专题3.7扇形 培优讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.7扇形 知识点1 ：弧长公式 　　1. 弧长公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长。 　　2. 推导：圆心角所对的弧长是圆周长，则所对的弧长。 　　3. 变形：已知弧长可求圆心角，或求半径。 　　4. 注意：表示圆心角的度数（不带单位）；弧长与圆心角、半径三个量中已知两个可求第三个。 知识点2 ：扇形的面积公式 　　1. 扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 　　2. 扇形面积公式： 公式 表达式 适用条件 圆心角形式 已知圆心角和半径 弧长形式 已知弧长和半径 　　3. 注意：扇形面积公式中，中为圆心角度数；扇形面积与三角形面积公式底高类比，弧长相当于底、半径相当于高。 知识点3 ：弓形与不规则图形的面积 　　1. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 　　2. 弓形面积：弓形面积扇形面积三角形面积（弦在弧内时）。 　　3. 不规则图形面积：常通过割补法、等积变换、作辅助线等方法，转化为扇形、三角形、圆等规则图形的面积和差来计算。 知识点4 ：圆锥的侧面积和全面积 　　1. 圆锥的相关概念：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。 　　2. 基本特征：圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，由勾股定理得。 　　3. 侧面展开：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。 　　4. 侧面积与全面积：圆锥的侧面积；全面积。 　　5. 侧面展开图圆心角：设侧面展开扇形圆心角为，则，即。 【基础必考题型】 【题型1】利用弧长公式求弧长 1.核心知识点 　　弧长公式。 2.解题方法技巧 　　①明确圆心角度数和半径； 　　②代入公式求解； ③注意不带单位，结果常保留。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】扇形弧长计算公式，代入求值即可． 【详解】解：将，代入 ． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，小丽玩抖空竹游戏时发现可以将其某时刻的情形抽象成数学问题，如图②，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得米， ∵裙长为米， ∴米， ∴（米）． 【变式题1-3】.（2026九年级下·全国·专题练习）如图，是半圆的直径，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质．设半圆的圆心为O，连接，求出圆心角，再利用圆的周长公式即可求解． 【详解】解：设半圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 【题型2】利用弧长公式求圆心角或半径 1.核心知识点 　　弧长公式的变形应用。 2.解题方法技巧 　　①已知弧长和半径，求圆心角； 　　②已知弧长和圆心角，求半径； ③注意单位换算与结果化简。 【例题2】.（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 【变式题2-1】.（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 【变式题2-3】.（2025九年级·全国·专题练习）已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键． 设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵ 弧长 ，其中 ，， ∴ ， 简化得：， ∴ ， ∴ 。 故选：B． 【题型3】利用扇形面积公式求面积 1.核心知识点 　　扇形面积公式或。 2.解题方法技巧 　　①已知圆心角和半径，用； 　　②已知弧长和半径，用； ③扇面、扇环等面积可用大扇形减小扇形。 【例题3】.（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，的半径为6， ∴． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 【变式题3-2】.（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 【变式题3-3】.（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 【题型4】求某点的弧形运动路径长度 1.核心知识点 　　旋转、滚动时点经过的路径是圆弧，用弧长公式求。 2.解题方法技巧 　　①确定点运动的半径（到旋转中心的距离）和圆心角； 　　②用弧长公式求每段路径； ③多段旋转时，分段求后求和。 【例题4】.（2022·辽宁丹东·二模）如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第一次旋转是以为圆心，的长为半径旋转；第二次旋转是以为圆心，的长为半径旋转，根据弧长计算公式得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，； ∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为． 【变式题4-2】.（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 【变式题4-3】.（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 【培优高频题型】 【题型5】求弓形面积 1.核心知识点 　　弓形面积扇形面积三角形面积。 2.解题方法技巧 　　①连接圆心与弦端点构造扇形和三角形； 　　②弓形面积； ③注意判断弓形是优弧还是劣弧对应的。 【例题5】.（2026·宁夏银川·二模）如图，边长为2的正是的内接三角形，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，连接并延长交于点，通过解求出圆的半径，以及圆与内接正多边形的性质求出圆心角的度数，再由阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：连接、，连接并延长交于点，如下图，   等边是的内接三角形， ，， ∴， ∴， ， 图中阴影部分的面积． 【变式题5-1】.（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴劣弧的长； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∴． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，的半径为3，． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理解答即可； （2）直接利用弧长公式计算即可； （3）利用扇形面积减去直角三角形的面积即可. 【详解】（1）解：， ． （2）解：∵的半径为3，， ∴的长为. （3）解：∵的半径为3，， ． 又， ． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    (1)判断直线与的位置关系．并说明理由； (2)若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 与相切，理由如下： 如图，连接、，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）连接、，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）先求出，，再由计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点，    ∵圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、证明直线是圆的切线、等边三角形的性质、扇形面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型6】求不规则图形的面积 1.核心知识点 　　用割补法求不规则阴影部分面积。 2.解题方法技巧 　　①把不规则图形分割或补齐为扇形、三角形等； 　　②用规则图形面积的和差求阴影面积； ③作辅助线（连半径、作垂线）构造规则图形。 【例题6】.（2026·湖南长沙·二模）如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是半圆O的直径，所以，与等底等高，即面积相等，所以求阴影部分的面积转换为求扇形的面积，因为与是劣弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理得，是的邻补角，求出，即扇形的圆心角，再利用扇形的面积公式，即可求出． 【详解】解： 是半圆O的直径， ， 与等底等高，面积相等， ， 与是劣弧所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，将求阴影部分的面积变成求扇形的面积，根据平行线的性质和切线的性质定理得到扇形的圆心角度数，根据扇形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解: 如图，连接， ∵是的切线，为切点， 则， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， 与同底等高， ， ， 半径，圆心角， 扇形面积． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵和为互相垂直的直径．的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ，， ∴， ∵， ∴． 【变式题6-3】.（2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 【题型7】求图形旋转后扫过的面积 1.核心知识点 　　图形旋转扫过的区域由扇形和三角形等组成。 2.解题方法技巧 　　①确定扫过区域的形状（扇形、三角形等）； 　　②用扇形面积、三角形面积分别计算； ③阴影部分常为扇形面积之差。 【例题7】.（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 【变式题7-1】.（2021·陕西西安·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 【变式题7-2】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算．根据含度角的直角三角形的性质求出，根据计算即可． 【详解】解：，， ， ， 则边扫过区域的面积为： 故答案为：． 【题型8】求圆锥的侧面积 1.核心知识点 　　圆锥侧面积。 2.解题方法技巧 　　①圆锥侧面展开为扇形，扇形面积即侧面积； 　　②已知底面半径和母线，； ③已知高和母线，先用勾股定理求底面半径。 【例题8】.（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是___________． 【答案】 【分析】已知圆锥底面半径和母线长，直接代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长， 将，代入公式，得， 该圆锥的侧面积为． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：灯罩的铁皮的面积是． 【变式题8-2】.（2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求这个圆锥的侧面积． 【答案】这个圆锥的侧面积为 【分析】圆锥的侧面积（其中r为底面圆半径，l为母线长），据此求解即可． 【详解】解：， 答：这个圆锥的侧面积为． 【题型9】求圆锥的底面半径、母线、高 1.核心知识点 　　圆锥及侧面积公式综合。 2.解题方法技巧 　　①由侧面展开扇形弧长等于底面周长求底面半径； 　　②由勾股定理求母线或高； ③已知侧面积与母线，反求底面半径。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一个扇形的半径为，圆心角为，用这个扇形做圆锥的侧面，求圆锥的底面半径和高． 【答案】圆锥的底面半径为，高为． 【分析】先求出扇形的弧长，进而根据“用扇形做圆锥侧面时，扇形的弧长恰好等于圆锥底面的周长”，“圆锥的母线长等于原扇形的半径”计算即可． 【详解】解：扇形的弧长公式为：，其中圆心角，扇形半径，代入得：， 设圆锥底面半径为，圆的周长公式为， ∵用扇形做圆锥侧面时，扇形的弧长恰好等于圆锥底面的周长， ∴， 解得：， 即圆锥的底面半径为， 设圆锥的高为， ∵圆锥的母线长等于原扇形的半径，圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，满足勾股定理， ∴， 即高为． 【变式题9-1】.（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以圆锥的高为． 【变式题9-2】.（2026·西藏·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：B． 【压轴素养题型】 【题型10】求圆锥侧面展开图的圆心角 1.核心知识点 　　侧面展开扇形圆心角。 2.解题方法技巧 　　①扇形弧长底面圆周长，即； 　　②解得； ③已知弧长、母线可反求圆心角。 【例题10】.（26-27九年级·江苏·暑假作业）已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设侧面展开图的圆心角度数为x，再根据圆锥的底面圆的周长进行求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为x， ∵圆锥的底面圆的周长为， ∴ 解得． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）圆锥的底面半径是6，母线长18，求它的侧面展开图的圆心角． 【答案】 圆锥侧面展开图的圆心角为 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥底面半径为6， ∴底面圆的周长为； ∵圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径等于母线长，且弧长等于底面圆周长， ∴， 解得， ∴圆锥侧面展开图的圆心角为． 【变式题10-3】.（2026·黑龙江牡丹江·一模）若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角是_____． 【答案】 【分析】根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，利用公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，满足关系， ∴． 【题型11】圆锥的实际应用 1.核心知识点 　　帐篷、草帽、滤纸等实际情境中的圆锥计算。 2.解题方法技巧 　　①把实际物体抽象为圆锥，确定母线、底面半径、高； 　　②用侧面积、全面积、底面周长等公式求解； ③结合条件（如底部含底面）判断是求侧面积还是全面积。 【例题11】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求： (1)该圆形盖子的半径为多少厘米？ (2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？ 【答案】(1)该圆形盖子的半径为20厘米． (2)制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米． 【分析】（1）先求出圆锥的底面周长，即为扇形的弧长，设圆锥底面圆的半径是r厘米，根据圆的周长公式即可求解； （2）用侧面积加上底面积即可． 【详解】（1）解：圆锥的底面周长是（厘米）． 设圆锥底面圆的半径是r厘米，则， 解得． 答：该圆形盖子的半径为20厘米． （2）解：（平方厘米） 答：制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段管道的示意图，已知，中心线的两条圆弧半径都为，求这段管道的长（中心虚线的长）．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据弧长公式，结合图形计算即可． 【详解】解：． 答：图中管道的展直长度约为． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解； （2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可． 【详解】（1）解：连接，根据题意，， ， 是直径， ，， ， ， ， ， 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为； （2）解： 即裁剪后剩下废料的面积为． 【变式题11-3】.（2026·山东淄博·中考真题）某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量． 【问题提出】 如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积． 【方案设计】 测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺． 操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度． 【问题解决】 已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，） (1)求弧所在圆的半径； (2)求阴影部分的面积．（结果精确到） (3)如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，测量或或、、的长 【分析】（1）连接，，由切线的性质得， ，由等腰三角形的判定及性质即可求解； （2）由图形得即可求解； （3）测量或或、、的长，情况：测量，，由同理可求；情况2：测量，由勾股定理求得；由情况同理可求；情形：测量、、的长，由（2）同理可求． 【详解】（1）解：连接，， 是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， 故弧所在圆的半径为； （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ； （3）解：能，测量或或、、的长； 情况：测量， 由（1）（2）得：，， 设，则，， ， ， 解得（负值已舍）， ， 由同理可求； 情况2：测量， 由勾股定理求得； 由情况同理可求； 情形况：测量、、的长 由（2）同理可求． 【题型12】弧长与扇形面积的综合应用 1.核心知识点 　　弧长、扇形面积、弓形面积的综合计算。 2.解题方法技巧 　　①综合运用弧长、扇形面积公式； 　　②结合旋转、滚动、割补等思想； 　　③注意单位统一和的保留。 【例题12】.（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)解：与相切，理由： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； (2) 【分析】（）连接，先证，再说明即可证明结论； （）先说明是等边三角形，进而得到，然后根据勾股定理求得，最后根据阴影面积等于计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【变式题12-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知是的直径，点为上一点，平分交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出过点的的切线（其中圆规仅使用一次画弧写出简要的作图步骤，保留必要的作图痕迹）； (2)如图（2），设（1）中的交的延长线于点，连接，当时，求线段，与围成的图形的面积． 【答案】(1)如图所示，作图步骤如下： 1、连接交于点； 2、连接，并延长交射线于点； 3、把圆规两只脚分别与点重合，即此时圆规两脚的距离为线段长，以点为圆心以长为半径画弧交线段于点； 4、作直线即为过点的的切线； (2) 【分析】（1）由切线的定义可得，作出过点的的切线，即要作，题意要求圆规仅使用一次画弧，常规尺规作，需要不止一次使用圆规画弧，所以需要利用现有的点、线来作图，连接 交于点；连接，并延长交射线于点；以点为圆心以长为半径画弧交线段于点；作直线即为过点的的切线； （2）连接 ，可得四边形 是菱形，得出，从而得出，则线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积，由是等边三角形，得出扇形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，此时直线为过点的的切线，理由如下： 连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，，即，， ∴ ，即， 由垂径定理可得：点为的中点， 在与中 ∴， ∴，即点为中点， ∴是 的中位线， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵ ， ∴点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴直线为过点的的切线． （2）解：如图所示，连接 ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴，即点是中点， 由（1）得：，， 在 中，是斜边上的中线， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形， ∴， ∴， ∴线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积， ∵ ， ∴是等边三角形，即， ∴ ， ∴线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积为． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知圆锥母线长为3，底面圆半径为2， (1)圆锥侧面展开图圆心角度数是________． (2)已知矩形纸片的边长分别为，．按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由： (3)在一张矩形纸片中裁出一个扇形和圆形，使其可以拼成该圆锥，求这个矩形的最小面积． 【答案】(1) (2)能，理由： 如图，过点M作，垂足为C，延长交扇形于点D，交矩形的右侧边于点E， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵底面圆半径为2， 即直径为4， ∵， ∴能 (3)这个矩形的最小面积 【分析】（1）底面圆的周长比上扇形的弧长，再乘以，即可求解； （2）过点M作，垂足为C，延长交扇形于点D，交矩形的右侧边于点E，结合含角的直角三角形的性质以及对称性，求出，将、矩形的宽度与底面圆的直径作比较，即可判断； （3）扇形与底面圆靠的越近，尽量使扇形所在圆的直径的长度与矩形的某边的长度相等来构造最小矩形，分类讨论：情况一如图：扇形圆心与底面圆圆心的连线与矩形边平行（或垂直）时，画出图形，结合含角的直角三角形的性质以及对称性、勾股定理，先求出的长度，进而可求出，此时以的长度、扇形所在圆的直径长度来构造矩形，并可求出面积；情况二如图，扇形即底面圆与矩形的底边都相切时，根据情况1的方法求出，结合图形，根据相切的特点，可知的长度实为扇形圆心、底面圆圆心二者与矩形下方边的距离之差，即可求出，再利用勾股定理求出，的长度与扇形圆心到矩形左侧边的长度相等也就是与扇形半径的长度相等，进而可求出，此时以的长度、扇形所在圆的直径长度来构造矩形，并可求出面积；综上比较两个面积即可求解． 【详解】（1）解：，， 即：； （2）见答案 （3）情况一如图：扇形圆心与底面圆圆心的连线与矩形边平行（或垂直）时， 由图可知：圆C与扇形的两条半径相切，即， 根据题意有：，，， 根据对称性， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵，， ∴， 此时最小矩形的面积为：； 情况二如图，扇形即底面圆与矩形的底边都相切时， 根据上述方法可求出， ∵扇形的半径为3，底面圆的半径为2，的长度与扇形圆心到矩形左侧边的长度相等，也就是与扇形半径的长度相等， ∴，， ∴， ∴ 此时最小矩形的面积为：； ∵，， ∴， ∴， 故：这个矩形的最小面积． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，的半径为2，直线经过圆心O交于点C，D两点，直径，M是直线上异于点C，O，D的一个动点，所在的直线交于点N，P是直线上另一点，且． (1)如图①，当点M在内部时，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点M在的外部，且时，求的长； (3)如图③，在（2）的情况下，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切． 理由：如图，连接． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 为的半径， 与相切． (2) (3) 【分析】（1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，证明是等边三角形，可得，从而可得，进而得到，再由勾股定理，即可求解； （3）连接，过点N作，垂足为E，根据直角三角形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ，， ， ，． ， 是等边三角形， ， ， ∵， ， ∵， 即， （负值已舍去）． （3）解：如图，连接，过点N作，垂足为E． 由（2）可知，，． 的半径为2， ， ． 易错点 　　1、弧长公式中不带单位，误带“度”导致计算错误。 　　2、扇形面积公式误写为，应为。 　　3、弓形面积误算，漏减弦与弧之间的三角形面积。 　　4、圆锥侧面积误用，应为；底面周长是而非。 　　5、求侧面展开图圆心角时，混淆母线与底面半径。 　　6、圆锥的高、母线、底面半径关系误用，应为。 重点 　　1、掌握弧长公式。 　　2、掌握扇形面积公式。 　　3、掌握圆锥的侧面积、全面积公式。 　　4、掌握圆锥侧面展开图与扇形的关系。 难点 　　1、弓形与不规则图形面积的计算。 　　2、圆锥侧面展开图与扇形、底面圆的转化。 　　3、圆锥侧面上最短路径问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式，代入已知圆心角与面积，进而求出扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得， 化简得， 解得， ， ． 2．如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径，圆心角，则该弯形管道的长度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】管道的长度实际为的长，把圆心角和半径代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， 又∵弧长公式， ∴的长为 即该弯形管道的长度为． 3．一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥侧面积为， 底面积为， 全面积为． 二、填空题 4．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 5．如图，图1是边长为2的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是________． 【答案】2 【详解】解：∵， ， 扇形的面积是. 6．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【分析】连接，由题意可得为的直径，，，求出扇形的对应半径为，弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 三、解答题 7．如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？ 【答案】35.9千克 【分析】由图可得该几何体是上下两个圆锥和中间一个圆柱组成的，利用圆柱和圆锥的侧面积计算公式求出1个锚标浮筒的表面积，进而可求解． 【详解】解：由图知，圆柱和圆锥的底面半径为， 两个圆锥的高均为，圆柱的高为， ∴圆锥的母线长为， ∴两个圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， ∴1个锚标浮筒的表面积为， ∵每平方米用锌， ∴电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌（千克）． 8．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，． (1)求劣弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形性质求出，进而得到劣弧所对的圆心角的度数，再结合弧长公式（n为圆心角，r为半径）计算． （2）观察图形可知，阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积，扇形面积利用公式（n为圆心角，r为半径）计算，三角形面积公式可通过辅助线作高进行计算． 【详解】（1）解：， ， ， ． ， 的半径为4， 的长． （2）如图，过点D作于点H． 在中，，， ∴，则， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 9．如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，，再通过等腰三角形的性质得到，从而证得，然后由圆心角定理证得； （2）作于，利用菱形的性质可得，是等边三角形，得到，通过等腰三角形的性质结合勾股定理得到，然后通过求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 10．在的方格纸中，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图． (1)在圆上找一点，使平分． (2)求弧的长度 【答案】(1)如图，点D即为所求． (2) 【分析】（1）作的垂直平分线与圆交于点，即可； （2）设的外接圆圆心为O，连接、，求出圆心角即可求弧长． 【详解】（1）解：如图，是等腰直角三角形，且，是斜边，是正方形的对角线， 平分， 且平分， ； （2）解：设的外接圆圆心为O， 连接、， 由勾股定理可得半径为 因为， 所以， 所以． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7扇形 知识点1 ：弧长公式 　　1. 弧长公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长。 　　2. 推导：圆心角所对的弧长是圆周长，则所对的弧长。 　　3. 变形：已知弧长可求圆心角，或求半径。 　　4. 注意：表示圆心角的度数（不带单位）；弧长与圆心角、半径三个量中已知两个可求第三个。 知识点2 ：扇形的面积公式 　　1. 扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 　　2. 扇形面积公式： 公式 表达式 适用条件 圆心角形式 已知圆心角和半径 弧长形式 已知弧长和半径 　　3. 注意：扇形面积公式中，中为圆心角度数；扇形面积与三角形面积公式底高类比，弧长相当于底、半径相当于高。 知识点3 ：弓形与不规则图形的面积 　　1. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 　　2. 弓形面积：弓形面积扇形面积三角形面积（弦在弧内时）。 　　3. 不规则图形面积：常通过割补法、等积变换、作辅助线等方法，转化为扇形、三角形、圆等规则图形的面积和差来计算。 知识点4 ：圆锥的侧面积和全面积 　　1. 圆锥的相关概念：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。 　　2. 基本特征：圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，由勾股定理得。 　　3. 侧面展开：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。 　　4. 侧面积与全面积：圆锥的侧面积；全面积。 　　5. 侧面展开图圆心角：设侧面展开扇形圆心角为，则，即。 【基础必考题型】 【题型1】利用弧长公式求弧长 1.核心知识点 　　弧长公式。 2.解题方法技巧 　　①明确圆心角度数和半径； 　　②代入公式求解； ③注意不带单位，结果常保留。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，小丽玩抖空竹游戏时发现可以将其某时刻的情形抽象成数学问题，如图②，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式题1-3】.（2026九年级下·全国·专题练习）如图，是半圆的直径，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型2】利用弧长公式求圆心角或半径 1.核心知识点 　　弧长公式的变形应用。 2.解题方法技巧 　　①已知弧长和半径，求圆心角； 　　②已知弧长和圆心角，求半径； ③注意单位换算与结果化简。 【例题2】.（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【变式题2-3】.（2025九年级·全国·专题练习）已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型3】利用扇形面积公式求面积 1.核心知识点 　　扇形面积公式或。 2.解题方法技巧 　　①已知圆心角和半径，用； 　　②已知弧长和半径，用； ③扇面、扇环等面积可用大扇形减小扇形。 【例题3】.（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【题型4】求某点的弧形运动路径长度 1.核心知识点 　　旋转、滚动时点经过的路径是圆弧，用弧长公式求。 2.解题方法技巧 　　①确定点运动的半径（到旋转中心的距离）和圆心角； 　　②用弧长公式求每段路径； ③多段旋转时，分段求后求和。 【例题4】.（2022·辽宁丹东·二模）如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】求弓形面积 1.核心知识点 　　弓形面积扇形面积三角形面积。 2.解题方法技巧 　　①连接圆心与弦端点构造扇形和三角形； 　　②弓形面积； ③注意判断弓形是优弧还是劣弧对应的。 【例题5】.（2026·宁夏银川·二模）如图，边长为2的正是的内接三角形，则阴影部分的面积为_________． 【变式题5-1】.（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，的半径为3，． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    (1)判断直线与的位置关系．并说明理由； (2)若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【题型6】求不规则图形的面积 1.核心知识点 　　用割补法求不规则阴影部分面积。 2.解题方法技巧 　　①把不规则图形分割或补齐为扇形、三角形等； 　　②用规则图形面积的和差求阴影面积； ③作辅助线（连半径、作垂线）构造规则图形。 【例题6】.（2026·湖南长沙·二模）如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【变式题6-3】.（2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【题型7】求图形旋转后扫过的面积 1.核心知识点 　　图形旋转扫过的区域由扇形和三角形等组成。 2.解题方法技巧 　　①确定扫过区域的形状（扇形、三角形等）； 　　②用扇形面积、三角形面积分别计算； ③阴影部分常为扇形面积之差。 【例题7】.（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（2021·陕西西安·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【题型8】求圆锥的侧面积 1.核心知识点 　　圆锥侧面积。 2.解题方法技巧 　　①圆锥侧面展开为扇形，扇形面积即侧面积； 　　②已知底面半径和母线，； ③已知高和母线，先用勾股定理求底面半径。 【例题8】.（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是___________． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素） 【变式题8-2】.（2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求这个圆锥的侧面积． 【题型9】求圆锥的底面半径、母线、高 1.核心知识点 　　圆锥及侧面积公式综合。 2.解题方法技巧 　　①由侧面展开扇形弧长等于底面周长求底面半径； 　　②由勾股定理求母线或高； ③已知侧面积与母线，反求底面半径。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一个扇形的半径为，圆心角为，用这个扇形做圆锥的侧面，求圆锥的底面半径和高． 【变式题9-1】.（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【变式题9-2】.（2026·西藏·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【压轴素养题型】 【题型10】求圆锥侧面展开图的圆心角 1.核心知识点 　　侧面展开扇形圆心角。 2.解题方法技巧 　　①扇形弧长底面圆周长，即； 　　②解得； ③已知弧长、母线可反求圆心角。 【例题10】.（26-27九年级·江苏·暑假作业）已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）圆锥的底面半径是6，母线长18，求它的侧面展开图的圆心角． 【变式题10-3】.（2026·黑龙江牡丹江·一模）若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角是_____． 【题型11】圆锥的实际应用 1.核心知识点 　　帐篷、草帽、滤纸等实际情境中的圆锥计算。 2.解题方法技巧 　　①把实际物体抽象为圆锥，确定母线、底面半径、高； 　　②用侧面积、全面积、底面周长等公式求解； ③结合条件（如底部含底面）判断是求侧面积还是全面积。 【例题11】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求： (1)该圆形盖子的半径为多少厘米？ (2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？ 【变式题11-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段管道的示意图，已知，中心线的两条圆弧半径都为，求这段管道的长（中心虚线的长）．（结果精确到） 【变式题11-2】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 【变式题11-3】.（2026·山东淄博·中考真题）某中学开展综合实践活动，同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量． 【问题提出】 如图，某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形．根据工件制作标准得知，是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与线段相切的切点，是圆弧与线段相切的切点，，，三点在同一条直线上．现需设计一个测量方案，以求得工件的截面面积． 【方案设计】 测量工具：刻度尺、量角器、游标卡尺． 操作步骤：同学们用刻度尺测量的长度，用量角器测量和的角度，用游标卡尺测量圆孔直径的长度． 【问题解决】 已知，，，圆孔直径为．（参考数据：，） (1)求弧所在圆的半径； (2)求阴影部分的面积．（结果精确到） (3)如果不测量的长，其它测量数据不变，能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长，求得工件的截面面积？如果能，写出该线段；如果不能，说明理由． 【题型12】弧长与扇形面积的综合应用 1.核心知识点 　　弧长、扇形面积、弓形面积的综合计算。 2.解题方法技巧 　　①综合运用弧长、扇形面积公式； 　　②结合旋转、滚动、割补等思想； 　　③注意单位统一和的保留。 【例题12】.（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求图中阴影部分的面积． 【变式题12-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知是的直径，点为上一点，平分交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出过点的的切线（其中圆规仅使用一次画弧写出简要的作图步骤，保留必要的作图痕迹）； (2)如图（2），设（1）中的交的延长线于点，连接，当时，求线段，与围成的图形的面积． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知圆锥母线长为3，底面圆半径为2， (1)圆锥侧面展开图圆心角度数是________． (2)已知矩形纸片的边长分别为，．按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由： (3)在一张矩形纸片中裁出一个扇形和圆形，使其可以拼成该圆锥，求这个矩形的最小面积． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，的半径为2，直线经过圆心O交于点C，D两点，直径，M是直线上异于点C，O，D的一个动点，所在的直线交于点N，P是直线上另一点，且． (1)如图①，当点M在内部时，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点M在的外部，且时，求的长； (3)如图③，在（2）的情况下，连接，，求阴影部分的面积． 易错点 　　1、弧长公式中不带单位，误带“度”导致计算错误。 　　2、扇形面积公式误写为，应为。 　　3、弓形面积误算，漏减弦与弧之间的三角形面积。 　　4、圆锥侧面积误用，应为；底面周长是而非。 　　5、求侧面展开图圆心角时，混淆母线与底面半径。 　　6、圆锥的高、母线、底面半径关系误用，应为。 重点 　　1、掌握弧长公式。 　　2、掌握扇形面积公式。 　　3、掌握圆锥的侧面积、全面积公式。 　　4、掌握圆锥侧面展开图与扇形的关系。 难点 　　1、弓形与不规则图形面积的计算。 　　2、圆锥侧面展开图与扇形、底面圆的转化。 　　3、圆锥侧面上最短路径问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 2．如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径，圆心角，则该弯形管道的长度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 3．一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1，则这个圆锥形零件的全面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 5．如图，图1是边长为2的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是________． 6．如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 三、解答题 7．如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？ 8．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，． (1)求劣弧的长； (2)求阴影部分的面积． 9．如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 10．在的方格纸中，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图． (1)在圆上找一点，使平分． (2)求弧的长度 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $