3.6 正多边形与圆 复习专题讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

正多边形与圆 复习专题讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册 教师详解版 复习导航 本专题把正多边形的定义、角度、长度、面积与圆的性质联系起来。复习时先确认图形和位置条件，再建立基本三角形；遇到比较问题，先写清保持不变的是外接圆半径、内切圆半径，还是周长。 A 基础通关：辨认概念，掌握三角形、正方形、正六边形的基本量。 B 难点突破：处理逆向计算、条件改变、圆周角、旋转和位置分类。 C 综合进阶：完成组合证明、剪拼与旋转分析，证明面积上界及其可达性。 D 中考真题精选：把上述关系用于不同地区的中考设问。 内容 页码 知识联系图 1 重点讲解 2 A 基础通关 5 B 难点突破 9 C 综合进阶 15 D 中考真题精选 20 知识联系图 各边相等且各角相等 → 正多边形 → 等分圆周 → 中心角与边数。 正多边形的中心 → 连接相邻两条半径 → 作边的垂线 → 半径、边心距、半边长构成直角三角形。 基本直角三角形 → 勾股定理与特殊角 → 边长换算 → 分割面积。 点序与旋转方向 → 所对弧及夹角 → 圆周角、全等与分类讨论。 给定的不变量 → 选择共同的半径或周长 → 比较与证明。 重点讲解 一 定义要同时满足两个条件 各边相等且各角相等的多边形叫做正多边形。 缺少任意一个条件，都不能据此断定图形是正多边形。 图形 各边相等 各角相等 是否为正多边形 非正方形的菱形 是 否 否 非正方形的矩形 否 是 否 正方形 是 是 是 正多边形的各顶点在同一个圆上，这个圆是它的外接圆；与各边都相切的圆是它的内切圆。两个圆的圆心相同，称为正多边形的中心。中心到顶点的距离是半径；中心到一条边的垂直距离是边心距，也就是内切圆半径。半径和边心距的终点不同，不可混用。 二 从基本三角形推出通式 设正边形的边长为，周长为，中心为，、为相邻顶点。作于。 因为相邻顶点等分圆周，所以中心角。因为，所以，。在中， 。 正边形的一个外角为，一个内角为。中心角与一个外角数值相等，但顶点和两边所在的位置不同。求得边数后，须检查它是否为不小于的整数，不能四舍五入取整。 连接中心与所有顶点，正多边形分成个全等三角形，每个三角形的底为、高为，所以 。 这个面积公式的依据是各边到中心的距离相等；不能把任意多边形的周长乘以任意一个内点到某条边的距离，再除以。 三 正三角形 正方形 正六边形 正三角形：中心角为，基本直角三角形在中心处的角为，另一个锐角为。因此，由勾股定理得，即。 正方形：中心角为，基本直角三角形是等腰直角三角形。由得； 又，故。 正六边形：中心角为，相邻两条半径与一条边组成等边三角形，故。再由勾股定理，。 图形 中心角 边长 边心距 面积 正三角形 正方形 正六边形 三种面积都可由推出，不必分别孤立记忆。反向给出边长、边心距或面积时，也应回到同一张基本三角形图。 四 使用关系前先检查条件 已知条件或任务 首先确定什么 易错之处 两个正多边形内接于同一个圆 共同的外接圆半径 同圆不等于同边长 周长相等 分别用求边长 不能仍把外接圆半径视为相等 内切圆半径相等 共同的边心距 不可误用 跨几个相邻顶点求角 跨过的边数、劣弧或优弧 四个依次相邻顶点之间有三段小弧 由圆周角求边数 所对弧是否只对应一条边 先确认弧，再用两倍关系 同圆中两条弦组合 圆周点的先后次序 位置改变可能使作差变成分类 旋转后图形重合 是否只要求图形重合 图形重合不等于指定顶点复位 正边形有条对称轴。奇数边时，每条轴经过一个顶点和对边中点；偶数边时，一半经过相对顶点，另一半经过相对边的中点。正边形绕中心旋转的整数倍角度可与原图形重合；只有为偶数时，它才是中心对称图形。 A 基础通关 1. 下列说法正确的是（　　）。 A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 各角相等的多边形是正多边形 C. 各边相等且各角相等的多边形是正多边形 D. 