第3讲 二次函数解析式及与一元二次方程关系 讲义 2026−2027学年浙教版九年级数学上册

第3讲 二次函数解析式及与一元二次方程关系 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握待定系数法求二次函数解析式 · 理解二次函数的三种形式并能互相转化 · 掌握抛物线与x轴交点与一元二次方程根的关系 · 会利用函数图象求一元二次方程的近似根 · 能运用二次函数的图象解决不等式问题 📚 知识梳理 ☆ 1.1.1 待定系数法求二次函数解析式 一般式：设y=ax²+bx+c，代入三个点的坐标建立方程组求a、b、c 顶点式：设y=a(x-h)²+k，已知顶点(h,k)与另一点坐标时代入求a 交点式：设y=a(x-x₁)(x-x₂)，已知与x轴两交点(x₁,0)、(x₂,0)及另一点时代入求a 根据题设条件选择最简形式：已知顶点选顶点式，已知与x轴交点选交点式 概念辨析例题：已知二次函数的图象经过点(0,3)、(1,4)、(-1,6)，求该二次函数的表达式． 解析：设y=ax²+bx+c，代入三点得c=3、a+b+c=4、a-b+c=6，解得a=2、b=-1、c=3，所以y=2x²-x+3． ☆ 2.1.2 二次函数的三种形式 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0） 顶点式：y=a(x-h)²+k，顶点(h,k)、对称轴x=h 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)，与x轴交点为(x₁,0)、(x₂,0) 三种形式可互相转化：配方法把一般式化为顶点式，因式分解得交点式 概念辨析例题：把y=x²-4x+3化成顶点式与交点式． 解析：配方法：y=(x-2)²-1，顶点为(2,-1)；令y=0得x²-4x+3=0，解得x₁=1、x₂=3，所以交点式y=(x-1)(x-3)． ☆ 3.1.3 抛物线与x轴的交点 抛物线与x轴交点个数由b²-4ac决定：>0两个交点，=0一个交点（顶点在x轴上），<0无交点 交点横坐标即方程ax²+bx+c=0的根，可由求根公式或因式分解求得 韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a（交点式系数关系） 已知与x轴交点可设交点式求解析式 概念辨析例题：求抛物线y=x²-2x-3与x轴的交点坐标． 解析：令y=0得x²-2x-3=0，因式分解(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1，所以交点坐标为(3,0)、(-1,0)． ☆ 4.1.4 图象法求一元二次方程的近似根 一元二次方程ax²+bx+c=0的根就是抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标 求近似根：画出抛物线图象，读出与x轴交点的近似横坐标 交点横坐标可用二分法思想缩小范围：在两个异号函数值之间取中点逼近 结果保留要求的精确度（如精确到0.1） 概念辨析例题：利用图象法求x²-2x-2=0的根的近似值（精确到0.1）． 解析：画y=x²-2x-2的图象，与x轴交点在x≈-0.7和x≈2.7处，所以方程的近似根为x≈-0.7、x≈2.7． ☆ 5.1.5 二次函数与不等式（组） ax²+bx+c>0的解集：抛物线在x轴上方的部分对应的x取值范围 ax²+bx+c<0的解集：抛物线在x轴下方的部分对应的x取值范围 比较两个函数值：解不等式f(x)>g(x)看图象上下位置关系 结合图象与交点横坐标写出不等式解集，注意端点值取舍 概念辨析例题：已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于(-1,0)、(3,0)且开口向下，求ax²+bx+c>0的解集． 解析：开口向下、与x轴交于-1和3，则图象在x轴上方的部分是-1<x<3，所以解集为-1<x<3． 📋 知识总结表 要素 内容 注意点 一般式 y=ax²+bx+c 代入三点求系数 顶点式 y=a(x-h)²+k 已知顶点直接用 交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂) 已知与x轴交点用 与x轴交点 由b²-4ac决定 >0两交点、=0一交点、<0无交点 近似根 图象法看交点横坐标 保留指定精确度 解不等式 看图象上下位置 注意开口方向 ⚠️ 核心考点 【考点1：待定系数法求二次函数解析式】 · 根据已知条件选择解析式形式：一般式、顶点式、交点式。 · 已知顶点或对称轴选顶点式，已知与x轴交点选交点式 · 一般式需三个独立条件，代入三点建立方程组 · 求出的解析式代入验证是否符合题设 1．（2026秋•南岗区校级月考）顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线y＝﹣2x2相同的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2+3 B．y＝﹣2（x+2）2﹣3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【分析】先求出抛物线二次项系数a的值，再根据其顶点坐标即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣k）2+h， ∵抛物线开口方向和大小与y＝﹣2x2相同， ∴二次项系数a＝﹣2， ∵顶点坐标为（﹣2，3）， ∴抛物线解析式为y＝﹣2（x+2）2+3． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式的求法是解题的关键． 2．（2025秋•西宁期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【解答】解：根据二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负可得： ∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下． ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，正确进行计算是解题关键． 3．（2025秋•建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0，得出，故①正确；将点（﹣2，0），（3，0）代入，得出：a+b＝0，再求出c＝﹣6b，故②不正确；根据函数图象可得y2＜y1＜y3，故③正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解． 【解答】解：根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0， ∴b＞0， ∴，故①正确，符合题意； 由条件可得：， ②﹣①得出：a+b＝0， ∴a＝﹣b， 再代入①得出：c＝6b，故②不正确，不符合题意； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为（﹣2，0），（3，0）， ∵， ∴y2＜0，y3＞0，y1＞0， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴y3＞y1＞0， ∴y2＜y1＜y3，故③正确，符合题意； ④∵a＝﹣b，c＝6b， ∴b＝﹣a，c＝﹣6a， 当时，取得最大值，最大为， 当x＝﹣2或x＝3时，取得最小值为0， ∴当﹣2＜x＜3时，，故④错误，不符合题意； ⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且， 当m1+m2＞1时， 即， 又∵抛物线开口向下， ∴n1＞n2，故⑤正确，符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2026春•沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a， 由条件可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2026秋•南开区校级月考）已知一条抛物线的开口大小与y＝4x2相同，且顶点坐标是（2，3），则该抛物线的关系式是y＝4x2﹣16x+19或y＝﹣4x2+16x﹣13　 ．（结果用一般式表示） 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；二次函数的性质． 【分析】根据抛物线的开口大小与y＝4x2相同，且顶点坐标是（2，3）可设抛物线的解析式为：y＝4（x﹣2）2+3，然后将其化为一般式即可． 【解答】解：∵抛物线且顶点坐标是（2，3）， ∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3， ∵抛物线的开口大小与y＝4x2相同， ∴|a|＝4， ∴a＝±4， ∴y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3， 即：y＝4x2﹣16x+19或y＝﹣4x2+16x﹣13． 故答案为：y＝4x2﹣16x+19或y＝﹣4x2+16x﹣13． 【点评】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质和二次函数的顶点式是关键． 6．（2026秋•同步）顶点坐标为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线对应的函数表达式为y＝﹣2x2﹣8x﹣7　 ． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质． 【分析】利用二次函数的图象与性质解答即可． 【解答】解：顶点坐标为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线对应的函数表达式为y＝﹣2（x+2）2+1， ∴y＝﹣2x2﹣8x﹣7． 故答案为：y＝﹣2x2﹣8x﹣7． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．（2026•封开县二模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，则二次函数表达式为 y＝﹣2x2+3（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质． 【分析】依据题意，根据二次函数的开口向下可知该二次函数的二次项系数小于0，再由顶点位于y轴正半轴上，可知常数项正数，由此可得出符合条件的二次函数的解析式． 【解答】解：∵二次函数的开口向下， ∴该二次函数的二次项系数小于0， ∵顶点在y轴的正半轴上， ∴该函数的一次项系数为0，常数项大于0， ∴符合条件的二次函数的解析式可以为：y＝﹣2x2+3（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣2x2+3（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一． 8．（2025秋•宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 y＝x2﹣4x+3（答案不唯一）　 ． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数的性质得到二次项系数为正数，常数项为3，利用此要求写一个二次函数解析式即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3）， ∴二次项系数为正数，常数项为3， ∴符合题意的抛物线表达式可为y＝x2﹣4x+3． 故答案为：y＝x2﹣4x+3．（答案不唯一） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 9．（2026秋•同步）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点．求这个二次函数的表达式． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣1，由二次函数图象经过原点，可得a﹣1＝0，解得a＝1，即可得到答案． 【解答】解：设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣1， ∵二次函数图象经过原点， ∴a﹣1＝0， 解得a＝1， ∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x； ∴这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x． 【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 【考点2：二次函数的三种形式】 · 一般式化为顶点式用配方法，顶点为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。 · 顶点式可直接读顶点与对称轴 · 交点式直接读与x轴交点横坐标 · 三种形式间灵活转化解决求值问题 10．（2025秋•绿园区校级月考）二次函数y＝x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）化为一般形式是（　　） A．y＝x2﹣5x+5 B．y＝x2+5x+5 C．y＝x2+5x﹣5 D．y＝x2+5 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】根据二次函数的一般式为y＝ax2+bx+c（a≠0）即可解决问题． 【解答】解：由题知， y＝x2﹣2（3x﹣2）+（x+1） ＝x2﹣6x+4+x+1 ＝x2﹣5x+5， 所以二次函数y＝x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）化为一般形式是：y＝x2﹣5x+5． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的三种形式，熟知二次函数的一般表达式是解题的关键． 11．（2026•大同模拟）将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】把含x的项提取二次项的系数，再整理成完全平方式，进而整理成和原来的式子相等的式子即可． 【解答】解：yx2﹣6x+21 （x2﹣12x+36）﹣18+21 （x﹣6）2+3． 故选：D． 【点评】本题考查和二次函数的三种形式相关的问题．用到的知识点为：把二次函数的一般形式整理成顶点式，应先把含x的项提取二次项的系数；整理成完全平方形式的时候，常数应该是一次项系数一半的平方．要注意得到的式子应该和原来的式子相等． 12．（2026•道里区模拟）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2． 故选：B． 【点评】二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 13．（2025秋•城关区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．， B．m＝﹣2，n＝﹣6 C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 【考点】二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】配方法：加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣2， ＝（x﹣2）2﹣6， ∴将二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式后，m，n的值分别是﹣2、﹣6； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 14．（2025秋•清城区校级期末）把二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值为　4　 ． 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出h，k的值，进而可得出结论． 【解答】解：y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， ∵二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式， ∴h＝1，k＝3， ∴h+k＝1+3＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，熟知二次函数的顶点式是解题的关键． 15．（2025秋•张掖校级期末）将二次函数y＝x2﹣2x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ y＝（x﹣1）2+4　 ． 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】利用配方法整理即可得解． 【解答】解：（1）y＝x2﹣2x+5＝x2﹣2x+1+4 ＝（x﹣1）2+4， 故答案为：（x﹣1）2+4． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 16．（2025秋•安定区期末）把y＝x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是y＝（x﹣3）2﹣5　 ． 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方公式，然后整理即可． 【解答】解：y＝x2﹣6x+4 ＝x2﹣6x+9﹣9+4， ＝（x﹣3）2﹣5． 故答案为：y＝（x﹣3）2﹣5． 【点评】本题主要考查了二次函数的三种形式的相互转化，本题加上一次项系数的一半的平方式配成完全平方式是关键，属于基础题，细心运算即可． 17．（2025秋•福州校级月考）将y＝x2﹣8x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝　（x﹣4）2﹣13　 ． 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】直接利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【解答】解：y＝x2﹣8x+3 ＝x2﹣8x+16﹣16+3 ＝x2﹣8x+16﹣13 ＝（x﹣4）2﹣13． 故答案为：（x﹣4）2﹣13． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟知配方法是解题的关键． 18．（2026春•莱芜区期末）用配方法把二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式． 【解答】解：yx2﹣2x+3 （x2+4x+4）+2+3 （x+2）2+5． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 【考点3：抛物线与x轴的交点】 · 令y=0解一元二次方程即得交点横坐标。 · b²-4ac的符号决定交点个数 · 可用韦达定理建立系数与交点的关系 · 交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)快速求解析式 19．（2026秋•红桥区月考）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标为（1，2） 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合根的判别式逐一判断各选项． 【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2． ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，A错误，不符合题意； ∵抛物线顶点式为y＝（x﹣1）2+2， ∴对称轴为直线x＝1，B错误，不符合题意； 顶点坐标为（1，2），D正确，符合题意； 当y＝0时，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴抛物线与x轴无交点，C错误，不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 20．（2026秋•海淀区校级月考）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣3 B．y＝3x C．2x2+x﹣1＝0 D． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】根据二次函数的定义“形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解． 【解答】解：A、y＝x2﹣3是二次函数，故本选项符合题意； B、y＝3x是一次函数，故本选项不符合题意； C、2x2+x﹣1＝0不是函数，故本选项不符合题意； D、y是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键． 21．（2026•开州区模拟）已知整式，其中n为自然数，an为正整数，m，an﹣1，⋯，a0为整数，且n+|an|+|an﹣1|+⋯+|a1|+|a0|＝m．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若m＝3，则满足条件的A共有5个； ③当n＝2，m＝5时，满足关于x的二次函数y＝A与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】抛物线与x轴的交点；规律型：数字的变化类；多项式． 【分析】对于说法①，考虑三项式时n的最小值及系数绝对值的最小值；对于说法②，枚举m＝3时所有可能的整式A；对于说法③，在n＝2，m＝5的条件下，枚举所有二次函数并与判别式条件结合． 【解答】解：说法②， ∵m＝3， ∴n+|an|+|an﹣1|+⋯+|a1|+|a0|＝3，an≥1，n为自然数， 分情况讨论：（1）当n＝0时，m＝0+|a0|＝3， ∴|a0|＝3， ∴A＝a0＝3，符合条件的有1个； （2）当n＝1时，m＝1+|a1|+|a0|＝3，a1≥1； （i）a1＝1时，|a0|＝1，a0＝±1， ∴A＝a1x+a0＝x+1或A＝a1x+a0＝x﹣1，符合条件的有2个； （ii）a1＝2时，|a0|＝0，a0＝0， ∴A＝a1x+a0＝2x，符合条件的有1个； （3）当n＝2时，m＝2+|a2|+|a1|+|a0|＝3，a2≥1， ∴|a2|＝1，|a1|＝0，|a0|＝0， ∴a2＝1，a1＝0，a0＝0， ∴，符合条件的有1个； （4）当n≥3时，an≥1，m＝n+|an|≥4，与说法②矛盾，没有符合条件的情况； 综上分析，符合条件的A共有1+2+1+1＝5个，说法②正确； 说法③， 当n＝2，m＝5时，m＝2+|a2|+|a1|+|a0|＝5，即|a2|+|a1|+|a0|＝3，a2≥1， 二次函数与x轴有交点，即， 分情况讨论：（1）当a2＝1时，|a1|+|a0|＝2， （i）|a1|＝0，|a0|＝2时，a1＝0，a0＝±2，， 当a0＝﹣2时，Δ＞0，符合条件的有1个； （ii）|a1|＝1，|a0|＝1时，a1＝±1，a0＝±1，， 当a1＝±1，a0＝﹣1时，Δ＞0，符合条件的有2个； （iii）|a1|＝2，|a0|＝0时，a1＝±2，a0＝0，，符合条件的有2个； 当a2＝1时，符合条件的共1+2+2＝5个； （2）当a2＝2时，|a1|+|a0|＝1， （i）|a1|＝0，|a0|＝1时，a1＝0，a0＝±1，， 当a0＝﹣1时，Δ＞0，符合条件的有1个； （ii）|a1|＝1，|a0|＝0时，a1＝±1，a0＝0，，符合条件的有2个； 当a2＝2时，符合条件的共1+2＝3个； （3）当a2＝3时，|a1|+|a0|＝0，a1＝a0＝0，函数为y＝3x2与x轴交于原点，符合条件的有1个； 综上分析，符合条件的A共有5+3+1＝9个，说法③正确； 说法①， ∵整式为三项式， ∴有三个非零系数为a2，a1＝2，a0，且|a2|≥1，|a1|≥1，|a0|≥1， ∴n＝2， ∴m＝n+|a2|+|a1|+|a0|， ∴m最小＝2+1+1+1＝5，说法①正确； 故选：D． 【点评】本题考查整式的定义、系数绝对值和的性质以及二次函数与x轴交点的条件，理解并应用m的计算方法是解决本题的关键． 22．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系． 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点分别判断a、b、c的正负，进而判断abc的正负； ②用对称轴公式，变形推导等式； ③把b＝﹣4a、A（1，0）代入解析式得c＝3a，结合c的范围解不等式； ④利用二次函数图象的对称性得B点坐标，据c＝3a，得C点坐标，将x＝2，c＝3a，b＝﹣4a代入y＝ax2+bx+c，得出点P的坐标，根据勾股定理列方程求出a． 【解答】解：∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错； ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a， ∴4a+b＝0，②正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵b＝﹣4a， ∴a﹣4a+c＝0， ∴c＝3a， ∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2， ∴，③正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵c＝3a， ∴点C的坐标为（0，3a）， 当x＝2，可得y＝4a+2b+c， 将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a， ∴点P的坐标为 （2，﹣a）， ∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2， ∵∠CPB＝90°， ∴PC2+PB2＝BC2， 可得4+16a2+1+a2＝9+9a2， 解得或， ∵a＜0， ∴，④正确． ④解法二 前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a） ∵∠CPB＝90° ∴CP⊥PB ∴直线CP，PB对应一次函数斜率乘积为﹣1 ∴④正确 综上，正确的说法为②③④， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键． 23．（2026秋•萨尔图区校级月考）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象与x轴的一个交点坐标是（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是　（﹣1，0）　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数b，再令y＝0解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【解答】解：二次函数y＝x2+bx+2的图象与x轴的一个交点坐标是（﹣2，0），则：把（﹣2，0）代入y＝x2+bx+2， 可得：0＝（﹣2）2+b×（﹣2）+2， 解得：b＝3， 即二次函数解析式为y＝x2+3x+2， 令y＝0，得x2+3x+2＝0， 因式分解得（x+2）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∵已知图象与x轴的一个交点坐标是（﹣2，0）， ∴它与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 24．（2026秋•灞桥区校级同步）请你写出一个关于x的一元二次方程，使其一根3＜x1＜5，一根﹣4＜x2＜﹣2，则这个方程可以是 x2﹣x﹣12＝0（答案不唯一）　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系． 【分析】根据题意，x1可以取4，x2可以取﹣3，则利用根与系数的关系得到根为4或﹣3的一元二次方程可为（x﹣4）（x+3）＝0，然后化一般式即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程，使其一根3＜x1＜5，一根﹣4＜x2＜﹣2， ∴x1可以取4，x2可以取﹣3， ∵以4或﹣3为根的一元二次方程可为（x﹣4）（x+3）＝0， 即x2﹣x﹣12＝0． 故答案为：x2﹣x﹣12＝0．（答案不唯一） 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系． 25．（2026秋•金山区校级月考）若抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴无交点，则k的值是　5（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】由抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴无交点，可知方程x2﹣4x+k＝0无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴无交点， ∴抛物线相对应的方程x2﹣4x+k＝0无实数根，即Δ＜0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0， 解得k＞4， 故答案为：5（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数与x轴交点问题，转化为一元二次方程有实数根是解题的关键． 26．（2026秋•同步）已知二次函数yx2+bx﹣2（b为常数）的图象如图所示，则关于x的方程x2+bx﹣2＝0的解是 x1＝﹣3，x2＝2　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，抛物线yx2+bx﹣2与x轴的交点的横坐标即为关于x的方程x2+bx﹣2＝0的解． 【解答】解：∵二次函数yx2+bx﹣2（b为常数）的图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0）， ∴x＝﹣3或x＝2时，y＝0， ∴关于x的方程x2+bx﹣2＝0的解为x1＝﹣3，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣3，x2＝2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 27．（2026秋•金山区校级月考）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1． （1）求顶点C的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求△ABC的面积． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代x＝1得顶点C； （2）求出直线AB，用对称轴截出线段CM作底，以水平距离为高算出△ABC面积． 【解答】解：（1）根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为x＝1， 设另一个交点为（x0，0），则有， 解得x0＝﹣1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），A（3，0）， ∴设y＝a（x+1）（x﹣3）， 又∵抛物线过点B（0，3）， 代入x＝0、y＝3有3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， ∵点C为顶点，即xC＝1代入有y＝﹣12+2×1+3＝4， 故C（1，4）． 综上，C（1，4），y＝﹣x2+2x+3； （2）记对称轴与AB交于点M， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵直线AB过点A（3，0），B（0，3）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， 令x＝1，则y＝﹣1+3＝2， ∴M（1，2）， ∴CM＝yC﹣yM＝2， ∴S△ABC＝S△BMC+S△AMC ＝3． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点4：图象法求一元二次方程的近似根】 · 方程的根即抛物线与x轴交点的横坐标。 · 画图时取点要密，保证交点附近精度 · 用二分法思想逐步逼近近似根 · 按题目要求的精确度取值 28．（2025秋•靖边县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示，方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.48 0.05 0.65 … A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质． 【分析】观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在1.3和点1.4之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【解答】解：∵x＝1.3时，y＝﹣0.48；x＝1.4时，y＝0.05； ∴抛物线与x轴的一个交点在1.3和1.4点之间， ∴方程有一个根在1.3和1.4点之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握其相关知识是解题的关键． 29．（2026秋•柯城区校级月考）二次函数y＝x2﹣2x+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程x2﹣2x+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点． 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【解答】解：对称轴为直线， 设x2﹣2x+c＝0的两个根分别为x1，x2，且x1＜x2， 根据函数图象有：﹣0.5＜x1＜﹣0.4， ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴x1＝2﹣x2， ∴﹣0.5＜2﹣x2＜﹣0.4， ∴2.4＜x2＜2.5． 故选：C． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．（2025秋•贵州期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点． 【分析】根据题意，得出抛物线的解析式为直线x＝1，再结合抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点坐标的范围即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax+c， 所以抛物线的解析式为直线x． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标在﹣0.5和﹣0.4之间， 则2﹣（﹣0.5）＝2.5，2﹣（﹣0.4）＝2.4， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标在2.4和2.5之间， 所以关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是2.4＜x＜2.5． 故选：C． 【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 31．（2025秋•扬州期末）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点． 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【解答】解：方程ax2+bx+c＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c的零点． 由表格数据可知，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0， 由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0， 因此0.5＜x＜0.75． 故答案为：0.5＜x＜0.75． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 32．（2026•银川三模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是　﹣2.7　 （结果保留小数点后一位）． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；解一元二次方程﹣配方法；抛物线与x轴的交点． 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【解答】解：函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7， 根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是x＝0.7，且对称轴是直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是x＝﹣1×2﹣0.7＝﹣2.7， 所以方程x2+2x﹣2＝0的负实数根可能是﹣2.7． 故答案为：﹣2.7． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，正确进行计算是解题关键． 33．（2026春•深圳月考）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值： x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点． 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【解答】解：方程ax2+bx+c＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c的零点． 由表格数据可知，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0， 由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0， 因此0.5＜x＜0.75． 故答案为：0.5＜x＜0.75． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 34．（2025秋•岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2﹣4x+3＝0的近似解是x1＝1，x2＝3　 ． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根． 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解，可得答案． 【解答】解：观察函数y＝x2﹣4x+3的图象，得图象与x轴的交点分别是（1，0），（3，0）， 方程函数x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3． 故答案为：x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了图象法求方程的近似解，函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解． 35．（2025•诸暨市校级自主招生）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　﹣1≤t＜8　 ． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根． 【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x＝﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y＝x2+bx与y＝t在x的范围内有交点解答． 【解答】解：对称轴为直线x1， 解得b＝﹣2， 所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x， y＝（x﹣1）2﹣1， x＝﹣1时，y＝1+2＝3， x＝4时，y＝16﹣2×4＝8， ∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故答案为：﹣1≤t＜8． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观． 36．（2025秋•双流区校级期中）小刚在探索一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是　1　 ． x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；解一元二次方程﹣公式法． 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【解答】解：当x＝1时，x2+12x﹣15＝﹣2； 当x＝1.5时，x2+12x﹣15＝5.25； 根据零点存在定理，方程在1到1.5之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 【考点5：二次函数与不等式（组）】 · 结合图象看x轴上下方确定不等式解集。 · 先求抛物线与x轴交点横坐标 · 开口向上时>0取两根之外，开口向下时>0取两根之间 · 解集端点看不等式是否含等号 37．（2026秋•西城区校级月考）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜m的解集是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞﹣3 C．x＜﹣3或x＞﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1 【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】利用二次函数的对称性求对称轴，找到y＝m对应的两个横坐标，结合开口方向确定不等式解集． 【解答】解：∵抛物线过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为直线， ∵x＝﹣3时函数值为m， ∴x＝﹣3关于直线x＝﹣2的对称点横坐标为2×（﹣2）﹣（﹣3）＝﹣1， 即x＝﹣1时函数值为m， ∵当x＞﹣2时，x从1增大到2，y从﹣2.79增大到0，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴不等式ax2+bx+c＜m的解集为﹣3＜x＜﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），正确记忆相关知识点是解题关键． 38．（2026秋•北京校级月考）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜m的解集是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞﹣3 C．x＜﹣3或x＞﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1 【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】利用二次函数的对称性求对称轴，找到y＝m对应的两个横坐标，结合开口方向确定不等式解集． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为直线， ∵x＝﹣3时函数值为m， ∴x＝﹣3关于直线x＝﹣2的对称点横坐标为2×（﹣2）﹣（﹣3）＝﹣1， 即x＝﹣1时函数值为m， ∵当x＞﹣2时，x从1增大到2，y从﹣2.79增大到0，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴不等式ax2+bx+c＜m的解集为﹣3＜x＜﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），正确记忆相关知识点是解题关键． 39．（2026•和县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴交于点（m，0），（n，0），其中0＜n＜1．下列结论中错误的是（　　） A．1＜m＜2 B．若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a C．b+2c＞0 D．不等式的解集是0＜x＜m 【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【分析】利用对称轴性质、交点式、不等式变形逐一判断选项即可． 【解答】解：对于A选项，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）对称轴为x＝1，与x轴交于（n，0），（m，0）， ∴，即 m+n＝2，得n＝2﹣m． ∵0＜n＜1， ∴0＜2﹣m＜1，即1＜m＜2，A正确； 对于B选项，原抛物线可写为y＝a（x﹣m）（x﹣n），方程 a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1 即抛物线与直线 y＝﹣1有交点； ∵顶点纵坐标为， ∴， ∵a＞0，不等式变形得 4ac﹣b2≤﹣4a，即 b2﹣4ac≥4a，B正确； 对于C选项，由对称轴 得b＝﹣2a； ∵抛物线与x轴有两个交点，顶点在x轴下方， ∴x＝1时，y＝a+b+c＜0；代入b＝﹣2a得 a﹣2a+c＝c﹣a＜0，即 c＜a； ∴b+2c＝﹣2a+2c＝2（c﹣a）＜0，C错误； 对于D选项，整理不等式 ：即 ； ∵（m，0）在抛物线上， ∴am2+bm+c＝0，两边除以m得 ，即 ；代入得 x•a（x﹣m）＜0， ∵a＞0， ∴x（x﹣m）＜0解集为0＜x＜m，D正确． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根的判别式，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 40．（2025秋•海淀区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解为 x＜﹣3或x＞5　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点． 【分析】首先根据轴对称的性质求出点Q的坐标，然后运用数形结合思想即可得出答案． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线：x＝1， ∴根据轴对称的性质，点Q的横坐标＝1﹣（5﹣1）＝1﹣4＝﹣3， ∴Q（﹣3，0）， ∴不等式的解为x＜﹣3或x＞5， 故答案为：x＜﹣3或x＞5． 【点评】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，轴对称的性质，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 41．（2025秋•兴庆区校级期末）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 　﹣3＜x＜0　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方， 所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜0． 故答案为：﹣3＜x＜0 【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键． 42．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝1，点B的坐标为（﹣1，0）．则下面几个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③不等式ax2+bx+c＜0的解为﹣1＜x＜3；④am2+bm≤a+b；⑤3c＝2b，其中正确的序号为　①②④　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【分析】根据二次函数的图象和性质，二次函数与不等式的关系等性质，结合题图中信息对各选项逐一进行判定即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴2a+b＝0，所以②正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点B的坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（3，0）， ∴由函数图象可得当x＜﹣1或x＞3时，y＜0， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解为x＜﹣1或x＞3，所以③错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y有最大值， ∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm， 所以④正确，符合题意； ∵x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，把代入得， ∴2c＝3b，所以⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 43．（2026•九台区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　﹣1＜x＜5　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点． 【分析】依据题意，由抛物线的对称轴是直线x＝2，且与x轴的一个交点为（5，0），从而另一个交点为（2﹣（5﹣2），0），即（﹣1，0），结合抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，进而不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，最后可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，且与x轴的一个交点为（5，0）， ∴另一个交点为（2﹣（5﹣2），0），即（﹣1，0）． ∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5． 故答案为：﹣1＜x＜5． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 44．（2025秋•无锡校级月考）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m（m为常数）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于2t＜x1＜2t+2，都有y1＞y2，则t的取值范围为　或t≥1　 ； （2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+1﹣2m≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m与直线y＝9交于M，N两点，求MN的长． 【考点】二次函数与不等式（组）；单项式乘多项式；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）①把（0，﹣1）代入解析式，利用待定系数法求解析式；②根据解析式，得到二次函数开口方向和对称轴，利用y1＞y2，得到点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，得到 x1＜﹣7或x1＞2，再根据2t＜x1＜2t+2，即可求解． （2）根据对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+1﹣2m≥3x+2，得出x2+2mx﹣1﹣2m≥0对于任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出Δ＝（2m）2﹣4（﹣1﹣2m）≤0，求出m的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m（m为常数）． ①将（0，﹣1）代入y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m， 得1﹣2m＝﹣1， 解得m＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1； ②可知抛物线的解析式为y＝x2+5x﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵y1＞y2， ∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， 即，解得x1＜﹣7或x1＞2， 又∵2t＜x1＜2t+2， ∴2t+2≤﹣7或2t≥2， 解得或t≥1． （2）∵对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+1﹣2m≥3x+2， ∴x2+2mx﹣1﹣2m≥0对于任意x都成立， ∴Δ＝（2m）2﹣4（﹣1﹣2m）≤0，即（m+1）2≤0， ∴m＝﹣1， ∴y＝x2+x+3， 令y＝9，得x2+x+3＝9，解得x1＝﹣3，x2＝2， ∴点M、N的横坐标分别为﹣3和2， ∴MN＝2﹣（﹣3）＝5． 【点评】本题考查二次函数综合运用，掌握函数与方程和不等式的关系是解决本题的关键． 45．（2026秋•福清市校级月考）同学们，你们还记得“上加下减，左加右减”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数． （Ⅰ）把抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线y＝2（x+1）2﹣2　 ． （Ⅱ）请利用所学完成以下探究： （1）请借助如表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数y＝|x|的图象． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y＝|x| … 3 2 1 0 1 2 3 … （2）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数y＝|x+1|﹣2的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题． ①若|x+1|﹣2≥a恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2　 ； ②若0≤|x+1|﹣2≤2，则x的取值范围是　﹣5≤x≤﹣3或1≤x≤3　 ； ③我们知道，对于二次函数y＝x2：当x＜0时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当x＜0时，函数y＝x2单调递减”；当x＞0时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当x＞0时，函数y＝x2单调递增”． 现给出“当x＞0时，函数y＝x2单调递增”的证明： 证明：设点（x1，y1）、（x2，y2）在函数y＝x2的图象上，且0＜x1＜x2，则：y1﹣y2（x1+x2）（x1﹣x2）， ∵0＜x1＜x2， ∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0， ∴y1﹣y2＜0， ∴y1＜y2， 即当0＜x1＜x2时，y1＜y2． ∴当x＞0时，函数y＝x2单调递增． 请证明：函数y＝|x+1|﹣2，当x＜﹣1时，单调递减． 【考点】二次函数与不等式（组）；规律型：数字的变化类；二次函数图象与几何变换． 【分析】（Ⅰ）根据二次函数的平移规律可得平移后的二次函数； （Ⅱ）（1）描点，连线，得到相关图形即可； （2）判断出x＝﹣1时可得函数的最低点，进而画出相关图形即可； ①结合函数图象的最低点的纵坐标判断出a的取值范围即可； ②判断出图象中0和2之间的函数图象对应的自变量的取值范围即可； ③类比所给范例，设点（x1，y1）、（x2，y2）在此函数的图象上，且x1＜x2＜﹣1，判断出y1﹣y2的符号，即可得到证明． 【解答】解：（Ⅰ）∵二次函数的平移不改变二次项的系数，左右平移，只改变自变量，左加右减；上下平移，只改变函数值，上加下减， ∴y＝2（x+1）2﹣2， 故答案为：y＝2（x+1）2﹣2； （Ⅱ）（1） ； （2） ①由函数图象可得：y＝|x+1|﹣2的图象上的最低点的纵坐标为﹣2， ∴|x+1|﹣2≥a恒成立，则a的取值范围是：a≤﹣2， 故答案为：a≤﹣2； ②由函数图象可得：当y＝0时对应的x的值为﹣3和1，当y＝2时，对应的x的值为﹣5和3， ∴0≤|x+1|﹣2≤2，则x的取值范围是：﹣5≤x≤﹣3或1≤x≤3， 故答案为：﹣5≤x≤﹣3或1≤x≤3； ③证明：当x＜﹣1时，x+1＜0， ∴y＝﹣（x+1）﹣2 ＝﹣x﹣3， 设点（x1，y1）、（x2，y2）在此函数的图象上，且x1＜x2＜﹣1，则 y1﹣y2＝（﹣x1﹣3）﹣（﹣x2﹣3）＝x2﹣x1， ∵x1＜x2＜﹣1， ∴y1﹣y2＞0， ∴y1＞y2， 即：当x1＜x2＜﹣1，y1＞y2， ∴当x＜﹣1时，该函数单调递减． 【点评】本题综合考查函数的相关性质．应用数形结合的思想得到相应的结论是解决本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 求解析式三选一：一般式、顶点式、交点式按条件选择 · 三种形式可互相转化，配方法要熟练 · 与x轴交点即方程的根，判别式定个数 · 近似根用图象法读交点横坐标，注意精确度 · 解不等式看图象在x轴上下方，结合开口方向 【作业1】（2026秋•同步）二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣2）． （1）求这个函数的表达式； （2）x在什么范围内，y随x的增大而增大？ 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）把（2，﹣2）代入y＝ax2得：﹣2＝4a，解得：a，即可求出表达式； （2）由二次函数性质可得，当x≤0时，y随x的增大而增大． 【解答】解：（1）把（2，﹣2）代入y＝ax2得：﹣2＝4a， 解得：a， ∴这个函数的表达式为yx2； （2）∵yx2的图象开口向下，对称轴为直线x＝0， ∴当x≤0时，y随x的增大而增大． 【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法． 【作业2】（2026秋•同步）已知二次函数y＝ax2+bx，当x＝1时，函数值是2；当x＝﹣2时，函数值是﹣7．求这个二次函数的表达式． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】用待定系数法解答即可． 【解答】解：∵当x＝1时，函数值是2；当x＝﹣2时，函数值是﹣7， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为yx2x． 【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 【作业3】（2026秋•同步）已知二次函数y＝x2+（2m+2）x+2m+c，其图象的顶点在y轴上，且过点（1，5）．求这个二次函数的表达式． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据图象的顶点在y轴上，可知对称轴为直线x＝0，结合对称轴公式可知m的值，然后代入求解． 【解答】解：已知二次函数y＝x2+（2m+2）x+2m+c，其图象的顶点在y轴上， 即对称轴为直线x＝0， 即x0， 解得m＝﹣1， 代入原式，得y＝x2﹣2+c， ∵过点（1，5）， 故代入，得5＝1﹣2+c， 解得c＝6， 故y＝x2+4． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【作业4】（2025秋•盐城期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 【考点】二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，把x＝1，y＝5代入二次函数解析式，计算即可； （2）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）， 则12﹣6×1+m＝5， 解得：m＝10； （2）y＝x2﹣6x+10 ＝x2﹣6x+9+1 ＝（x﹣3）2+1． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 【作业5】（2025秋•拱墅区期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，其中b，c，x1，k为常数． （1）分别求b，c，x1，k的值； （2）该函数图象上有三个点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3），比较y1，y2，y3的大小． 【考点】二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）利用二次函数的三种形式，把顶点式和交点式展开后，即可得到b＝﹣（x1+1）＝4，c＝x1＝﹣4+k，解得b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1； （2）求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性判断即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式， ∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+（x1+1）x﹣x1＝﹣x2+4x﹣4+k， ∴b＝x1+1＝4，c＝﹣x1＝﹣4+k， ∴b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1； （2）∵b＝4，c＝﹣3， ∴y＝﹣x2+4x﹣3， ∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3）在函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象上， ∴点A（﹣1，y1），C（5，y3）关于直线x＝2对称， ∴y2＞y1＝y3． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业6】（2026秋•同步）把下列二次函数的表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出示意图． （1）y＝﹣x2+4x+1； （2）yx2+x． 【考点】二次函数的三种形式． 【分析】（1）先利用配方法把一般式化为顶点式得到y＝﹣（x﹣2）2+5，再利用二次函数的性质得到图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）先利用配方法把一般式化为顶点式得到y（x+1）2﹣2，再利用二次函数的性质得到图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，然后利用描点法画二次函数图象． 【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5， 图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5）， 如图， （2）yx2+x（x2+2x）（x+1）2﹣2， 图象的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 如图， 【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式．也考查了二次函数图象． 【作业7】（2026秋•金山区校级月考）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且抛物线经过点C（2，8）． （1）求该抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣1），把C的坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式； （2）由（1）的抛物线解析式即可求出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0）， ∴根据题意设y＝a（x+2）（x﹣1）， 把C（2，8）代入y＝a（x+2）（x﹣1）得， 4a＝8， ∴a＝2， ∴y＝2（x+2）（x﹣1）； 即：y＝2x2+2x﹣4或y＝2（x）2； （2）由（1）可知该抛物线的开口方向为开口向上、对称轴为x，顶点坐标为（，），抛物线有最低点． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．在设二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件来设其解析式方程． 【作业8】（2026秋•金山区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上的部分点的横、纵坐标x、y的对应值如表： x … ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 … y … 1 ﹣3 m 1 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标为　（﹣2，﹣3）　 ，m＝　﹣2　 ； （2）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m的解为x1＝﹣3，x2＝﹣1　 ； （3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个实数根更接近于A ． （A）x＝﹣3.5； （B）x＝﹣2.5； （C）x＝﹣1； （D）x＝2． 【考点】抛物线与x轴的交点；解一元一次方程；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）由表格中纵坐标相同的两点确定二次函数的对称轴与顶点坐标，用待定系数法求解析式； （2）方程的解即为y＝m时对应的x值，利用对称性求解即可； （3）求出y＝0时对应的x值，计算各选项与最近根的距离，比较即可得到结论． 【解答】解：（1）∵二次函数图象过点（﹣4，1）和（0，1）， ∴对称轴为直线； ∵当x＝﹣2时，y＝﹣3， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣3）； 设二次函数解析式为y＝a（x+2）2﹣3， 将（0，1）代入解析式，得4a﹣3＝1， 解得：a＝1， ∴二次函数解析式为y＝（x+2）2﹣3， 当x＝﹣1时，m＝（﹣1+2）2﹣3＝﹣2． 故答案为：（﹣2，﹣3），﹣2； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝m的解，即函数y＝ax2+bx+c中y＝m时对应的x值， ∵x＝﹣1时，y＝m，且函数的对称轴为直线x＝﹣2， ∴另一个解为x＝2×（﹣2）﹣（﹣1）＝﹣3， ∴方程的解为：x1＝﹣3，x2＝﹣1； 故答案为：x1＝﹣3，x2＝﹣1； （3）令y＝0，则（x+2）2﹣3＝0， 解得， ∵， ∴方程的两个实数根约为﹣0.268和﹣3.732， 计算各选项与最近根的距离： A、|﹣3.732﹣（﹣3.5）|＝0.232， B、最小距离为|﹣3.732+2.5|＝1.232， C、最小距离为|﹣0.268+1|＝0.732， D、最小距离大于2， ∵0.232＜0.732＜1.232， ∴一个实数根更接近于x＝﹣3.5． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业9】（2026秋•同步）已知一个抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，该抛物线与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，与y轴交点的纵坐标为10．求该抛物线的表达式． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】先利用抛物线的对称性得到该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为﹣5，则可设交点式为y＝a（x+5）（x+1），然后x＝0，y＝10代入求出a即可． 【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，该抛物线与x轴的一个交点的横坐标为﹣1， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为﹣5， ∴抛物线的解析式可设为y＝a（x+5）（x+1）， 把x＝0，y＝10代入得10＝a×5×1， 解得a＝2， ∴抛物线的解析式可设为y＝2（x+5）（x+1）， 即y＝2x2+12x+10． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式． 【作业10】（2026秋•同步）利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2﹣3x+1＝0； （2）x2﹣x+1＝0． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；函数的图象；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）画出图象，根据题意通过观察可求解； （2）画出图象，根据题意通过观察可求解． 【解答】解：（1）画出函数x2﹣3x+1的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是2.6，0.4． 所以方程x2﹣3x+1＝0的实数根为x1≈2.6，x2≈0.4； （2）解：画出函数y＝x2﹣x+1的图象，它与x轴的公共点无交点， ∴方程x2﹣x+1＝0无实数根． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似值，能准确地画出图象是解题的关键． 【作业11】（2026秋•同步）利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2﹣6x+7＝0； （2）﹣x2+3x+1＝0． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；函数的图象；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）先画出一元二次方程对应的二次函数的图象，进而即可得到答案； （2）先画出一元二次方程对应的二次函数的图象，进而即可得到答案． 【解答】解：（1）如图1， ∵方程x2﹣6x+7＝0的根为二次函数y＝x2﹣6x+7图象与x轴交点的横坐标， ∴x2﹣6x+7＝0的根的近似值为x1≈1.6，x2≈4.4， （2）如图2， ∵方程﹣x2+3x+1＝0的根为二次函数y＝﹣x2+3x+1图象与x轴交点的横坐标， ∴﹣x2+3x+1＝0的根的近似值x1≈﹣0.3，x2≈3.3， 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，函数的图象，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业12】（2026秋•同步）用图象法求下列方程的近似解（精确到0.1）． （1）x2+2x﹣2＝0； （2）2x+1＝0； （3）3x2﹣5x+2＝0． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）方程x2+2x﹣2＝0的根是函数y＝x2+2x与直线y＝2的交点的横坐标，先作出二次函数y＝x2+2x和直线y＝2的图象，观察图象可知方程的根； （2）方程2x+1＝0的根是函数yx2﹣2x与直线y＝﹣1的交点的横坐标，先作出二次函数yx2﹣2x与直线y＝﹣1的图象，观察图象可知方程的根； （3）方程3x2﹣5x+2＝0的根是函数y＝3x2﹣6x与直线y＝﹣x﹣2的交点的横坐标，先作出二次函数y＝3x2﹣6x和直线y＝﹣x﹣2的图象，观察图象可知方程的根． 【解答】解：（1）作出函数y＝x2+2x与直线y＝2，如图所示， 由图象可知，方程x2+2x﹣2＝0有两个根是﹣2.7或0.7； （2）作出二次函数yx2﹣2x和直线y＝﹣1的图象，如图所示， 由图象可知，方程2x+1＝0有两个根是0.6或5.4； （3）作出函数y＝3x2﹣6x和直线y＝﹣x﹣2的图象，如图所示， 由图象可知，方程3x2﹣5x+2＝0有两个根是0.7或1.0． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图象，体现了数形结合的思想方法． 【作业13】（2026秋•同步）求一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的近似值（精确到0.1）． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根． 【分析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解． 【解答】解：方程x2﹣2x﹣1＝0的根是抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点的横坐标． 作出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象，如图所示， 由图象可知方程有两个根，一个在﹣1和0之间，另一个在2和3之间． 先求﹣1和0之间的根， 当x＝﹣0.4时，y＝﹣0.04；当x＝﹣0.5时，y＝0.25； x＝﹣0.4更接近0，所以近似根为x≈﹣0.4 同理，x＝2.4时，y＝﹣0.04， 当x＝2.5时，y＝0.25， x＝2.4更接近0，所以近似根为x≈2.4， 故一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的近似根为x＝﹣0.4或2.4． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解． 【作业14】（2025秋•浦口区校级月考）已知一次函数y1＝2x+1与二次函数y2＝﹣x2+4x﹣2．试说明：无论x取何值时，总有y1＞y2． 【考点】二次函数与不等式（组）． 【分析】根据题意计算即可证明． 【解答】证明：∵一次函数y1＝2x+1与二次函数， ∴， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+2≥2＞0， ∴无论 x 取何值时，总有y1＞y2． 【点评】本题考查配方法的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业15】（2025秋•恩施市期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，回答下列问题． （1）方程ax2+bx+c＝﹣3的解是x1＝﹣2，x2＝0　 ； （2）关于x的不等式ax2+bx+c＜﹣3的解集是　﹣2＜x＜0　 ； （3）当﹣2≤x≤2时，y的取值范围是　﹣4≤y≤5　 ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个实数根异号，则t的取值范围是t＞﹣3　 ． 【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）根据抛物线过（0，﹣3）及对称轴为直线x＝﹣1，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定y＜﹣3对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和x＝2时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，﹣3），且对称轴为x＝﹣1，由对称性知另一交点为x＝﹣2，故解为x1＝﹣2，x2＝0． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝0； （2）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，y＜﹣3对应两点x＝﹣2与x＝0之间的区域，故解集为﹣2＜x＜0． 故答案为：﹣2＜x＜0； （3）抛物线y＝ax2+bx+c顶点为（﹣1，﹣4）； 由对称性得，x＝2与x＝﹣4对称，y值大于﹣3，∴当x＝2时，y＞﹣3， ∵结合开口向上，x＝2时y＝a（2+1）2﹣4＝9a﹣4，由x＝0时y＝﹣3得c＝﹣3，顶点1，4，解得a＝1，故x＝2时y＝1×4+2×2﹣3＝5．故取值范围为﹣4≤y≤5． 故答案为：﹣4≤y≤5； （4）方程即ax2+bx+（c﹣t）＝0，根异号则常数项c﹣t＜0（a＞0），且抛物线顶点ymin＝﹣4，故t＞﹣3（c＝﹣3），结合有实根需t≥﹣4，最终范围为t＞﹣3． 故答案为：t＞﹣3． 【点评】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如（0，﹣3））的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 二次函数解析式及与一元二次方程关系 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握待定系数法求二次函数解析式 · 理解二次函数的三种形式并能互相转化 · 掌握抛物线与x轴交点与一元二次方程根的关系 · 会利用函数图象求一元二次方程的近似根 · 能运用二次函数的图象解决不等式问题 📚 知识梳理 ☆ 1.1.1 待定系数法求二次函数解析式 一般式：设y=ax²+bx+c，代入三个点的坐标建立方程组求a、b、c 顶点式：设y=a(x-h)²+k，已知顶点(h,k)与另一点坐标时代入求a 交点式：设y=a(x-x₁)(x-x₂)，已知与x轴两交点(x₁,0)、(x₂,0)及另一点时代入求a 根据题设条件选择最简形式：已知顶点选顶点式，已知与x轴交点选交点式 概念辨析例题：已知二次函数的图象经过点(0,3)、(1,4)、(-1,6)，求该二次函数的表达式． 解析：设y=ax²+bx+c，代入三点得c=3、a+b+c=4、a-b+c=6，解得a=2、b=-1、c=3，所以y=2x²-x+3． ☆ 2.1.2 二次函数的三种形式 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0） 顶点式：y=a(x-h)²+k，顶点(h,k)、对称轴x=h 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)，与x轴交点为(x₁,0)、(x₂,0) 三种形式可互相转化：配方法把一般式化为顶点式，因式分解得交点式 概念辨析例题：把y=x²-4x+3化成顶点式与交点式． 解析：配方法：y=(x-2)²-1，顶点为(2,-1)；令y=0得x²-4x+3=0，解得x₁=1、x₂=3，所以交点式y=(x-1)(x-3)． ☆ 3.1.3 抛物线与x轴的交点 抛物线与x轴交点个数由b²-4ac决定：>0两个交点，=0一个交点（顶点在x轴上），<0无交点 交点横坐标即方程ax²+bx+c=0的根，可由求根公式或因式分解求得 韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a（交点式系数关系） 已知与x轴交点可设交点式求解析式 概念辨析例题：求抛物线y=x²-2x-3与x轴的交点坐标． 解析：令y=0得x²-2x-3=0，因式分解(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1，所以交点坐标为(3,0)、(-1,0)． ☆ 4.1.4 图象法求一元二次方程的近似根 一元二次方程ax²+bx+c=0的根就是抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标 求近似根：画出抛物线图象，读出与x轴交点的近似横坐标 交点横坐标可用二分法思想缩小范围：在两个异号函数值之间取中点逼近 结果保留要求的精确度（如精确到0.1） 概念辨析例题：利用图象法求x²-2x-2=0的根的近似值（精确到0.1）． 解析：画y=x²-2x-2的图象，与x轴交点在x≈-0.7和x≈2.7处，所以方程的近似根为x≈-0.7、x≈2.7． ☆ 5.1.5 二次函数与不等式（组） ax²+bx+c>0的解集：抛物线在x轴上方的部分对应的x取值范围 ax²+bx+c<0的解集：抛物线在x轴下方的部分对应的x取值范围 比较两个函数值：解不等式f(x)>g(x)看图象上下位置关系 结合图象与交点横坐标写出不等式解集，注意端点值取舍 概念辨析例题：已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于(-1,0)、(3,0)且开口向下，求ax²+bx+c>0的解集． 解析：开口向下、与x轴交于-1和3，则图象在x轴上方的部分是-1<x<3，所以解集为-1<x<3． 📋 知识总结表 要素 内容 注意点 一般式 y=ax²+bx+c 代入三点求系数 顶点式 y=a(x-h)²+k 已知顶点直接用 交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂) 已知与x轴交点用 与x轴交点 由b²-4ac决定 >0两交点、=0一交点、<0无交点 近似根 图象法看交点横坐标 保留指定精确度 解不等式 看图象上下位置 注意开口方向 ⚠️ 核心考点 【考点1：待定系数法求二次函数解析式】 · 根据已知条件选择解析式形式：一般式、顶点式、交点式。 · 已知顶点或对称轴选顶点式，已知与x轴交点选交点式 · 一般式需三个独立条件，代入三点建立方程组 · 求出的解析式代入验证是否符合题设 1．（2026秋•南岗区校级月考）顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线y＝﹣2x2相同的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2+3 B．y＝﹣2（x+2）2﹣3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 2．（2025秋•西宁期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2026春•沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．（2026秋•南开区校级月考）已知一条抛物线的开口大小与y＝4x2相同，且顶点坐标是（2，3），则该抛物线的关系式是____________________ ．（结果用一般式表示） 6．（2026秋•同步）顶点坐标为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线对应的函数表达式为________________ ． 7．（2026•封开县二模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，则二次函数表达式为 ____________________ ．（写出一个即可） 8．（2025秋•宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 ____________________ ． 9．（2026秋•同步）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点．求这个二次函数的表达式． 【考点2：二次函数的三种形式】 · 一般式化为顶点式用配方法，顶点为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。 · 顶点式可直接读顶点与对称轴 · 交点式直接读与x轴交点横坐标 · 三种形式间灵活转化解决求值问题 10．（2025秋•绿园区校级月考）二次函数y＝x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）化为一般形式是（　　） A．y＝x2﹣5x+5 B．y＝x2+5x+5 C．y＝x2+5x﹣5 D．y＝x2+5 11．（2026•大同模拟）将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 12．（2026•道里区模拟）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 13．（2025秋•城关区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．， B．m＝﹣2，n＝﹣6 C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 14．（2025秋•清城区校级期末）把二次函数y＝x2﹣2x+4变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值为_____ ． 15．（2025秋•张掖校级期末）将二次函数y＝x2﹣2x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ _______________ ． 16．（2025秋•安定区期末）把y＝x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是_______________ ． 17．（2025秋•福州校级月考）将y＝x2﹣8x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝______________ ． 18．（2026春•莱芜区期末）用配方法把二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 【考点3：抛物线与x轴的交点】 · 令y=0解一元二次方程即得交点横坐标。 · b²-4ac的符号决定交点个数 · 可用韦达定理建立系数与交点的关系 · 交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)快速求解析式 19．（2026秋•红桥区月考）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标为（1，2） 20．（2026秋•海淀区校级月考）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣3 B．y＝3x C．2x2+x﹣1＝0 D． 21．（2026•开州区模拟）已知整式，其中n为自然数，an为正整数，m，an﹣1，⋯，a0为整数，且n+|an|+|an﹣1|+⋯+|a1|+|a0|＝m．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若m＝3，则满足条件的A共有5个； ③当n＝2，m＝5时，满足关于x的二次函数y＝A与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 23．（2026秋•萨尔图区校级月考）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象与x轴的一个交点坐标是（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点坐标是___________ ． 24．（2026秋•灞桥区校级同步）请你写出一个关于x的一元二次方程，使其一根3＜x1＜5，一根﹣4＜x2＜﹣2，则这个方程可以是 ____________________ ． 25．（2026秋•金山区校级月考）若抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴无交点，则k的值是_____________ ．（写出一个即可） 26．（2026秋•同步）已知二次函数yx2+bx﹣2（b为常数）的图象如图所示，则关于x的方程x2+bx﹣2＝0的解是 _______________ ． 27．（2026秋•金山区校级月考）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1． （1）求顶点C的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求△ABC的面积． 【考点4：图象法求一元二次方程的近似根】 · 方程的根即抛物线与x轴交点的横坐标。 · 画图时取点要密，保证交点附近精度 · 用二分法思想逐步逼近近似根 · 按题目要求的精确度取值 28．（2025秋•靖边县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示，方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.48 0.05 0.65 … A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 29．（2026秋•柯城区校级月考）二次函数y＝x2﹣2x+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程x2﹣2x+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 30．（2025秋•贵州期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 31．（2025秋•扬州期末）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是_______________ ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 32．（2026•银川三模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是_________ （结果保留小数点后一位）． 33．（2026春•深圳月考）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值： x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是_______________ ． 34．（2025秋•岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2﹣4x+3＝0的近似解是______________ ． 35．（2025•诸暨市校级自主招生）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ___________ ． 36．（2025秋•双流区校级期中）小刚在探索一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是_____ ． x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 【考点5：二次函数与不等式（组）】 · 结合图象看x轴上下方确定不等式解集。 · 先求抛物线与x轴交点横坐标 · 开口向上时>0取两根之外，开口向下时>0取两根之间 · 解集端点看不等式是否含等号 37．（2026秋•西城区校级月考）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜m的解集是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞﹣3 C．x＜﹣3或x＞﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1 38．（2026秋•北京校级月考）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜m的解集是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞﹣3 C．x＜﹣3或x＞﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1 39．（2026•和县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴交于点（m，0），（n，0），其中0＜n＜1．下列结论中错误的是（　　） A．1＜m＜2 B．若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a C．b+2c＞0 D．不等式的解集是0＜x＜m 40．（2025秋•海淀区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解为 _____________ ． 41．（2025秋•兴庆区校级期末）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 ___________ ． 42．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝1，点B的坐标为（﹣1，0）．则下面几个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③不等式ax2+bx+c＜0的解为﹣1＜x＜3；④am2+bm≤a+b；⑤3c＝2b，其中正确的序号为________ ． 43．（2026•九台区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是___________ ． 44．（2025秋•无锡校级月考）已知抛物线y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m（m为常数）． （1）若该抛物线与y轴交于点（0，﹣1）． ①求该抛物线的解析式； ②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于2t＜x1＜2t+2，都有y1＞y2，则t的取值范围为____________________ ； （2）若对于任意实数x，都有x2+（2m+3）x+1﹣2m≥3x+2，此时抛物线y＝x2+（2m+3）x+1﹣2m与直线y＝9交于M，N两点，求MN的长． 45．（2026秋•福清市校级月考）同学们，你们还记得“上加下减，左加右减”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数． （Ⅰ）把抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线________________ ． （Ⅱ）请利用所学完成以下探究： （1）请借助如表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数y＝|x|的图象． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y＝|x| … 3 2 1 0 1 2 3 … （2）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数y＝|x+1|﹣2的图象（无需列表），并结合图象解答下列问题． ①若|x+1|﹣2≥a恒成立，则a的取值范围是_________ ； ②若0≤|x+1|﹣2≤2，则x的取值范围是__________________ ； ③我们知道，对于二次函数y＝x2：当x＜0时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当x＜0时，函数y＝x2单调递减”；当x＞0时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当x＞0时，函数y＝x2单调递增”． 现给出“当x＞0时，函数y＝x2单调递增”的证明： 证明：设点（x1，y1）、（x2，y2）在函数y＝x2的图象上，且0＜x1＜x2，则：y1﹣y2（x1+x2）（x1﹣x2）， ∵0＜x1＜x2， ∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0， ∴y1﹣y2＜0， ∴y1＜y2， 即当0＜x1＜x2时，y1＜y2． ∴当x＞0时，函数y＝x2单调递增． 请证明：函数y＝|x+1|﹣2，当x＜﹣1时，单调递减． 💯 课后巩固 复习建议 · 求解析式三选一：一般式、顶点式、交点式按条件选择 · 三种形式可互相转化，配方法要熟练 · 与x轴交点即方程的根，判别式定个数 · 近似根用图象法读交点横坐标，注意精确度 · 解不等式看图象在x轴上下方，结合开口方向 【作业1】（2026秋•同步）二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣2）． （1）求这个函数的表达式； （2）x在什么范围内，y随x的增大而增大？ 【作业2】（2026秋•同步）已知二次函数y＝ax2+bx，当x＝1时，函数值是2；当x＝﹣2时，函数值是﹣7．求这个二次函数的表达式． 【作业3】（2026秋•同步）已知二次函数y＝x2+（2m+2）x+2m+c，其图象的顶点在y轴上，且过点（1，5）．求这个二次函数的表达式． 【作业4】（2025秋•盐城期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 【作业5】（2025秋•拱墅区期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，其中b，c，x1，k为常数． （1）分别求b，c，x1，k的值； （2）该函数图象上有三个点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3），比较y1，y2，y3的大小． 【作业6】（2026秋•同步）把下列二次函数的表达式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，指出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出示意图． （1）y＝﹣x2+4x+1； （2）yx2+x． 【作业7】（2026秋•金山区校级月考）已知抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且抛物线经过点C（2，8）． （1）求该抛物线的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【作业8】（2026秋•金山区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上的部分点的横、纵坐标x、y的对应值如表： x … ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 … y … 1 ﹣3 m 1 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标为____________ ，m＝_______ ； （2）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m的解为________________ ； （3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个实数根更接近于_____ ． （A）x＝﹣3.5； （B）x＝﹣2.5； （C）x＝﹣1； （D）x＝2． 【作业9】（2026秋•同步）已知一个抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，该抛物线与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，与y轴交点的纵坐标为10．求该抛物线的表达式． 【作业10】（2026秋•同步）利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2﹣3x+1＝0； （2）x2﹣x+1＝0． 【作业11】（2026秋•同步）利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2﹣6x+7＝0； （2）﹣x2+3x+1＝0． 【作业12】（2026秋•同步）用图象法求下列方程的近似解（精确到0.1）． （1）x2+2x﹣2＝0； （2）2x+1＝0； （3）3x2﹣5x+2＝0． 【作业13】（2026秋•同步）求一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的近似值（精确到0.1）． 【作业14】（2025秋•浦口区校级月考）已知一次函数y1＝2x+1与二次函数y2＝﹣x2+4x﹣2．试说明：无论x取何值时，总有y1＞y2． 【作业15】（2025秋•恩施市期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，回答下列问题． （1）方程ax2+bx+c＝﹣3的解是_______________ ； （2）关于x的不等式ax2+bx+c＜﹣3的解集是___________ ； （3）当﹣2≤x≤2时，y的取值范围是___________ ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个实数根异号，则t的取值范围是_________ ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $