广东省深圳市多校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段质量监测数学试题

2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测数学试题 参考答案 题号 1 2 4 6 7 8 10 答案 C B A D D AB BC 题号 11 答案 ACD 12.2 13.5 14.-6 15.【详解】Q)因为向量i=(1,0,1),万=(2，-2,0) …2分 所以2a+6=(20,2)+(2,-2,0)=(4,-2,2) 4分 (2)由题意，向量=(10,1)万=(2，-2,0) ld=P+02+1P=2=V22+(-22+02=22 …8分 ®)☒为i-6=1x2+0x(-2)+1x0=2 …10分 Cos0- ab 2 1 5 V2×2√52 所以 …12分 =π 0c可，可0 13分 16.【详解】1)由A(4,0),C(0,3)】 kac 3-0_3 得所在的直线的斜 0-44, …3分 3-3 ,即3x+4y-12=0 X 所以AC所在的直线的方程： …4分 所以边4C所在的直线的一般式方程：3x+4y-12=0, 5分 (2)由4(4,0)，B(6,7).C(0,3). 得BC的中点M坐标为(3,5)】 …6分 5-0 -5 AM所在的直线的斜 k4c3-4 …8分 所以中线AM所在直线的方程：y-5=-5(x-3),即5x+y-20=0, …9分 所以中线AM所在直线的一般式方程为5x+y-20=0: … …10分 7-07 (3)由4(4,0)，B(6,7),C(0,3)得，边4B的斜率 AB=6-42、…11分 2 所以边AB上的高所在直线的斜率 …12分 y-3=-x 所以AB上的高所在直线的方程为： > …14分 即2x+7y-21=0 所以边AB上的高所在直线的一般式方程为2x+7y-21=0 …15分 17.【详解】(1)如图建立空间直角坐标系， 则4(0,0,0、C(22,0)、P(0,0,2)、B(2,00)、D(0,2,0) …l分 则4C=(2,2,0)、AP=(0,0,2)、BP=(-2,0,2)、DP=(0,-2,2) …2分 mAC=2x+2y=0 设平面PC的法向量为m=(x,少2)，则m=2z=0,所以m=(-1,0) …4分 i.BP=-2a+2c=0 设平面PsD的法向为i=(a,6c),则m:DF=-2b+2c=0,所i=(L,) …6分 所以m·方=0，所以平面PAC⊥平面PBD 7分 M D B (2)因为点M为棱PC的中点，所以M(1,1) …9分 所以BM=(-11,)】 …11分 n.BM sin0= BM 3 设直线BM与平面PBD所成角为B,所以 …14分 1 所以直线BM与平面PBD所成角的正弦值为3， …15分 18.1)证明：由直线：(a-)y=(2a-3)x+l整理可得： y-2arx-y+3x-1=0,即a(0y-2x+(-y+3x-1)=0 2分 [y-2x=0 x=1 则由-y+3x-1=0,即y=2 4分 故直线过定点(1,2)， …5分 (2)当动直线1满足定点(L,2)与直线外点P(2,)的连线垂直于1时， P(2,)到直线的距离最大，… …6分 2-1-1 i2-,则=l 因为 …7分 因为1：(a1)y=2a-3)x+1.故二a-1,解得4=2 8分 (3》由1：(a-)y=(2a-3)x+l可得： 当y=0,=2a-,当=0时.=g …10分 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 1 >0 2a-3 1 3 >0 a-1 1<a< ,解得 12分 此时三角形面积为 2(2a2-5a+3 …13分 要使面积取最小值，只需取y=2a-5a+3的最小值即可； 8可知， …14分 S=- 1 =4 1 (2a2-5a+3 1 2× 当 4时，y=2a2-5a+3取最小值8，此时面积取最小值 8 16分 此时直线方程为、 ,即2x+y-4=0 …17分 19. 【详解】(1)由题意，因为四边形ABCD,ABEF均为正方形，所以AB⊥BC,AB⊥BE, 又平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BCC平面ABCD 所以BC⊥平面ABEF.因BEc面ABEF,所以BE⊥BC,即直线BA,BE,BC两两垂直，·1分 故可以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 因为正方形ABCD,ABEF的边长为1，所以B(0,0O),A(0,0) 因为CM=BN=a,所以 所以BA=(1,0,0) 2分 w-9 3分 因为 所以BA⊥MN …4分 又BA为平面CBE的法向量，MN￠平面CBE,所以MN∥平面CBE. …5分 (2)由(1)得： 网可-Fi月 …7分 √2 e0N2故当07时，凤得最值2— …9分 a② (3)由(2)，当MN的长最小时， 2 此时， 5o.0 B(0,0,0）.A(1,0,0) …10分 咖=.w-(.w- 设平面MNA的法向量为m=(G,,)】 m⊥MW mMn=1y1」 22=0 m⊥AM ma亚+0 1 则 可取历=（包1,1） …12分 设平面MNB的法向量为方=(3，h,2). i⊥MW --0 n⊥BM n.BM=1 多 230 可取元=（1,1，) …14分 设平面MNA与平面MNB所成的角为B, cos0-lcos(. m:列_P1+1+1_1 则 ·列 V3×V3 3 1 故平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为3 …17分 2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（ ） A．3 B．13 C． D． 2．已知直线经过点，，则直线的斜率为（ ） A． B．4 C． D．5 3．直线a，b的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 5．已知平面经过点，其一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图，已知四面体ABCD的棱长都是4，M为棱AD的中点，则的值（ ） A． B． C．2 D．4 7．已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9．关于直线，下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、三、四象限 D．直线与直线平行 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若非零向量，，满足，，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量，，则在上的投影向量为 D．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或 11．在直三棱柱中，，．点为线段中点，点为棱上的动点．则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．四棱锥的体积为 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线与直线平行，则它们之间的距离是________． 13．若，，，则的面积为________． 14．已知正方体的外接球半径为3，为其外接球的一条直径，为正方体表面上任意一点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知向量，，求： （1）； （2），； （3）求与的夹角． 16．（本小题15分） 已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）求边所在的直线的一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程； （3）求边上的高所在直线的一般式方程． 17．（本小题15分） 四棱锥中，底面，四边形是正方形，． （1）求证：平面平面； （2）设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题17分） 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（本小题17分） 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和长度保持相等，记． （1）求证：平面； （2）求的长，并求其最小值； （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $