3.6 正多边形与圆（讲义）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.6 正多边形与圆 目录 Part1考点突破 考点1：正多边形与圆的有关概念 考点2：正多边形的有关计算 考点3：正多边形的画法与综合应用 Part2 题型探究 题型1：正多边形的概念与中心角 题型2：正多边形的角度计算 题型3：正多边形的边长与边心距 题型4：正多边形的周长与面积 题型5：作正多边形 题型6：正多边形与圆综合 Part3 分层通关 【考点1：正多边形与圆的有关概念】 1、正多边形的定义 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各等分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是该正多边形的外接圆。 2、与正多边形有关的概念 （1）中心：正多边形外接圆的圆心；（2）半径：正多边形外接圆的半径；（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角；（4）边心距：中心到正多边形一边的距离。正n边形的每个中心角等于360°/n。 3、正多边形的对称性 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，其对称中心就是正多边形的中心。 【考点2：正多边形的有关计算】 1、中心角与内角 正n边形的中心角为360°/n，每个内角为(n−2)·180°/n，每个外角为360°/n。正多边形的中心角与外角相等。 2、边长、半径与边心距 设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，则边长的一半、边心距与半径构成直角三角形：a/2 = R·sin(180°/n)，r = R·cos(180°/n)。常用结论：正六边形的边长等于其半径；正方形的边长为R√2；正三角形的边长为R√3。 3、周长与面积 正n边形的周长l = n·a。正n边形的面积S = 1/2·l·r（周长×边心距÷2），即S = n/2·a·r。 【考点3：正多边形的画法与综合应用】 1、画正多边形的方法 画正多边形的关键是等分圆周。用量角器可以画任意正多边形；用尺规只能画特殊的正多边形，如正方形、正六边形、正八边形等。画正六边形：作直径，分别以直径两端点为圆心、半径为半径画弧，与圆相交即可得到六等分点。 2、正多边形与圆的综合 解决正多边形与圆的综合问题，常连接中心与顶点，构造等腰三角形或直角三角形，利用中心角、圆周角定理、勾股定理等求解。注意正多边形中隐含的等边三角形和直角三角形。 【题型1：正多边形的概念与中心角】 【例1】下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 【变式1】青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是记住中心角．求出正五边形的中心角即可． 【详解】解：正五边形的中心角． 故选：C． 【变式2】正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 【答案】120 90 60 【详解】解：正三角形边数，中心角为． 正方形边数，中心角为． 正六边形边数，中心角为． 【变式3】如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2：正多边形的角度计算】 【例2】如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 【答案】/45度 【分析】根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得，从而求解． 【详解】解：四边形是的内接正方形， ， 与都是所对的圆周角， ． 【变式1】如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 【变式2】如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点C、D重合），则的度数为______． 【答案】或 【分析】如图，连接，，由正五边形的性质求出，然后分两种情况讨论，分别根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴ ∵P为上的一点（点P不与点C、D重合）， 如图，当点P在优弧上时， ∴； 如图，当点P在劣弧上时， ∴ ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式3】如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 【答案】114 【分析】连接，，作正六边形的外接圆，先根据正六边形的性质及圆周角定理，证明是直径，并求出，然后计算五边形的内角，求得，再根据等腰三角形的性质求出，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，，作正六边形的外接圆， 则，，， 是直径，， 又正五边形的内角， ， ， ， 是等边三角形， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ． 【题型3：正多边形的边长与边心距】 【例3】如图，边长为的正六边形内接于，则它的边心距为_____． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质以及勾股定理进行计算即可．掌握正六边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵边长为的正六边形内接于， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴它的边心距为． 故答案为：． 【变式1】在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（    ） A．90°，4 B．90°，1 C．45°，4 D．45°，1 【答案】A 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可分别求出中心角，边心距． 【详解】解：正方形的边长为8， 由中心角只有四个可得出， 中心角是， 正方形的外接圆半径是：， ，， ， 边心距为：4． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 【变式2】已知圆的内接正四边形的边长为4，则这个圆的内接正六边形的边长为______． 【答案】 【详解】解：连接，，作于，如图所示： 四边形是正四边形， ， 又， ． ， 正六边形如图所示：连接， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【答案】2 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径． 【详解】解：连接，设正方形边长为， ∵正方形面积为， ∴． ∵正方形内接于， ∴正方形的对角线为的直径． 设半径为r， ． 根据勾股定理，： ∴， 代入， 得， 化简得． ∵半径为正数， ∴． 【题型4：正多边形的周长与面积】 【例4】如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周长的公式可算出直径，由正六边形内接于可知正六边形的半径为6，，又正六边形的中心角为，所以正六边形的边长也为6，即可求出正六边形的边长． 【详解】∵， ∴， 即， ∵正六边形内接于， ∴边长=， ∴周长=． 故选B． 【点睛】本题考查了圆内接正六边形的相关性质，解决本题的关键是正六边形的边长和它的半径相等． 【变式1】如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是_____． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，过点作于， 根据图形可知： ，，圆的半径， ， ， ， 图中阴影部分的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正六边形的性质. 【变式2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 【变式3】南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【答案】/ 【分析】利用圆面积公式，根据已知半径求出圆的面积，把圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，通过正十二边形中心角求出为等边三角形，得到相关边长和高，求出单个等腰三角形面积，乘以12得到正十二边形面积，用圆的面积减去正十二边形的面积，得出面积差． 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D， ∵圆的半径， ∴， ∵正十二边形的中心角为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：， ∴． 【题型5：作正多边形】 【例5】已知正八边形ABCDEFGH，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，作一个正方形； （2）在图②中，作一个与原图形不相同的正八边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）连接BD，DF，FH，HB，由原图形为正八边形，得到各边相等，各内角相等，可得三角形BCD，三角形DEF，三角形FGH，三角形HAB全等，进而得到四边形BDFH四边相等，利用等边对等角以及正八边形的内角，确定出四边形BDFH四个角都为直角，可得出四边形BDFH即为所求正方形； （2）连接AE、DH，相交于点O，由正八边形的性质可得点O为正八边形的中心点，且，再延长CD、FE，相交于点N，由补角的定义和等角对等边可得，连接ON，与DE相交于点M，则ON为DE的垂直平分线，点M为DE的中点，同理可得其他各边的中点，依次连接原正八边形ABCDEFGH的各边中点，依次得到四周小三角形全等，得到红线部分八边形各边相等，再利用等边对等角以及正八边形的内角，确定出红线部分八边形八个角都相等，可得所求正八边形． 【详解】（1）如图1，连接BD，DF，FH，HB，四边形BDFH即为所求正方形； （2）如图2，连接AE、DH，相交于点O，由正八边形的性质可得点O为正八边形的中心点，且，再延长CD、FE，相交于点N，由补角的定义和等角对等边可得，连接ON，与DE相交于点M，则ON为DE的垂直平分线，点M为DE的中点，同理可得其他各边的中点，依次连接原正八边形ABCDEFGH的各边中点，可得所求正八边形． 【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图，正方形的判定与性质，以及正多边形和圆，熟练掌握正多边形的判定与性质是解本题的关键． 【变式1】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【答案】 如图所示，四边形ABCD即为所求： 【详解】试题分析：画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD． 试题解析：略 考点：正多边形和圆；作图—复杂作图． 【变式2】如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 正方形如图所示： 【变式3】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 【答案】(1) 解：如图①，正六边形即为所求； (2) 如图②，正八边形即为所求； (3) 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定； （1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． （3）根据网格，先计算，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 【题型6：正多边形与圆综合】 【例6】如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形， 理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； (3) 【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论； （2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论； （3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）略 （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． 【变式1】如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 【变式2】如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP． (1)求∠CPD的度数； (2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD； （2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案． 【详解】（1）解：连接OD，OC， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠DOC＝90°， ∴． （2）解：连接PO，OB，如图所示： ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠COB＝90°， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴n＝360÷45＝8． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 【变式3】如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t＝　　 s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝　　 s时，四边形PBQE为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）①t＝2s；②t＝0s或4s 【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F， ∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动， ∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t， 在△ABP和△DEQ中， ， ∴△ABP≌△DEQ（SAS）， ∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB， ∴四边形PEQB是平行四边形． （2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBQE是菱形时，此时t＝2s． ②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°， ∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°， ∴此时四边形PBQE是矩形． 当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形． 综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形． 故答案为2s，0s或4s． 【基础通关练】 1．下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 2．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 3．如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．根据题意可得园内是一个正八边形，求出中心角，得到旋转后能重合的最小旋转角，即可求解． 【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则， 将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数， ，不是整数， 旋转角度不能是， 故选：B． 4．金砖国家（）是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国．如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先利用正五边形内接于圆的性质，算出每段等弧的度数为，再依据圆周角定理，得出所对弧的圆周角为． 【详解】解：∵正五边形内接于圆，将整个圆五等分， ∴每段相等的弧的度数为：，即所对的圆心角度数为， ∵是圆周角，所对弧， ∴． 5．在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为______． 【答案】8 【详解】解：如图， 由题意：，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是． 故答案为：8． 6．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】见解析 （1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【提升通关练】 1．以半径为2的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作一个三角形，则该三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】将圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距、边长的一半、圆的半径构造直角三角形，根据勾股定理分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理判得该三角形是直角三角形，由三角形的面积公式即可求其面积． 【详解】解：如图1， ∵， ∴； 如图2， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3， ∵， ∴， ∴， 则该三角形的三边分别为：1，，， ∵， ∴该三角形是直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形与圆，勾股定理的逆定理，将圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距、边长的一半、圆的半径构造直角三角形是解题的关键． 2．如图，正方形内接于，其边长为，则的内接正三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、，作于，先求出圆的半径，在中利用度角的性质即可解决问题． 【详解】解；连接、、，作于， 四边形是正方形， ∴， 是直径，， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示：    由正六边形的对称性可知： ∴是全等的等边三角形 ∴四边形是菱形 同理， ∵ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∵ ∴ 故选：B 4．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 5．⊙O的内接正方形的边长为a和外切正三角形的边长为b，则＝_____． 【答案】 【分析】如图，作辅助线；根据勾股定理首先求出EG的长度，进而得到EO的长度；根据直角三角形的边角关系求出AE的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接GE、OA；则GE必过点O； ∵△ABC为⊙O的外切正三角形， ∴OE⊥AB，∠OAE＝∠OAH＝×60°＝30°； ∵四边形EFGH为⊙O的内接正方形， ∴EF＝FG＝a，∠EFG＝90°， 由勾股定理得：EG2＝EF2+FG2＝2a2， ∴EG＝a，EO＝； 在直角△AOE中， ∵tan30°＝， ∴AE＝a；同理可求BE＝a， ∴AB＝a， 即该圆外切正三角形边长为a， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正多边形和圆，掌握勾股定理、正多边形和圆是解题的关键. 6．如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 【答案】/ 【详解】解：∵正方形面积是2， ∴其边长为：， 如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形， ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ， ∴正八边形的面积为： ， ∴非阴影部分面积是． 故答案为：． 7．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距． 【答案】（1）见解析；（2）等边△ABC的边心距1． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，结合∠APC＝∠CPB＝60°可得∠BAC＝∠ABC＝60°，即可判断△ABC的形状； （2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，然后根据直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）过O作OD⊥BC于D，连接OB， 则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°， ∵OB＝2， ∴OD＝1， ∴等边△ABC的边心距为1． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质，作出辅助线、构造直角三角形以及证明△ABC是等边三角形是解答本题的关键． 8．如图，已知． （1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．      【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）利用正六边形的性质外接圆边长等于外接圆半径； （2）连接对角线以及利用正六边形性质． 【详解】解：（1）如图所示： , （2）如图所示： 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形和正六边形的性质，根据正六边形性质得出作法是解题关键. 9．如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【详解】（1）如图所示： 连接、，与相交于点，即为等腰直角三角形； 根据正八边形可知，每一个内角的大小为，且四边形为等腰梯形，内角和为，， ， ， ， 同理可得，， 为等腰直角三角形； （2）解：如图所示： 连接、，与相交于点，连接、，交于点，交于点，连接，四边形即为正方形； ，，可求， ， 则满足，且， 四边形即为正方形． 【培优通关练】 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连接G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（　　） A．6≤C≤6 B．3≤C≤3 C．3C≤6 D．3C≤6 【答案】C 【解答】解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的． ∵GK的最大值为3，GK的最小值为， ∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为， ∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：3C≤6． 故选：C． 2．在半径为的圆内接正方形和内接正六边形，则正方形面积与正六边形的面积的比值为_____． 【答案】/ 【分析】此题考查了圆内接正四边形和圆内接正六边形的半径和边心距之间的关系．根据圆内接正方形和内接正六边形的性质，将问题转化为关于三角形的问题，可求出正方形和正六边形的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图1， 在圆内接正方形中，，， 则内接正方形的边长为， 其面积为； 如图2，在圆内接正六边形中，作于点， ∴， ∴为正三角形， 则内接正六边形的边长为R， ∴， ∴内接正六边形的面积为， ∴正方形面积与正六边形面积的比值为： ， 故答案为：． 3．如图，已知AB、AC是⊙O的弦，AB、AC的长分别等于⊙O的内接正六边形和正五边形的边长． （1）试判断BC的长是否等于⊙O的内接正几边形的边长； （2）如果⊙O的半径OA＝6，求⊙O的内接正六边形的面积． 【答案】（1）BC的长等于⊙O的内接正30边形的边长，理由见解析； （2）⊙O的内接正六边形的面积为． 【分析】（1）因为AB、AC的长分别等于⊙O的内接正六边形和正五边形的边长，所以∠AOB=60°，∠AOC=72°，即∠BOC=12°，即可得出BC的长等于⊙O的内接正30边形的边长； （2）先算出△OAB的面积，即可得出⊙O的内接正六边形的面积． 【详解】解：（1）∵AB、AC是⊙O的弦，AB、AC的长分别等于⊙O的内接正六边形和正五边形的边长， ∴∠AOB＝60°，∠AOC＝72°， ∴∠BOC＝12°， ∴n＝360÷12＝30， ∴BC的长等于⊙O的内接正30边形的边长； （2）∵⊙O的半径OA＝6，且△OAB为等边三角形， ∴⊙O的内接正六边形的面积为． 【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，熟练掌握正多边形圆心角的计算公式是解题的关键． 4．已知：线段MN＝a． （1）求作：边长为a的正三角形ABC．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）若a＝10cm．求（1）中正三角形ABC的内切圆的半径． 【答案】见解析 【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求作的正三角形． （2）如图：分别作CD⊥AB、BE⊥AC于点D、E， CD和BE相交于点O， 点O即为正三角形ABC的内切圆的圆心，OD即为内切圆的半径． ∵AB＝BC＝10， ∴BDAB＝5， ∴CD＝15， 设OD＝x，则OB＝OC＝15﹣x， 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得 OB2＝OD2+BD2即（15﹣x）2＝x2+（5）2， 解得x＝5． 答：（1）中正三角形ABC的内切圆的半径为5cm． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 正多边形与圆 目录 Part1考点突破 考点1：正多边形与圆的有关概念 考点2：正多边形的有关计算 考点3：正多边形的画法与综合应用 Part2 题型探究 题型1：正多边形的概念与中心角 题型2：正多边形的角度计算 题型3：正多边形的边长与边心距 题型4：正多边形的周长与面积 题型5：作正多边形 题型6：正多边形与圆综合 Part3 分层通关 【考点1：正多边形与圆的有关概念】 1、正多边形的定义 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各等分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是该正多边形的外接圆。 2、与正多边形有关的概念 （1）中心：正多边形外接圆的圆心；（2）半径：正多边形外接圆的半径；（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角；（4）边心距：中心到正多边形一边的距离。正n边形的每个中心角等于360°/n。 3、正多边形的对称性 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，其对称中心就是正多边形的中心。 【考点2：正多边形的有关计算】 1、中心角与内角 正n边形的中心角为360°/n，每个内角为(n−2)·180°/n，每个外角为360°/n。正多边形的中心角与外角相等。 2、边长、半径与边心距 设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，则边长的一半、边心距与半径构成直角三角形：a/2 = R·sin(180°/n)，r = R·cos(180°/n)。常用结论：正六边形的边长等于其半径；正方形的边长为R√2；正三角形的边长为R√3。 3、周长与面积 正n边形的周长l = n·a。正n边形的面积S = 1/2·l·r（周长×边心距÷2），即S = n/2·a·r。 【考点3：正多边形的画法与综合应用】 1、画正多边形的方法 画正多边形的关键是等分圆周。用量角器可以画任意正多边形；用尺规只能画特殊的正多边形，如正方形、正六边形、正八边形等。画正六边形：作直径，分别以直径两端点为圆心、半径为半径画弧，与圆相交即可得到六等分点。 2、正多边形与圆的综合 解决正多边形与圆的综合问题，常连接中心与顶点，构造等腰三角形或直角三角形，利用中心角、圆周角定理、勾股定理等求解。注意正多边形中隐含的等边三角形和直角三角形。 【题型1：正多边形的概念与中心角】 【例1】下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【变式1】青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 【变式3】如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【题型2：正多边形的角度计算】 【例2】如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 【变式1】如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【变式2】如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点C、D重合），则的度数为______． 【变式3】如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 【题型3：正多边形的边长与边心距】 【例3】如图，边长为的正六边形内接于，则它的边心距为_____． 【变式1】在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（    ） A．90°，4 B．90°，1 C．45°，4 D．45°，1 【变式2】已知圆的内接正四边形的边长为4，则这个圆的内接正六边形的边长为______． 【变式3】如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【题型4：正多边形的周长与面积】 【例4】如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（   ） A．18 B．36 C． D． 【变式1】如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是_____． 【变式2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【变式3】南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【题型5：作正多边形】 【例5】已知正八边形ABCDEFGH，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，作一个正方形； （2）在图②中，作一个与原图形不相同的正八边形． 【变式1】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【变式2】如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式3】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 【题型6：正多边形与圆综合】 【例6】如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【变式1】如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP． (1)求∠CPD的度数； (2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【变式3】如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）． （1）求证：四边形PEQB为平行四边形； （2）填空： ①当t＝　　 s时，四边形PBQE为菱形； ②当t＝　　 s时，四边形PBQE为矩形． 【基础通关练】 1．下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 4．金砖国家（）是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国．如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形，则的度数为__________． 5．在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为______． 6．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【提升通关练】 1．以半径为2的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作一个三角形，则该三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 2．如图，正方形内接于，其边长为，则的内接正三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）    A． B．1 C． D．2 4．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 5．⊙O的内接正方形的边长为a和外切正三角形的边长为b，则＝_____． 6．如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 7．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距． 8．如图，已知． （1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．      9．如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 【培优通关练】 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连接G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（　　） A．6≤C≤6 B．3≤C≤3 C．3C≤6 D．3C≤6 2．在半径为的圆内接正方形和内接正六边形，则正方形面积与正六边形的面积的比值为_____． 3．如图，已知AB、AC是⊙O的弦，AB、AC的长分别等于⊙O的内接正六边形和正五边形的边长． （1）试判断BC的长是否等于⊙O的内接正几边形的边长； （2）如果⊙O的半径OA＝6，求⊙O的内接正六边形的面积． 4．已知：线段MN＝a． （1）求作：边长为a的正三角形ABC．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）若a＝10cm．求（1）中正三角形ABC的内切圆的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $