21.3 实践与探索教学设计 2026-2027学年数学华东师大版九年级上册

文本解读

本节课选自华东师大版《义务教育教科书·数学》九年级上册第21章"一元二次方程"第3节"实践与探索"，是本章知识的综合运用课。在此之前，学生已经认识了一元二次方程，掌握了一元二次方程的直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等解法，并学习了根的判别式以及根与系数的关系。本节课以传播问题、增长（降低）率问题、面积问题等真实情境为载体，引导学生经历"审题—设元—列方程—解方程—检验—作答"的完整建模过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。本节课既是对本章解方程技能的巩固与深化，也为后续运用方程思想解决更复杂的实际问题奠定基础，在教材体系中起着承上启下的作用。

教学目标

1.【数学建模】能从传播问题、增长（降低）率问题、面积问题等实际情境中抽象出数量关系，正确设未知数，列出一元二次方程，体会方程建模的基本过程。

2.【数学运算】能根据方程的结构特征，灵活选用直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法求解，并养成自觉检验的习惯。

3.【逻辑推理】能结合实际意义对方程的根进行合理性检验与取舍，理解"解方程"与"解决实际问题"的区别与联系。

4.【应用意识】感受一元二次方程与现实生活的密切联系，在解决真实问题的过程中发展数学应用意识与社会责任感。

重点难点

教学重点：从实际问题中寻找等量关系，建立一元二次方程模型并求解。

教学难点：根据实际意义对方程的根进行检验与取舍，理解方程模型的适用条件。

课时安排

1课时

教学过程

新课导入

（一）情境创设

同学们，秋冬季是呼吸道传染病的高发季节。2026年入秋以来，各地学校严格落实晨午检和通风消毒制度，用科学的方法守护校园健康。传染病在人与人之间的传播，竟然藏着一个一元二次方程模型；我国新能源汽车充电桩两年间的建设速度、矩形菜园的围栏设计，背后同样离不开方程的力量。今天，我们就带着方程这把"钥匙"，去打开一扇扇现实问题的大门。

（二）问题激趣

（教师在大屏幕上展示校园晨午检图片）

师：如果一名同学患流感，第一轮传染中平均每人传染x人，那么第一轮被传染的有多少人？

生：x人。

师：第二轮传染中，被传染的又有多少人？

生：第一轮结束后共有(1+x)人患病，第

二轮中被传染的是x(1+x)人。

师：若经过两轮传染后共有121人患流感，x是多少？带着这个问题，我们一起走进今天的课题——实践与探索。

设计意图：以2026年校园传染病防控的真实背景切入，让学生感受方程模型的现实价值，激发探究欲望。

探究新知

任务一：探究传播问题，初建方程模型

1. 问题呈现：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患流感。每轮传染中平均一个人传染几个人？

2. 分析等量关系：第一轮传染后患流感的总人数为(1+x)人；第二轮传染中，这(1+x)人每人又传染x人，第二轮结束后患流感的总人数为1+x+x(1+x)人。

，即。

3. 求解：直接开平方，得1+x=11或1+x=-11，故x=10或x=-12。

4. 检验作答：x=-12不符合实际意义，舍去。答：每轮传染中平均一个人传染10个人。

【要点点拨】传播问题中，若每轮传染中平均一人传染x人，两轮后患病总人数为，n轮后为（n为正整数），这是"裂变型"传播的基本模型。

任务二：探究增长率问题，学会检验取舍

1. 问题呈现：2024年底，某市建成投用的公共充电桩为5万台；到2026年底，这一数字达到7.2万台。求该市公共充电桩数量这两年（从2024年底到2026年底）的年平均增长率。

2. 分析：设年平均增长率为x，则2025年底充电桩为5(1+x)万台，2026年底为5(1+x)²万台。

。

3. 求解：直接开平方，得1+x=1.2或1+x=-1.2，故x=0.2=20%或x=-2.2。

4. 检验作答：年平均增长率应大于-100%，且充电桩数量不可能为负，x=-2.2不符合实际，舍去。答：年平均增长率为20%。

【要点点拨】增长（降低）率问题的基本模型为（a为起始量，b为终止量），求得的根必须结合"增长率大于-100%""数量非负"等实际意义进行取舍。