函数与导数专题训练卷（二）函数图象与零点-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数图象与零点，通过选择填空与解答题系统覆盖零点个数判断、参数范围讨论等核心考法，强化数形结合与分类讨论思想，培养数学眼光与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|含零点个数判断、方程根个数、参数范围等基础题型|从函数图象直观分析到方程转化，构建“概念-图象-零点”逻辑链条| |解答题|5题|涉及零点个数分类讨论、零点存在性证明及区间定位|深化函数性质与零点关系，体现从基础应用到综合论证的递进|

高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（二） 函数图象与零点 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数 ，若方程 恰有3个不同的实数根，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．方程 的实数根个数为（ ） A． B． C． D． 3．函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 4．若函数 的零点在区间 内，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．函数 的图象与直线 有三个不同公共点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 ，若方程 有4个不同的实数根，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 8．若函数 的图象与 轴恰有两个不同公共点，则实数 的值可以为（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 是奇函数 B． 在 处取得极大值 C．当 时，方程 有且仅有一个实数根 D．当 时，方程 有三个不同的实数根 10．设 ，其中 ，，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 有且仅有一个零点 B．若 ，则 有两个零点 C．若 ，则 没有零点 D．若 ，则 没有零点 11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 的图象关于直线 对称 B．方程 有3个不同实数根 C．方程 有4个不同实数根的充要条件是 D． 在区间 上单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数 有两个不同零点，则实数 的值为__________． 13．若函数 有4个不同零点，则实数 的取值范围为__________． 14．若函数 有两个不同零点，则实数 的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数 ． （1）讨论函数 的零点个数； （2）设 ，讨论方程 的实数根个数． 16．（15分）已知函数 ，其中 ，． （1）当 时，求函数 的零点个数； （2）讨论函数 的零点个数． 17．（15分）已知函数 ． （1）求函数 的单调区间和极值； （2）证明函数 有三个不同零点，并分别指出它们所在的一个整数区间； （3）若三个零点依次为 ，求 的值． 18．（17分）已知函数 ，其中 ． （1）证明： 是函数 的零点； （2）讨论函数 的零点个数； （3）当 时，若 为函数 的非零零点，证明 ． 19．（17分）已知函数 ，其中 ，． （1）讨论函数 的零点个数； （2）当 时，证明函数 的两个零点分别位于区间 和 ； （3）当 时，设函数 的两个零点为 ，且 ，证明 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（二） 函数图象与零点 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数 ，若方程 恰有3个不同的实数根，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，其最小值为 ．当 时，方程 ，即 ，解得 ，共有3个不同实数根．当 时有2个不同实数根；当 时有4个不同实数根；当 时有2个不同实数根．故选B． 2．方程 的实数根个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ．因为 ，，所以在 内至少有一个零点；又 ，所以 是一个零点．由 可知， 先减后增，至多有两个零点，因此方程共有2个实数根．故选B． 3．函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数定义域为 ．直接代入得 ，．又 ，故函数先增后减，最多有两个零点．因此函数有2个零点．故选B． 4．若函数 的零点在区间 内，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，则 ，所以 在 上单调递增．方程 的零点在 内，等价于 在 时的取值，所以 ．故选C． 5．函数 的图象与直线 有三个不同公共点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，则 ．所以 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ．直线 与图象有三个不同公共点，当且仅当 ．故选B． 6．已知函数 ，若方程 有4个不同的实数根，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 等价于 或 ．即 或 ．要有4个不同实数根，需 且 ，并且 ，所以 ．故选B． 7．函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，当 时，函数取得最小值 ．又当 时，；当 时，，所以函数图象与 轴有两个公共点，即有2个零点．故选C． 8．若函数 的图象与 轴恰有两个不同公共点，则实数 的值可以为（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】A 【解析】，所以 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ．函数图象与 轴恰有两个不同公共点，当且仅当极大值或极小值为0，即 或 ，故 或 ．故选A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 是奇函数 B． 在 处取得极大值 C．当 时，方程 有且仅有一个实数根 D．当 时，方程 有三个不同的实数根 【答案】ABCD 【解析】因为 ，所以 是奇函数，A正确．又 ，函数在 上递增，在 上递减，在 上递增，所以 为极大值，B正确．由图象可知，当 时，直线 与图象只有一个交点，C正确；当 时，直线 与图象有三个交点，D正确．故选ABCD． 10．设 ，其中 ，，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 有且仅有一个零点 B．若 ，则 有两个零点 C．若 ，则 没有零点 D．若 ，则 没有零点 【答案】ABD 【解析】当 时，，且 从 增至 ，故有且仅有一个零点，A正确．当 时，，函数在 处取得最大值，最大值为 ．若 ，则最大值大于0，且两端趋于 ，所以有两个零点，B正确．若 ，最大值为0，有一个零点，C错误．若 ，最大值小于0，没有零点，D正确．故选ABD． 11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 的图象关于直线 对称 B．方程 有3个不同实数根 C．方程 有4个不同实数根的充要条件是 D． 在区间 上单调递减 【答案】ABC 【解析】因为 ，所以图象关于直线 对称，A正确．方程 等价于 或 ，即 或 ，共有3个不同实数根，B正确．由 可知，当且仅当 时有4个不同实数根，C正确．函数在 上递减，在 上递增，所以D错误．故选ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数 有两个不同零点，则实数 的值为__________． 【答案】 或 【解析】，所以 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ．函数有两个不同零点，当且仅当极大值或极小值为0，所以 或 ． 13．若函数 有4个不同零点，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由 得 ．当 时，等价于 或 ．要有4个不同实数根，需 ，所以 ． 14．若函数 有两个不同零点，则实数 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】当 时，函数至多有一个零点；当 时，，函数在 处取得最小值，最小值为 ．函数两端均趋于 ，要有两个不同零点，需 ，即 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数 ． （1）讨论函数 的零点个数； （2）设 ，讨论方程 的实数根个数． 【解析】（1）因为 ，所以其最小值为 ． 当 时，函数 有两个零点； 当 时，函数 有一个零点； 当 时，函数 没有零点． （2）方程 等价于 ，即 或 ． 由 得 ．当 时有2个根；当 时有1个根；当 时无根． 由 得 ．当 时有2个根；当 时有1个根；当 时无根． 综上，当 时，方程 有4个实数根； 当 时，有3个实数根； 当 时，有2个实数根； 当 时，有1个实数根； 当 时，无实数根． 16．（15分）已知函数 ，其中 ，． （1）当 时，求函数 的零点个数； （2）讨论函数 的零点个数． 【解析】（1）当 时，． 由 可知，函数在 上单调递增，在 上单调递减，且 ．因此 有且仅有一个零点． （2）注意到对任意 ，都有 ，所以 总是一个零点． 当 时，，函数在 上单调递增，故有且仅有一个零点． 当 时，，函数在 上递增，在 上递减，最大值为 令 ，则 ，且等号当且仅当 时成立． 因此，当 时，函数有一个零点；当 且 时，函数有两个零点． 综上，当 或 时， 有一个零点；当 或 时， 有两个零点． 17．（15分）已知函数 ． （1）求函数 的单调区间和极值； （2）证明函数 有三个不同零点，并分别指出它们所在的一个整数区间； （3）若三个零点依次为 ，求 的值． 【解析】（1）． 当 或 时，；当 时，． 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减． ，，所以极大值为 ，极小值为 ． （2）因为 ，，所以在 内有一个零点； 又 ，，所以在 内有一个零点； 又 ，，所以在 内有一个零点． 结合（1）中的单调性可知，每个区间内零点唯一，因此函数有三个不同零点，分别位于 ，，． （3）因为 是方程 的三个根，由根与系数的关系得 18．（17分）已知函数 ，其中 ． （1）证明： 是函数 的零点； （2）讨论函数 的零点个数； （3）当 时，若 为函数 的非零零点，证明 ． 【解析】（1）因为 ，所以 是函数 的零点． （2）当 时，，所以 在 上单调递增，又 是零点，因此函数有且仅有一个零点． 当 时，．函数在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 令 ．当 时，；当 且 时，． 因此，当 时，函数有一个零点；当 且 时，函数有两个零点． 综上，当 或 时，函数有一个零点；当 或 时，函数有两个零点． （3）当 时，．由（2）知，函数在 上单调递增，且 ，且当 趋于正无穷时， 趋于正无穷，所以除 以外的另一个零点 必在区间 内，即 ． 19．（17分）已知函数 ，其中 ，． （1）讨论函数 的零点个数； （2）当 时，证明函数 的两个零点分别位于区间 和 ； （3）当 时，设函数 的两个零点为 ，且 ，证明 ． 【解析】（1）．当 时，；当 时，．所以 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为 ．又当 从右侧趋于 时，；当 时，．因此，当 时，函数没有零点；当 时，函数有一个零点；当 时，函数有两个零点． （2）当 时，．因为当 从右侧趋于 时，，且 ，所以函数在 内有一个零点．又 ，，所以函数在 内有一个零点．结合（1）可知这两个零点分别位于 和 ． （3）由 得 ，．两式相减，得 ．令 ，则 ，于是 ，即 ，从而 ． 下面证明 ．令 ，则只需证 ．设 ，则 ．又 ，所以当 时，，故 ．因此 ，即 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $