21.2 用公式法分解因式教学设计 2026-2027学年数学人教版（五四制）八年级上册

文本解读

用公式法分解因式是人教版（五四制）八年级数学上册第二十一章"因式分解"第2课时的内容，是在学生学习了提公因式法分解因式以及整式乘法中平方差公式、完全平方公式的基础上，进一步研究因式分解的重要方法。本课时的核心内容是把整式乘法的平方差公式a²−b²=(a+b)(a−b)和完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)²反过来运用，将形如"平方差"和"完全平方式"结构特征的多项式分解为几个整式的积。公式法是因式分解知识体系中的关键一环，它既是整式乘法的逆变形，又为后续学习分式的约分、二次根式的化简以及一元二次方程的解法奠定基础。教材通过"逆用公式"的探究过程，引导学生体会转化思想和逆向思维，发展学生的运算能力和推理能力，渗透数形结合的数学思想。本节课围绕"观察结构—判断特征—套用公式—检验彻底"的主线展开，突出2026年最新版教材对代数推理与运算素养的重视。

教学目标

1. 【数学抽象】 通过对平方差公式、完全平方公式逆向运用的探究，抽象出公式法分解因式的结构特征，理解公式中"a""b"既可以表示数、字母，也可以表示单项式或多项式，提升抽象概括能力。

2. 【逻辑推理】 经历"正向回顾公式→逆向猜想→验证应用→归纳方法"的推理过程，理解公式法分解因式与整式乘法的互逆关系，发展逆向思维与代数推理能力。

3. 【数学运算】 能准确判断多项式是否符合平方差公式（两项、异号、均为平方形式）或完全平方公式（三项、首尾为平方、中间项为两倍积）的结构特征，规范书写分解过程，做到分解彻底，提升运算的准确性与熟练度。

4. 【直观想象】 借助剪拼正方形等几何直观理解公式的合理性，体会数形结合思想，感受数学公式的结构之美。

重点难点

教学重点：掌握平方差公式和完全平方公式逆用的结构特征，能正确运用公式法分解因式。

教学难点：准确识别多项式是否符合公式的结构特征，综合运用提公因式法和公式法分解因式，并理解"分解要彻底"的要求。

课时安排

1课时

教学过程

新课导入

（一）情境创设

同学们，2025年9月，我国"十四五"重大科技基础设施——中国天眼FAST又立新功：科研人员在处理脉冲星信号时，需要把形如a²−b²的复杂代数式快速化简。如果把一个多项式看成是几个整式"相乘"得到的，就像把一座建筑拆回一根根钢筋，这种变形就是我们上节课学过的因式分解。今天，我们继续探索因式分解的新方法——用公式法分解因

式。

（二）问题激趣

（教师在大屏幕上展示"中国天眼"及航天工程图片）

师：整式乘法我们学过两个重要公式，大家还记得吗？

生：平方差公式(a+b)(a−b)=a²−b²；完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²。

师：非常好！如果把这两个公式"反过来"，从右往左看，右边是多项式，左边是几个整式的积——这恰好就是因式分解！可见，乘法公式与因式分解是一对互逆的变形。这节课我们就利用这两个公式，把特殊结构的多项式"拆"成整式的积。

（学生齐读课题，教师板书：21.2 用公式法分解因式）

探究新知

任务一：探究平方差公式分解因式1. 逆向观察，发现规律

将乘法公式反过来写：

a²−b²=(a+b)(a−b)．

思考：等号右边的多项式a²−b²有什么结构特点？

【要点点拨】a²−b²是两项式，两项都能写成某个式子的平方，且符号相反，即"平方差"的形式。公式中的a、b可以表示数、字母、单项式，也可以表示多项式。

2. 辨析练习：下列多项式能否用平方差公式分解因式？

（1）x²+y²；（2）x²−y²；（3）−x²+y²；（4）−x²−y²。

【要点点拨】（1）不能，是平方和；（2）能；（3）能，−x²+y²=y²−x²=(y+x)(y−x)；（4）不能，两项同号。能用平方差公式分解的多项式必须满足：两项式、两项异号、每项都是平方形式，即"系数能平方，指数要成双，两项符号异"。

3. 例题示范

例1 分解因式：

（1）4x²−9；（2）a²−25b²。

解：（1）4x²−9=(2x)²−3²=(2x+3)(2x−3)；

（2）a²−25b²=a²−(5b)²=(a+5b)(a−5b)。

方法归纳：用平方差公式分解因式时，先确定公式中的"a"和"b"，再套用公式写出积。分解结果要检查每个因式能否继续分解，做

到分解彻底。

任务二：探究完全平方公式分解因式1. 几何直观，拼图验证

（教师用希沃白板演示拼图：把一张边长为a的正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线剪开拼成梯形）

思考：怎样用含a、b的代数式表示剩余部分的面积？

【要点点拨】剩余面积可表示为a²−b²=(a+b)(a−b)；若把剩余部分重新拼成一个"曲尺"形，又可以表示为三个小图形面积之和。类似地，边长为(a+b)的正方形由四块组成：边长为a的正方形、边长为b的正方形和两个长为a宽为b的矩形，即(a+b)²=a²+2ab+b²。反过来，就得到因式分解的完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²。

2. 结构辨析：完全平方式有什么特征？

【要点点拨】三项式；首尾两项是平方形式且同号；中间项是首尾两个"底"乘积的2倍，即"首平方，尾平方，首尾积的2倍在中央，首尾符号相同"。公式中的a、b同样可以表示数或代数式。

3. 例题示范

例2 分解因式：

（1）x²+14x+49；（2）9a²−30ab+25b²。

解：（1）x²+14x+49=x²+2·x·7+7²=(x+7)²；

（2）9a²−30ab+25b²=(3a)²−2×3a×5b+(5b)²=(3a−5b)²。

例3 分解因式：

（1）3ax²+6axy+3ay²；（2）a⁴−16。

解：（1）3ax²+6axy+3ay²=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²；（先提公因式，再用完全平方公式）

（2）a⁴−16=(a²+4)(a²−4)=(a²+4)(a+2)(a−2)。（连续两次用平方差公式，分解要彻底）

方法归纳：分解因式的一般步骤——"一提"（有公因式先提公因式）、"二套"（套用平方差公式或完全平方公式）、"三查"（检查每个因式能否继续分解，直到不能再分解为止）。

文本探究

任务三：综合运用，提升素养1. 情境应用：数学与国防

2026年是我国"十五五"规划开局之年，某型