专题02 二次函数的性质 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题02二次函数的性质期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解二次函数的概念，能依据定义识别二次函数，确定解析式中参数的取值要求。 2.熟练运用配方法，将二次函数一般式化为顶点式，求出抛物线的对称轴与顶点坐标。 3.掌握二次函数图象的特征，能判断抛物线开口方向，分析函数增减性，并求解函数最值。 4.理解系数a,b,c对抛物线图象位置的影响。 5.会求抛物线与坐标轴的交点坐标，能结合图象进行简单的数形结合分析。 ✵高频题型梳理 题型1.y=ax2+bx+c的最值 题型2.一次函数、二次函数图象综合判断 题型3.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型4.两个二次函数图象综合判断 题型5.根据二次函数的图象判断式子符号 题型6.待定系数法求二次函数解析式 题型7.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型8.根据二次函数的对称性求函数值 题型9.利用二次函数对称性求最短路径 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c，a,b,c为常数，（a≠0）的函数叫做二次函数。 其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 判定条件：自变量的最高次数为 2；解析式右边是关于自变量的整式；二次项系数不为0。 1.一般式：y=ax2+bx+c(a≠0），适用于已知图象上三点求函数表达式。 2.顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0)，抛物线顶点坐标为(h,k)，适用于已知顶点或对称轴求函数表达式。 知识点二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 二次函数的图象是抛物线。利用配方法，可将一般式变形为：y=ax2+bx+c=a+ 对称轴：直线x=﹣ 2.顶点坐标是（,） 当a>0时，抛物线开口向上，顶点为图象的最低点。在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。当x=﹣时，函数取得最小值。 当a<0时，抛物线开口向下，顶点为图象的最高点。在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。当x=﹣时，函数取得最大值。 若自变量取值限定在某一区间，则函数最值需要对比顶点与区间端点的函数值。 知识点三、系数a,b,c对抛物线图象的影响 1.系数a决定抛物线的开口方向与宽窄：a>0，开口向上；a<0，开口向下；|a|越大，抛物线开口越窄。 2.系数a,b共同确定对称轴的位置：由对称轴x=﹣可得：a,b同号，对称轴在y轴左侧；a,b异号，对称轴在y轴右侧。 3.系数c是抛物线与y轴交点的纵坐标：抛物线交y轴于点(0,c)。c>0，交点在y轴正半轴；c<0，交点在y轴负半轴；c=0，抛物线经过坐标原点。 知识点四、抛物线与坐标轴的交点 1.抛物线与y轴的交点：令x=0，得y=c，交点为(0,c)，抛物线与y轴有且仅有一个交点。 2.抛物线与x轴的交点：令y=0，得到一元二次方程ax2+bx+c=0，方程的实数根即为抛物线与x轴交点的横坐标。 判别式Δ=。Δ>0，抛物线与x轴有两个交点；Δ=0，抛物线与x轴仅有一个交点，顶点落在x轴上；Δ<0，抛物线与x轴无交点。 ✵易错提醒 1.判定二次函数必须保证a≠0；含有字母参数的试题，易遗漏该限制条件。 2.顶点式y=a(x-h)2+k中，顶点横坐标为h，注意符号。 3.研究函数增减性，必须以对称轴作为分界，不能在全体实数范围内笼统描述增减规律。 ✵典例精讲 题型1.y=ax2+bx+c的最值 1．二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可知当时函数有最小值；分别求出当和时的函数值，通过比较求出最大值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向上， 整理可得：， 当时函数有最小值； 当时，可得：， 当时，可得：， 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是和． 2．已知二次函数在时有最小值，则________． 【答案】或 【分析】先将二次函数配方为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据区间内最小值的位置列方程求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，对称轴在内， 当时，抛物线开口向上， 最小值在对称轴处取得，即时，， 解得； 当时，抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 在中，离对称轴最远， 时取得最小值，代入得， 解得； 因此或． 3．已知二次函数． (1)求该二次函数的最小值； (2)建立平面直角坐标系，画出该函数的图象． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先化为顶点式，根据函数的性质即可解答； （2）五点画图法：先描点再用平滑的曲线从左到右顺次连接，就得到该二次函数的完整抛物线图象． 【详解】（1）解：， 因为二次项系数，抛物线开口向上，当时，函数取最小值为1． （2）解：列表， x 0 y 5 2 1 2 5 描点， 连线． 图形略 题型2.一次函数、二次函数图象综合判断 1．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， ∴图象D符合题意． 2．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 3．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 经过第二、三、四象限， 理由：， ， 由图可知， ， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2） 略 题型3.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 2．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 3．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 题型4.两个二次函数图象综合判断 1．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用二次函数顶点式的核心性质，逐一验证各结论． 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定， ∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为， 将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的位置关系是________． 【答案】关于x轴对称 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：∵函数与， 而， ∴两个二次函数的图象形状相同，顶点都为原点，对称轴为轴，开口方向相反， ∴函数与的图象关于x轴对称. 3．已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，抛物线的开口向下，故选项A正确； 抛物线和的对称轴均为轴，故选项B正确，两个图像的开口大小不一样，不对称，选项D错误； 抛物线和的顶点均为，故选项C正确； 故选项D符合题意． 题型5.根据二次函数的图象判断式子符号 1．二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断A，由当时，，当时，，故，从而，进而可判断C，由函数图象可判断D，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断B． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴， 故A错误； 由图可得，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故C错误； 由图可得，当时，， 故D错误； ∵， ∴当时，， ∴， ∴，即， 故B正确． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】由抛物线开口方向确定的符号，由对称轴可得的关系确定的符号，由与轴的交点确定的符号，可判断①；利用时的函数值，可判断②；利用时的函数值，可判断③；结合关系及时的不等式，可判断④ ． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故①错误； ②由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则， 由②可知，， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 【答案】， 【分析】考查二次函数图象性质，利用顶点纵坐标公式和开口方向判断符号．关键是掌握与a的符号关系，易错点是符号判断失误． 设二次函数，开口向上则，顶点在第四象限则顶点纵坐标．因，故，进而． 【详解】对于二次函数，开口向上则；顶点在第四象限，说明顶点的横坐标，纵坐标． 由且，可得，因此． 题型6.待定系数法求二次函数解析式 1．若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由其符号决定，已知顶点坐标，选用顶点式求解． 【详解】解：∵抛物线与形状相同，方向相反， ∴二次项系数为3, ∵抛物线顶点坐标为， ∴该抛物线的函数表达式为． 2．已知二次函数经过和，则这个二次函数的解析式为___． 【答案】 【详解】解：∵二次函数经过和， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为. 3．已知二次函数（、、是常数，且），函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 3 4 … … 10 2 5 … (1)直接写出的值________； (2)求出函数表达式： (3)求抛物线顶点坐标，写出开口方向和对称轴． 【答案】(1) (2) (3)顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线 【分析】（1）利用待定系数法求出a、b、c的值，再求出时的函数值即可得到答案； （2）由（1）即可得到答案； （3）把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 在中，当时，， ∴； （2）解：由（1）得该函数的函数表达式为； （3）解：∵，二次项系数， ∴顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线． 题型7.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两个交点连线的垂直平分线，对称轴对应的横坐标为两个交点横坐标的平均值． 【详解】解：已知两个交点的横坐标分别为2和4，因此对称轴对应的横坐标为： 所以，对称轴为． 2．已知抛物线（为常数）经过和两点，则的值是______． 【答案】 【分析】由抛物线经过点和可得抛物线的对称轴为直线，则，然后求出的值即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得，即的值是． 3．已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)若不同两点，均在抛物线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对二次函数进行配方，把一次项拆分，加上再减去一次项系数一半的平方，整理成顶点式； （2）纵坐标相同的两个点在抛物线上，说明两点关于抛物线对称轴对称，m、n的和等于对称轴横坐标的2倍，用对称轴公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ，， 不同两点，均在抛物线上， ． 题型8.根据二次函数的对称性求函数值 1．已知二次函数图象上三个点、、，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式可知抛物线的对称轴是，点关于的对称点是，根据二次函数的性质即可得到结果. 【详解】解：抛物线的对称轴是， 点关于的对称点是， 又抛物线中， 抛物线开口向下，在对称轴的右侧随的增大而减小， ， . 2．已知点，是抛物线上的两点，当时，的值是__________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性即可解答． 【详解】解：点，关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为直线， 抛物线的对称轴为y轴，即直线， ， ， 当时，． 3．设二次函数．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若，求二次函数的表达式； (2)若此抛物线上有，两点，求当时，二次函数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）先得到抛物线对称轴为直线，而此抛物线图象上有两点，，且这两点关于对称轴对称，即可求出，再由表格即可求解函数值； 【详解】（1）解：由题意得，当时，，当时，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； （2）解：由表格可得，和时的函数值都是1， ∴抛物线对称轴为直线 ∵此抛物线图象上有两点，，且，关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴当时，由表格得． 题型9.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 错误，由图象知：当时，； 错误，当时，； 正确，作E关于x轴的对称点，连接如图，的周长的最小值为； ④正确，函数图象在时，y随x增大而减小，则． 【详解】解：由图象知：当时，，故错误； ②抛物线的对称轴是直线 当时，，故错误； 作E关于x轴的对称点，连接如图所示： 当时，， 与E关于x轴对称， 的周长的最小值就是C、M、三点共线时取到为， 的周长的最小值为，故正确． 设关于对称轴的对称的数为 函数图象在时，y随x增大而减小， 正确． 故选C． 2．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 3．请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得超过五条（保留画图痕迹）． (1)如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作出抛物线的对称轴；并在上画出点，使得最小； (2)如图2，抛物线，交于点且关于直线对称，两抛物线分别交轴于点，和点，，作出直线． 【答案】(1) 如图所示，直线，点即为所求；    (2) 如图所示，直线即为所求． 【分析】本题考查了二次函数图像的性质——对称性，理解对称性和尺规作图是解答本题的关键． （1）连接，相交于一点，连接，并延长相交于一点，连接两点的直线即为交于点， （2）连接并延长交抛物线一点，再连接与该点，并延长；同理作的这条直线，两直线相交于，过，作出的直线即为． 【详解】（1）略 （2）略 ✵分层专项训练 一、单选题 1．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移个单位长度可以得到 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质以及二次函数的平移法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B错误， ∵， ∴函数最大值为，故C正确， 向右平移2个单位长度得，与给定函数不符，故D错误． 2．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两条图象都经过点，且开口方向与直线的倾斜方向由同一个决定． 【详解】解：一次函数与二次函数中，相同， 两图象都经过轴上的点； 当时，直线从左到右上升，抛物线开口向上， 此时抛物线的对称轴为，在轴左侧，选项A符合题意； 当时，直线从左到右下降，抛物线开口向下，选项B，C，D均不符合题意． 3．反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，符合题意的是选项A； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，选项都不符合题意． 4．抛物线经过点，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出抛物线的解析式，再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点不在抛物线上； 、当时，，所以点在抛物线上． 二、填空题 5．已知抛物线（a为常数）． （1）若该抛物线经过点，则_______； （2）若点，，，均在该二次函数的图象上，则______． 【答案】 1 2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据对称轴公式和抛物线的对称性可得，则，据此可求出，，则，再根据点A的坐标可得，整理，得，据此可得答案． 【详解】解：（1）把点代入二次函数，得，解得． （2）∵点，在该二次函数的图象上，该抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴抛物线的解析式为． 又∵点，在该二次函数的图象上， ∴， ， ∴． 又∵点在该二次函数的图象上， ∴， 整理，得， ∴． 6．下表列出了二次函数（，，为常数，）的自变量与函数的几组对应值． … … … … 有下列四个结论：①；②；③；④若直线（为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为________． 【答案】①③④ 【分析】求出、、的值，即可判断①③正确，②错误，从而得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再结合直线（为常数）是平行于轴的直线即可判断④正确． 【详解】解：由表格可得当时，，当时，，当时，， ∴， 解得， ∴，，，故①③正确，②错误； ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴结合表格可得，抛物线的顶点坐标为， ∵直线（为常数）是平行于轴的直线，且与二次函数的图象有两个交点， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 三、解答题 7．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，其中，． (1)对称轴为__________； (2)求抛物线的解析式； (3)当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称性计算即可得出结果； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）将抛物线的解析式化为顶点式，从而可得抛物线的顶点坐标为，再分别求出和时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中，， ∴对称轴为直线； （2）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，， ∴当时， y的取值范围为． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数表达式的求解以及利用轴对称求最短路径问题．解题的关键是利用待定系数法求二次函数表达式，以及利用轴对称的性质将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题． （1）求抛物线表达式：把抛物线与轴交点的坐标代入抛物线，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出抛物线对称轴，再根据轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，先求出直线的表达式，再联立对称轴方程求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于两点， ∴将这两点代入抛物线表达式可得： ， 抛物线的表达式为． （2）抛物线， 其对称轴为， 当时，，所以， 设点关于对称轴的对称点为，则， 连接交对称轴于P， ， ， 当A，P，三点共线时，的周长最小， 设直线的表达式为，把代入可得： ， 直线的表达式为． ∴在对称轴上，把代入 得： ∴点的坐标为． 9．已知抛物线（，，为常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当时函数值随的增大而增大，则的取值范围是________； ②补全表格，在图中画出的函数图象，并求出函数解析式； (2)定义：若抛物线与抛物线满足，，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①抛物线的“共轭抛物线”的解析式为________； ②直接在图中画出抛物线的“共轭抛物线”． 【答案】(1)①上，；② (2)①，② 【分析】（1）①根据表格中的数据和二次函数的性质即可解答； ②利用二次函数的性质补全表格，再利用描点法画出函数图象，利用待定系数法求得二次函数解析式； （2）①根据“共轭抛物线”的定义即可解答； ②利用描点法画出函数图象． 【详解】（1）解：①根据表格可得随的增大，先减小，再增大， ∴开口向上， 当时，；当时，， 抛物线的对称轴为直线， 当时函数值随的增大而增大，开口向上， ； ②根据二次函数的性质，当时和当时，函数值相等， 则可得当时，， 表格略； 画图略； 由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ， 将代入中， 得 解得． ∴函数解析式为； （2）解：①根据（１）中的抛物线解析式可得， ，， 抛物线的“共轭抛物线”的解析式为； 画图略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数的性质期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解二次函数的概念，能依据定义识别二次函数，确定解析式中参数的取值要求。 2.熟练运用配方法，将二次函数一般式化为顶点式，求出抛物线的对称轴与顶点坐标。 3.掌握二次函数图象的特征，能判断抛物线开口方向，分析函数增减性，并求解函数最值。 4.理解系数a,b,c对抛物线图象位置的影响。 5.会求抛物线与坐标轴的交点坐标，能结合图象进行简单的数形结合分析。 ✵高频题型梳理 题型1.y=ax2+bx+c的最值 题型2.一次函数、二次函数图象综合判断 题型3.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型4.两个二次函数图象综合判断 题型5.根据二次函数的图象判断式子符号 题型6.待定系数法求二次函数解析式 题型7.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型8.根据二次函数的对称性求函数值 题型9.利用二次函数对称性求最短路径 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c，a,b,c为常数，（a≠0）的函数叫做二次函数。 其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 判定条件：自变量的最高次数为 2；解析式右边是关于自变量的整式；二次项系数不为0。 1.一般式：y=ax2+bx+c(a≠0），适用于已知图象上三点求函数表达式。 2.顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0)，抛物线顶点坐标为(h,k)，适用于已知顶点或对称轴求函数表达式。 知识点二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 二次函数的图象是抛物线。利用配方法，可将一般式变形为：y=ax2+bx+c=a+ 对称轴：直线x=﹣ 2.顶点坐标是（,） 当a>0时，抛物线开口向上，顶点为图象的最低点。在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。当x=﹣时，函数取得最小值。 当a<0时，抛物线开口向下，顶点为图象的最高点。在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。当x=﹣时，函数取得最大值。 若自变量取值限定在某一区间，则函数最值需要对比顶点与区间端点的函数值。 知识点三、系数a,b,c对抛物线图象的影响 1.系数a决定抛物线的开口方向与宽窄：a>0，开口向上；a<0，开口向下；|a|越大，抛物线开口越窄。 2.系数a,b共同确定对称轴的位置：由对称轴x=﹣可得：a,b同号，对称轴在y轴左侧；a,b异号，对称轴在y轴右侧。 3.系数c是抛物线与y轴交点的纵坐标：抛物线交y轴于点(0,c)。c>0，交点在y轴正半轴；c<0，交点在y轴负半轴；c=0，抛物线经过坐标原点。 知识点四、抛物线与坐标轴的交点 1.抛物线与y轴的交点：令x=0，得y=c，交点为(0,c)，抛物线与y轴有且仅有一个交点。 2.抛物线与x轴的交点：令y=0，得到一元二次方程ax2+bx+c=0，方程的实数根即为抛物线与x轴交点的横坐标。 判别式Δ=。Δ>0，抛物线与x轴有两个交点；Δ=0，抛物线与x轴仅有一个交点，顶点落在x轴上；Δ<0，抛物线与x轴无交点。 ✵易错提醒 1.判定二次函数必须保证a≠0；含有字母参数的试题，易遗漏该限制条件。 2.顶点式y=a(x-h)2+k中，顶点横坐标为h，注意符号。 3.研究函数增减性，必须以对称轴作为分界，不能在全体实数范围内笼统描述增减规律。 ✵典例精讲 题型1.y=ax2+bx+c的最值 1．二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知二次函数在时有最小值，则________． 3．已知二次函数． (1)求该二次函数的最小值； (2)建立平面直角坐标系，画出该函数的图象． 题型2.一次函数、二次函数图象综合判断 1．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 3．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 题型3.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 3．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型4.两个二次函数图象综合判断 1．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的位置关系是________． 3．已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 题型5.根据二次函数的图象判断式子符号 1．二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 题型6.待定系数法求二次函数解析式 1．若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C．D． 2．已知二次函数经过和，则这个二次函数的解析式为___． 3．已知二次函数（、、是常数，且），函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 3 4 … … 10 2 5 … (1)直接写出的值________； (2)求出函数表达式： (3)求抛物线顶点坐标，写出开口方向和对称轴． 题型7.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线（为常数）经过和两点，则的值是______． 3．已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)若不同两点，均在抛物线上，求的值． 题型8.根据二次函数的对称性求函数值 1．已知二次函数图象上三个点、、，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，是抛物线上的两点，当时，的值是__________． 3．设二次函数．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若，求二次函数的表达式； (2)若此抛物线上有，两点，求当时，二次函数的值． 题型9.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 3．请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得超过五条（保留画图痕迹）． (1)如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作出抛物线的对称轴；并在上画出点，使得最小； (2)如图2，抛物线，交于点且关于直线对称，两抛物线分别交轴于点，和点，，作出直线． ✵分层专项训练 一、单选题 1．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移个单位长度可以得到 2．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．抛物线经过点，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知抛物线（a为常数）． （1）若该抛物线经过点，则_______； （2）若点，，，均在该二次函数的图象上，则______． 6．下表列出了二次函数（，，为常数，）的自变量与函数的几组对应值． … … … … 有下列四个结论：①；②；③；④若直线（为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为________． 三、解答题 7．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，其中，． (1)对称轴为__________； (2)求抛物线的解析式； (3)当时，请直接写出y的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 9．已知抛物线（，，为常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当时函数值随的增大而增大，则的取值范围是________； ②补全表格，在图中画出的函数图象，并求出函数解析式； (2)定义：若抛物线与抛物线满足，，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①抛物线的“共轭抛物线”的解析式为________； ②直接在图中画出抛物线的“共轭抛物线”． 学科网（北京）股份有限公司 $