九年级数学上学期期中模拟卷（新教材苏科版第1～3章，高效培优·强化卷）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1章~第3章。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是一元二次方程的一个根，则（     ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】C 【分析】利用方程根的定义求的值，整体代入计算． 【详解】解：是一元二次方程的根． ． ． ． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图像经过点 B．图像在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数为， ． ∴图象位于第二、四象限，选项B错误． 将代入解析式，得， ∴图象不经过点，选项A错误． 当时，随的增大而增大，选项C错误． 当时，随的增大而增大，选项D正确． 3．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据利润售价进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低元，每周可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：当每件降低元时，每件销售利润为元，平均每周销售量为件． 根据题意得． 4．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据轴，可得出与的面积相等，可推出，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得k的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴， ∴与的面积相等，即， 又∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 5．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直径垂直于弦于点， ，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误． 6．在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（     ） A． B． C．2 D．1.5 【答案】A 【分析】由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度；添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【详解】解：翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆， ∵，， ∴，， 过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得， ， 连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动在以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．方程的解为______． 【答案】， 【分析】将方程移项整理后，对左边因式分解，用因式分解法即可求出方程的解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解得， 或， 解得，． 8．已知一个反比例函数的图象过点，则该函数解析式为_______． 【答案】 【分析】使用待定系数法求解，先设反比例函数的通用解析式，再将已知点的坐标代入计算比例系数，即可得到目标函数解析式． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为（）， ∵ 函数图象过点， ∴ 将，代入解析式，得， 解得， ∴ 该函数的解析式为． 9．已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 10．如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 11．某班一名化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会x名同学，则________． 【答案】6 【分析】表示出第一节课后会做的人数和第二节课新增的人数，然后根据全班共有49人列方程求解即可． 【详解】解：设每人每次都能教会x名同学， ∴第一节课后会做的人数为，第二节课新增人， 根据题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 12．如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，将求阴影部分的面积变成求扇形的面积，根据平行线的性质和切线的性质定理得到扇形的圆心角度数，根据扇形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解: 如图，连接， ∵是的切线，为切点， 则， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， 与同底等高， ， ， 半径，圆心角， 扇形面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】利用三角形外心的性质找到圆心，由网格计算出半径． 【详解】解：如图，点即为圆心， 由网格可知，， ∴的外接圆的半径为． 14．如图，矩形的顶点A和边上的点E在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，且，则k的值为________． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，则可求得点E的纵坐标为，再根据面积列方程求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， 则， 四边形是矩形， ， ， ， 点E的纵坐标为， 令，则， 解得， 点E的坐标为， 矩形的面积为12， ， 解得． 15．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 【答案】6 【分析】根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，从而求得的面积；利用等腰三角形三线合一性质得出与的关系，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】∵ 函数与函数交于A、B两点， ∴ 点A和点B关于原点对称， ， ， 过点A作轴于点E（如下图）， ， ， ， 又∵ 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， ， ． 16．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，根据垂径定理及弧中点性质推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用含角的直角三角形性质求出和的长，即可求解 ． 【详解】解：延长交于点，连接，， ∵， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ． ∵， ∴， ∴点关于的对称点为点，即， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 设的半径为，则， ∵， ∴ ， ∴，解得 ， ∴． 在中，，， ∴ ， ∴ ， 即的最小值是． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）二次项系数为 1，可用配方法或公式法； （2）先移项，再提取公因式因式分解，注意不要两边同除以 ． 【详解】（1）解：移项得 ， ，，， ， ， 即 ，． （2）解：移项得 ， 提取公因式得 ， 所以 或 ， 即 ，． 18．在力（单位：）的作用下，若物体会在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足，当为定值时，与之间的函数关系如图所示． (1)当力为时，求所做的功； (2)写出关于的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】(1) (2) (3)力大于 【分析】（1）观察函数图象及即可求解； （2）由函数图象过点，即可求出函数关系式； （3）求出当位移为时的力，根据反比例函数的性质即可求出力的取值范围． 【详解】（1）解：由函数图象知，函数图象过点， 即当力为时，位移为， 则所做的功； （2）解：由函数图象知，函数图象过点，， ∴； （3）解：当时，代入，得， 解得， 对于函数，当比例系数为正时，在第一象限内，函数值随自变量的增大而减小， 则当时，， 答：在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，力大于． 19．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成生态园的面积为； (1)若设，则_______（用含的代数式表示） (2)请求出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据矩形的性质则； （2）根据面积建立方程即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴． （2）解：∵，， ∴， 解得：，， 当时，不符合题意，舍去， ∴的长为． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，再代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数关系式：；一次函数的关系式： (2)8 (3) 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ， 将代入得， ， 将代入得， 解得， ； （2）解：当时，解得， 即， ， ； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方时，， ∴不等式的解集为． 22．如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连结并延长交于点E，连结，，． (1)求证： (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵直径于P， ∴， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证； （2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴． 23．如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴：四边形是平行四边形． 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 24．如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求圆心到的距离． 【答案】(1) 证明：连接 平分， ， ， ， ， ， ，即， , 又是的半径， 是的切线． (2)4 【分析】（1）先连接，利用角平分线得到相等角，再结合的等边对等角，进行等角代换，推出；已知，即可证得，完成切线证明； （2）求圆心到弦的距离，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂线平分弦，构造直角三角形，再用勾股定理直接计算垂线段长度． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点, 由垂径定理，得, ， ， 在中，， 由勾股定理： ， 圆心到的距离为． 25．如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？ (3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； (2)P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是； (3)经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形 【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，得出，确定运动时间为，然后结合梯形的面积公式即可求解； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作垂足为E，则，根据题意得出，然后利用勾股定理求解即可； （3）过点P作于M，于N，根据题意分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图形分别利用勾股定理及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， ∴， ∵点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动， ∴运动总时间为， 根据梯形的面积公式得， 解得， ∴P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ， ， 由勾股定理，得， 解得， ∴P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是； （3）解：过点P作于M，于N，连接， ∴， ∵点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，则， ∵， ∴； ②当时，在直角中， 由勾股定理得：， 整理，得， 解得；符合题意； ③当时，在直角中，由勾股定理得：， 解得(舍去) 综上所述，经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 26．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； (2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”． （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得． （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 27．如图，内接于，弦交于点，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2，直径于点，分别交于点，求证：为等腰三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点在弧上，连接，且，延长交于点，作于点，当时，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ 点 在线段 与 上， ∴ ，． ∴ ， ∴ ， ∴ ． (2)证明：∵ 是直径， 于点 ，点 在直线 上， ∴ ， ∴ 在 中，． ∵ 点 、、 共线，点 、、 共线， ∴ ． ∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ，而 ， ∴ ． ∵ 点 在线段 上，点 在线段 上， ∴ ． ∴ ， ∴ ，即 为等腰三角形． (3) 的半径为 ． 【分析】（1）设 ，由同弧所对的圆周角相等把 化为 ，再在 中用三角形内角和求 ； （2）由 得直角三角形，把 化为 ；再由同弧 所对的圆周角相等把 也化为 ，从而得等腰三角形； （3）连接，先由 得 ，再由 与 得 ，从而 ；用“AAS”证 ，得 ；再由 把 与 都化为 ，得 ，于是 ；最后与 联立求 ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵ 是直径且 于点 ，而 、 都在直线 上， ∴ 、 都在直径 所在直线上， 在 、 之间，． 设 ， 的半径为 ． 由（1）知 ，由（2）知 ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 于点 ， 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 是直径， ∴ ， ∴ 在 中，． ∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，即 ， ∴ ． 在 与 中， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ，． ∵ 、 是同弧 所对的圆周角， ∴ ， ∵ 是直径， ∴ 在 中，， ∵ 点 在线段 上，点 在线段 上， ∴ ． ∵ 点 、、 共线， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 、、 共线，且 在 、 之间， ∴ ． 在 中，， ∴ ． ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在线段 上， ∴ ． ∵ 、、 共线，且 在 、 之间， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 在 中，，， ∴ ， ∴ ，解得 或 ． ∵ ， ∴ 不合题意，舍去， ∴ 的半径为 ． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1章~第3章。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若是一元二次方程的一个根，则（     ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图像经过点 B．图像在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 3．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（     ） A． B． C．2 D．1.5 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．方程的解为______． 8．已知一个反比例函数的图象过点，则该函数解析式为_______． 9．已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 10．如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 11．某班一名化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会x名同学，则________． 12．如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 13．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 14．如图，矩形的顶点A和边上的点E在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，且，则k的值为________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 16．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程 (1)； (2)． 18．在力（单位：）的作用下，若物体会在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足，当为定值时，与之间的函数关系如图所示． (1)当力为时，求所做的功； (2)写出关于的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 19．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成生态园的面积为； (1)若设，则_______（用含的代数式表示） (2)请求出的长． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 22．如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连结并延长交于点E，连结，，． (1)求证： (2)若，且，求的长． 23．如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 24．如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求圆心到的距离． 25．如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？ (3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形． 26．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； (2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 27．如图，内接于，弦交于点，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2，直径于点，分别交于点，求证：为等腰三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点在弧上，连接，且，延长交于点，作于点，当时，求的半径长． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 题号 2 3 5 6 答案 C D B A C A 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 7.x=0为=4 8.y、12 9.-1 1056 11.6 13.0 14.6 15.6 16.3 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共 88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.①=-1+3为=-1-5 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (②)x=2,五=3 【详解】(1)解：移项得x2+2x-2=0, a=1,b=2,c=-2, △=22-4×1×(-2)=12>0 x=-2±vI2 2 =-1±5 即=-+5名=-1-5 3分 3x(x-2)-(x-2)=0 (2)解：移项得 提取公因式得(x-23x-1)=0 所以x-2=0或3x-1=0, 1 即x=2,为=3：-7分 18.(1)500J ②ss500 (3)力大于4N (10,50) 【详解】(1)解：由函数图象知，函数图象过点 即当力F为l0N时，位移为50m, 则F所做的功 =Fs=10×50=500(J) ；3分 10,50)W=Fs=10×50=500(J) (2)解：由函数图象知，函数图象过点 :5s500 F: (3)解：当=125m时，代入=0.有125-50 F 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得F=4, 500 对于函数5= F, 当比例系数为正时，在第一象限内，函数值随自变量的增大而减小， 则当s<125m时，F>4N, 答：在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于25m,力大于4N.一7分 35-Xm 19.(1)2 (2)15m 【分析】(1)设AB=m根据矩形的性质则AD=BC=35,m 2m; (2)根据面积建立方程即可. 【详解】(1)解：设AB=m,则DC=xm, ：AD=BC=35-x m 21 （②)解：”dB=m,4D=8C-35。 35-x .2 x=150 解得： x1=152x2=20 当x=20>18时，不符合题意，舍去， .AB的长为l5m, 20.0-号 ②=6-1 【详解】(1)解：方程 x2+(2k+1)x+k2=0 有两个不相等的实数根， A>0,即(2k+-4k2>0 解得：k> 4:-3分 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2+(2k+)x+K2=0 (2)解：方程 的两个实数根分别为，名， :+名=-(2k+),5=k .+号=11 :+广-2x=11 即[-(2k+10]-2k2=11 解得：=-l+6,名=-1-6 :>1 4 .k=6-18分 6 21.(1)反比例函数关系式：y=x:一次函数的关系式：y=-2x+8 (2)8 (3)1<x<3 【详解】（山解：将4机代入得：6=。 =1,即m=6 ∴y=6 x 6 将B3,)代入y= .B(3,2) [6=k+b 将A1,6,B(3,2)代入y=a+b得2=3k+b, [k=-2 解得b=8, .y=-2x+8 ；-3分 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：当y=-2x+8=0时，解得x=4, 即C(4,0). A C .0C=4 SMOB=SMAOC-SBOC =5x0C×y42 1 1 2 ×OC×yB x4×6-2 22 ×4×2 =12-4 =8;-6分 (3)解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方时，1<x<3, ·不等式c+b> x的解集为1<x<3.8分 22.(1)证明：连接D0, D :直径AB⊥CD于P, ..CP=DP. A,Q两点关于点P对称， .PA=PO, 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形ACQD是平行四边形， 又Ag⊥CD, ,平行四边形ACQD是菱形， .AD=CQ,∠ACD=∠QCD ∴.AD=DE, .'AD=DE, .'.CO=DE .--4分 ②4v2 【详解】(1)略 (2)解：连接C0, B E D AB=6, .40-CO-4B=3 .OP=00,PA=PO=OP+00, .AP=20P 又AP+OP=3, .OP=1, 在RtACPO中， CP=VC02-0P2=2W2 DP=CP=22 .CD=CP+DP=42.--8分 6/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(1)60° 解：AB=BD,∠ABD=60, ∴.△ABD是等边三角形， .∠BAD=60°， :四边形ABCD内接于⊙O, .∠BAD+∠BCD=180°. .∠BCD=120°， .∠BCE=180°-∠BCD=60°， .∠CBE=60° .∠E=180°-∠CBE-∠BCE=60°：-4分 (2)证明：由(1)得：△ABD是等边三角形，∠BCE=60°，∠E=60°， .∠ADB=60°， 4B=4B .∠ACB=∠ADB=60° ∴.∠ACE=∠ACB+∠BCE=120°， .∠ACE+∠E=180° .AC∥EF, ,四边形ACBF内接于⊙O, ∴.∠AFB+∠ACB=180°， .∠AFB=120°， .∠AFB+∠E=180°， .AF∥CE, “:四边形AFEC是平行四边形.-8分 24.(1) 证明：连接OD 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 平分 AD ∠BAC .∠EAD=∠OAD :OA=OD, ∠OAD=∠ODA, ∴.∠EAD=∠ODA ..ODII AE :DE⊥AC,即DE⊥AE, .OD⊥DE, 又OD是⊙0的半径， .DE⊙O 是的切线.一4分 (2)4 【详解】(1)略 (2)解：过点O作OH⊥AC于点H, B 1 由垂径定理，得AH= 2 AC :AC=6, AH=3, 在Rt△AOH中，OA=5, 由勾股定理： 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0H=VOA2-AH2=V52-32=4 ∴圆心0到AC的距离为4.-8分 25.(1)P,Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBC9的面积为33cm2; (2)P,Q两点从出发开始到4.8秒或1.6秒时，点P和点2的距离是10cm; 16+2√43 16-2√43 -32+6V59 (3)经过2秒、 7秒、7秒或5秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形 【详解】(1)解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm, PB=(16-3x)cm.OC-2xcm ,点P以3Cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2Cm/s的速度向点D移动.当点P到达点 B时，点Q也停止运动， 16 “运动总时间为35， 根据梯形的面积公式得216-3x+2x)×6=3, 解得x=5, .P,Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBC9的面积为33cm2;一2分 (2)解：设P,Q两点从出发经过t秒时，点P,Q间的距离是10Cm, A D B 作QE1AB,垂足为E,则QE=AD=6,PQ=10 PA=3t,CO=BE=2t 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PE=AB-AP-BE=16-5 由勾股定理，得（6-5+62=10 34=1.6<16 解得4=4.8<1 3 ∴.P,9两点从出发开始到4.8秒或1.6秒时，点P和点2的距离是10cm;--4分 (3)解：过点P作PM⊥CD于M,QN⊥AB于N,连接PD, B .DM=AP=3tcm,Co=BN 2tcm. 点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形， ∴分三种情况： ①当DP=Pe时，则DM=Mg=3icm, .3t+3t+2t=16, .t=2: ②当D0=P№时，在直角△PN№中， 由勾股定理得：(16-2=62+16-31-2 整理，得7t-32t+12=0, —2A3、2=16一235 7 7 3；符合题意； ③当DP=DP时，在直角△DAP中，由勾股定理得： (16-2)}2=6+(3)2 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0假21659632-69 5 35 5(舍去) 16+2√4316-2√43 -32+6N59 综上所述，经过2秒、7秒、7秒或5秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰 三角形.一8分 26.(1)陌生；友好 9 (②x<-3或0<x<1:2 (3)350 ≥2× 【详解】(1)解：对于①与②，联立得x 整理，得x2+1=0, x2+1≥1， 六该方程无实数解，即y= x与y=2x无交点， ①与②是“陌生函数”， 2 对于0与③，联立得元-3x+1, 整理，得3x2-x-2=0】 :A=(-y°-4×3x(-2)=25>0 2 y= x与y=-3x+1有两个交点， ①与③是“友好函数”.--2分 (2)解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为-3和1，且在x<-3和0<x<1部分，反比例函数的图象 高于一次函数的图象， :当片>时，X的取值范围是x<-3或0<x<1: 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立y=n≠0)与y=2x-6,得， ”=2x-6, 整理，得2x2-6x-n=0, y=(≠0)与y=2x-6是“相连函数”， :△=(6°-4×2x(←n)=0 9 解得n= 2 ---5分 ③解设直线的面质解析式为-+8，直线的西致解新式为：+8 联立y=x+8与y x,得， 飞x+8=5 x' 整理，得6+8x-=0 :y=kx+8与y= 下是“相连函数”， :4=8-46(-6)=0 16 k3=- k6=-16,即k, x+8 ∴，直线的函数解析式为 16 y=- x+8 将y=0代入 k ，得2 ·点A的坐标为(2,0】 12/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 呢支8的型标经0 :4B=10,即无-=20 :+号=(%-6}+2k6=202+2×(-25)=350 一-9分 27.(①)证明：：∠BAC、∠BDC是同弧BC所对的圆周角， .∠BAC=∠BDC .∠ABD+∠BDC=90°， .∠ABD=90°-∠BAC. ,∠ABD、∠ACD是同弧AD所对的圆周角， .∠ACD=∠ABD=90°-∠BAC. :点G在线段AC与BD上， .∠GCD=∠ACD,∠GDC=∠BDC ∴.∠GCD+∠GDC=∠ABD+∠BDC=90°， .∠CGD=90°， AC1BD.--2分 (2)证明：，EF是直径，EF⊥AB于点H,点M在直线EF上， .∠AHM=90°， ∴、在RtAHM中，∠AMH=90°-∠MAH=90°-∠CAB :点A、M、C共线，点H、M、N共线， .∠CMN=∠AMH=90°-∠CAB :∠ABD、∠ACD是同弧AD所对的圆周角， .∠ACD=∠ABD :∠BAC=∠BDC,而∠ABD+∠BDC=90°， .∠ACD=90°-∠BAC ,点M在线段AC上，点N在线段CD上， .∠MCN=∠ACD=90°-∠CAB .∠CMN=∠MCN, .CN=MN,即aCMN为等腰三角形.--5分 13/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙0 2 (3) 的半径为 解：如图，连接AE,CE,CO, E R D 入 ,EF是直径且EF⊥AB于点H,而M、N都在直线HF上， .M、N都在直径EF所在直线上，O在M、N之间，MN=OM+ON. 设∠BAC=a,⊙0的半径为r. 由(1)知∠ABC=90°+a,由(2)知CN=MN,∠CMN=∠MCN=90°-&， ∠MWC=180°-2(90°-a)=2a .∠MNC=∠CBD. .∠CBD=2a. .∠CAD=2a. ∠ABC=∠ABD+∠DBC=(90°-a)+2a=90°+a .∠ADC=180°-∠ABC=90°-a, .∠ADB=∠ADC-∠BDC=90°-2a, .∠AEB=180°-∠ADB=90°+2a. ,EF⊥AB于点H,H是AB的中点， ∴.EA=EB, FAB-LADE-180-ABB-4S-a 2 ∠CAE=∠CAB+∠BAE=a+(45°-a)=45° EF是直径， 14/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ECF=90°， .在R1aECF中，∠CEF=90°-∠CFE. :'∠CAE、∠CFE是同弧CE所对的圆周角， .∠CFE=∠CAE=45°， .∠CEF=45°， .OC⊥EF, .∠MOC=∠NOC=90° NS⊥KR,即NS⊥RM, .∠MSW=90° 在△MSN与aOCN中， ,∠MSN=∠CON=90°，∠MNS=∠ONC=2a,MN=CN, △MSN≌aOCN(AAS) .MS=OC=r.NS=ON ,∠EFB、∠EAB是同弧EB所对的圆周角， .∠EFB=∠EAB=45°-a, ·EF是直径， 、.在RtAEFB中，∠FEB=90°-∠EFB=45°+&， ,点K在线段BE上，点M在线段EF上， .∠MEK=∠FEB=45°+a, :点A、M、C共线， ∠AME=∠CMN=90°-a. .·∠AMR=3a, ∠EMR=∠EMA+∠AMR=(90°-a)+3a=90°+2a ,K、M、R共线，且M在K、R之间， .∠KME=180°-∠EMR=90°-2a, 在△KME中，∠MKE=180°-∠KME-∠MEK, ∠MKE=180°-(90°-2a)-(45°+ax)=45°+a ∴.∠MKE=∠MEK, 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.KM=ME, ,点M在线段OE上， .KM=ME=OE-OM=r-OM :K、M、S共线，且M在K、S之间， KS=KM+MS=(r-OM)+r=2r-OM KS=3, .OM=2r-3 :在Rta0CM中，CM2=0C2+0M2=2+0M2,CM=5 P2+(2r-3=5 :5矿-12+4=0：解得，=2或=号. .OM=2r-3>0, 2 ”=不合题意，舍去， .⊙0的半径为2.-9分 16/16