专题2.5 直线与圆的位置关系讲义【知识清单+10大题型+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.5 直线与圆的位置关系-重难点题型（讲） 知识点01：直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 【即学即练】 1．（25-26高二上·海南儋州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 【答案】D 【分析】由圆心在直线上，判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标为，圆心在直线上， 所以直线与圆的位置关系是相交且过圆心. 故选：D. 知识点02：直线与圆相交时的弦长求法 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 【即学即练】 2．（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知直线：恒过点，圆：，设为圆上任意一点，最小值为2． (1)求定点的坐标与圆的方程； (2)若，求直线被圆截得的弦长． 【答案】(1)；圆或； (2)或. 【分析】（1）与圆的位置关系不确定，与圆上动点的距离最小值需分类讨论； （2）几何法求弦长即可. 【详解】（1）直线：，当时，总有，恒过. 圆心，. 若在圆上即，则最小值为0，不合题意； 若在圆外即，则最小值为，得； 若在圆内即，则最小值为，得. 综上所述，的坐标为，圆或. （2）时，，圆心到直线的距离， 被截得的弦长为. 当时，弦长为；当时，弦长为. 知识点03：直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结合图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 【即学即练】 3．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接，则有，当最小时，最小， 则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值． 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 知识点04：与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 【即学即练】 4．（25-26高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 题型01 直线与圆的位置关系判断 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是______． 【答案】相离 【详解】是圆内异于圆心的一点,， 圆的圆心到直线的距离, 直线与此圆的位置关系是相离. 2．（26-27高二上·天津·阶段检测）直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 【答案】C 【详解】圆化为标准方程， 故圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离 ， 故直线与圆相切. 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 4．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【分析】先求出直线经过的定点坐标，判断点与圆的位置关系即可得出结论. 【详解】将代入直线中有，解得， 所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交， 故选：A 题型02 由直线与圆的位置关系求参 5．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将方程的根的个数转化为函数图象的交点个数，根据图象计算临界情况，确定实数的取值范围. 【详解】 方程恰有1个实数根，等价于函数与函数的图象只有一个交点， 由，两边平方得， 即函数的图象是圆心在原点，半径为2的上半圆，， 函数是斜率为1的平行线系，纵截距为， 直线过左端点，代入直线方程得， 直线过右端点，代入直线方程得， 直线与上半圆相切，，解得， 根据图象可得方程恰有1个实数根，或. 6．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 7．（26-27高三上·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【答案】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 8．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到距离相等，写出的轨迹圆；再将轨迹圆与已知圆联立求交点，得到点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系. 【详解】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 题型03 求圆的切线方程 9．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）求过点，且与直线：切于点的圆的方程________． 【答案】（或整理为一般式） 【分析】根据圆的几何性质列出关于圆心坐标的方程，即可求解. 【详解】设圆心， 由条件可知，直线的斜率为， 所以， 线段的中点为，线段的垂直平分线为， 则圆心在直线上，，所以， 所以圆心,, 所以圆的标准方程为. 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）圆C：在原点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】将圆的一般方程配方化为标准方程，利用切线与半径垂直的性质求斜率写出切线方程即可. 【详解】将圆的一般方程配方化为标准方程： ， 整理得，因此圆心的坐标为. 因原点在圆上，，则切线的斜率, 故该圆在原点处的切线方程为.    11．（2026高二·全国·专题练习）已知圆经过点，，且圆心在直线：上． (1)求圆的方程： (2)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的标准方程为，代入两点坐标，结合圆心在直线：上求出圆心与半径，即可得到圆的标准方程； （2）分直线斜率存在和不存在两类，利用圆心到切线的距离等于半径求解参数，得到切线方程. 【详解】（1）设圆方程为， 则，所以圆的方程为. （2）若直线斜率不存在，则方程为，（舍去，不满足题意）； 若直线斜率存在，则设直线方程为即， ，两边平方得 解得或，所以直线的方程为或. 12．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)求过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把直线方程化为一般式得，根据垂径定理可知圆心到直线距离，再根据点到直线的距离公式求的值； （2）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，从而得到所求切线方程. 【详解】（1）设圆心到直线即的距离为，那么 弦长，解得，， 根据点到直线的距离公式可知，解得，. （2）当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离，与圆相切； 当直线斜率存在时，设方程为即，那么 圆心到直线距离，解得，, 此时切线方程为; 综上，过点的圆的切线方程为或. 题型04 与切线长有关的问题 13．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 【答案】 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径，利用圆的切线垂直于过切点的半径的性质，结合勾股定理计算切线长. 【详解】由圆的方程，可得该圆的圆心为，半径， 原点到圆心的距离为. 因为是切线的切点，根据圆的切线性质可知，即为直角三角形，且. 由勾股定理可得切线长. 14．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】求出关于直线的对称点，然后结合圆的切线性质计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 由题意得，解得， 即， 设圆的圆心为C，则，，， 故， 根据对称性，光线经过的路程即为. 15．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 16．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）设点，以线段为直径作圆 ． (1)求圆的方程； (2)若直线过点 ，与圆交于，两点，，求直线的方程； (3)已知为直线 上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形PECF面积的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间的距离公式求出半径即可； （2）分情况讨论：当直线斜率不存在时，单独验证弦长是否符合要求；当斜率存在时，设出点斜式方程，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，由垂径定理和勾股定理可得，求出斜率即可； （3）利用切线性质与勾股定理把四边形面积转化为，根据垂线段最短求出点到直线的距离，再代回式子算出面积最小值. 【详解】（1）由题意可知，圆的圆心为线段的中点， 因为，所以圆心的坐标为， 圆的半径为， 所以圆的方程为. （2）当斜率不存在时，过点 的直线，此时，舍去. 当斜率存在时，设直线的方程为即. 圆心到直线的距离为， 因为，，由垂径定理可得， 即，所以， 所以，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为， 综上，直线的方程为或. （3）由切线的性质可知，，，且， 四边形PECF面积， 在中，， 所以，要使最小，需最小. 因为在直线 上， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 即四边形PECF面积的最小值为. 题型05 切点弦及其方程应用 17．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（     ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．过点作圆的两条切线，为切点，则直线的方程为 【答案】ABD 【分析】结合直线过定点、圆的弦长、点到直线的距离最值、切点弦方程等知识点，逐一判断各选项正误. 【详解】已知圆，直线，如图所示， 对于A，将直线的方程变形为，令，解得，因此直线恒过定点，故A正确； 对于B，令，代入圆的方程得，解得，因此圆被轴截得的弦长为，故B正确； 对于C，直线恒过定点，圆心到直线的距离的最大值为、两点的距离，即，故C错误； 对于D，过圆外一点作圆的两条切线，切点弦方程为， 将点、代入得：，化简得，即直线的方程为，故D正确. 18．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    19．（25-26高二上·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． (1)求弦长的取值范围； (2)求面积的最大值，并求此时的值； (3)若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)最大值，． (3)． 【分析】（1）求出直线所过定点坐标并确定该点与圆的位置关系，再求出圆心到直线距离的范围，利用弦长公式即可求出弦长范围. （2）利用余弦定理求出的范围，再结合三角形面积公式求出面积的最大值及. （3）求出切点弦所在直线方程，由该直线过定点即可求出轨迹方程. 【详解】（1）依题意，直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 圆心到直线距离的取值范围为， 而， 所以弦长的取值范围为. （2）在中，由余弦定理得， 而，则，， 因此的面积，当且仅当时取等号， 而直线的斜率为，则直线的斜率为，即， 所以面积的最大值，此时. （3）设点，而点共圆，则以线段直径的圆方程为： ，即， 把以线段直径的圆方程与圆的方程相减得直线的方程， 又直线过定点，于是， 所以点的轨迹方程为. 20．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选）已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】先由题求出圆心和半径r，由圆心到直线的距离结合弦长公式即可求解判断A；即可判断B；由，时取得最小值即可计算求解判断C；设是圆上一点，推导出点处的切线方程，进而得到点处的切线方程，利用两切线的交点即可分析得到直线的方程，进而求出其所过定点即可判断D. 【详解】由圆得圆的圆心，半径， 对于A，当时，圆心到直线的距离， ∴直线被圆截得的弦长为，A错误； 对于B，当时，圆心到直线的距离， ∵，∴圆上到直线的距离为1的点有4个，B正确； 对于C，∵为圆的两条切线，∴， ∴，∴， ，∵当时，取得最小值， ∴四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为； 当或时，在处切线的斜率为， ∴在处切线方程为：， 又，整理可得该切线方程为； 当或，在处切线满足方程； 综上所述，在圆上一点处的切线方程为； 设， 则直线，直线， 设，则 ∴坐标满足方程， 即直线方程为：， ∵为直线上的动点，∴， ∴直线，整理可得， 令，解得， ∴直线恒过定点，D正确. 故选：BCD 题型06 圆的弦长问题 21．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）（多选）已知点，圆，则下列结论正确的有（     ） A．是圆外一点，是圆的切线，切点为，则切线长为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 【答案】BD 【分析】分别利用点与圆的位置关系、切线长公式、弦长公式及垂径定理逐项判断.注意直线截圆所得弦长问题需分类讨论斜率是否存在. 【详解】已知点，圆，则圆心，半径. 选项A，， 由切线长定理可求出，故A错误； 选项B，因为，所以点在圆内部，故B正确； 选项C，弦长，由弦长公式， ， 即圆心到直线距离， 直线过，当直线的斜率存在时， 设直线的方程是，即，圆心到直线距离， 即 所以直线的方程是，即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，圆心到它的距离，也满足条件. 所以的方程为：或，故C错误； 选项D，以为中点的弦，则弦与垂直，， 所以弦所在的直线的斜率，又过， 所以该直线方程为，即，故D正确． 22．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知直线：，若直线与圆：相交于，两点，则 (1)当最大时，求直线方程； (2)当时，求直线方程； (3)求过且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据圆内最长的弦为直径，且直径过圆心，进而即可求解； （2）根据点到直线的距离公式，及勾股定理即可求解； （3）分直线斜率不存在与存在两种情况讨论，结合切线到圆心的距离等于半径即可求解． 【详解】（1）依题意得圆的圆心为，半径为， 当最大时，即为直径，此时直线过圆心， 将代入直线的方程中，得，解得， 所以直线方程为． （2）结合（1）有圆的圆心为，半径为，又， 则圆心到直线距离为，即， 整理得，解得，或， 所以直线方程为或． （3）结合（1）有圆的圆心为，半径为，又直线过点， 当直线斜率不存在时，则直线方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线距离为， 又直线与圆相切，则，即， 整理得，解得，此时直线方程为． 所以过且与圆相切的直线方程为，或． 23．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知圆：，直线过点． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）设直线的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案. 【详解】（1）圆的标准方程为，其圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离，解得. 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）设圆心到直线的距离为， 则，解得. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆是相切的，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 所以，解得或. 所以直线的方程为或， 即或. 24．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上． (1)求此圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点， ①若，求直线的方程； ②当绕点转动时，求中点的轨迹方程． 【答案】(1)圆的方程为 (2)①直线的方程为或 ②的轨迹方程为 【分析】（1）求出线段的中垂线的方程，联立直线，解出圆心坐标，进而解出半径即可； （2）①分类讨论直线斜率存在与不存在的情况，利用弦心距和点到线的距离公式计算即可得出结果； ②设中点的坐标为，则，再分、进行讨论求解． 【详解】（1）因为，，所以线段的中点为， 直线的斜率， 进而线段的中垂线的斜率为，因此线段的中垂线的方程为， 即．联立，解得． 则圆的半径， 所以圆的方程为． （2）①由可得弦心距， 当直线的斜率不存在时，即直线的方程为， 圆心到直线的距离也为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即． 则圆心到直线的距离 解得，此时直线的方程为； 综上，直线的方程为：或． ②解：设中点的坐标为， 因为为弦的中点，所以， 又因为直线过点，所以， 当时，， 即， 整理得， 当时，，则也满足该方程， 所以中点的轨迹方程为． 题型07 直线与半圆的相交问题 25．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 【答案】{或} 【分析】运用代数式的几何意义，将方程解的问题转化成半圆与直线两个函数交点的问题. 【详解】由题意，，即， 问题等价于在上有唯一解， 令表示圆心为，半径为1的圆的上半部分， 而表示斜率为的直线，如下图示： 只需与在上有唯一公共点， ①当直线与半圆右上部相切时，，由解得，此时有唯一公共点； 当直线过时，直线方程为，由图知当时恒有两个交点； 当直线过时，直线方程为，由图知时恒有一个公共点. 综上，的范围为或}，原方程有唯一解. 26．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意可得函数和的图象有两个不同的交点，作出图形，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】由关于的方程有两个不同实数解， 可得函数和函数的图象有两个不同的交点， 由，得， 所以表示以为圆心，为半径的圆的上半圆（含端点）. 是过定点的直线， 在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示： 当直线过点时，直线的斜率为， 当直线过点时，直线的斜率为， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 由函数和的图象有两个不同的交点，可得或， 所以实数的取值范围是. 27．（25-26高二上·天津南开·开学考试）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】利用数形结合，可得斜率最小值时满足直线与圆相切，从而可计算结果. 【详解】把看成动点到定点所在直线的斜率，如图： 当直线与半圆相切时，斜率最小， 设直线方程为：， 此时由圆心到直线的距离等于半径可得：，解得：或（舍去）， 所以的最小值为. 故答案为： 28．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【分析】本题考查曲线方程的化简与识别.先由右边根式的非负性确定左边的取值范围，再两边平方转化为圆的标准方程，最后根据 y 的取值范围判断是整圆还是半圆. 【详解】因为右边，所以左边，即. 两边平方得，整理为. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误. 当 时，方程化为，且，这是以 为圆心、1 为半径的上半圆. 当 时，方程化为，且，这是以为圆心、1 为半径的下半圆. 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受 限制）. 题型08 由圆上的点到直线的距离求参数 29．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知点是圆：上一动点，则点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因圆心到直线的距离为，半径为， 所以点到直线：的距离的最大值为. 30．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算圆心到直线的距离，再根据圆上到直线距离为1的点有2个的条件列不等式求解的取值范围. 【详解】因为圆的圆心,半径， 且圆心到直线的距离， 由题意可得， 即， 所以， 解得. 31．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆：和直线：． (1)若直线与圆相离，求的取值范围； (2)若，点是圆上一个动点，求点到直线距离的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直线与圆相离，通过圆心到直线的距离大于半径求解； （2）过圆心向直线做垂线，通过垂线与圆的两个交点求解. 【详解】（1）圆心，半径：， 若直线与圆相离，则，解得，的取值范围为：. （2）若，直线：，圆心到直线的距离为：， 则点到直线距离的最大值为：， 点到直线距离的最小值为：. 32．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交，列式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为1， 说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交， . 题型09 利用直线与圆位置关系求最值 33．（26-27高二上·江苏·阶段检测）（多选）已知圆：和直线：，则（     ） A．直线过定点 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若点是圆上的动点，则的取值范围是 D．圆的点到直线的最大距离为 【答案】BC 【分析】对于选项A，将直线方程整理为关于参数的等式，令的系数和常数项分别为，求解得到定点坐标；对于选项B，先求圆的圆心坐标和半径；再求圆心关于直线的对称点，半径不变，即可得到对称圆的方程；对于选项C，由圆方程先计算的范围，再求得取值范围；对于选项D，先计算圆心到直线的距离，结合圆的性质求距离最大值. 【详解】对于选项A，对直线的方程整理得， ，得，故直线恒过定点，A选项错误； 对于选项B，圆的圆心的坐标为，半径， 点关于的对称点为，又关于直线对称的圆半径不变. 则圆关于直线对称的圆的方程为，故B正确； 对于选项C，由方程可得， 又，得， 所以的取值范围是，故C正确； 对于选项D，直线恒过定点， 圆心到直线的最大距离为线段， 故圆上的点到直线的最大距离为，D错误. 34．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由得到当最小时，最小，此时与直线垂直，求出圆心到直线的距离，从而得到的最小值. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为3． 因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直． 因为圆心到直线的距离为， 所以，故． 答案为：D.    35．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点M，N在圆上，点在直线上，点为MN中点，若，则的取值范围是（    ） A．[1,3] B． C．[0,4] D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式及圆上点到定直线距离最值求法，即可得解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，半径的圆上， 又因为圆心到直线的距离， 故直线与圆相切， 又因为点在直线上， 结合图象可知，的取值范围为，即. 故选：D. 36．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）已知点为圆上两点，，点为线段 的中点，点为直线上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，得到点 P 在以 C 为圆心、为半径的圆上，圆心 C 到直线的距离为，所以的最大值为. 【详解】由题可得圆心，半径 ， 因为点为线段 的中点，所以， 因为弦长，所以由勾股定理， 所以，即点 P 在以 C 为圆心、为半径的圆上， 圆心 C 到直线的距离为， 所以的最大值为. 故选：C. 题型10 直线与圆的实际应用 37．（25-26高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案. （2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案. 【详解】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 38．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【答案】5 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． 39．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 40．（25-26高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 2．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 3．（25-26高三下·海南·阶段检测）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 4．（2026·黑龙江大庆·一模）已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 由弦长公式可得，故D正确. 5．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【详解】求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此. 6．（2026·湖北武汉·三模）游乐园里有一个半径为4的圆形水池（对应圆：）．现在要在水池里搭一条直线形的浮桥，浮桥的位置满足方程（是可以调节的参数），需要找到浮桥被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳．则浮桥的最短长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得直线过定点，再由几何关系求得当直线与垂直时，弦长最短，即可求解． 【详解】将直线方程整理为，故直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 因为，所以点在圆内， 当直线与垂直时，得最短弦长为． 7．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点对应的点，写出以为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦的直线方程；利用在已知直线上，消元整理，求出直线恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等于圆心到定点距离）时，弦长最小，用弦长公式算出最小值. 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 8．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 9．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）已知圆：，点，直线：，则下列说法正确的有（    ） A．直线恒过点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆上一点关于直线的对称点在圆上，则 【答案】AC 【分析】化直线方程为判断A，结合A的结论并应用两点距离公式、对称性判断B、D，根据直线与圆相切列方程求参数值判断C. 【详解】 A：将直线整理为，因此直线恒过点，正确； B：直线恒过定点，点到直线的距离最大值为，错误； C：圆心为，半径，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 所以，整理得，正确； D：点在圆上，且对任意，都在直线上， 取，则它关于直线的对称点仍是自身，也在圆上，但不一定为​，错误. 10．（2026·四川南充·一模）（多选）已知直线：与圆：，则下列结论正确的是（     ） A．直线过定点 B．直线与圆截得弦长的最小值为 C．若是圆上的点，则的最大值为 D．当时，圆上有且仅有个点到直线的距离为 【答案】AC 【分析】本题考查直线过定点、直线与圆相交的弦长最值、圆上点的线性表达式最值、圆上点到直线距离为定值的点的个数问题， 结合直线与圆的位置关系逐一分析选项即可. 【详解】选项A：将直线的方程整理为，对任意，当，时等式恒成立，故直线过定点，A正确. 选项B：由题知，圆圆心为，半径，定点到圆心的距离为， 直线与圆相交时弦长为，其中为圆心到直线的距离， 当直线与垂直时，最大，弦长最小，此时. 故最小弦长为，不是，B错误. 选项C：如图所示； 设，令，，其中为直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值，此时圆心到直线的距离为，， ，最大值为，C正确. 选项D：如图所示； 当时，直线方程为，圆心到直线的距离，，， 故仅靠近圆心的平行于且距离为的直线与圆相交的个交点满足到直线距离为1，不是4个，D错误. 11．（26-27高三上·云南·阶段检测）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线恒过定点 C．圆心到直线的最大距离为 D．设直线与圆相交于两点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A，利用圆的标准方程求出圆心和半径；选项B，将直线整理为，该式对任意实数恒成立得到，解出的值，从而得到定点的坐标；选项C，由直线恒过定点，得到圆心C到直线的距离d最大为，利用两点间的距离公式求解；选项D，由弦长公式求，最大时最小，利用勾股定理求出. 【详解】对于选项A，因为得， 所以圆的圆心坐标为，半径为，故A正确； 对于选项B，将直线的方程整理为， 该式对任意实数恒成立， 因此需满足，解得，即定点的坐标为，故B正确； 对于选项C，因为直线恒过定点， 所以圆心到直线的距离最大为， ，故C错误； 对于选项D，由弦长公式得， 因此最大时最小，所以，故D正确. 12．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点在圆内，明确过圆内一点的最短弦为与该点和圆心连线垂直的弦，结合两点间距离公式与弦长公式求解即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. ∵ ，∴ 点在圆内部. ∵ 过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴ 此时圆心到直线的最大距离， ∴ 最短弦长为. 13．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆C的方程为，过直线上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离为，则点P的坐标为________ 【答案】 或 【分析】先通过弦长公式计算圆心到切点弦的距离，再利用射影定理求出点到原点的距离，结合在已知直线上列方程求解坐标. 【详解】记圆的圆心为，半径，设两切点为，的中点为. 由弦长性质可知，， 由勾股定理得： . 因为是圆的切线，故， 由射影定理可得，代入得： ，所以. 设，因在直线上，故， 又，所以， 联立解得，或，. 经验证两点均满足作圆两条切线的条件，故点的坐标为或. 14．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 【答案】 【分析】由直线与两圆相切建立关于，的方程组，解方程组即可. 【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径， 即，，所以，所以（舍）或者， 则，代入得， ，化简得， 因为直线与圆相切， 所以， 解得（舍去负值），. 15．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知圆关于直线对称的图形为圆. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，当 时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)0或 【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径为2，由题意直线与直线垂直， 所以直线：，即， 令，则在上， 即，解得，所以， 又圆与圆关于直线对称，半径不变，所以圆的方程为； （2）当直线为时，不合题意； 故可设直线为，而圆心到直线的距离为， 由题意，有，即，解得0或. 16．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知圆M过，，且经过点，其中一点. (1)求圆M的方程； (2)若是圆M上一点，满足，求实数t的取值范围； (3)过x轴上任意一点引圆M的两条切线，为切点，是否存在异于M的点N，使得为定值？若存在，求出点N；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，理由如下： 设x轴上一点，则切点弦的方程为，整理得， 令，则切点弦为. 设定点，，，则， 因为在圆M上，所以，即， 同理. 令，则. 为定值等价于为定值， 所以. 联立，得， 所以，. 由直线方程变形为， 所以， ， . 因为的整式部分为常数，所以设的整式部分为S， 所以. 要使该式对任意k为定值，分式的分子必须为0，所以. 由，得. ①当时，，即，故在直线上， 代入，可得， 若，则，此时与M重合，不符合题意； 若，则，解得或， 所以定点坐标为或； ②当时，代入，可得， 此时与M重合，不符合题意. 综上所述，存在异于M的定点坐标或. 【分析】（1）先根据三点共线确定D为圆上一点，再设圆的一般方程，代入三点求出圆的方程； （2）根据题意可知在圆M上，也在圆内部或圆上，即与有交点，根据两圆相交的位置关系即可求解； （3）设x轴上任意一点G，写出切点弦EF的方程，设定点N，将为定值转化为距离平方乘积的表达式与参数无关；联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入化简，根据表达式恒为定值的系数条件列方程求解，即可得到异于点M的定点N. 【详解】（1）因为， 所以，即三点共线， 所以圆M过，，. 设圆M的方程为， 所以，解得， 所以圆M的方程为，即. （2）由，得                                                ，即 点满足不等式，说明点落在圆的内部或圆上. 又在圆M上，因此圆M与该圆盘区域有公共点， 所以两圆心的距离， 即， 所以，解得， 所以实数t的取值范围为. （3）略. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 直线与圆的位置关系-重难点题型（讲） 知识点01：直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 【即学即练】 1．（25-26高二上·海南儋州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心 知识点02：直线与圆相交时的弦长求法 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 【即学即练】 2．（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知直线：恒过点，圆：，设为圆上任意一点，最小值为2． (1)求定点的坐标与圆的方程； (2)若，求直线被圆截得的弦长． 知识点03：直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结合图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 【即学即练】 3．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 知识点04：与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 【即学即练】 4．（25-26高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________. 题型01 直线与圆的位置关系判断 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是______． 2．（26-27高二上·天津·阶段检测）直线和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定. 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 题型02 由直线与圆的位置关系求参 5．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（26-27高三上·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 8．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 题型03 求圆的切线方程 9．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）求过点，且与直线：切于点的圆的方程________． 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）圆C：在原点处的切线方程为__________． 11．（2026高二·全国·专题练习）已知圆经过点，，且圆心在直线：上． (1)求圆的方程： (2)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程． 12．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)求过点的圆的切线方程． 题型04 与切线长有关的问题 13．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 14．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（     ） A． B．4 C． D．5 15．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 16．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）设点，以线段为直径作圆 ． (1)求圆的方程； (2)若直线过点 ，与圆交于，两点，，求直线的方程； (3)已知为直线 上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形PECF面积的最小值． 题型05 切点弦及其方程应用 17．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（     ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．过点作圆的两条切线，为切点，则直线的方程为 18．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 19．（25-26高二上·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． (1)求弦长的取值范围； (2)求面积的最大值，并求此时的值； (3)若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 20．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选）已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 题型06 圆的弦长问题 21．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）（多选）已知点，圆，则下列结论正确的有（     ） A．是圆外一点，是圆的切线，切点为，则切线长为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 22．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知直线：，若直线与圆：相交于，两点，则 (1)当最大时，求直线方程； (2)当时，求直线方程； (3)求过且与圆相切的直线方程． 23．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知圆：，直线过点． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 24．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上． (1)求此圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点， ①若，求直线的方程； ②当绕点转动时，求中点的轨迹方程． 题型07 直线与半圆的相交问题 25．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 26．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围是__________． 27．（25-26高二上·天津南开·开学考试）下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为___________. 28．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 题型08 由圆上的点到直线的距离求参数 29．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知点是圆：上一动点，则点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（    ） A． B． C． D． 31．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知圆：和直线：． (1)若直线与圆相离，求的取值范围； (2)若，点是圆上一个动点，求点到直线距离的最大值和最小值． 32．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 题型09 利用直线与圆位置关系求最值 33．（26-27高二上·江苏·阶段检测）（多选）已知圆：和直线：，则（     ） A．直线过定点 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若点是圆上的动点，则的取值范围是 D．圆的点到直线的最大距离为 34．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 35．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点M，N在圆上，点在直线上，点为MN中点，若，则的取值范围是（    ） A．[1,3] B． C．[0,4] D． 36．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）已知点为圆上两点，，点为线段 的中点，点为直线上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型10 直线与圆的实际应用 37．（25-26高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 38．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 39．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 40．（25-26高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 2．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·海南·阶段检测）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江大庆·一模）已知圆：，直线与圆相交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 6．（2026·湖北武汉·三模）游乐园里有一个半径为4的圆形水池（对应圆：）．现在要在水池里搭一条直线形的浮桥，浮桥的位置满足方程（是可以调节的参数），需要找到浮桥被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳．则浮桥的最短长度是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）已知圆：，点，直线：，则下列说法正确的有（    ） A．直线恒过点 B．点到直线的距离的最大值为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆上一点关于直线的对称点在圆上，则 10．（2026·四川南充·一模）（多选）已知直线：与圆：，则下列结论正确的是（     ） A．直线过定点 B．直线与圆截得弦长的最小值为 C．若是圆上的点，则的最大值为 D．当时，圆上有且仅有个点到直线的距离为 11．（26-27高三上·云南·阶段检测）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线恒过定点 C．圆心到直线的最大距离为 D．设直线与圆相交于两点，则的最小值为 12．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 13．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆C的方程为，过直线上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离为，则点P的坐标为________ 14．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 15．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知圆关于直线对称的图形为圆. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，当 时，求直线的斜率. 16．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知圆M过，，且经过点，其中一点. (1)求圆M的方程； (2)若是圆M上一点，满足，求实数t的取值范围； (3)过x轴上任意一点引圆M的两条切线，为切点，是否存在异于M的点N，使得为定值？若存在，求出点N；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $