江苏南京市2026-2027学年高二上学期期中数学考试全真模拟练习卷

2026~2027学年度南京市高二上学期期中考试 数 学 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先用复数的除法运算计算可得，在复平面内对应的点为，分析即得解 【详解】由题意， 故 在复平面内对应的点为，位于第四象限 故选：D 2．若直线与直线平行，则的值是（    ） A．1或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解得，所以实数的值为. 故选：C. 3．对于实数，“”是“方程1表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示椭圆，即可求得参数范围，根据集合关系即可判断充分性和必要性. 【详解】由“方程1表示椭圆“可得，解得且， 又且是的真子集， 所以“”是 “方程1表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及方程表示椭圆求参数范围的问题，属综合基础题. 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式，先得到，再由二倍角公式与诱导公式，即可得出结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：D. 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线斜率的取值范围，进而求得的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率为，即， 所以直线倾斜角的取值范围为：. 故选：D. 6．已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为5，则切线长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由题意求出点的坐标，利用两点间距离公式和勾股定理求解即可. 【详解】    抛物线的准线方程为， 不妨设点在第一象限，设， 点到的准线的距离为5，，即，， ，， ，. 故选：D. 7．如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、，可得出二面角的平面角为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设，计算出、，利用勾股定理求得，即为四面体的外接球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】取的中点，连接、， 因为、都是边长为的等边三角形，且为的中点，则，， 所以，二面角的平面角为，且， 设、分别为、的外心， 过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设， 易知，同理可得， ，，，平面， 平面，，同理可得， 所以，四边形是边长为的正方形， 由正弦定理可得，， 因此，四面体的外接球的表面积为. 故选：D. 8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，则，，则，进而可得，即可得出答案． 【详解】由于M在以为直径的圆上，故， 设，则，， 根据双曲线的定义， 所以， 所以，， 所以， 故在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，所以， 故选：D．    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用二倍角公式可得选项A错误，选项B正确；根据两角差的正切公式可得选项C正确；利用辅助角公式可得选项D错误. 【详解】A.，A错误； B.，B正确； C.∵， ∴， ∴，C正确； D.∵，D错误. 故选：BC. 10．已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时，直线与圆相交所得弦长为 C．圆与圆：相外切 D．当，时，过直线上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则弦长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】将直线的方程化为斜截式即可判断；利用点到直线的距离公式和垂径定理即可判断；求出两圆的圆心距与半径比较即可判断；求出弦所在的直线方程，利用垂径定理即可判断. 【详解】因为圆：，化为标准方程：. 对于，当时，直线l：可化为，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选项正确； 对于，当时，直线的方程为：，圆心到直线的距离，由垂径定理可得：弦长为，故选项错误； 对于，圆与圆的圆心距，因为，所以两圆相外切，故选项正确； 对于，当，时，直线的方程为：，设直线上任意一点，过圆外一点引圆的切线， 设切点坐标为，因为，所以切点的轨迹是以的中点为圆心，以为直径的圆上，因为，， 所以切点的轨迹方程为：，也即， 又因为圆：， 两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，， 则圆心到直线的距离， 由垂径定理可知：，要使弦长度最小，则最大， 当时，取最大值， 此时弦长，故选项正确， 故选：. 11．京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一.某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线C.其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（）.则下列说法正确的是（   ） A．曲线C内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C．若点A，B在曲线C上，且，则面积的最大值为3 D．若，，P是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用给定的曲线方程，列出符合要求的整点判断A；利用圆及椭圆性质计算判断B；求出面积最大值判断C；利用余弦定理及椭圆定义，借助基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A，由曲线与，知，， 当时，令，得曲线内部（不含边界）的整数点为， ，有12个，A正确； 对于B，曲线中，当时，，此时曲线上的点到原点的距离为2， 椭圆的长短半轴长分别为，该椭圆上的点到原点距离最大值为3，最小值为2， 则半椭圆上的点到原点距离最大值为3，最小值为2， 因此曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5，B错误； 对于C，当点在半圆弧上时，；当点之一在半圆弧上时， 不妨令点在半圆弧上，则，；当点是半椭圆顶点时， ；当点在半椭圆上（不是顶点），设直线，则直线， 设横坐标分别为，由，得， 同理得， ， 令，， 因此，C正确； 对于D，点恰为椭圆的两个焦点，而点P在半椭圆上， 则，当点不共线时， 由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，当点共线时，，D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆心在直线上，可设，结合圆过两点，可知，解方程即可得圆心与半径，即可得解. 【详解】根据圆心在直线上， 则设圆心坐标为， 又圆过两点，， 则， 即， 解得， 所以圆心， 半径， 即圆的方程为， 故答案为：. 13．已知F是抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，线段中点的纵坐标为4，则________． 【答案】16 【分析】设出，得到，两式相减，结合中点纵坐标求出中点横坐标，进而求出焦点弦长. 【详解】由题意，焦点为，设的中点为，设直线l的斜率为k，所以，又，两式相减得：，故，故，直线l为：，所以，． 故答案为：16 14．设为双曲线：在第一象限上的一动点，，. 过做的平行线交于点，过做的平行线交于点，若直线的斜率，则双曲线的离心率取值范围为________. 【答案】 【分析】依题意，设，求出两点坐标，根据，转化为，根据，结合，得到答案. 【详解】 设，， 过做的平行线方程为， 则，解得， 则， 同理， 因为，所以，即， 所以，即， 所以， 即， 又因为，所以， 所以双曲线的离心率取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1)相交，截得的弦长为2. (2)或. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【详解】（1）由圆可得，圆心,半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 直线被圆截得的弦长为. （2）若过点的直线斜率不出在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用按比例分配的分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． (1)应抽取小吃类商家多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 【答案】(1)28家 (2)① 487.5元；②280 【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可； （2）①先根据频率和为1求出，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案. 【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家； （2）①根据题意可得，解得， 设75百分位数为x， 因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．     ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． 17．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明:依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. (2)当时，有平面平面 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【详解】（1）l略； （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 18．已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 【分析】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）略 19．设a为实数，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． ①求斜率k的取值范围； ②证明：点H恒在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ； ②证明：设， 由（ⅰ）得，， 因为，，， 又P，M，N，H在同一直线l上，所以，， 由得，即， 化简得，所以， 整理得，解得，即 又点在直线上，所以 即，整理得，故点H恒在定直线上． 【分析】（1）由点在双曲线上，代入解出即可； （2）①设出直线方程，直曲联立，消去，利用方程有两个正根，得到判别式大于零，两根之和和积大于零求出取值范围即可； ②设，表示出韦达定理，由题中线段长度的关系得到，再结合韦达定理化简，求出定直线即可； 【详解】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得， 即，解得，则双曲线C的方程为； （2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即， 联立，消去y并整理得， 设，， 因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点M，N， 所以关于x的方程有两个不同的正数根，， ， 解得，则斜率k的取值范围为； （ⅱ）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B D D D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．16 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由圆可得，圆心,半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 直线被圆截得的弦长为. （2）若过点的直线斜率不出在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 16．（15分） 【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家； （2）①根据题意可得，解得， 设75百分位数为x， 因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．     ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． 17．（15分） 【详解】(1)证明:依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 18．（17分） 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； (3)    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 19．（17分） 【详解】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得， 即，解得，则双曲线C的方程为； （2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即， 联立，消去y并整理得， 设，， 因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点M，N， 所以关于x的方程有两个不同的正数根，， ， 解得，则斜率k的取值范围为； （ⅱ）②证明：设， 由（ⅰ）得，， 因为，，， 又P，M，N，H在同一直线l上，所以，， 由得，即， 化简得，所以， 整理得，解得，即 又点在直线上，所以 即，整理得，故点H恒在定直线上． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度南京市高二上学期期中考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若直线与直线平行，则的值是（    ） A．1或 B． C． D．或 3．对于实数，“”是“方程1表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为5，则切线长为（    ） A．4 B． C．6 D． 7．如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时，直线与圆相交所得弦长为 C．圆与圆：相外切 D．当，时，过直线上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则弦长度的最小值为 11．京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一.某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线C.其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（）.则下列说法正确的是（   ） A．曲线C内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C．若点A，B在曲线C上，且，则面积的最大值为3 D．若，，P是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为__________. 13．已知F是抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，线段中点的纵坐标为4，则________． 14．设为双曲线：在第一象限上的一动点，，. 过做的平行线交于点，过做的平行线交于点，若直线的斜率，则双曲线的离心率取值范围为________. . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用按比例分配的分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． (1)应抽取小吃类商家多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 17．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 18．已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 19．设a为实数，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． ①求斜率k的取值范围； ②证明：点H恒在一条定直线上 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $