精品解析：北京市第十五中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

北京十五中高一数学期中考试试卷 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟． 考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 4. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数．下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则一定有（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 7. 已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（ ） A 0对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是___________． 12. 已知 是定义在上的偶函数，那么___ 13. 已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 14. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 15 已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合，集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 17 已知函数且满足． （1）求的值； （2）已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 18. 已知二次函数，若不等式的解集为 （1）求实数的值； （2）当时，求的最小值． 19. 某公司计划投资两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为产品的利润与投资金额的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入两种产品中且均有投资，其中万元资金投入产品． （1）请把两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域： （2）在（1）的条件下，当取何值时公司可获得最大利润，此时最大利润是多少？ 20. 已知函数是上的奇函数．且 （1）求解析式； （2）用定义证明：在区间上是增函数；并求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围． 21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十五中高一数学期中考试试卷 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟． 考生务必将答案答在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，直接求并集. 【详解】由已知得， 所以， 故选：C. 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行解答即可. 【详解】因为特称命题的否定是将变为，然后对结论进行否定， 即为. 故选：C. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，直接判断出命题和的真假，即可求解. 【详解】由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 4. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用定义判断奇偶性，再由单调性判断即可. 【详解】令，定义域关于原点对称，，即为偶函数，当时，在上单调递减，故A正确； 令，定义域关于原点对称，，即为奇函数，故B错误； 的对称轴为，在上单调递增，故C错误； 在上单调递增，故D错误； 故选：A 5. 已知函数．下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数， 当时，，则，， ，因此在区间内有函数的零点， 当时，，， 当时，，， 所以数的零点在区间内. 故选：B 6. 若，，则一定有（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断， 【详解】对于AB，若，则，所以AB错误， 对于C，若，则，所以C错误， 故选：D 7. 已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为函数. 当时，若，则在上单调递减， 所以不是在上单调递增的充分条件； 由于上单调递增，， 所以，所以不是在上单调递增的必要条件； 综上，是在上单调递增的既不充分也不必要条件； 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数性质可得 在上是减函数，再利用性质脱去法则转化为对任意恒成立，即可得到答案． 【详解】依题意，偶函数在上是减函数， 由不等式对任意恒成立，得不等式对任意恒成立， 因此对任意恒成立，而，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 9. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可求解. 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递增，则， 因为在上单调递增，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 10. 设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（ ） A. 0对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【分析】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，然后分9种情况讨论即可. 【详解】由定义可知满足成立有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0， 除以3的余数是0，除以3的余数是0； 除以3的余数是1，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是2； 除以3的余数是2，除以3的余数是0； 除以3的余数是0，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是1； 除以3的余数是0，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是0； 所以满足条件的数对有，共3对， 故选：C. 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的具体解析式进行求解定义域即可. 【详解】要使函数有意义， 则且，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知 是定义在上的偶函数，那么___ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得，函数是偶函数，所以，所以,故填：. 考点：偶函数的性质 13. 已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 【答案】3，或. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的自变量范围代入求值即可. （2）结合分段函数分情况求解不等式即可. 【详解】因为，所以. 当时，可化为，解得， 又，所以； 当时，可化为，即解得或， 又，所以； 综上，若，的取值范围是或. 故答案为：3，或 14. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，由题意可得二次函数的对称轴，求出此时的最小值，当时，求出此时的最小值为，再根据的最小值为列不等式即可求出答案. 【详解】当时，，二次函数对称轴为， 由的最小值为，得，此时的最小值为， 当时，，当且仅当时，等式成立， 此时在上的最小值为， 因为的最小值为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①先证其奇偶性，再分离常数结合单调性求在上的范围，结合奇偶性可得；②根据在上的单调性以及奇偶性可得；③举反例；④求出在上的解析式即可. 【详解】对于①：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ， 因在内单调递减，则函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知当时，, 所以的值域是，故①正确； 对于②：因函数在内单调递增，且为奇函数，则 函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故②正确； 对于③：当任意且时， 令，，，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④：当时，， 可得，，， 以此类推可得， 因此，故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知集合，集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，再根据交集的运算即可得到答案. （2）分为和两种情况分别讨论，结合子集的概念即可求解. 【小问1详解】 不等式可化为，解得或， 则或，则. 【小问2详解】 当时，，满足，符合题意； 当时，，由得，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17. 已知函数且满足． （1）求的值； （2）已知函数有两个不同的正数零点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值： 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据函数满足得二次函数对称轴，求出，再根据求出； （2）将化为，根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出的取值范围；根据即可求出的值. 【小问1详解】 函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为， 又函数满足，则，解得， 又，所以，. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. （i）因为函数有两个不同的正数零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. （ii）因为， 所以，又，所以. 18. 已知二次函数，若不等式的解集为 （1）求实数的值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数与一元二次不等式的关系，根据解集可求得结果； （2）根据对称轴和区间的位置关系分情况讨论确定最小值. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以，解得， 所以实数的值为. 【小问2详解】 因为，二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 所以； 当，即时，； 当时，在上单调递增， 所以， 所以的最小值. 19. 某公司计划投资两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为产品的利润与投资金额的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入两种产品中且均有投资，其中万元资金投入产品． （1）请把两种产品利润总和表示为的函数，并直接写出定义域： （2）在（1）的条件下，当取何值时公司可获得最大利润，此时最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，公司可获最大利润，最大利润为28万元. 【解析】 【分析】（1）根据万元投入产品，那么投入产品万元，结合的解析式求出总利润的函数解析式以及定义域即可. （2）根据基本不等式的性质求解即可. 【小问1详解】 万元投入产品，那么投入产品万元， 那么总利润为. 因为，所以，所以定义域为. 【小问2详解】 ， 根据基本不等式的性质可得， 当且仅当时，即时等号成立，此时取最小值为12， 那么取最大值为28万元. 所以当时，公司可获最大利润，最大利润为28万元. 20. 已知函数是上的奇函数．且 （1）求的解析式； （2）用定义证明：在区间上是增函数；并求在区间上的最大值； （3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇函数得，代入即可求出，再结合求出，即可得到答案； （2）利用单调性的定义，任取且，通过作差、化简，证明即可，利用函数的单调性即可求出在区间上的最大值； （3）根据不等式恒成立将转化为，令，为一次函数，且即可满足题意，解不等式组即可得到答案. 【小问1详解】 因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得， 又，则， 所以的解析式为. 【小问2详解】 且， ， 因为，所以，，， 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数， 所以在区间上的最大值为. 【小问3详解】 若对所有的恒成立， 则，即， 令， 依题意，，恒成立， 则，解得或， 所以实数的取值范围为. 21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． （1）分别判断集合，否具有可分性，并说明理由； （2）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． （3）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【答案】（1）集合{1，2，3，4}不具有可分性，集合{1，2，3，4，5}不具有可分性，理由见解析； （2）不存在，理由见解析； （3）7． 【解析】 【分析】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性； （2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验； （3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7． 【小问1详解】 若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性； 【小问2详解】 不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性； 【小问3详解】 先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 【点睛】思路点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $