D．和的相似比为4
第 2 题
如图，已知，若、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
第 3 题
如图，已知，若，，，则的长为_________．
🧭 二、课程导航
明确方向 · 有的放矢
🎯 学习目标
序号
学习目标（学完本讲，学生能够……）
重要程度
1
理解并证明相似三角形对应高的比等于相似比，会用这一结论求线段
★★★★
2
掌握对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，能三类线段互推
★★★★
3
掌握周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，会正反两向计算
★★★★
4
会用“对应高的比等于相似比”解决三角形内接正方形、内接矩形问题
★★★★
5
理解三角形内角平分线定理，会用平行线构造相似完成证明
★★★
⭐ 学习重点
三类比的互化：对应线段之比＝周长比＝相似比，面积比＝相似比的平方。
🔥 学习难点
面积比与相似比之间的平方关系；内接正方形问题中“高被分成两段”的列式。
📚 三、知识梳理
夯实基础 · 构建网络
🔑 一、对应线段的比等于相似比
相似三角形对应高的比等于相似比。证明思路是：由 △ABC∽△A₁B₁C₁ 得 ∠B＝∠B₁，加上 AD⊥BC、A₁D₁⊥B₁C₁ 得两个直角相等，于是 △ABD∽△A₁B₁D₁，所以 AD∶A₁D₁＝AB∶A₁B₁，即等于相似比。
同样的方法可以证明：对应中线的比、对应角平分线的比也都等于相似比。
🔑 二、周长比等于相似比
若 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，则 AB＝k·A′B′，BC＝k·B′C′，CA＝k·C′A′，三式相加即得周长比为 k。
🔑 三、面积比等于相似比的平方
由三角形面积公式，底之比为 k、对应高之比也为 k，所以两个相似三角形的面积比等于 k²。
已知相似比求面积比：直接平方；
已知面积比求相似比：先开方（取正根）；
已知面积比求周长比或对应线段比：开方后直接用。
🔑 四、内接正方形与内接矩形
正方形 DEFG 的一边在 BC 上，另两个顶点在 AB、AC 上。设边长为 x，高 AH 交 DG 于 P，则 DG∥BC 得 △ADG∽△ABC。
由“对应高的比等于相似比”列式：(AH－x)∶AH＝x∶BC，解出 x 即可。
🔑 五、三角形内角平分线定理
在 △ABC 中，AP 平分 ∠BAC，交 BC 于 P，则 AB∶AC＝BP∶PC。
证明（课本例9）：过 B 作 BE∥AC 交 AP 的延长线于 E。由 BE∥AC 得 △BPE∽△CPA，所以 BE∶AC＝BP∶PC；又由平行得 ∠E＝∠PAC＝∠BAP，故 AB＝BE；代换即得 AB∶AC＝BP∶PC。
🧠 四、思维导图
左脑逻辑 · 右脑记忆
下图把三类比与内接正方形、角平分线定理串起来，可结合课堂笔记补充实例。
图1 本讲思维导图
💡 五、典例精讲
例题引领 · 变式深化
📌 题型一 对应线段（高、中线、角平分线）的比
✏ 题型模版
第1 步 先写出相似式，读出相似比 k；
第2 步 确认题目问的是哪一类对应线段（高 / 中线 / 角平分线），它们的比都等于 k；
第3 步 若题目给的是两条具体线段，先算比值再按要求转换顺序。
典例 1
已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（ ）
A． B． C． D．
变式 1-1
若两个相似三角形对应边上的高的比为，则它们对应角平分线的比为（ ）
A．4:9 B．2:3 C．1:1 D．3:2
变式 1-2
已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为，那么它们对应高的比为______．
变式 1-3
已知：如图，，，分别为的高和中线，，分别为的高和中线．求证：．
📌 题型二 周长比等于相似比
✏ 题型模版
第1 步 由相似式确定相似比 k；
第2 步 周长比直接等于 k，不必逐边相加；
第3 步 已知一个周长求另一个时，注意是“乘 k”还是“除以 k”，看清谁大谁小。
典例 2
已知，在和中，，且的周长为，求的周长．
变式 2-1
已知，，的周长为，的周长为______．
变式 2-2
在和中，，且的周长为．的周长为____________．
变式 2-3
两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2，2，3，另一个等腰三角形一边长为6，则另一个等腰三角形周长为_________．
📌 题型三 面积比等于相似比的平方
✏ 题型模版
第1 步 求出相似比 k（可由线段比、周长比直接得到）；
第2 步 面积比写成 k²，注意平方的是比而不是某条边；
第3 步 若已知面积比，先开方得 k，再回答周长比或线段比。
典例 3
如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
变式 3-1
如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
变式 3-2
如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接．
(1)若，求线段的长；
(2)若的面积是36，求的面积．
变式 3-3
如图，点、分别在的边、上，若，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长；
(3)在（2）的条件下，若的面积为，求的面积．
📌 题型四 内接正方形与内接矩形
✏ 题型模版
第1 步 设正方形（或矩形的高）边长为 x，把相关线段用 x 表示；
第2 步 由平行得“上面小三角形”与原三角形相似；
第3 步 按“对应高的比＝对应边的比”列方程，解出 x，再回答所求量。
典例 4
如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ．
变式 4-1
如图，长方形的边在的边上，顶点、分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的倍，那么的长度是 ______ ．
变式 4-2
如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点P、N分别在边上，点Q、M在上，那么矩形的周长为_____ ．
变式 4-3
如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________．
📌 题型五 相似与角平分线、等积式的综合
✏ 题型模版
第1 步 先找出角相等（角平分线、公共角、对顶角）与边成比例这两组条件；
第2 步 用判定定理证相似，再把相似转化为需要的线段比；
第3 步 遇到等积式，先化成比例式，必要时用面积比或平行线作过渡。
典例 5
如图，在和中，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
变式 5-1
如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，在上取一点F，连接，使得．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，，求的长度和四边形面积．
变式 5-2
如图，在中，点在边上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
变式 5-3
如图，在中，，，垂足为．
(1)求证：
(2)若，，求长
🚀 六、拓展提升（挑战题）
综合运用 · 提升能力
本部分共 2 题，需要综合运用比例与面积关系，鼓励先独立思考再对照解析。
挑战 1
如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
挑战 2
某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D．
(1)兴趣小组的同学得出．理由如下：
①
②
∴．
请完成填空：①______________；②_____________；
(2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时，
①若，，求的值；
②求证：．
✅ 七、出门测（课后巩固）
限时 15 分钟 · 巩固提升
本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固三类比的互化。
第 1 题
如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
第 2 题
若两个相似三角形的周长之比是，其中较小的一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_________．
第 3 题
若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
🏠 八、课后作业（巩固提升）
独立完成 · 夯实所学
本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。
第 1 题
若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
第 2 题
一题多解法 如图，在中，已知，垂足为D，．若E是的中点，则______．
第 3 题
如图，在中，，，点P是边上的动点，点Q在上且，当以点Q，B，P为顶点的三角形与相似时，________．
第 4 题
如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________．
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