有外接圆的多边形是正多边形 答案 C 入手理由 正多边形的定义包含两个必须同时满足的条件，逐项检查能否缺少其中一个。 完整解答 选项A错误，例如非正方形的菱形各边相等，但各角不全相等；选项B错误，例如非正方形的矩形各角相等，但各边不全相等。 选项C正好同时给出“各边相等”和“各角相等”，正确。选项D错误，非正方形的矩形有外接圆，但不是正多边形。故选C。 条件与易错点 反例必须满足选项的前提而不满足结论。不能用一个边、角都不相等的四边形反驳“各边相等”的命题。 2. 一个正多边形的一个内角为，则它的中心角为________，边数为________。 量 一个内角 中心角 边数 已知或待求 ________ ________ 答案 ； 入手理由 先由内角求一个外角，再利用外角与中心角的数值相等求边数。 完整解答 一个外角为，故中心角为。 边数。 条件与易错点 中心角的顶点在圆心，内角的顶点在多边形顶点；两者数值之和为，不表示它们一定组成一个邻补角。 3. 如图，正六边形的中心为，，垂足为。已知， 求、、的长。 答案 ，， 入手理由 先判断相邻两条半径与一条边围成的三角形，再在垂足处得到直角三角形。 完整解答 正六边形的中心角，又， 所以为等边三角形，。 由及等腰三角形三线合一，。 在中，。 条件与易错点 是半径，是边心距，是半边长；只有正六边形才有边长等于外接圆半径这一关系。 4. 等边三角形内接于，边长为。求的半径及点到边的距离。 答案 ； 入手理由 连接圆心与边的两个端点，作到该边的垂线，把边长转化为直角三角形的一条直角边。 完整解答 连接、，作于。因为，所以，平分。 正三角形的中心角为，故，。设，由含角的直角三角形的性质，。 由勾股定理，，得，从而。 条件与易错点 这里的垂足在边上，圆心在三角形内部。半径与边心距之比来自直角三角形，不作为无解释的记忆结论。 5. 正方形的边长为。它的外接圆半径为________，内切圆半径为________。 答案 ； 入手理由 外接圆经过顶点，内切圆与边相切；分别对应半条对角线与半条边长。 完整解答 正方形对角线，故外接圆半径为。 正方形的中心到任一边的距离为，故内切圆半径为。 条件与易错点 两个圆同心，但半径不同。不得把中心到顶点的线段标成内切圆半径。 6. 一块正六边形木板的边长为，求它的面积，结果保留根号。 答案 入手理由 连接中心与六个顶点，木板被分成六个全等的等边三角形。 完整解答 每个中心角为，相邻两条半径相等，故六个中心三角形都是边长为的等边三角形。 其中一个三角形的高为，面积为。 木板的面积为。 条件与易错点 面积单位为平方分米。分割所得六块无重叠且覆盖整个木板，面积可以相加。 7. 、、、是某正多边形按同一方向依次相邻的四个顶点，是其中心。若，且、位于劣弧上，则该正多边形的边数为________。 答案 入手理由 从到经过三条相邻的边，所跨的是三个相等的中心角，而不是四个。 完整解答 设一个中心角为。由依次相邻及劣弧上的位置条件，，所以。 边数。 条件与易错点 题设中的“依次相邻”和“位于劣弧”共同确定了所跨的三段小弧，不能只凭图中四个点的个数列式。 B 难点突破 8. 正六边形的面积为，为其中心，于。则________，________，________。 答案 ；； 入手理由 先由总面积反求边长，再利用正六边形的基本直角三角形恢复半径和边心距。 完整解答 设边长为。正六边形可分成六个边长为的等边三角形，其高为。 由，得，所以。 因此，。 条件与易错点 边长必须为正，不能保留负根。面积中含有，并不意味着边长也必含。 9. 正方形和正六边形内接于同一个圆。已知。 （1）求的长； （2）求两个正多边形的面积之比。 答案 （1）；（2） 入手理由 同圆意味着外接圆半径相同，先用正方形确定这个共同半径。 完整解答 （1）正方形的对角线长为，故共同外接圆半径为。正六边形的边长等于其外接圆半径，所以。 （2）；。 因此。 条件与易错点 共用的是外接圆半径，不是边长，也不是边心距。两个正多边形可以在图中转动，但面积比不受相对位置影响。 10. 一根长的细铁丝可围成一个正方形，也可围成一个正六边形，不计接头。设围成正方形的面积为，围成正六边形的面积为，则下列结论正确的是（　　）。 图形 周长 面积 正方形 正六边形 A. B. ，，且 C. ，，且 D. ，，且 答案 C 入手理由 此题保持不变的是周长，须分别求两种图形的边长，不能沿用同圆时的半径关系。 完整解答 正方形的边长为，故。正六边形的边长为，故。 因为，且与均为正数，所以，即。故，选C。 条件与易错点 只比较这两种正多边形，不据此推出任意形状的最大面积结论。 11. 正边形内接于，，连接、。若，求。 答案 入手理由 先找出给定圆周角所对的弧，判断它包含几条正多边形的边。 完整解答 与是相邻顶点，且不含的弧是它们之间的小弧。由圆周角定理，该弧所对的圆心角为。 每一条边对应的中心角为，故，得。 条件与易错点 所求为不小于的整数，满足题设。不能因角的两条边经过、，便把它误认为跨三条或四条边。 12. 正六边形绕其中心沿同一方向连续旋转，每次旋转。从第一次旋转开始计数，至少旋转________次，所得图形与原图形重合；至少旋转________次，点回到原来的位置。 观察对象 每次旋转角 首次达到要求的次数 整个正六边形 ________ 指定顶点A ________ 答案 ； 入手理由 图形重合只要求顶点集合回到原位置，点复位还要求这个指定点回到出发点。 完整解答 正六边形绕中心旋转的最小正重合角为。每次，故至少次，图形与原图形重合。 点位于圆心以外，它首次回到原位置须旋转一周，故至少次。 条件与易错点 “图形重合”不要求字母标号逐一复位。“至少”指正的旋转次数，不把初始状态计为第0次答案。 13. 在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点，，在第一象限，各顶点按逆时针方向排列。 （1）求、的坐标； （2）将此正六边形绕顺时针旋转，求点的对应点的坐标。 答案 （1），；（2） 入手理由 先在等边三角形中作垂线确定坐标，再用旋转前后两个直角三角形全等确定横、纵距离。 完整解答 （1）连接，作轴于。，且，所以为等边三角形。由直角三角形的性质，，，故。 正六边形关于轴对称，、关于轴对称，故。 （2）作轴于。旋转后位于第四象限。原来与正轴夹角为，故与正轴夹角为。 在与中，斜边，且，两三角形全等。因此，，所以。 条件与易错点 先确定旋转方向及象限，再确定坐标符号；解法不调用三角函数或旋转矩阵。 14. 正五边形和等边三角形内接于。 沿圆周同一方向，点的先后顺序为、、、、、、。 求及的度数。 答案 ； 入手理由 两个正多边形的相邻半径夹角分别已知，题设的点序决定应当作差。 完整解答 正五边形的中心角；等边三角形的中心角。 由给定点序，射线位于内部，所以。 所对的不含的弧为劣弧，故。 条件与易错点 点序是计算作差和选取所对弧的依据；不能在任意摆放的两个共圆正多边形中套用同一个差角。 15. 在中，弦是该圆内接正三角形的一边，弦是该圆内接正方形的一边，、为不同的点。 （1）当位于劣弧上时，求小于的，并判断能否作为该圆内接正多边形的一边；若能，求其边数。 （2）当不位于劣弧上时，回答同样的问题。 答案 （1），能，边；（2），不能 入手理由 固定、后，满足正方形边长条件的点有两个位置，分别计算小圆心角，再检查边数是否合法。 完整解答 弦、对应的小圆心角分别为、。 （1）当在劣弧上时，。此时，为不小于的整数，所以可以作为该圆内接正十二边形的一边。 （2）当不在劣弧上时，射线和分处两侧， 经过的圆心角为，故小于的。 若为某圆内接正边形的一边，则，不是整数，故不能。 条件与易错点 不能成立的是“作为同圆内接正多边形的一边”，不是弦不存在。固定后，弦的小圆心角为，圆周上恰有两处满足条件，以上两类已穷尽。 C 综合进阶 16. 正六边形内接于，在六边形外以为边作正方形。 连接、。取劣弧的中点，连接、。 （1）求； （2）求证：。 答案 （1）；（2）见证明 入手理由 正六边形提供等边三角形，外侧正方形提供直角及等边；两部分组合出的夹角可以用来判定全等。 完整解答 （1）正六边形的中心角为，故为等边三角形，，。正方形位于六边形外，所以。 又，故。在等腰三角形中，。 （2）为劣弧的中点，故。从经、到依次转过、、，所以。 在和中，，，。由SAS，，所以。 条件与易错点 正方形必须位于六边形外；若作在另一侧，夹角不再是。取劣弧中点，不取优弧中点。全等的对应顺序是、、。 17. 从边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个两直角边均为的等腰直角三角形，剩余图形为正八边形。则________，正八边形的面积为________。 答案 ； 入手理由 剪出的斜边与原正方形边上剩下的线段，必须成为同样长的正八边形边。 完整解答 每条新剪出的边长为；原正方形每条边上剩余线段长为。由剩余图形的各边相等，。 解得。因，四个剪角互不重叠，构造可行。 每个剪角的两个锐角均为，故剩余八边形的各内角均为；结合各边相等，确实为正八边形。 面积。 条件与易错点 只验证边长相等不足以判断正八边形，还须说明各角相等；长度解须在内。 18. 正方形的中心为，边长为。将它绕旋转得到正方形。关于两个正方形的公共部分，下列说法正确的是（　　）。 A. 为正八边形，面积为 B. 为正八边形，面积为 C. 不是正八边形，面积为 D. 为正八边形，面积为 答案 B 入手理由 先由旋转后的对角线确定交点位置，再同时检查公共部分的边、角及面积。 完整解答 正方形中心到顶点的距离为。把原正方形的边看作水平或竖直方向，旋转后的正方形四个顶点分别位于过中心的水平线、竖直线上，距中心均为。 原正方形每个角处、不属于公共部分的区域为等腰直角三角形。设其直角边长为。取原正方形右上顶点，旋转后正方形在上边上的交点距正方形中线为，故。 公共部分沿原边的四条边长为，另外四条斜边长为，且各内角均为。所以公共部分是正八边形。 其面积，故选B。 条件与易错点 本题不是预先给定“剩余图形为正八边形”，必须由旋转结果证明。只算面积、不判形状，不能排除选项C。 19. 正六边形内接于半径为的，各顶点按顺序排列。 （1）求证：四边形为矩形； （2）求矩形与的面积，并求它们的面积分别占正六边形面积的几分之几。 答案 （1）见证明；（2），；， 入手理由 先区分相邻顶点、隔一个顶点和相对顶点所确定的线段；其中相对顶点的连线是直径。 完整解答 （1）与、与分别相隔三个中心角，所以、均为的直径。由直径所对的圆周角为直角，，。四边形有三个直角，故为矩形。 （2）正六边形边长为半径，所以。在中，，故。因此矩形面积为。 弦、、各跨两个中心角，所对小弧均为，所以三弦相等，是边长为的等边三角形。其高为，面积为。 正六边形面积为。所以两者分别占和。 条件与易错点 矩形的对角线是、，不是、。两个内接图形有公共部分，面积占比相加可以大于，并不矛盾。 20. 在一块半径为的圆形纸片内裁出一个矩形，矩形的四个顶点都在圆上。 （1）若矩形一边长为，求它的面积； （2）设矩形两邻边长为、，求证：，并说明等号成立时该矩形的形状及边长。 答案 （1）；（2），等号在边长为的正方形时成立 入手理由 矩形的一个直角所对的弦是直径，从而对角线长度固定；面积上界可由两边差的平方非负推出。 完整解答 （1）矩形的内角为，所以它的对角线为该圆的直径，长为。另一边长为，面积为。 （2）由勾股定理，。又，故，即，所以。 等号成立当且仅当。结合及，得，此时矩形为正方形。该正方形的对角线为，确能内接于半径为的圆，故上界可以达到。 条件与易错点 不能只说“正方形面积最大”而不证明上界；也不能只解出等号条件而不验证该正方形确实能放入圆中。 D 中考真题精选 21. 【2023年南京市中考第15题】如图，正六边形的边、分别在、处与相切。已知，则的半径为________。 答案 入手理由 题中的圆只与指定的两条边相切，圆心不是正六边形中心。连接切点半径，并利用两个切点间的长对角线。 完整解答 连接、、，作于。正六边形的长对角线；因，故。 正六边形中经过其中心，平分顶点处的内角，故。又，所以。 设，在中，。由勾股定理，，得，故圆的半径。 条件与易错点 该圆不是正六边形的外接圆，也不是其内切圆， 不能把半径直接取为或。