精品解析：辽宁省营口市育才初级中学2025-2026学年八年上学期数学学科期中质量检测

2025-2026学年度第一学期数学学科学情反馈 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 真命题的逆命题不一定是真命题 D. 互逆定理中的两个命题都是真命题 3. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知是的高，，，若，则（ ） A. 1 B. 9 C. 12 D. 4 7. 如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 12. 已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为________． 13. 如图，是等边三角形，，则的度数为____．     14. 如图，在中，是的平分线，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是________． 15. 如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解： 17. （1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，． ①求和的值； ②求的值． 18. 有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如．请利用分组分解法解决下列问题： （1）分解因式：________． （2）已知，，分别是的三边长，若，试判断的形状，并说明理由． 19. 如图，在中，. ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数. 20. 定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． （1）若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 21. 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 22. 如图①，在中，于，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）如图②，延长交于点，连接，求的度数； （3）如图③，过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积为___________； 23. 【活动初探】 在学习等十三章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点．求证：． 【变式再探】 （2）如图，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接． ①如图，当点在点上方，猜想并证明，，的数量关系； ②若，，，请直接写出______（用含，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期数学学科学情反馈 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算性质分析判断即可； 【详解】不能合并，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 真命题的逆命题不一定是真命题 D. 互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意； D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点是，点在第四象限， ∴关于轴的对称点在第四象限． 故选：D． 5. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解:由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：C． 6. 已知是的高，，，若，则（ ） A. 1 B. 9 C. 12 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先画出图形，再根据含30度角的直角三角形的性质分别求出，然后根据线段和差即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 是的高，， ， ， 又，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键． 7. 如图所示的是可调躺椅的示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，若使，则图中应减少（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长交于点，由图可知，，，，则，根据三角形的外角性质可得，进而得到当时，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由图可知，，，， ， ， ， ， 则图中应减少， 故选：A． 8. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、B，根据等边对等角和垂直的定义可判断选D．由已知条件无法判断选项C． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、B正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项D正确， 由已知条件无法得到， 故选项C中说法不一定正确． 故选：C． 9. 如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，外角的性质． 延长交于点，由平分和，可以证明，由全等三角形的性质和可以证明，且，即可求出的长． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，在中，，，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，根据，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：连接，如图 ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，故①符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③符合题意； ，， ， ∵，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④符合题意； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长． 综上所述：等腰三角形的周长为12. 故答案为：12． 12. 已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：能运用完全平方公式分解因式， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，是等边三角形，，则的度数为____．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理． 由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，是的平分线，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短；过点作于点，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，，则当重合，重合时，取得最小值，最小值为的长，进而根据三角形的面积公式求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， 是的平分线， ，分别是和上的动点， 当重合，重合时，取得最小值，最小值为的长， ，． ，即的最小值是， 故答案为：． 15. 如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长交的延长线于．等角对等边可证明，进而证明 即可得到，设，进而列出方程，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， 平分， ， ， ， ， ，设，则， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解： 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算和因式分解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到结果； （2）原式先运用平方差公式计算，再运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 17. （1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，． ①求和的值； ②求的值． 【答案】（1），；（2）①，；② 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算和幂的运算以及求代数式的值，根据相关运算法则进行计算即可． （1）先根据完全平方公式、多项式除以单项式运算法则化简原式后，再把，代入化简结果进行计算即可； （2）根据已知条件求出，，再代入计算即可． 【详解】解：（1） ． 当，时，原式； （2）①∵，， ∴，． ∴，； ②由①得，， ∴ ． 18. 有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如．请利用分组分解法解决下列问题： （1）分解因式：________． （2）已知，，分别是的三边长，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 为等腰三角形，理由如下 ∵， 即， ∴， ∴， ∵，，分别是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． （1）把分成一组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）把和分为一组，进行解答即可． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，. ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数. 【答案】 （1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上， 所以PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）∠B=36°. 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）根据题意，得BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 设∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°，即∠B=36°. 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质. 20. 定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． （1）若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】（1）是的“好多项式”，理由： ， 是的“好多项式” （2） 【解析】 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，掌握“好多项式”和“极好多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键. （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于的方程，解方程即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 当时，，， ， ， 当时， ， 21. 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECH＝60°， ∴△CEH是等边三角形， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°， ∴∠DEH＝∠FEC， 在△DEH和△FEC中， ， ∴△DEH≌△FEC（SAS）， ∴DH＝CF， ∴CD＝CH+DH＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【解析】 【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论； （2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 22. 如图①，在中，于，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）如图②，延长交于点，连接，求的度数； （3）如图③，过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积为___________； 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） （3）21 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据条件证明，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证明，得出相等边和角即可求解； （3）在上截取，连接并延长交于点，证明，根据对应边相等求出三角形底边长，最后利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接并延长交于点， 结合（1）（2）得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 【活动初探】 在学习等十三章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点．求证：． 【变式再探】 （2）如图，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接． ①如图，当点在点上方，猜想并证明，，的数量关系； ②若，，，请直接写出______（用含，的代数式表示）． 【答案】 （1）证明∶∵，点为中点， ∴平分． ∵，， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为的中点； （3）①猜想∶，理由如下： 如图，过点作于，过点作，交延长线于点， ∴， ∵，点为中点， ∴，平分． ∵ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴． ②或 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得平分，从而利用角平分线的性质即可得解； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得，，于是证明垂直平分，即可得证； （3）①过点作于，过点作，交延长线于点，证，得，进而得．在中，，，，，进而得，在中，由，得，从而即可得解；②当在线段上时，和当在到中点间的线段上时，两种情况，利用全等三角形及角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①略 ②或 过点作于， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点在点和的中点构成的线段上， 当在线段上时，过点作，于、，连接，如图， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在到中点间的线段上时，过点作，于、，连接，如图， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，度直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，度直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $