1.1空间向量及其运算知识点清单-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了空间向量及其运算的知识体系。从空间向量的概念出发，依次阐述加减、数乘、数量积等运算及性质，进而学习共线、共面及空间向量基本定理，最终落脚于坐标表示与运算应用。 知识链路按照概念、运算、定理到坐标应用的顺序层层递进，每个知识点包含定义、法则、性质及推论。通过对比平面向量与空间向量的联系，培养学生用数学思维构建逻辑体系，用数学语言精确表达空间关系，助力形成空间观念与理性精神。

1.1　空间向量及其运算 一　空间向量及其运算 1．空间向量的概念 （1）空间向量：空间中既有大小又有方向的量. ①向量的模(或长度)：向量的大小 ②表示：几何表示：有向线段 字母表示： （2）相等的向量：大小相等，方向相同的向量. （3）零向量：始点和终点相同的向量，在印刷时通常用0表示，书写时用表示，. （4）单位向量：模等于1的向量. （5）平行向量(或共线向量)：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，规定零向量与任意向量平行. （6）共面向量：表示向量的有向线段通过平移后，都能在同一平面内. 2.　空间向量的加法运算 （1）运算法则 ①三角形法则 ②平行四边形法则 多边形法则 ④平行六面体法则 （2）运算律 ①加法交换律：． 加法结合律：． 3.　空间向量的减法运算 （1）相反向量：给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量． （2）减法法则： ①三角形法则： 转化为加法运算： 4.　空间向量的数乘运算 （1）数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λ，上述实数λ与空间向量相乘的运算简称为数乘向量． ①当λ≠0且≠0时，λ的模为|λ|||，而且λ的方向： 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反． 当λ＝0或＝时，λ＝0. （2）向量平行：如果存在实数λ，使得＝λ，则. （3）三点共线：如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．特别地，当λ＝时，B为线段AC的中点． （4）运算律：λ＋μ＝(λ＋μ)(λ，μ∈R)， λ(＋)＝λ＋λ(λ∈R)． （5）空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算． 5.　空间向量的夹角 （1）定义：空间中，给定两个非零向量，，在空间中任选一点O，作＝，＝，则大小在[0，π]内的∠AOB称为与的夹角，记作〈，〉．且〈，〉＝〈，〉. （2）范围： ①同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈，〉＝0或π⇔∥(，为非零向量)． ②垂直：如果〈，〉＝，则称向量与垂直，记作⊥； 约定：零向量与任意向量都垂直． 6.　空间向量的数量积 （1）定义：·＝||||cos〈，〉．规定零向量与任意向量的数量积为0． （2）投影：空间向量在向量上的投影，可以过的始点和终点分别作与所在直线垂直的平面得到．如图，向量在棱AB上，＝，因为＝，BC⊥AB，所以在向量上的投影＝． （3）几何意义：与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积．特别地，与单位向量的数量积等于在上的投影的数量． 7. 空间向量数量积的性质 (1)⊥⇔·＝0． (2)·＝||2＝． 即 ||＝＝. (3)|·|≤||||. (当且仅当，共线时等号成立) (4)(λ)·＝λ(·)． (5)·＝·(交换律)． (6)(＋)·＝·＋·(分配律)． (7)·＝||cos〈，〉(其中为单位向量)． (8) cos〈，〉＝ 二、空间向量基本定理 1.　共线向量基本定理： （1）定理：如果≠且∥，则存在唯一的实数λ，使得＝λ （2）推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式＝＋t.① 如图所示 ①推论变形：若在l上取＝，则①式可以化为＝＋t＝(1－t)＋t. ②证明三点共线的常用方法：对于空间任意点O，若有＝λ＋(1－λ)成立，则A，B，C三点共线． 2. 共面向量定理 (1)定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y． (2)判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y． 3.　空间向量基本定理 (1)定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z． (2)相关概念： ①线性组合或线性表达式：当，，不共面时，可知x＋y＋z＝0⇔x＝y＝z＝0．表达式x＋y＋z一般称为向量，，的线性组合或线性表达式． ②如果三个向量，，不共面，则它们的线性组合x＋y＋z能生成所有的空间向量： 基底：空间中不共面的三个向量，，组成空间向量的一组基底，记为{，，}； 基向量：，，都称为基向量； 分解式：如果＝x＋y＋z，则称x＋y＋z为在基底{，，}下的分解式． 三.　空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.空间向量的坐标 (1)单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{，，}中，，，都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底． (2)向量的单位正交分解 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解． (3)向量的坐标 如果＝x＋y＋z，则称有序实数组(x，y，z)为向量的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为的坐标分量． 2.　空间向量的运算与坐标的关系 设＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)， (1)＝⇔x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2； (2)＋＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (3)u＋v＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)(其中u，v是实数)； (4)·＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (5)||＝＝； (6)当≠且≠时，cos〈，〉＝＝. 3.　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)， (1) ∥(≠)⇔＝λ⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔. 当的每一个坐标分量都不为零时，有∥⇔＝＝； (2)⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 4.空间直角坐标系 (1)定义：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (2)坐标轴：在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴． (3)坐标平面：通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面． (4)z轴的正方向：一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (5)画法 在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直，如图①②所示． (6)空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，设M为空间中的一个点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P，Q，R，且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)．此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． (7)卦限 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限． (8)空间直角坐标系中向量的坐标 在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量，，的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{，，}是单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同，即＝x＋y＋z＝(x，y，z)⇔P(x，y，z)． 5. 特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 坐标表示 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 6.　空间向量坐标的应用 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)AB＝||＝； (3)线段AB的中点M的坐标为． (4)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心D的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　空间向量及其运算 一　空间向量及其运算 1．空间向量的概念 （1）空间向量：空间中既有_______又有______的量. ①向量的模(或长度)：向量的________ ②表示：几何表示：有向线段 字母表示： （2）相等的向量：_________________的向量. （3）零向量：始点和终点相同的向量，在印刷时通常用___表示，书写时用___表示，. （4）单位向量：_________的向量. （5）平行向量(或共线向量)：方向_________的两个非零向量互相平行，规定零向量与任意向量________ （6）共面向量：表示向量的有向线段通过平移后，都能在__________. 2　空间向量的加法运算 （1）运算法则 ①三角形法则 ②平行四边形法则 多边形法则 ④平行六面体法则 （2）运算律 ①加法交换律：___________． 加法结合律：____________________． 3.　空间向量的减法运算 （1）相反向量：给定一个空间向量，我们把与这个向量________、________的向量称为它的相反向量． （2）减法法则： ①三角形法则： 转化为加法运算：____． 4.　空间向量的数乘运算 （1）数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量，规定它们的乘积是一个空间向量，记作___，上述实数λ与空间向量相乘的运算简称为数乘向量． ①当λ≠0且时，λ的模为____，而且λ的方向： 当λ>0时，与的方向____； 当λ<0时，与的方向_____． 当λ＝0或时，λ＝___. （2）向量平行：如果存在实数λ，使得___________，则. （3）三点共线：如果存在实数λ，使得_________，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．特别地，当λ＝_______时，B为线段AC的中点． （4）运算律：λ＋μ＝___________(λ，μ∈R)， λ(＋)＝_____________(λ∈R)． （5）空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的_____． 5.　空间向量的夹角 （1）定义：空间中，给定两个非零向量，，在空间中任选一点O，作＝，＝，则大小在____内的∠AOB称为与的夹角，记作_____．且〈，〉＝〈，〉. （2）范围：______ ①同向时夹角为0，反向时夹角为______，即〈，〉＝____⇔∥(，为非零向量)． ②垂直：如果〈，〉＝_______，则称向量与垂直，记作_______； 约定：____向量与任意向量都垂直． 6.　空间向量的数量积 （1）定义：·＝________．规定零向量与任意向量的数量积为____． （2）投影：空间向量在向量上的投影，可以过的始点和终点分别作与_____所在直线垂直的平面得到．如图，向量在棱AB上，＝，因为＝，BC⊥AB，所以在向量上的投影＝________． （3）几何意义：与的数量积等于______________________________．特别地，与单位向量的数量积等于__________________________________． 7. 空间向量数量积的性质 (1)⊥⇔_________． (2)·＝________＝____． 即 ||＝＝. (3)|·|_____||||. (当且仅当，共线时等号成立) (4)(λ)·＝____． (5)·＝_______(交换律)． (6)(＋)·＝_________(分配律)． (7)·＝||cos〈，〉(其中为单位向量)． (8) cos〈，〉＝______________. 二、空间向量基本定理 1.　共线向量基本定理： （1）定理：如果≠且∥，则存在唯一的实数λ，使得＝____. （2）推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式＝＋t.① 如图所示 ①推论变形：若在l上取＝，则①式可以化为＝＋t＝(1－t)＋t. ②证明三点共线的常用方法：对于空间任意点O，若有_______________成立，则A，B，C三点共线． 2. 共面向量定理 (1)定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在_______的实数对(x，y)，使_________________ (2)判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点__________，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝________． 3.　空间向量基本定理 (1)定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在_____的有序实数组(x，y，z)，使得＝____________． (2)相关概念： ①线性组合或线性表达式：当，，不共面时，可知x＋y＋z＝⇔___________．表达式________________一般称为向量，，的线性组合或线性表达式． ②如果三个向量，，不共面，则它们的线性组合x＋y＋z能生成所有的空间向量： 基底：空间中不共面的三个向量，，组成空间向量的一组______，记为{，，}； 基向量：，，都称为__________； 分解式：如果＝x＋y＋z，则称x＋y＋z为在基底__________下的分解式． 三　空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.空间向量的坐标 (1)单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{，，}中，，，都是_________向量，而且这三个向量__________，就称这组基底为单位正交基底． (2)向量的单位正交分解 在___________向量的分解称为向量的单位正交分解． (3)向量的坐标 如果＝x＋y＋z，则称有序实数组_______为向量的坐标，记作______，其中x，y，z都称为的坐标分量． 2.　空间向量的运算与坐标的关系 设＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)， (1)＝⇔_____________； (2)＋＝________； (3)u＋v＝____________(其中u，v是实数)； (4)·＝___________； (5)________＝＝___________； (6)当≠且≠时，cos〈，〉＝＝____________. 3.　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)， (1) ∥(≠)⇔＝λ⇔________________⇔___________ 当的每一个坐标分量都不为零时，有∥⇔________； (2)⊥⇔·＝0⇔_______________． 4.空间直角坐标系 (1)定义：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面_______的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作______． (2)坐标轴：在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是________的，它们都称为坐标轴． (3)坐标平面：通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面． (4)z轴的正方向：一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿_______旋转90°能与_________重合． (5)画法 在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为________，z轴与y轴(或x轴)____，如图①②所示． (6)空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，设M为空间中的一个点，过M分别作垂直于_____、____、____的平面，设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P，Q，R，且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，将_____称为点M的坐标，记作________．此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的___坐标(或x坐标)，y称为点M的___坐标(或y坐标)，z称为点M的____坐标(或z坐标)． (7)卦限 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了____个部分，每一部分都称为____________． (8)空间直角坐标系中向量的坐标 在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量，，的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{，，}是____________，且向量的坐标与P点的坐标____，即＝x＋y＋z＝___________⇔P________． 5. 特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 坐标表示 ________ (0，y，0) (0，0，z) _________ (0，y，z) (x，0，z) 6.　空间向量坐标的应用 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 (1)＝__________； (2)AB＝||＝________________； (3)线段AB的中点M的坐标为_____________． (4)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心D的坐标为____________________. 学科网（北京）股份有限公司 $