1.1.3.1 空间向量的坐标及运算-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦空间向量的坐标及运算核心知识点，从单位正交基底定义向量坐标切入，系统梳理线性运算、数量积的坐标表示，进而导出模、夹角公式及平行垂直的坐标关系，构建层层递进的学习支架。 该资料采用“逐点理清”设计，每个知识点先“多维理解”明晰概念，再“微点练明”通过向量坐标转换、夹角计算等例题巩固，培养数学抽象（眼光）、逻辑推理（思维）与符号表达（语言）能力。课中助力教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺。

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 　　　　　　　　　　　[课时目标] 1.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示. 2.掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题. 3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系. 逐点清(一)　空间向量的坐标 [多维理解] 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. [微点练明] 1.设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a=i+j，b=j+k，c=k+i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是 (　　) A.(12，14，10) B.(10，12，14) C.(14，12，10) D.(4，3，2) 解析：选A　依题意，知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10). 2.设{i，j，k}是空间向量的一组单位正交基底，则向量a=3i+2j-k，b=-2i+4j+2k的坐标分别是　　　　.  答案：(3，2，-1)，(-2，4，2) 3.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设=i，=j，=k，=4i+0j+0k=(4，0，0).=+=0i+4j+4k=(0，4，4). =+=++=-4i+4j+4k=(-4，4，4). 逐点清(二)　空间向量的运算与坐标的关系 [多维理解] 　　若空间中两个向量a，b满足a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a=b x1=x2，y1=y2，z1=z2 加法 a+b (x1+x2，y1+y2，z1+z2) 线性运算 ua+vb (ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2) 数量积 a·b x1x2+y1y2+z1z2 模 |a|= 夹角 cos<a，b> = [微点练明] 1.已知向量a=(3，-2，1)，b=(-2，4，0)，则4a+2b等于 (　　) A.(16，0，4) B.(8，-16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4) 解析：选D　易知由a=(3，-2，1)，b=(-2，4，0)，可得4a+2b=(12，-8，4)+(-4，8，0)=(8，0，4). 2.已知向量a=(2，-1，5)，2a-3b=(-2，1，13)，则a·b= (　　) A.-2 B.0 C.2 D.10 解析：选B　由题设3b=2·(2，-1，5)-(-2，1，13)=(6，-3，-3)，则b=(2，-1，-1)，所以a·b=(2，-1，5)·(2，-1，-1)=4+1-5=0. 3.若向量a=(1，λ，2)，b=(2，-1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ= (　　) A.2 B.-2 C.-2或 D.2或- 解析：选C　因为a=(1，λ，2)，b=(2，-1，2)，所以a·b=6-λ，|a|=，|b|==3.由题知，3×=6-λ，即55λ2+108λ-4=0，解得λ=-2或λ=. 4.已知向量a=(2，-3，1)，b=(2，0，3)，c=(0，2，2).求： (1)|a+b-2c|； (2)cos<a-b，b-c>. 解：(1)a+b-2c=(2，-3，1)+(2，0，3)-2(0，2，2)=(2，-3，1)+(2，0，3)-(0，4，4)=(4，-7，0). ∴|a+b-2c|==. (2)a-b=(0，-3，-2)，b-c=(2，-2，1)， ∴|a-b|=，|b-c|==3，(a-b)·(b-c)=0+(-3)×(-2)+(-2)×1=4. ∴cos<a-b，b-c>===. 逐点清(三)　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直　　　　　 [多维理解] 1.空间向量平行 (1)当a≠0时，a∥b⇔b=λa⇔(x2，y2，z2)=λ(x1，y1，z1)⇔x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1. (2)当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔==. 2.空间向量垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. |微|点|助|解| (1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中当a=0时，b，c不一定平行. (2)若两个向量平行，其中一个向量的坐标分量为0时，则相应的另一个向量的坐标分量也一定为0 [微点练明] 1.已知向量a=(1，1，-1)，b=(2，m，0)，若a⊥b，则m= (　　) A.-2 B.2 C. D.0 解析：选A　因为a⊥b，所以a·b=1×2+m-1×0=2+m=0，解得m=-2. 2.已知a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)， 且(a+b)∥(2a-b)，则 (　　) A.x=，y=1 B.x=，y=-4 C.x=2，y=- D.x=1，y=-1 解析：选B　由a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，得a+b=(x+1，3，2-y)，2a-b=(2-x，3，-2y-2)，由(a+b)∥(2a-b)，得==，所以x=，y=-4. 3.已知a=(1，0，1)，b=(0，1，0)，c=(1，1，1)，则 (　　) A.|c|=3 B.a⊥b C.b·c=3 D.(b+c)∥a 解析：选B　因为a=(1，0，1)，b=(0，1，0)，c=(1，1，1)，所以|c|==，故A错误；因为a·b=1×0+0×1+1×0=0，所以a⊥b，故B正确；因为b·c=1×0+1×1+1×0=1，故C错误；因为b+c=(1，2，1)≠λ(1，0，1)，所以(b+c)∥a不正确，故D错误. 4.已知向量a=(-1，m，0)，b=(2，-1，1)，c=(1，m，-1).若a⊥b，则b与c的夹角为　　　　.  解析：∵a⊥b，∴a·b=-2-m=0，∴m=-2. ∴c=(1，-2，-1).又b=(2，-1，1)，∴cos<b，c>===，而<b，c>∈[0，π]，故b与c的夹角为. 答案： 5.已知空间向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，c=. (1)若ka+b与a-2b互相垂直，求实数k的值； (2)若|ka+b|=3，且ka+b与c互相平行，求实数k的值. 解：(1)因为空间向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，所以ka+b=(k-1，k，2)，a-2b=(3，1，-4). 因为ka+b与a-2b互相垂直，所以3(k-1)+k-8=0，解得k=，故实数k的值为. (2)因为|ka+b|=3，所以=3，解得k=2或k=-1.因为ka+b与c互相平行，所以ka+b=λc⇒解得综上所述，实数k的值为2. [课时检测] 1.与向量m=(0，1，-2)共线的向量是 (　　) A.(2，0，-4) B.(3，6，-12) C.(1，1，-2) D. 答案：D 2.已知向量a=(2，3，-4)，b=(-4，-3，-2)，b=c-2a，则c= (　　) A.(0，3，-6) B.(0，6，-20) C.(0，6，-6) D.(6，6，-6) 解析：选B　由题意，得c=4a+2b=(8，12，-16)+(-8，-6，-4)=(0，6，-20). 3.若向量a，b的坐标满足a+b=(-2，-1，2)，a-b=(4，-3，-2)，则a·b等于 (　　) A.5 B.-5 C.7 D.-1 解析：选B　∵a+b=(-2，-1，2)，a-b=(4，-3，-2)，∴两式相加得2a=(2，-4，0)，解得a=(1，-2，0)，∴b=(-3，1，2)，∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5.故选B. 4.已知a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，则cos<a，b>= (　　) A. B. C. D. 解析：选C　由已知得a=(1，，)，b=(1，0，)，∴cos<a，b>===. 5.已知向量a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，则向量b在向量a上的投影为 (　　) A. B. C.(0，-1，-1) D.(-1，0，-1) 解析：选A　因为向量a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，所以a·b=1，|a|=，所以向量b在向量a上的投影为·=a=. 6.(多选)已知向量a=(1，-1，m)，b=(-2，m-1，2)，则下列结论正确的是 (　　) A.若|a|=2，则m=± B.若a⊥b，则m=-1 C.不存在实数λ，使得a=λb D.若a·b=-1，则a+b=(-1，-2，-2) 解析：选AC　由|a|=2，得=2，解得m=±，故A正确.由a⊥b，得-2-m+1+2m=0，解得m=1，故B错误.若存在实数λ，使得a=λb，则1=-2λ，-1=λ(m-1)，m=2λ，显然λ无解，即不存在实数λ，使得a=λb，故C正确.若a·b=-1，则-2-m+1+2m=-1，解得m=0.于是a+b=(-1，-2，2)，故D错误. 7.已知向量a=(1，2，3)，b=(-2，-4，-6)，|c|=，若(a+b)·c=7，则a与c的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：选C　由已知可得a+b=(-1，-2，-3)=-a，且|a|=.又(a+b)·c=7，所以-a·c=7，即有-|a||c|cos<a，c>=-14cos<a，c>=7，所以cos<a，c>=-.又0°≤<a，c>≤180°，所以<a，c>=120°. 8.(多选)同时垂直于a=(2，2，1)和b=(4，5，3)的单位向量是 (　　) A. B. C. D. 解析：选AC　设同时垂直于a=(2，2，1)和b=(4，5，3)的单位向量为e=(x，y，z)， 则即 解得或 故e=或e=. 9.已知空间向量a=(1，n，2)，b=(-2，1，2)，若2a-b与b垂直，则|a|等于 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意可得，2a-b=2(1，n，2)-(-2，1，2)=(4，2n-1，2)，因为2a-b与b垂直，则(2a-b)·b=4×(-2)+(2n-1)×1+2×2=0，解得n=，即a=，所以|a|==，故选C. 10.(多选)已知向量a=(1，-1，0)，b=(-1，0，1)，c=(2，-3，1)，则 (　　) A.向量a，b的夹角为 B.(a+2b)·(b+c)=7 C.(a+5b)⊥c D.a∥(b-c) 解析：选CD　|a|==，|b|==，a·b=1×(-1)+(-1)×0+0×1=-1，设向量a，b的夹角为θ，则cos θ===-，因为θ∈[0，π]，则θ=，A错误.a+2b=(-1，-1，2)，b+c=(1，-3，2)，则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6，B错误.a+5b=(-4，-1，5)，则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0，故(a+5b)⊥c，C正确.b-c=(-3，3，0)，则b-c=-3a，故a∥(b-c)，D正确. 11.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，-1)，则p在基底{2a，b，-c}下的坐标为　　　　；在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为　　　　.  解析：由题意知p=2a+b-c， 则向量p在基底{2a，b，-c}下的坐标为(1，1，1). 设向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc，又∵p=2a+b-c，∴解得x=，y=，z=-1. ∴p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为. 答案：(1，1，1)　 12.已知向量a=(1，2，-1)，b=(m，m2+3m-6，n)，若向量a，b同向，则m+n=　　　　.  解析：由题意可知a∥b，所以==， 即解得或当m=-3，n=3时，b=(-3，-6，3)=-3a，向量a，b反向，不符合题意，舍去；当m=2，n=-2时，b=(2，4，-2)=2a，向量a，b同向，符合题意.综上，m=2，n=-2，故m+n=0. 答案：0 13.若a=(x，2，2)，b=(2，-3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是　　　　.  解析：a·b=2x-2×3+2×5=2x+4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ=<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x+4<0，所以x<-2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(-∞，-2). 答案：(-∞，-2) 14.(10分)已知向量a=(1，2，-2)，b=(-2，-4，4)，c=(2，x，-4). (1)判断a，b的位置关系；(3分) (2)若a∥c，求|c|；(3分) (3)若(a+2c)⊥(b+c)，求x的值.(4分) 解：(1)因为a=(1，2，-2)，b=(-2，-4，4)，所以==，即b=-2a.故a∥b. (2)因为a∥c，所以==，所以x=4.此时c=(2，4，-4)，故|c|==6. (3)由已知得a+2c=(5，2+2x，-10)，b+c=(0，x-4，0).因为(a+2c)⊥(b+c)，所以(a+2c)·(b+c)=0，即(2+2x)(x-4)=0，解得x=-1或x=4. 15.(10分)已知空间向量a=(2，-1，3)，b=(m，4，n). (1)若c∥a，且a·c=28，求c的坐标；(4分) (2)若a⊥b，且m>0，n>0，求mn的最大值.(6分) 解：(1)由题意c∥a，a=(2，-1，3)≠0，所以不妨设c=λa. 又a·c=28，从而a·c=λa2=λ|a|2=λ×[22+(-1)2+32]=28， 解得λ=2，所以c=λa=2a=(4，-2，6). (2)由题意a⊥b，所以a·b=2m-4+3n=0，即2m+3n=4. 又因为m>0，n>0，所以由均值不等式可得2m+3n=4≥2，当且仅当m=1，n=时，等号成立，解得mn≤，所以当且仅当m=1，n=时，mn取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $