辽宁营口市第一中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

营口市第一中学期中考试 八年级 数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分)2026.10月 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是( ) 绿水青 2.如图的两个三角形全等，则∠1的度数为( 629 58入 1 A.50° 8.58% C.609 D.62 3.如图，在等腰△ABC中，顶角∠BAC=50°，过点A作BC的平行线MN,则∠CAN的 度数为( 50 人6565入 C A.50° .65° c.75° D.55° 4.用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠∥OB心=∠AOB依据是 () A A SAS B.ASA c SSS D.AAS 1 5.在△ABC中，AD为△ABC的中线，AB=5,AC=3,则AD的取值范围是() B A.2<AD<8 B.3<AD<5 C.1<AD<4 D.无法确定 6.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示 意图，AE=AF,GE=GF,则△AEG≌△AFG的依据是（) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 7如图，在△ABC中，分别以点4和点B为圆心，大于4B长为半径面弧，两弧相交于点 M、N,作直线N,交BC于点D,连接AD,若AC=7,BC=12,则△ADC的 周长为( ) A.12 8.14 C.19 D.26 8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,△ABD的面积是10，若AB=5, 则点D到AC的距离是() B.3 C.4 D.5 9.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E是CD上一点，若△BDE≌ACDA,AB=14, AC=10,则△BDE的周长为() D A.24 B.23 C.22 D.26 10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,延长BC 至F,使BF=BA,连接PF交AC于点H,则下列结论：①∠APB=135°；②PF⊥AD: ③△APH≌△FPD:④PE=PH;⑤AH+BD=AB;其中正确的有() 客 F A.①②④⑤ B.①②③⑤ c.①②③ D.①②⑤ 二、填空题（每小题3分，共15分) 11.已知等腰三角形的顶角是40°，则它的一个底角的度数是 12.若点P(1,a与2(b,2)关于x轴对称，则代数式a+b的值为 13如图，AC⊥BE,DE⊥BE,若△ABC≌△BDE;AC=7,DE=3,则CE等于 B 14.如图，在长方形ABCD中，'AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE, 动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC一CD→DA向终点A运动，设点P的运 动时间为1秒，当1的值为 秒时，△ABP与△DCE全等、 B P E 15.如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=2,射线CD⊥BC,垂足为C,P 是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+P的值最小时，BF=5,则AB 的长为一· 2 三、解答题 16(6分).如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ADB=80°，AD是△ABC的角平分线， 求∠C的度数 17.(8分)如图，AB三CD,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,CE=BF.求证： ∠B=∠C A D 18.(8分)如图，在平面直角坐标系中，A(3,4),B(4,2),C(1,1): 个y 4 2 4_3二2-Q 123 (1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A,BC1: (2)画出△ABC,沿y轴向下平移4个单位长度后得到的△A,B,C2: (3)若线段BC上有一点M(a,b)经过上述两次变换，则对应的点M,的坐标是 19.(8分)红星学校兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度AB 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 学腰 C (1)在教学楼外，选定一点C: (2)测量教学楼顶点A的视线AC与地 面夹角∠ACB: 测量步骤 (3)测BC的长度： (4)放置一根与BC长度相同的标杆 DE,DE垂直于地面； (5)测量标杆顶部E的视线与地面夹角 ∠EBD ∠ACB=67.5°，∠EBD=22.5°， 测量数据 BC=DE=2m,CD=10m 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼AB的高度， 20.(10分)如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB,BE=BD.连 接AE、CD,AE与CD交于点M,AB与BC交于点N. 0 E （1)求证：AE=CD: (2)求证：AE L CD. 21.(10分)如图，已知等边三角形ABC,点E是边CA延长线上一点，连接BE,作 ∠ACD=∠ABE且CD=BE,求证：△ADE是等边三角形. 6 22.（12分)综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题” 时抽象出数学模型：直线I同侧有两个定点A,B,在直线I上存在点C,使得CA+CB的 值最小. 小明的作法是：如图2，作点B关于直线1的对称点B,连接AB,则AB与直线1的交点 即为点C,且CA+CB的最小值为AB的长. 图3 4 图5 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C',连接AC', BC',B'C,证明AC+BC<AC'+BC即可. (1)请完成图3中小明的证明： (2)如图4，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点.若AB=6, AC=5,BC=8,则△APC周长的最小值为 (3)如图5，已知∠MON=35°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有- 点B,当△PAB的周长取最小值时，∠APB的大小为度. 23.(13分)已知等边三角形ABC,点M是直线BC上一点，连接AM,∠MAN=120°， 且AN=AM,连接BN交直线CA于点P, 20 ·Pk 0 M B M C 图1 H 图2 (1)如图1，当点M在CB的延长线上时，过点N作NQ∥BC,交AC于点2， ①求证：△ABM≌△NQA: ②试确定线段BM、AP、CP的数量关系 (2)如图2，当点M在BC的延长线上时，（1)中②的结论是否发生变化？若不发生变化， 请证明；若发生变化，写出结论并证明. 8 选择题 1 3 B 5 C 6 D 7 8 9A 10B 填空题 1170° 12-1 134 141或7 15解：如图所示，作点E关于CD的对称点E,连接PE, E B .PE=PE,CE=CE', ∴.EP+FP=PE+PF≥EF, 当点E,P,F三点共线，EF⊥AB时，EP+P的值最小， .VABC是等边三角形， ∴.∠B=60,AB=BC=AC, EF⊥AB, ∴.∠FE'B=90°-∠B=90°-60°=30°， ..BE'=2BF, .BF=5,BE=2, BE=2BF=10, .CE=CE', ∴.10=2CE+BE=2CE+2, 解得，CE=4, .AB=BC=BE+CE=2+4=6, 故答案为：6 三、解答题(16~21题每题6分，22题9分) 16.如图，在VABC中，∠BAC=40°，∠ADB=80°，AD是VABC的角平分线，求 ∠C的度数. B 【答案】60° 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和外角的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的 性质；先根据角平分线的定义得到角度，再运用外角的性质即可得到答案： 【详解】解：，AD是VABC的角平分线，∠BAC=40°， ∠CAD=1∠C4B=20°， 2 ,∠ADB=80°，∠ADB是△ADC的外角， .∠ADB=∠CAD+∠C, ∴.DC=DADB-DCAD=80°-20°=60°. I7.如图，AB=CD,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,CE=BF.求证： ∠B=∠C. A 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等 判定的方法根据垂直得到角相等，根据线段和差得到边相等，进而判断三角形全等即可得 到答案； 【详解】证明：，CE=BF, ∴.CE+EF=BF+EF,即CF=BE, :AE⊥BC,DF⊥BC, ∴∠AEB=∠DFC=90°， 在RtVAEB和Rt△DFC中 AB=CD BE=CF ∴.RtVAEB≌RIVDFC(HL) .∠B=∠C 18如图，△A,B,C2即为所求作的三角形； 3 R 2 【小问3详解】 23 B M(a,b)经过第一次变换后的坐标为：（-a,b), 再经过第二次变换后的坐标为：（-4，b-4), .线段BC上有一点M(a,b)经过上述两次变换，则对应的点M,的坐标是(-a,b-4) 19.红星学校兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度AB 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 口 E 教学楼 B (1)在教学楼外，选定一点C: (2)测量教学楼顶点A的视线AC与地面 夹角∠ACB: (3)测BC的长度： 测量步骤 (4)放置一根与BC长度相同的标杆DE, DE垂直于地面： (5)测量标杆顶部E的视线与地面夹角 EBD. ∠ACB=67.5°，∠EBD=22.5°， 测量数据 BC=DE=2m,CD=10m 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼AB的高度. 【答案】教学楼AB的高度为12m. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用.熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.先 证明∠BAC=∠EBD,再证明VABC≌VBDE(AAS),得到AB=BD,即可求解. 【详解】解：，BC=DE=2m,CD=10m, .BD=BC+CD=12, :∠ACB=67.5°，∠EBD=22.5°，∠ABC=∠BDE=90°， ∴.∠BAC=90°-∠ACB=22.5°=∠EBD, ,△ABC≌△BDE, .AB=BD=12(m), ∴.教学楼AB的高度为12m. 20.如图，VABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB,BE=BD.连接 AE、CD,AE与CD交于点M,AB与BC交于点N. D (1)求证：AE=CD: （2)求证：AE⊥CD. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【解析】 【分析】(I)先由∠ABC=∠DBE,得出∠ABE=∠CBD,证明VABE2VCBD,即可 作答。 (2)由VABE≌VCBD,推出∠BAE=∠BCD,由∠MMC=180°-∠BCD-∠CM, ∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB,又∠CMM=∠ANB,∠ABC=90°，可得 ∠MMC=90°. 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，解题的关键是正确寻找全等三 角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题， 【小问1详解】 证明：∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE, 即∠ABE=∠CBD, 在VABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD, BE=BD .△ABE≌△CBD(SAS), ∴.AE=CD. 【小问2详解】 解：.VABE≌VCBD, D .∠BAE=∠BCD, .∠MC=180°-∠BCD-∠CNMM,∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB, 又∠CMM=∠ANB, .∠ABC=90°， .∠MC=90°， .AE⊥CD 21.如图，己知等边三角形ABC,点E是边CA延长线上一点，连接BE,作 ∠ACD=∠ABE且CD=BE,求证：VADE是等边三角形. 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌 握相关知识.由VABC是等边三角形可得AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，推出 ∠BAE=120°，证明VABE≌VACD,得到AE=AD,∠BAE=∠CAD=120°，求出 ∠EAD=180°-∠CAD=60°，即可得证. 【详解】证明：：VABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°， ∴.∠BAE=180°-60°=120°， ∠ACD=∠ABE,CD=BE, ∴.VABE≌VACD(SAS), ∴.AE=AD,∠BAE=∠CAD=120°， ∴.∠EAD=180°-∠CAD=180°-120°=60°， ∴.VADE是等边三角形. 22 .【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【解析】 【分析】(1)由轴对称的性质可知，B'C=BC,BC'=B'C',则 AC+BC=AC+B'C=AB,AC'+BC'=AC'+B'C'>AB',可得AC+BC≥AB, 进而结论得证； (2)连接BP,则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是m与AB 的交点时，△APC的周长最小： (3)分别作P关于OM、ON的对称点P、P,连接OP、OP、PP,当B、P、A、 B四点共线时，VPAB的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可， 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用， 【小问1详解】 证明：由轴对称的性质可知，B'C=BC,BC'=B'C", .AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC=AC+B'C>AB', .AC+BC<AC+BC,AC+BC2 AB', .当A、C、B'三点共线时，AC+BC值最小， ∴，点C的位置即为所求： 【小问2详解】 解：如图，连接BP, ,m是边BC的垂直平分线， .PB=PC, .△APC的周长为PC+AC+AP=PB+AP+5≥AB+5=6+5=11, 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是m与AB的交点时，△APC的周长最小，最小为11， 故答案为：11： 【小问3详解】 解如图，分别作P关于OM、ON的对称点、P,连接OP、OP、P,当？、P、A、 B四点共线时，VPAB的周长取最小值， ○ M 根据对称性可知，∠POA=∠POA,∠POB=∠POB,OP=OP=OP, .∠POP=2MON, .∠MON=35°， .∠POP=70°， ·∠ARO=∠BP0= 180°-70° =55°， :∠APO=∠APO,∠BPO=∠BP,O, ∴.∠APB=∠APO+∠BPO=∠APO+∠BP,O=2×55°=110°， 故答案为：110 23 【答案】(1)①证明见解析；②AP=BM+CP (2)结论变化，BM=CP+AP,证明见解析 【解析】 【分析】(1)①由等边三角形的性质得∠BAC=∠ABC=∠C=60°，进而可得 ∠M=∠QAN,再利用平行线的性质可得∠ABM=∠NQA,进而由“AAS”即可求证；② 由全等三角形及等边三角形的性质可证BC=NQ,即可证明VBCP≌VNQP(ASA),得 到CP=QP,进而由AP=AQ+QP即可求证； (2)过点N作NQ∥BC,交CA的延长线于Q,同理(1)①可证 VAQN≌VMBA(AAS),得到QA=BM,NQ=AB,再证明VNQP2≌VBCP(AAS), 得到OP=CP,进而得到QA=QP+AP=CP+AP,即可求证： 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，正确作出辅助 线是解题的关键。 【小问1详解】 ①证明：，VABC是等边三角形， ,∠BAC=ABC=∠C=60°， ∴.∠ABMM=120°，∠MAB+∠M=∠ABC=60°， ,∠MAN=120°， .∠MAB+∠QAN=120°-60°=60°， ∴.∠M=∠QAN, .NQ∥BC, .∠CQN=∠C=60°， .∠NQA=120°， .∠ABM=∠NQA, 又，AM=AN, .VABM≌VNQA(AAS): ②，VABM2VNOA, .BM=OA,AB=NO, ,VABC是等边三角形， .AB=BC, .'BC=NO, .NQ∥BC, .∠C=∠NQP,∠CBP=∠QNP, .VBCP≌VNQP(ASA), .CP=OP, AP=A0+OP, .AP=BM+CP, 故答案为：AP=BM+CP; 【小问2详解】 解：(1)中②的结论变化，新结论为：BM=CP+AP, 证明：过点N作NQ∥BC,交CA的延长线于O, A M 图2 ,VABC是等边三角形 ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， .NQ∥BC .∠Q=∠ACB=60°， .∠Q=∠ABM, ,∠MAN=120°， ∴.∠QAN+∠CAM=60°， :∠M+∠CAM=∠ACB=60°， .∠QAN=∠M, 又，AN=AM, ∴.VAQN≌VMBA(AAS), ∴.QA=BM,NO=AB, ,∠QPN=∠CPB,∠Q=∠BCP, ∴.VNQP2VBCP(AAS), .'OP=CP, .OA=OP+AP=CP+AP, ∴.BM=CP+AP.