精品解析：江西省上高二中2026-2027学年高二上学期第二次阶段性练习数学试题

2028届高二年级数学学科第二次阶段性练习试卷 满分：150分考试 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 过点且倾斜角为120°的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由条件可知直线斜率， 所以过点且倾斜角为120°的直线方程为， 整理为. 2. 已知圆：，则圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，16 B. ，16 C. ，4 D. ，4 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程，转化为标准方程即可求得圆心和半径. 【详解】因为 等价于 故圆心为，半径为. 故选：D. 【点睛】本题考查由圆的一般方程写出圆的圆心和半径，属基础题. 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 弦长. 4. 圆：与圆：的位置关系及公切线条数分别为（ ） A. 外切，3条 B. 内切，1条 C. 相交，2条 D. 外离，4条 【答案】A 【解析】 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 两个圆心之间的距离, 两个半径和为，因为，所以两个圆外切， 两个圆外切时，有3条公切线. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，则的值为（ ） A. 7 B. 13 C. 2 D. 7或13 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， 所以． 6. 双曲线的离心率与渐近线方程分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由双曲线方程为，则，，， 所以该双曲线的离心率为，渐近线方程为． 7. 已知点，在直线：的同侧，为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设关于直线：的对称点的坐标为， 则，且的中点在直线上， 即，解得，即， 又，所以的最小值为． 8. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】椭圆的焦点为，， 因此双曲线的焦点为，， 设双曲线的方程为，因此双曲线离心率， 故，， 因此双曲线的渐近线方程为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若为上一点，且，则或9 D. 若为上一点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.从标准方程求得，代入离心率公式直接计算；B.根据焦点位置对应渐近线公式，代入化简求解；C.先用双曲线定义列方程求代数解，再结合“焦半径最小值为顶点到焦点的距离”检验解的合理性，排除不可能的结果；D.利用“双曲线上的点到同侧焦点的距离最小值为”，分析的取值范围，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，因此，， ，焦点在轴上，左、右焦点，. 选项A，离心率，A正确 选项B，焦点在轴的双曲线，渐近线方程为， 代入得，B正确； 选项C，由双曲线定义：， 代入，代数解得或9. 但双曲线右支上的点到左焦点的最小距离为（右顶点到的距离）， 而，因此只能在左支. 左支满足，故， ，不符合，需舍去，C错误； 选项D，双曲线右支上的点到右焦点的最小距离为（右顶点到的距离）； 左支上的点到的最小距离为， 因此对双曲线上任意点，都有，D正确. 10. 已知圆：，直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为2 B. 过点且与圆相切的直线有且仅有1条 C. 当时，直线与圆相交 D. 若直线与圆交于两点，且，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，圆的标准方程为，圆心为，半径为2，正确； 对于B，当斜率存在时，设过点且与圆相切的直线的斜率为， 则，即， 由圆心到直线的距离等于半径可得，解得，即； 当斜率不存在时，即也满足，故有两条，错误； 对于C，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，小于半径， 所以相交，正确； 对于D，圆心到直线的距离为， ，即，正确. 11. 已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 若双曲线的离心率为2，则 D. 双曲线的离心率的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【详解】椭圆 是焦点在 x 轴上的椭圆， 所以，即半焦距 ，椭圆焦点为 ， 由于椭圆与双曲线有公共焦点，因此双曲线 C 的半焦距也为 ，且焦点在 x 轴上. 选项 A，椭圆的长半轴长为，半焦距 ，所以离心率为，A正确； 选项 B，双曲线满足，结合公共焦点的 ，得，B正确； 选项 C，双曲线离心率公式为 ，代入 、，得，解得 ，C正确； 选项 D，由双曲线定义， 且 ，结合 ，可得 ，即 ，双曲线离心率 ， 由 可推出 ，即离心率取值范围为 ，并非 ，D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解. 【详解】当直线经过原点时，直线方程为：即，满足题意； 当直线不经过原点时，设直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为即； 综上所述，直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义及基本不等式得出，再根据离心率公式即可求解． 【详解】因为，所以， 又 ， 当且仅当时取等号， 所以， 由椭圆定义知，又， 所以，又， 所以离心率的取值范围为． 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上的动点，点，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由双曲线定义可知，当三点共线时即可求出. 【详解】 因为点P在双曲线的右支上，所以， 所以，连接， 又，，所以， 当且仅当点在线段上时取“＝”， 故的最小值为6． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆：． （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线：与圆交于，两点，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断点和圆的位置关系，得出过点的切线数量，然后分斜率存在和切线斜率不存在两种情况讨论. （2）利用列出关于的不等式，求解出的范围即可. 【小问1详解】 圆整理得，圆心，半径． ，故点在圆外，切线有两条． ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，切线方程为； ②当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到的距离，符合题意． 所以所求切线方程为或． 【小问2详解】 圆心到直线：的距离， 弦长， 由得，即， 所以，化简得，即．所以实数的取值范围是． 16. 已知圆：与圆：，动圆与圆内切、与圆外切． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）求动圆圆心的轨迹方程，并指出它表示什么曲线． 【答案】（1）圆与圆外离 （2），它表示双曲线靠近圆的一支（左支） 【解析】 【分析】（1）分别求出圆和圆的圆心坐标与半径，计算圆心距，并与两圆半径之和进行比较，即可判断位置关系； （2）设动圆的圆心和半径，根据动圆与圆内切、与圆外切列出等量关系，利用绝对值的性质消去半径，结合双曲线的定义求出轨迹方程，并注意限制条件. 【小问1详解】 已知圆，圆心为，半径； 圆，圆心为，半径. 两圆圆心距， 因为，所以圆与圆外离； 【小问2详解】 设动圆的半径为（），圆心．因为动圆与圆内切， 所以；因为动圆与圆外切，所以， 即，代入得． 若，则，但，矛盾，舍去； 故，得，即到的距离比到的距离大3，在靠近圆的一侧． 由双曲线定义，，；，， 故，且双曲线的中心为的中点． 所以动圆圆心的轨迹方程为，即， 它表示双曲线靠近圆的一支（左支）． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）在中，，为的中点，所以． 因为是直三棱柱，所以平面，又平面，所以． 又平面，平面，，且，， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定定理证明即可； （2）根据三棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以，故； 又是直角三角形斜边上的中线，所以， 所以． 因为平面，而平面即平面，所以点到平面的距离为， 故，即三棱锥的体积为． 18. 已知椭圆：（）经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，求的面积； （3）设为椭圆上的动点，求面积的最大值，并指出此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3），的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点的坐标列方程组求解即可； （2）根据椭圆的定义及余弦定理求出，代入三角形面积公式求解即可； （3）利用的纵坐标表示出三角形的面积，再根据在椭圆上求其纵坐标最值即可得解. 【小问1详解】 设椭圆：（），将，代入得，．令，，则，，解得，，故，．所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由，故，． 设，，由椭圆的定义知． 在中，，由余弦定理得，即． 又，代入得，解得． 所以，即的面积为． 【小问3详解】 以为底，设，则到直线（即轴）的距离为， 故．由椭圆方程知椭圆上点的纵坐标满足， 当且仅当时取等号，故，此时点的坐标为或． 19. 已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． （1）求双曲线的半焦距； （2）若，求双曲线的标准方程； （3）求点的坐标及的面积． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出半焦距，利用椭圆与双曲线有公共焦点即可得双曲线的半焦距； （2）利用椭圆定义和余弦定理求出，再由双曲线定义求出，结合求出，即可得出标准方程； （3）联立双曲线与椭圆的方程求出点的坐标，利用三角形面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 已知椭圆中，， 故椭圆的半焦距，解得. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的半焦距为； 【小问2详解】 设.因为点在第一象限，所以. 由椭圆的定义得. 在中，，由余弦定理得：， 即. 又因为， 代入上式得： ， 由双曲线的定义得， 两边平方得， 所以，即，解得. 又因为，所以. 故双曲线的标准方程为； 【小问3详解】 由（2）知双曲线的方程为，即. 将其代入椭圆的方程并整理得：， 即，解得. 因为点在第一象限，所以，代入得，故. 所以点的坐标为. 因此的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二年级数学学科第二次阶段性练习试卷 满分：150分考试 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 过点且倾斜角为120°的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆：，则圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ，16 B. ，16 C. ，4 D. ，4 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 圆：与圆：的位置关系及公切线条数分别为（ ） A. 外切，3条 B. 内切，1条 C. 相交，2条 D. 外离，4条 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，则的值为（ ） A. 7 B. 13 C. 2 D. 7或13 6. 双曲线的离心率与渐近线方程分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知点，在直线：的同侧，为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若为上一点，且，则或9 D. 若为上一点，则 10. 已知圆：，直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为2 B. 过点且与圆相切的直线有且仅有1条 C. 当时，直线与圆相交 D. 若直线与圆交于两点，且，则 11. 已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 若双曲线的离心率为2，则 D. 双曲线的离心率的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 13. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________． 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上的动点，点，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆：． （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线：与圆交于，两点，若，求实数的取值范围． 16. 已知圆：与圆：，动圆与圆内切、与圆外切． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）求动圆圆心的轨迹方程，并指出它表示什么曲线． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆：（）经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，求的面积； （3）设为椭圆上的动点，求面积的最大值，并指出此时点的坐标． 19. 已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． （1）求双曲线的半焦距； （2）若，求双曲线的标准方程； （3）求点的坐标及的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $