28.2（2）相似三角形的判定（SAS、SSS、HL）与直角三角形中的相似 讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册

28.2（2）相似三角形的判定（SAS、SSS、HL）与直角三角形中的相似（原卷版） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P58–64 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 10 分钟 · 检测基础 本部分共 3 题，限时 10 分钟，检测上一讲的判定基础。 第 1 题 如图，在中，，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 第 2 题 在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（     ） A． B． C． D． 第 3 题 有一个内角等于的两个等腰三角形（   ） A．相似 B．全等 C．既不相似也不全等 D．无法确定 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 掌握“两边成比例且夹角相等”的判定定理，能正确找出夹角 ★★★★ 2 掌握“三边对应成比例”的判定定理，会在网格中用勾股定理算出边长再判定 ★★★★ 3 会把等积式化为比例式，配合公共角、对顶角用判定定理证相似 ★★★★ 4 认识“直角三角形斜边上的高”基本图形，会用射影定理求线段、证等积式 ★★★★ 5 掌握直角三角形相似的判定（斜边与一条直角边成比例），会解综合题 ★★★ ⭐ 学习重点 两条判定定理的条件与书写规范；等积式与比例式的互化。 🔥 学习难点 “两边成比例”中夹角的识别；斜边上的高这一类图形中三对相似三角形的选择。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、判定定理一：两边成比例且夹角相等 若 △ABC 与 △A′B′C′ 中，AB∶A′B′＝AC∶A′C′，且 ∠A＝∠A′，则 △ABC ∽ △A′B′C′。 这里的角必须是这两条边的夹角。若给出的是其中一边的对角相等，就不能判定相似——两边和其中一边的对角对应相等（SSA）不足以确定三角形。 🔑 二、判定定理二：三边对应成比例 若 AB∶A′B′＝BC∶B′C′＝CA∶C′A′，则 △ABC ∽ △A′B′C′。 网格中判定相似：先用勾股定理把两个三角形的三边都算出来，从小到大排序，再看三组比值是否相等。 🔑 三、等积式与比例式的互化 等积式 AD·AB＝AE·AC 可以化成比例式 AD∶AC＝AE∶AB（横竖对应），再配合公共角 ∠A 用判定定理一证 △ADE ∽ △ACB。 等积式的四个端点通常分居两个三角形，公共端点就是公共角或对顶角的顶点； 化比例式时“同一条线上的两条边”写在同一侧，比例才与图形对应； 相似式中的顶点必须写在对应位置，否则后面求角、求边都会错位。 🔑 四、直角三角形斜边上的高 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，则 △ACD ∽ △CBD ∽ △ABC。 由此得到射影定理：CD²＝AD·BD，AC²＝AD·AB，BC²＝BD·AB。三式相加即得勾股定理。 🔑 五、直角三角形相似的判定 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 书写格式：在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，AB∶DE＝AC∶DF，则 △ABC ∽ △DEF。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图把三条判定定理与射影定理串成一条线，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 两边成比例且夹角相等（SAS 判定） ✏ 题型模版 第1 步 在图上标出两组对应边，确认它们的夹角是同一个角（公共角或已知相等的角）； 第2 步 按长短顺序列出比例式，验证两组比值是否相等； 第3 步 写出相似式，注意顶点对应，再按需要用对应角或对应边求值。 典例 1 已知：在和中，，，，，．求证：． 变式 1-1 在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 变式 1-2 如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式 1-3 在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 📌 题型二 三边对应成比例（SSS 判定）与网格中的相似 ✏ 题型模版 第1 步 把两个三角形的三边长度都求出来（网格题用勾股定理，逐格数横向与纵向格数）； 第2 步 各自从小到大排序，写成三组比； 第3 步 三组比相等即相似，再按对应边求角或求线段。 典例 2 已知：的三边，，，的三边，，．求证：． 变式 2-1 已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 变式 2-2 如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 变式 2-3 如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 📌 题型三 等积式与比例式的互化 ✏ 题型模版 第1 步 把等积式化成比例式：同一条边上的两条线段写在比例的同侧； 第2 步 找出两三角形的公共角或对顶角，作为夹角； 第3 步 用 SAS 判定得相似，再把相似转化为需要的角相等或线段成比例。 典例 3 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 变式 3-1 如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 变式 3-2 已知：如图，在和中，．求证：． 变式 3-3 如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 📌 题型四 直角三角形斜边上的高（射影定理） ✏ 题型模版 第1 步 先认图形：直角三角形、斜边上的高，得到一大两小三对相似三角形； 第2 步 按需要选比例式：求高用 CD²＝AD·BD，求直角边用 AC²＝AD·AB 或 BC²＝BD·AB； 第3 步 若要求证的是等积式，先把相似式写成比例式再交叉相乘。 典例 4 如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 变式 4-1 如图，在中，，垂足分别是E，F．则图中的相似三角形有（     ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 变式 4-2 如图，在中，高相交于点F，图中与相似的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式 4-3 如图，在中，，垂足为． (1)请写出图中所有的相似三角形； (2)以此图为背景编制一道与三角形相似有关的题目，并与同伴进行交流． 📌 题型五 直角三角形相似的判定（斜边与直角边成比例） ✏ 题型模版 第1 步 先说明两个三角形都是直角三角形，写出直角相等的条件； 第2 步 列出斜边之比与一条直角边之比，验证相等； 第3 步 判定相似后按对应边成比例求线段，或按对应角相等求角度。 典例 5 在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 变式 5-1 已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别为1，4和3，12，则这两个直角三角形（     ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对 变式 5-2 已知：如图，，，垂足分别为E，D，．求证：平分． 变式 5-3 已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合运用判定与性质，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 挑战 2 在中，点P位于直角边上，且与点A、C不重合，试过点P作直线截，使截得的三角形与原相似，画出所有可能的图形，并说明理由． ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固本讲三条判定定理。 第 1 题 如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 第 2 题 已知：如图，在中，，分别为，的中点．求证：． 第 3 题 根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 和满足下列条件,其中能使与相似的是(　　) A． B． C． D． 第 2 题 如图，已知线段与交于点，，，，，求证：． 第 3 题 下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 第 4 题 如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2（2）相似三角形的判定（SAS、SSS、HL）与直角三角形中的相似（解析版） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P58–64 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 10 分钟 · 检测基础 本部分共 3 题，限时 10 分钟，检测上一讲的判定基础。 第 1 题 如图，在中，，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案与解析】 【答案】D 【分析】利用三角形相似对应边成比例，得到，根据，求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 第 2 题 在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【分析】两三角形有公共角，判定相似需满足夹的两边对应成比例，或有另一组对应角相等． 【详解】解：∵ 是与的公共角， ∴ 当夹的两边对应成比例，即时，两三角形相似． A选项：由，得， 则，即， 故， 又，故，符合题意． B、C选项：比例式中的边、不是夹公共角的边，无法结合公共角判定相似，不符合题意． D选项：由得，推不出，不符合题意． 第 3 题 有一个内角等于的两个等腰三角形（   ） A．相似 B．全等 C．既不相似也不全等 D．无法确定 【答案与解析】 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出一个内角等于的等腰三角形的另外两个角，根据相似三角形的判定和全等三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴一个内角等于的等腰三角形中，角一定是顶角， ∴另外两个角为， ∴有一个内角等于的两个等腰三角形中一定有两个角相等， ∵两个等腰三角形的边不一定相等， ∴这两个等腰三角形一定相似，但不一定全等，故A正确． 故选：A． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 掌握“两边成比例且夹角相等”的判定定理，能正确找出夹角 ★★★★ 2 掌握“三边对应成比例”的判定定理，会在网格中用勾股定理算出边长再判定 ★★★★ 3 会把等积式化为比例式，配合公共角、对顶角用判定定理证相似 ★★★★ 4 认识“直角三角形斜边上的高”基本图形，会用射影定理求线段、证等积式 ★★★★ 5 掌握直角三角形相似的判定（斜边与一条直角边成比例），会解综合题 ★★★ ⭐ 学习重点 两条判定定理的条件与书写规范；等积式与比例式的互化。 🔥 学习难点 “两边成比例”中夹角的识别；斜边上的高这一类图形中三对相似三角形的选择。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、判定定理一：两边成比例且夹角相等 若 △ABC 与 △A′B′C′ 中，AB∶A′B′＝AC∶A′C′，且 ∠A＝∠A′，则 △ABC ∽ △A′B′C′。 这里的角必须是这两条边的夹角。若给出的是其中一边的对角相等，就不能判定相似——两边和其中一边的对角对应相等（SSA）不足以确定三角形。 （答案：书写时先按长短把两条边排好再作比，可以避免对应关系错位。 🔑 二、判定定理二：三边对应成比例 若 AB∶A′B′＝BC∶B′C′＝CA∶C′A′，则 △ABC ∽ △A′B′C′。 网格中判定相似：先用勾股定理把两个三角形的三边都算出来，从小到大排序，再看三组比值是否相等。 （答案：三边成比例的条件比“两边成比例加夹角”更强，题目给出各边长度时优先考虑它。 🔑 三、等积式与比例式的互化 等积式 AD·AB＝AE·AC 可以化成比例式 AD∶AC＝AE∶AB（横竖对应），再配合公共角 ∠A 用判定定理一证 △ADE ∽ △ACB。 等积式的四个端点通常分居两个三角形，公共端点就是公共角或对顶角的顶点； 化比例式时“同一条线上的两条边”写在同一侧，比例才与图形对应； 相似式中的顶点必须写在对应位置，否则后面求角、求边都会错位。 🔑 四、直角三角形斜边上的高 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，则 △ACD ∽ △CBD ∽ △ABC。 由此得到射影定理：CD²＝AD·BD，AC²＝AD·AB，BC²＝BD·AB。三式相加即得勾股定理。 （答案：见到“直角＋斜边上的高”就先把这个母子树的三对相似写全，再按需要挑比例式。 🔑 五、直角三角形相似的判定 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 书写格式：在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，AB∶DE＝AC∶DF，则 △ABC ∽ △DEF。 （答案：若两组比都落在直角边上，则补上“∠C＝∠F＝90°”作夹角，仍用判定定理一。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图把三条判定定理与射影定理串成一条线，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 两边成比例且夹角相等（SAS 判定） ✏ 题型模版 第1 步 在图上标出两组对应边，确认它们的夹角是同一个角（公共角或已知相等的角）； 第2 步 按长短顺序列出比例式，验证两组比值是否相等； 第3 步 写出相似式，注意顶点对应，再按需要用对应角或对应边求值。 典例 1 已知：在和中，，，，，．求证：． 【答案与解析】 【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴． 又∵． ∴． 【详解】略 变式 1-1 在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案与解析】 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】根据，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 变式 1-2 如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似． 根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 变式 1-3 在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 📌 题型二 三边对应成比例（SSS 判定）与网格中的相似 ✏ 题型模版 第1 步 把两个三角形的三边长度都求出来（网格题用勾股定理，逐格数横向与纵向格数）； 第2 步 各自从小到大排序，写成三组比； 第3 步 三组比相等即相似，再按对应边求角或求线段。 典例 2 已知：的三边，，，的三边，，．求证：． 【答案与解析】 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【详解】略 变式 2-1 已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案与解析】 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 变式 2-2 如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 【答案与解析】 【答案】 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】略 变式 2-3 如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案与解析】 【答案】这两个三角形相似，理由如下： 对： ，，； 对： ，，． 计算三边的比值： ，，， ∴， ∴． 【分析】用勾股定理计算两个三角形各边的长度．将两个三角形的边按长度从小到大排序，计算对应边的比值．依据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，判断两个三角形是否相似． 【详解】略 📌 题型三 等积式与比例式的互化 ✏ 题型模版 第1 步 把等积式化成比例式：同一条边上的两条线段写在比例的同侧； 第2 步 找出两三角形的公共角或对顶角，作为夹角； 第3 步 用 SAS 判定得相似，再把相似转化为需要的角相等或线段成比例。 典例 3 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案与解析】 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 变式 3-1 如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 变式 3-2 已知：如图，在和中，．求证：． 【答案与解析】 【答案】证明：∵，且， ∴． 【详解】略 变式 3-3 如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案与解析】 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，即可证得结论； （2）由，可得，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 📌 题型四 直角三角形斜边上的高（射影定理） ✏ 题型模版 第1 步 先认图形：直角三角形、斜边上的高，得到一大两小三对相似三角形； 第2 步 按需要选比例式：求高用 CD²＝AD·BD，求直角边用 AC²＝AD·AB 或 BC²＝BD·AB； 第3 步 若要求证的是等积式，先把相似式写成比例式再交叉相乘。 典例 4 如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案与解析】 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 变式 4-1 如图，在中，，垂足分别是E，F．则图中的相似三角形有（     ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案与解析】 【答案】B 【分析】设交于点，先得出，，再根据相似三角形的判定即可得． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 综上，图中的相似三角形有6对． 变式 4-2 如图，在中，高相交于点F，图中与相似的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案与解析】 【答案】C 【分析】先利用高的定义得到，再利用等角的余角相等得到，加上，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，利用同样的方法得到，，所以． 【详解】解：∵高相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 故图中与相似的三角形有3个． 变式 4-3 如图，在中，，垂足为． (1)请写出图中所有的相似三角形； (2)以此图为背景编制一道与三角形相似有关的题目，并与同伴进行交流． 【答案与解析】 【答案】(1)，， (2)求证：， 证明：由（1）可知，， ， ． 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似，得到，，根据相似于同一三角形的两三角形相似可得． （2）根据两三角形相似对应边成比例，即可得证结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ； （2）略． 📌 题型五 直角三角形相似的判定（斜边与直角边成比例） ✏ 题型模版 第1 步 先说明两个三角形都是直角三角形，写出直角相等的条件； 第2 步 列出斜边之比与一条直角边之比，验证相等； 第3 步 判定相似后按对应边成比例求线段，或按对应角相等求角度。 典例 5 在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案与解析】 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 变式 5-1 已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别为1，4和3，12，则这两个直角三角形（     ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．以上都不对 【答案与解析】 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出第三边，再根据三边成比例的两个三角形相似得出答案． 【详解】解：∵第一个直角三角形的一条直角边为，斜边为， ∴另一条直角边为，其三边为，，. ∵第二个直角三角形的一条直角边为，斜边为， ∴另一条直角边为，其三边为，，. ∵，即两个直角三角形三边对应成比例， ∴两个直角三角形一定相似． 变式 5-2 已知：如图，，，垂足分别为E，D，．求证：平分． 【答案与解析】 【答案】证明：，， ， ， ， ， 平分． 【分析】根据条件可证明，由此可知，即可证明． 【详解】略． 变式 5-3 已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：． 【答案与解析】 【答案】证明：∵、分别是、的高， ∴、是直角三角形， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∵、分别是、的高，， ∴． 【分析】先证得 ，再证得，最后，根据相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比即可证得结论． 【详解】略 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合运用判定与性质，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 【答案与解析】 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 挑战 2 在中，点P位于直角边上，且与点A、C不重合，试过点P作直线截，使截得的三角形与原相似，画出所有可能的图形，并说明理由． 【答案与解析】 【答案】如图，作交于点D，作交于点F，交于点E，则，，与原相似． 理由如下： ， ，， ； 同理， ， ，， ； ， 又， ． 【分析】根据相似三角形的判定定理，构造两组对角相等，即可得到与原相似的三角形． 【详解】略 ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固本讲三条判定定理。 第 1 题 如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】B 【分析】直接利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得出结果. 【详解】解：的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与相似； ∵， 故A选项中的三角形与不相似； ∵， 故B选项中的三角形与相似. 第 2 题 已知：如图，在中，，分别为，的中点．求证：． 【答案与解析】 【答案】证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴． 【分析】由中点的定义得出，根据为公共角，即可得出． 【详解】证明：略 第 3 题 根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 【答案与解析】 【答案】(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； (2)与不一定相似，理由如下： ∵，， ∴， ∵两组边的夹角与的大小关系不确定， ∴与不一定相似． 【详解】（1）略 （2）略 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 和满足下列条件,其中能使与相似的是(　　) A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】C 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系，分别计算两个三角形三组对边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】A、不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； B、∵， ∴， 三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故本选项正确，符合题意； D、∵， ∴， 三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 第 2 题 如图，已知线段与交于点，，，，，求证：． 【答案与解析】 【答案】， ， ， ， 与是对顶角， ， ． 【分析】先根据已知线段长度，算出，，得到两组对应边成比例；再利用对顶角相等得到夹角相等，根据两边对应成比例且夹角相等，证出． 【详解】略． 第 3 题 下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 第 4 题 如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 【答案与解析】 【答案】3 【分析】由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得、，进而得，最后综合即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有3对． 学科网（北京）股份有限公司 $