图中的是辅助垂足，不是题设圆心。 22. 【2023年无锡市中考第8题】有以下四个命题：①多边形各边相等，就一定是正多边形；②每个正多边形都是中心对称图形；③正六边形的边长等于其外接圆半径；④正边形有条对称轴。真命题共有（　　）。 命题 判断记录 ① ________ ② ________ ③ ________ ④ ________ A. 4    B. 3    C. 2    D. 1 答案 C 入手理由 四个命题分别检验定义、中心对称性、特殊长度关系和轴对称性，要独立判断后再计数。 完整解答 ①是假命题，非正方形的菱形各边相等，但不是正多边形。②是假命题，例如正三角形绕中心旋转后不能与原图形重合。 ③是真命题：正六边形的六个中心三角形均为等边三角形，所以边长等于外接圆半径。④是真命题：正边形共有条对称轴。 真命题为③④，共个，故选C。 条件与易错点 边数为偶数的正多边形才是中心对称图形；轴对称则对所有正多边形均成立。 23. 【2023年上海市中考第13题】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________。 中心角 边数 ________ 答案 入手理由 中心角已经给出，可直接利用一周角被平均分成若干份。 完整解答 设边数为，则，所以。 条件与易错点 这里的是中心角，不是内角，不能先用再求边数。 24. 【2024年山东省枣庄市中考第7题】如图，、、为正边形的三条边。在同一平面内，以为边向该正边形外部作正方形。 若，则（　　）。 A. 12    B. 10    C. 8    D. 6 答案 A 入手理由 把顶点周围的周角分成已知的、正方形直角和正多边形内角。 完整解答 由正方形的性质，。又正方形位于正边形外部，故。 正边形的一个外角为，所以，选A。 条件与易错点 不是正多边形内角；外部作正方形是决定周角分割方式的必要位置条件。 25. 【2025年青海省中考第25题第（2）（3）问节选，数学条件整理】（1）正三角形、正方形、正六边形的内切圆半径都为。已知正三角形的周长为。①正方形的周长为________；②求正六边形的周长，并写出求解过程。 图形 第（1）问 内切圆半径 第（1）问 周长 第（2）问 周长 第（2）问 面积 正三角形 ________ 正方形 ________ ________ 正六边形 写出过程 ________ （2）若这三种正多边形的周长都为，则正三角形的面积为________，正方形的面积为________，正六边形的面积为________。 答案 （1）①；②；（2），， 入手理由 先区分两问保持不变的量：第一问给定内切圆半径，第二问给定周长，不能沿用同一组边长。 完整解答 （1）①正方形的边长为内切圆直径，即，所以周长为。 ②连接正六边形中心与一条边的端点、，作于。设边长为，则，，。由勾股定理，，得，故周长为。 （2）正三角形的边长为，高为，所以面积为。 正方形的边长为，面积为。 正六边形的边长为，六个中心等边三角形的高均为，故面积为。 条件与易错点 本题节选保留两组条件及原所求，未包含原题的蜂房背景与密铺探究。所用比较只涉及三角形、正方形、正六边形，不据此扩张为所有形状的最优定理。 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 正多边形与圆 复习专题讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册 学生版 复习导航 本专题把正多边形的定义、角度、长度、面积与圆的性质联系起来。复习时先确认图形和位置条件，再建立基本三角形；遇到比较问题，先写清保持不变的是外接圆半径、内切圆半径，还是周长。 A 基础通关：辨认概念，掌握三角形、正方形、正六边形的基本量。 B 难点突破：处理逆向计算、条件改变、圆周角、旋转和位置分类。 C 综合进阶：完成组合证明、剪拼与旋转分析，证明面积上界及其可达性。 D 中考真题精选：把上述关系用于不同地区的中考设问。 内容 页码 知识联系图 1 重点讲解 2 A 基础通关 5 B 难点突破 8 C 综合进阶 13 D 中考真题精选 16 知识联系图 各边相等且各角相等 → 正多边形 → 等分圆周 → 中心角与边数。 正多边形的中心 → 连接相邻两条半径 → 作边的垂线 → 半径、边心距、半边长构成直角三角形。 基本直角三角形 → 勾股定理与特殊角 → 边长换算 → 分割面积。 点序与旋转方向 → 所对弧及夹角 → 圆周角、全等与分类讨论。 给定的不变量 → 选择共同的半径或周长 → 比较与证明。 重点讲解 一 定义要同时满足两个条件 各边相等且各角相等的多边形叫做正多边形。 缺少任意一个条件，都不能据此断定图形是正多边形。 图形 各边相等 各角相等 是否为正多边形 非正方形的菱形 是 否 否 非正方形的矩形 否 是 否 正方形 是 是 是 正多边形的各顶点在同一个圆上，这个圆是它的外接圆；与各边都相切的圆是它的内切圆。两个圆的圆心相同，称为正多边形的中心。中心到顶点的距离是半径；中心到一条边的垂直距离是边心距，也就是内切圆半径。半径和边心距的终点不同，不可混用。 二 从基本三角形推出通式 设正边形的边长为，周长为，中心为，、为相邻顶点。作于。 因为相邻顶点等分圆周，所以中心角。因为，所以，。在中， 。 正边形的一个外角为，一个内角为。中心角与一个外角数值相等，但顶点和两边所在的位置不同。求得边数后，须检查它是否为不小于的整数，不能四舍五入取整。 连接中心与所有顶点，正多边形分成个全等三角形，每个三角形的底为、高为，所以 。 这个面积公式的依据是各边到中心的距离相等；不能把任意多边形的周长乘以任意一个内点到某条边的距离，再除以。 三 正三角形 正方形 正六边形 正三角形：中心角为，基本直角三角形在中心处的角为，另一个锐角为。因此，由勾股定理得，即。 正方形：中心角为，基本直角三角形是等腰直角三角形。由得； 又，故。 正六边形：中心角为，相邻两条半径与一条边组成等边三角形，故。再由勾股定理，。 图形 中心角 边长 边心距 面积 正三角形 正方形 正六边形 三种面积都可由推出，不必分别孤立记忆。反向给出边长、边心距或面积时，也应回到同一张基本三角形图。 四 使用关系前先检查条件 已知条件或任务 首先确定什么 易错之处 两个正多边形内接于同一个圆 共同的外接圆半径 同圆不等于同边长 周长相等 分别用求边长 不能仍把外接圆半径视为相等 内切圆半径相等 共同的边心距 不可误用 跨几个相邻顶点求角 跨过的边数、劣弧或优弧 四个依次相邻顶点之间有三段小弧 由圆周角求边数 所对弧是否只对应一条边 先确认弧，再用两倍关系 同圆中两条弦组合 圆周点的先后次序 位置改变可能使作差变成分类 旋转后图形重合 是否只要求图形重合 图形重合不等于指定顶点复位 正边形有条对称轴。奇数边时，每条轴经过一个顶点和对边中点；偶数边时，一半经过相对顶点，另一半经过相对边的中点。正边形绕中心旋转的整数倍角度可与原图形重合；只有为偶数时，它才是中心对称图形。 A 基础通关 1. 下列说法正确的是（　　）。 A. 各边相等的多边形是正多边形 B. 各角相等的多边形是正多边形 C. 各边相等且各角相等的多边形是正多边形 D. 有外接圆的多边形是正多边形 2. 一个正多边形的一个内角为，则它的中心角为________，边数为________。 量 一个内角 中心角 边数 已知或待求 ________ ________ 3. 如图，正六边形的中心为，，垂足为。已知， 求、、的长。 4. 等边三角形内接于，边长为。求的半径及点到边的距离。 5. 正方形的边长为。它的外接圆半径为________，内切圆半径为________。 6. 一块正六边形木板的边长为，求它的面积，结果保留根号。 7. 、、、是某正多边形按同一方向依次相邻的四个顶点，是其中心。若，且、位于劣弧上，则该正多边形的边数为________。 B 难点突破 8. 正六边形的面积为，为其中心，于。则________，________，________。 9. 正方形和正六边形内接于同一个圆。已知。 （1）求的长； （2）求两个正多边形的面积之比。 10. 一根长的细铁丝可围成一个正方形，也可围成一个正六边形，不计接头。设围成正方形的面积为，围成正六边形的面积为，则下列结论正确的是（　　）。 图形 周长 面积 正方形 正六边形 A. B. ，，且 C. ，，且 D. ，，且 11. 正边形内接于，，连接、。若，求。 12. 正六边形绕其中心沿同一方向连续旋转，每次旋转。从第一次旋转开始计数，至少旋转________次，所得图形与原图形重合；至少旋转________次，点回到原来的位置。 观察对象 每次旋转角 首次达到要求的次数 整个正六边形 ________ 指定顶点A ________ 13. 在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点，，在第一象限，各顶点按逆时针方向排列。 （1）求、的坐标； （2）将此正六边形绕顺时针旋转，求点的对应点的坐标。 14. 正五边形和等边三角形内接于。 沿圆周同一方向，点的先后顺序为、、、、、、。 求及的度数。 15. 在中，弦是该圆内接正三角形的一边，弦是该圆内接正方形的一边，、为不同的点。 （1）当位于劣弧上时，求小于的，并判断能否作为该圆内接正多边形的一边；若能，求其边数。 （2）当不位于劣弧上时，回答同样的问题。 C 综合进阶 16. 正六边形内接于，在六边形外以为边作正方形。 连接、。取劣弧的中点，连接、。 （1）求； （2）求证：。 17. 从边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个两直角边均为的等腰直角三角形，剩余图形为正八边形。则________，正八边形的面积为________。 18. 正方形的中心为，边长为。将它绕旋转得到正方形。关于两个正方形的公共部分，下列说法正确的是（　　）。 A. 为正八边形，面积为 B. 为正八边形，面积为 C. 不是正八边形，面积为 D. 为正八边形，面积为 19. 正六边形内接于半径为的，各顶点按顺序排列。 （1）求证：四边形为矩形； （2）求矩形与的面积，并求它们的面积分别占正六边形面积的几分之几。 20. 在一块半径为的圆形纸片内裁出一个矩形，矩形的四个顶点都在圆上。 （1）若矩形一边长为，求它的面积； （2）设矩形两邻边长为、，求证：，并说明等号成立时该矩形的形状及边长。 D 中考真题精选 21. 【2023年南京市中考第15题】如图，正六边形的边、分别在、处与相切。已知，则的半径为________。 22. 【2023年无锡市中考第8题】有以下四个命题：①多边形各边相等，就一定是正多边形；②每个正多边形都是中心对称图形；③正六边形的边长等于其外接圆半径；④正边形有条对称轴。真命题共有（　　）。 命题 判断记录 ① ________ ② ________ ③ ________ ④ ________ A. 4    B. 3    C. 2    D. 1 23. 【2023年上海市中考第13题】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________。 中心角 边数 ________ 24. 【2024年山东省枣庄市中考第7题】如图，、、为正边形的三条边。在同一平面内，以为边向该正边形外部作正方形。 若，则（　　）。 A. 12    B. 10    C. 8    D. 6 25. 【2025年青海省中考第25题第（2）（3）问节选，数学条件整理】（1）正三角形、正方形、正六边形的内切圆半径都为。已知正三角形的周长为。①正方形的周长为________；②求正六边形的周长，并写出求解过程。 图形 第（1）问 内切圆半径 第（1）问 周长 第（2）问 周长 第（2）问 面积 正三角形 ________ 正方形 ________ ________ 正六边形 写出过程 ________ （2）若这三种正多边形的周长都为，则正三角形的面积为________，正方形的面积为________，正六边形的面积为________。 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $