期中真题重组卷（北京专用，人教A版必修一第1-4.2章：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质+指数）高一数学上学期模拟卷

2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高一上·北京·期中）已知集合，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】，因式分解得， 解得或，即或， 已知， 或. 2．（25-26高一上·北京顺义·期中）命题：，的否定形式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是：，， 否定形式是：，. 3．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数和在上单调递增两个条件，逐个分析选项. 【详解】选项A，的定义域为，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误； 选项B，，满足，是偶函数不是奇函数，错误； 选项C，，满足，是奇函数，但它在上单调递减，不符合要求，错误； 选项D，，满足，是奇函数；且由幂函数单调性可知，在上单调递增，正确. 4．（25-26高一上·北京朝阳·期中）如果，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，满足，不满足，故A错误， 对于B，当时，满足，不满足，故B错误， 对于C，当时，满足，不满足，故C错误， 对于D，若，则由不等式的性质得，故D正确. 5．（25-26高一上·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【答案】A 【详解】由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 所以有最大值. 6．（25-26高一上·北京朝阳·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B．或   C． D．或 【答案】B 【分析】通过倒数变换求解新不等式.由的解集为两根之间，可判断，进而推出的符号；再用“倒数法”快速得到的两根，结合开口方向写出解集. 【详解】由的解集为， 可知即，且和是方程的两个实数根. 所以，即，所以； 又，即，所以.因为，所以. 将，代入，得. 得，即. 则或. 不等式解集为或，故选项B正确. 7．（25-26·北京顺义·期中）已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过充分条件与必要条件求解. 【详解】对于任意，都有可以推出的值域是或其子集，故充分性不成立， 若的值域是，可以推出对于任意，都有，故必要性成立， 因此“对于任意，都有”是“值域为”的必要不充分条件. 8．（25-26高一上·北京东城·期中）若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 【答案】C 【分析】先化简函数表达式，再依据奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数单调性规律判断单调性即可确定选项 【详解】根据题意， ，定义域为，关于原点对称 对任意，有 ， 因此为奇函数，排除B、D选项； 因为为上的增函数，故为上的增函数，且恒成立； 所以，为上的减函数，为上的增函数； 所以，为上的增函数，排除A选项， 所以，为奇函数，且为上的增函数. 9．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在上单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由在上是单调函数，则在时单调递减，在上递减，且，从而可求. 【详解】 函数是上的单调函数， 设，， 由在上单调递减及分段函数的性质可知，函数在上单调递减， 且时，， ，，解得：, 故选：D. 10．（25-26高一上·北京·期中）已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】分，，三种情况讨论，可求的长度. 【详解】由； 由. 所以当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为； 当时，，，所以，这与集合的长度为2矛盾，故. 当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为. 综上可知：集合的长度为5. 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（25-26高一上·北京朝阳·期中）函数定义域是______. 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 12．（26-27高一上·北京·期中）求值：______. 【答案】/ 【详解】. 13．（25-26高一上·北京·期中）已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求出命题“ 恒成立”为真命题时 的取值范围，再取其补集即可得出结论. 【详解】设 :＂ ，不等式 恒成立＂，其等价于 恒成立， 若 为真命题，则 ，解得 ． 又 为假命题，故 的取值范围是命题 为真时的补集， 即 或 ． 故答案为：． 14．（25-26高一上·北京·期中）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为__________；的取值范围为__________． 【答案】 2（答案不唯一，均可） 【分析】分别分析和两部分，根据二次函数、对勾函数的性质，求得最小值，对比分析，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意， 当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以的最小值在处取得，且， 要使的最小值为， 需，解得； 当时，， 令，则，此时， 当且仅当，即时取等号 当时， ，所以在上单调递增， 所以的最小值为，满足题意； 当时， ，在单调递减，在上单调递增， 所以当 时，有最小值，不满足在x=1，即时取得最小值，故不符合题意. 综上的取值范围是. 故答案为：2（答案不唯一，均可）； 15．（25-26高一上·北京·期中）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有 ①． ②．是奇函数 ③．关于中心对称 ④． 【答案】①③④ 【分析】对①，令得或，令得，结合求得；对②，令，结合利用偶函数定义判断；对③，令得，即可判断；对④，由②、③的解析可得函数的周期为4，从而可判断④. 【详解】对于①，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故①正确； 对于②，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故②错误； 对于③，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故③正确； 对于④，因为为偶函数，所以， 又由③选项得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为， 所以一个周期的和为， 所以，故④正确. 故选：①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）（25-26高一上·北京·期中）已知集合， (1)若求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) ； (2) 【详解】（1）当时，.所以. 因为，所以或，则或 （2）由可得：，解得. 所以实数的取值范围是. 17．（13分）（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数a，b的值； (2)若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1)(2) 【分析】(1)由不等式的解集为，得到和是方程的两个根，结合韦达定理求解； （2）对分，进行分类，利用恒成立的不等式列式求解. 【详解】（1）不等式的解集为，说明和是方程的两个根，且， 由韦达定理得： ，解得； （2）当时，，一次函数不可能对任意都满足，不符合题意； 当时，二次函数对任意恒成立，需满足， 其中判别式， 由得，解得，结合，得， 综上，a的取值范围是. 18．（14分）（25-26高一上·北京·期中）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 (3)-2． 【详解】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得． （2）在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增． （3）由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为． 19．（15分）（25-26高一上·北京·期中）闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱．龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性．某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点．通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完． (1)求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 【答案】(1)， (2)当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为100万元 【分析】（1）将三点代入，即可求出，进而根据题意求解； （2）根据二次函数、基本不等式求解最值即可． 【详解】（1）将三点代入， 得，解得，则， 依题意，． （2）由（1）知， 当时，， 则时，取得最大值10； 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值100． 综上所述，当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为100万元． 20．（15分）（25-26高一上·北京海淀·期中）已知函数． (1)求，的值： (2)判断函数的单调性并证明： (3)若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数解析式代入运算得解； （2）利用函数单调性的定义判断证明； （3）问题转化为，结合单调性得对任意的恒成立，根据二次函数性质求解. 【详解】（1），，. （2）在上单调递增；证明如下： 设，且， 则 ， ，，，， 故，所以，则， 所以，即， 所以，故在上单调递增. （3）若对任意的恒成立， 所以，即，故， 由（1），即对任意的恒成立，又在上单调递增. 所以，即对任意的恒成立， ，解得，综上，的取值范围为. 21．（15分）（25-26高一上·北京·期中）我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)否 (2)2 (3) 【分析】（1）取特殊值可得方程无解，即不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）根据“阶搭配函数”定义求得值域间的包含关系，再由不等式性质可得结论； （3）将问题转化为值域包含关系问题，再由二次函数性质得出不等式关系，解不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）否，理由如下： 令，依题意，，即， 将代入化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）成立，即， 依题意，当时，单调递减，该函数的值域为， 当时，单调递减，该函数的值域为， 由已知，有 由于，则， 解得，或， 又，所以，故，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2. （3）成立，即， 对任意，单调递增，该函数的值域为. 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且在区间上的图象关于直线对称如下图： 由图可知若存在唯一的使，可得， 此时的值域为， 由已知，有，即，解得， 所以的取值范围是. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D D A B B C D C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11、 12、/ 13、 14、2（答案不唯一，均可） 15.①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分） 【详解】（1）当时，.所以. 因为，所以或，则或...........6分 （2）由可得：，解得. 所以实数的取值范围是.....................................13分 17．（13分） 【详解】（1）不等式的解集为，说明和是方程的两个根，且， 由韦达定理得： ，解得；....................................6分 （2）当时，，一次函数不可能对任意都满足，不符合题意； 当时，二次函数对任意恒成立，需满足， 其中判别式， 由得，解得，结合，得， 综上，a的取值范围是.....................................13分 18．（14分） 【详解】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得．....................................4分 （2）在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增．....................................9分 （3）由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为．....................................14分 19．（15分） 【详解】（1）将三点代入， 得，解得，则， 依题意，．....................................8分 （2）由（1）知， 当时，， 则时，取得最大值10； 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值100． 综上所述，当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为100万元．...............................15分 20．（15分） 【详解】（1），，.....................................4分 （2）在上单调递增；证明如下： 设，且， 则 ， ，，，， 故，所以，则， 所以，即， 所以，故在上单调递增.....................................10分 （3）若对任意的恒成立， 所以，即，故， 由（1），即对任意的恒成立，又在上单调递增. 所以，即对任意的恒成立， ，解得，综上，的取值范围为....................................15分 21．（15分） 【详解】（1）否，理由如下： 令，依题意，，即， 将代入化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”；....................................4分 （2）成立，即， 依题意，当时，单调递减，该函数的值域为， 当时，单调递减，该函数的值域为， 由已知，有 由于，则， 解得，或， 又，所以，故，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2.....................................9分 （3）成立，即， 对任意，单调递增，该函数的值域为. 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且在区间上的图象关于直线对称如下图： 由图可知若存在唯一的使，可得， 此时的值域为， 由已知，有，即，解得， 所以的取值范围是.....................................15分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高一上·北京·期中）已知集合，则（     ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高一上·北京顺义·期中）命题：，的否定形式为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京朝阳·期中）如果，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 6．（25-26高一上·北京朝阳·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B．或   C． D．或 7．（25-26·北京顺义·期中）已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·北京东城·期中）若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 9．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在上单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·北京·期中）已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（25-26高一上·北京朝阳·期中）函数定义域是______. 12．（26-27高一上·北京·期中）求值：______. 13．（25-26高一上·北京·期中）已知“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 14．（25-26高一上·北京·期中）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为__________；的取值范围为__________． 15．（25-26高一上·北京·期中）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有 ①． ②．是奇函数 ③．关于中心对称 ④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）（25-26高一上·北京·期中）已知集合， (1)若求，； (2)若，求实数的取值范围． 17．（13分）（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数a，b的值； (2)若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 18．（14分）（25-26高一上·北京·期中）已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 19．（15分）（25-26高一上·北京·期中）闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱．龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性．某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点．通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完． (1)求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 20．（15分）（25-26高一上·北京海淀·期中）已知函数． (1)求，的值： (2)判断函数的单调性并证明： (3)若对任意的恒成立，求的取值范围． 21．（15分）（25-26高一上·北京·期中）我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $