第21章 一元二次方程（复习讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理一元二次方程的复习要点与重难点，将概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用等知识点分层呈现，形成“定义-解法-性质-应用”的完整知识脉络，清晰展示各要点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型+难点”双轨练习设计，如通过增长率问题应用题（例5）培养模型意识，利用韦达定理整体法求代数式值（难点一）提升推理能力。基础达标与能力进阶分层训练，助力不同学生掌握运算技巧，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

第21章 一元二次方程 复习要点 1. 理解一元二次方程定义，能识别一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项；2. 熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，会根据方程特点选合适解法； 3. 会用根的判别式Δ=b2−4ac判断一元二次方程根的情况； 4. 掌握根与系数的关系（韦达定理），会求两根和、两根积，处理代数式求值； 5. 能列一元二次方程解决增长率、面积、利润等实际问题，并检验根是否符合实际意义； 6. 会处理含参数的一元二次方程相关题型。 复习重难点 重点：一元二次方程的多种解法；根的判别式；根与系数关系；列一元二次方程解实际应用题。 难点：配方法的配方变形；含字母参数方程的综合讨论；韦达定理综合代数式求值；实际问题中对解的取舍。 知识点 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 注意：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是． 要点归纳：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高 次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”. 要点速测 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D．  知识点 一元二次方程的解法 （1）配方法：方程经配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来解.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. （2）公式法：运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. （3）因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 注意：（1）使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。把一元二次方程的所有根都求出来，叫作解一元二次方程. （2）通过“降次”将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 （3）用公式法时，先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值， （1）一般地，将多项式x²±ax加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方。 （2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的在b²-4ac≥0时的求根公式为x= . （3）若ab=0，则a=0或b=0. 要点速测 2．解一元二次方程： (1)． (2) 知识点 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 ①一元二次方程有两个不相等的实数根； ②一元二次方程有两个相等的实数根； ③一元二次方程无实数根。 3. 应用 ①不解方程判断一元二次方程根的情况； ②根据方程根的情况求字母系数的取值范围。 要点速测 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 知识点 一元二次方程根与系数的关系 当≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系: 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.这个关系通常被称为韦达定理。 要点归纳：ax²十bx十c=0(a≠0)两根为，，则有+= - ， 要点速测 4．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 知识点 一元二次方程的应用 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程， 列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答. 常见类型：①数字问题:个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a ②平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． ③ 销售利润问题 利润=售价－进价； 利润率=； 售价=进价； 总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． ④面积问题 面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． 要点速测 5．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 题型1 一元二次方程的概念 ▌例1 下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 一元二次方程的概念 1.二次项系数不能为0 2.含未知数的最高次项的次数为2. ▌迁移练1-1已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 ▌迁移练1-2若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 题型2 一元二次方程的解法 ▌例2 解方程：． 解题要点 如何选择合适的方法解一元二次方程 1.如果能因式分解，优先选用因式分解法 2.二次项系数为1，一次项系数为偶数时，通常用配方法。 3.二次项系数为1且一次性系数不是偶数或者二次项系数不是1时，通常用公式法 一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量 ▌迁移练2-1解方程： (1) (2) ▌迁移练2-2解下列方程： (1) (2) ▌迁移练2-3解方程： (1)； (2)． 题型3 一元二次方程根的判别式 ▌例3 一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 解题要点 一元二次方程根的判别式 利用一元二次方程根的判别式=b²-4ac，计算值，根据与0的大小关系判断根的情况, ①一元二次方程有两个不相等的实数根； ②一元二次方程有两个相等的实数根； ③一元二次方程无实数根。 ▌迁移练3-1已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 ▌迁移练3-2若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． ▌迁移练3-3已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 题型4 一元二次方程根与系数的关系 ▌例4 已知方程的两个根是和，则________． 解题要点 一元二次方程根与系数的关系 1.判断a，b，c的值 2.根据韦达定理算出两根之和与两根之积 注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。 ▌迁移练4-1已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． ▌迁移练4-2已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． ▌迁移练4-3菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 题型5 一元二次方程的应用 ▌例5 某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 解题要点 用一元二次方程解决实际问题的步骤 审（审题找等量）→ 设（设未知数）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 验（验方程 + 实际）→ 答（规范作答） ▌迁移练5-1目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ ▌迁移练5-2西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ ▌迁移练5-3随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 难点一 利用韦达定理整体法求代数式的值 主要针对由一元二次方程可以得到两根之和与积，需要整体法求所给代数式的值。难点集中在不能根据需要变形代数式． 正确步骤：先求出两根之和与两根之积，再根据需要变形代数式。 难点精练 1.已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 不存在 3.若，是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 难点二 利用韦达定理整体法求参数的值 主要针对由一元二次方程可以得到两根之和与积，需要整体法代入求所给参数的值。难点集中在不能根据需要变形代数式． 正确步骤：先求出两根之和与两根之积，再根据需要整体法代入变形后的代数式，得到含参数的方程，解方程，求得参数。 易错点：漏掉根据判别式舍掉一个值。 难点精练 4.如果方程有实数根且它的两根之差是，那么值可能为(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，求的值．  6.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 难点三 一元二次方程的综合应用 主要针对信息量大的实际问题． 正确步骤：认真审题，找准关键信息，分析数量关系，列出方程。 易错点：漏掉关键信息，不能舍弃不合题意得值。 难点精练 7.某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为元盏试销售一段时间后发现，按元盏的价格销售，每周可售出盏当每盏台灯的售价在元之间时，每盏售价每上涨元，每周的销售量将减少盏． 若每盏台灯的售价为元，则每周的销售利润是多少 如果要实现每周的销售利润为元的目标，求每盏台灯的售价． 8.如图，已知正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动动点从点出发，以的速度沿方向向点运动若、两点同时出发，运动时间为． 连接、、，是否存在的值，使得的面积为 当点在边上运动时，是否存在这样的，使得是以为一腰的等腰三角形若存在，求出符合条件的的值若不存在，请说明理由． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 3．（21-22九年级上·山东枣庄·开学考试）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（21-22八年级下·浙江湖州·阶段检测）写出一个根为1和2022的一元二次方程：____________． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 10．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 11．（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 三、解答题 12．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 13．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段检测）解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 15．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·山东潍坊·模拟预测）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如：已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“最值码”为． (1)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”； (2)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”（用含的式子表示）； (3)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 复习要点 1. 理解一元二次方程定义，能识别一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项；2. 熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，会根据方程特点选合适解法； 3. 会用根的判别式Δ=b2−4ac判断一元二次方程根的情况； 4. 掌握根与系数的关系（韦达定理），会求两根和、两根积，处理代数式求值； 5. 能列一元二次方程解决增长率、面积、利润等实际问题，并检验根是否符合实际意义； 6. 会处理含参数的一元二次方程相关题型。 复习重难点 重点：一元二次方程的多种解法；根的判别式；根与系数关系；列一元二次方程解实际应用题。 难点：配方法的配方变形；含字母参数方程的综合讨论；韦达定理综合代数式求值；实际问题中对解的取舍。 知识点 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 注意：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是． 要点归纳：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高 次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”. 要点速测 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意．  知识点 一元二次方程的解法 （1）配方法：方程经配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来解.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. （2）公式法：运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. （3）因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 注意：（1）使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。把一元二次方程的所有根都求出来，叫作解一元二次方程. （2）通过“降次”将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 （3）用公式法时，先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值， 要点归纳： （1）一般地，将多项式x²±ax加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方。 （2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的在b²-4ac≥0时的求根公式为x= . （3）若ab=0，则a=0或b=0. 要点速测 2．解一元二次方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 知识点 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 ①一元二次方程有两个不相等的实数根； ②一元二次方程有两个相等的实数根； ③一元二次方程无实数根。 3. 应用 ①不解方程判断一元二次方程根的情况； ②根据方程根的情况求字母系数的取值范围。 要点速测 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 知识点 一元二次方程根与系数的关系 当≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系: 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.这个关系通常被称为韦达定理。 要点归纳：ax²十bx十c=0(a≠0)两根为，，则有+= - ， 要点速测 4．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 知识点 一元二次方程的应用 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程， 列方程解决实际问题的一般步骤是:审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答. 要点归纳： 常见类型：①数字问题:个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a ②平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． ③ 销售利润问题 利润=售价－进价； 利润率=； 售价=进价； 总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． ④面积问题 面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． 要点速测 5．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)平方米 (2)长为60米，宽为40米 【分析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）设，则，根据题意，得，然后解方程求得x值即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 题型1 一元二次方程的概念 ▌例1 下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 解题要点 一元二次方程的概念 1.二次项系数不能为0 2.含未知数的最高次项的次数为2. ▌迁移练1-1已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. ▌迁移练1-2若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． ▌迁移练1-3已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 题型2 一元二次方程的解法 ▌例2 解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 解题要点 如何选择合适的方法解一元二次方程 1.如果能因式分解，优先选用因式分解法 2.二次项系数为1，一次项系数为偶数时，通常用配方法。 3.二次项系数为1且一次性系数不是偶数或者二次项系数不是1时，通常用公式法 一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量 ▌迁移练2-1解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得： ， 即：， 开平方，得：， 解得：，； （2）解：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，． ▌迁移练2-2解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原方程化为， 则， ∴或， ∴，； （2）解：移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． ▌迁移练2-3解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)原方程无解 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后对计算结果进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程转化为， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的增根，即原方程无解． 题型3 一元二次方程根的判别式 ▌例3 一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 解题要点 一元二次方程根的判别式 利用一元二次方程根的判别式=b²-4ac，计算值，根据与0的大小关系判断根的情况, ①一元二次方程有两个不相等的实数根； ②一元二次方程有两个相等的实数根； ③一元二次方程无实数根。 ▌迁移练3-1已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． ▌迁移练3-2若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. ▌迁移练3-3已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 题型4 一元二次方程根与系数的关系 ▌例4 已知方程的两个根是和，则________． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得到． 解题要点 一元二次方程根与系数的关系 1.判断a，b，c的值 2.根据韦达定理算出两根之和与两根之积 注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。 ▌迁移练4-1已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． ▌迁移练4-2已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． ▌迁移练4-3菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 题型5 一元二次方程的应用 ▌例5 某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 解题要点 用一元二次方程解决实际问题的步骤 审（审题找等量）→ 设（设未知数）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 验（验方程 + 实际）→ 答（规范作答） ▌迁移练5-1目前，我区大面积种植草莓的优良品种“丰香”，“章妃”，“红颊”，这些草莓颗粒饱满，口感香甜，已成为了我区万元高效农业的一大典型经济作物，并带动了城乡旅游，某一草莓园的采摘套票售价为100元/张，成本为60元/张，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，某天草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票数便可多售出2张，已知草莓园降价后，当天多销售了1000元． (1)降价后，草莓园当天销售多少元？ (2)草莓园采摘套票降价了多少元？ 【答案】(1)9000元 (2)10元 【分析】（1）降价后，草莓园当天销售钱数原来80人的销售价增加的1000元； （2）设草莓园采摘套票降价了x元，根据等量关系：（原来的票价降低的价格）（原来卖出的张数增加的张数），列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵原来的销售额为元，增加了1000元， ∴降价后，草莓园当天的销售额为（元）； （2）解：设草莓园采摘套票降价了x元，根据题意得： ， 解得：，， 当降价为50元时，票价为（元）， ∵， ∴此时小于成本价，降价措施不合理， ∴舍去， 答：降价了10元． ▌迁移练5-2西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)该品牌头盔销售量的月增长率是______； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？ 【答案】(1) (2)该品牌头盔每个售价应上涨10元 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去． 所以，元． 答：该品牌头盔每个售价应上涨10元． ▌迁移练5-3随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 难点一 利用韦达定理整体法求代数式的值 主要针对由一元二次方程可以得到两根之和与积，需要整体法求所给代数式的值。难点集中在不能根据需要变形代数式． 正确步骤：先求出两根之和与两根之积，再根据需要变形代数式。 难点精练 1.已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】由根与系数的关系得，， ． 故选A． 2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】A  【详解】由题意可知，解得， 且，， ， 整理得，解得或， ，． 故选A． 3.若，是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】，是方程的根， ，，， 则原式． 故选C． 难点二 利用韦达定理整体法求参数的值 主要针对由一元二次方程可以得到两根之和与积，需要整体法代入求所给参数的值。难点集中在不能根据需要变形代数式． 正确步骤：先求出两根之和与两根之积，再根据需要整体法代入变形后的代数式，得到含参数的方程，解方程，求得参数。 易错点：漏掉根据判别式舍掉一个值。 难点精练 4.如果方程有实数根且它的两根之差是，那么值可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】设方程的两根分别为，， 原方程两根之差是即，则， 由根与系数的关系得，， ， ，， 经检验，均符合题意，结合选项可知值可能为． 故选D． 5.若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，求的值． 【详解】关于的一元二次方程有两个实数根，， ，即，且，． ，，即， 整理，得，解得，． ，满足题意的的值为或  6.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得：， 的取值范围为． 关于的一元二次方程有两个实数根，， ，． ， 当时，有， 联立解得：，， ，； 当时，有， 联立解得：，不合题意，舍去． 符合条件的的值为．  难点三 一元二次方程的综合应用 主要针对信息量大的实际问题． 正确步骤：认真审题，找准关键信息，分析数量关系，列出方程。 易错点：漏掉关键信息，不能舍弃不合题意得值。 难点精练 7.某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为元盏试销售一段时间后发现，按元盏的价格销售，每周可售出盏当每盏台灯的售价在元之间时，每盏售价每上涨元，每周的销售量将减少盏． 若每盏台灯的售价为元，则每周的销售利润是多少 如果要实现每周的销售利润为元的目标，求每盏台灯的售价． 【详解】(1)解:(46-30)(600-20)=16540=8640(元). 答:若每鉴台灯的售价为46元,则每周的销售利润是8640元. (2)设每盏台灯的售价为x元. 根据题意,得(x-30)(600-20)=10000, 解得=50,=80(不合题意,舍去). 答:每盏合灯的售价为50元. 8.如图，已知正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动动点从点出发，以的速度沿方向向点运动若、两点同时出发，运动时间为． 连接、、，是否存在的值，使得的面积为 当点在边上运动时，是否存在这样的，使得是以为一腰的等腰三角形若存在，求出符合条件的的值若不存在，请说明理由． 【详解】(1)42=2(s),当点P在边BC上时,0t2, 由题意,得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP=2tcm,PC=(4-2t)cm, =---, 16-4t-(4-t)2t-4(4-2t)=11, 整理,得-2t-3=0,解得=-1,=3,都不符合题意,舍去; 当点P在边CD上时,2< t4, 由题意,得AQ=tcm,DP=(8-2t)cm, =BCDP, 4(8-2t)=11,解得t=(不符合题意,舍去). 综上所述,不存在t的值,使PQD的面积为11.  (2)存在.理由如下:由题意,得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP=2tcm,PC=(4-2t)cm(0t2). 当DP=DQ时, DC=DA,A=C=, RtDCPRtDAQ(HL), PC=AQ,即4-2t=t,解得t=; 当PD=PQ时,在RtPBQ中,P=P+B=+, 在RtPCD中,P=P+C=+, +=+, 整理,得+8t-16=0,解得=-4-4(舍去),=4-. 综上所述,当t=或4-4时,PQD是以PD为一腰的等腰三角形.  基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 3．（21-22九年级上·山东枣庄·开学考试）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 5．（25-26八年级下·广西百色·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况判断，利用一元二次方程根的判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以每次降价前的价格为计算基数，结合最终售价列方程即可． 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 二、填空题 8．（21-22八年级下·浙江湖州·阶段检测）写出一个根为1和2022的一元二次方程：____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知一元二次方程的两个根，可先写出因式分解形式的方程，再展开整理得到所求一元二次方程． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为和， ∴可将方程写为， 展开并合并同类项，得． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 10．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 11．（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 三、解答题 12．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 13．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段检测）解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【答案】 ；；；；；；；；； 【分析】按照配方法的步骤，在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，再开平方即可求解． 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入原方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出和的值即可得到答案； （2）利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为， ∴，， ∴； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 2．（2023·山东潍坊·模拟预测）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 【答案】B 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 【详解】解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 二、解答题 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如：已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“最值码”为． (1)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”； (2)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”（用含的式子表示）； (3)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“最值码”的定义，将方程中的的值代入进行计算． （2）根据“最值码”的定义，将方程中的的值代入，然后化简式子． （3）先分别求出两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等得到和的关系，最后代入代数式求值． 【详解】（1）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为． （2）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为． （3）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为， 由（2）知方程的“最值码”为， 两个方程的“最值码”相等， ， ，即， ， 所以代数式的值为． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $