专题2.6 圆与圆的位置关系-讲义【知识清单+6大题型+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.6 圆与圆的位置关系-重难点题型（讲） 知识点01：圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 【即学即练】 1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆心的距离，再通过比较圆心距与两圆半径的大小关系，判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 圆心距； 因为，所以圆与圆外切. 故选：B. 知识点02：两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。 【即学即练】 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别确定两个圆的圆心坐标与半径，根据圆与圆的位置关系求解圆心距，从而得圆与圆的位置关系，即可得公切线条数. 【详解】由题意可得圆25，圆心， 圆，圆心， 则圆心距， 则，所以两圆相交，故其公切线条数为2. 故选：B. 知识点03：两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 【即学即练】 3．（25-26高二上·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差可得其公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离，由几何法求得弦长. 【详解】由，得两圆公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为. 故选：A. 知识点04：利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 【即学即练】 4．（25-26高二上·全国·单元测试）求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【分析】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：，求出圆心坐标再代入直线方程即可求解． 【详解】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：， 即，① 从而圆心坐标为． 因为圆心在直线上，代入可得，解得． 代入①得，即为所求圆的方程． 题型01 圆与圆的位置关系判断 1．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）两圆：和：的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】：，即， 圆的圆心坐标为，半径为1， ：，即， 圆的圆心坐标为，半径为3， ， 所以两圆和的位置关系是外切. 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 3．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【分析】利用配方法，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行判断即可. 【详解】圆的半径为. 圆， 所以该圆的半径为，圆心坐标为. 因为， 所以两圆相外切. 故选：C 4．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 题型02 由圆与圆的位置关系求参 5．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)圆，当为何值时，两圆外切？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心，利用圆心到点和距离相等联立关于的方程，进而求解圆的方程； （2）利用两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，建立关于的方程求解. 【详解】（1）设圆心，则圆心到点和距离分别为 ， 所以 ，即， 解得， 所以圆的半径，圆心， 故圆的方程为. （2）由圆，得， 故圆的圆心，设半径为，则. 两圆外切时满足， 又因为， 所以，解得. 6．（2026高二·全国·专题练习）已知圆：与圆：相切，则实数______． 【答案】或 【分析】两圆相切，有外切与内切两种情况，外切时圆心距等于半径之和，内切时圆心距等于半径之差的绝对值，分类讨论即可求得. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：即， 圆心，半径为， ，由于两圆相切， 若两圆外切，则，； 若两圆内切，则，解得，或（舍去）. 综上，或6. 7．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知圆：，圆：．若圆与圆有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】圆：的圆心，半径为； 圆：的圆心，半径为. . 因为圆与圆有公共点，所以， 即解得. 8．（26-27高二上·重庆石柱·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值是______． 【答案】0或 【详解】已知圆，则圆心，半径． 已知圆，则圆心，半径． 因为圆与圆内切，且， 所以圆在圆内部，且圆心距， 化简可得，解得或． 题型03 两圆的公共弦问题 9．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知圆经过，，并且圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系；如果相交求公共弦所在直线方程，并求得公共弦长. 【答案】(1) (2)相交；公共弦所在直线方程为，公共弦长为 【详解】（1）∵圆的圆心在轴上，∴设圆心， 半径为，则，即， 解得，，即圆的标准方程为. （2）圆可化为 标准方程，即圆心， 半径，∵， （对分子部分进行平方作差可比较）， ∴，又， 即，即两圆相交， 联立，①-②得公共弦方程为， 则圆心到直线的距离为， 弦长. 10．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长为______． 【答案】 【详解】由圆和圆， 两圆的方程，相减可得，即， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 则公共弦长为. 11．（26-27高二上·吉林四平·期中）已知点和以点为圆心的圆. (1)求以为直径，点为圆心的圆的方程； (2)设圆与圆相交于，两点，证明：直线，是圆的切线； (3)求直线的方程. 【答案】(1) (2)因为为直径，所以，，即，， 从而，是圆的切线. (3) 【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标，结合两点距离公式、中点坐标公式计算即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，及切线的性质判定即可； （3）直接对两圆的方程作差即可得出公共弦方程. 【详解】（1）因为，，所以，， 所以半径， 所以圆. （2）略. （3）分别将圆和圆化为一般型，得圆， 圆， 两式相减得，即， 所以公共弦的方程为. 12．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知圆，，圆与圆相交于点，，，下列结论正确的是（     ） A． B．直线的方程是 C．公共弦长 D．四边形的面积是24 【答案】ABD 【分析】化简圆的方程为一般式方程，两方程相减，求得的方程，可判定B正确；联立方程组，求得方程组的解，可判定A正确，利用圆的弦长公式，求得的值，可判定C错误；由四边形的对角线和互相垂直，结合，可判定D正确. 【详解】由圆，即， 圆，即， 且圆心，，半径，， 联立方程组，两式相减，可得，即， 即直线的方程是，所以B正确； 联立方程组，解得或， 因为，所以，所以A正确； 由圆心到直线的距离为， 根据圆的弦长公式，可得，所以C错误； 由圆的性质得，四边形的对角线和互相垂直， 且，， 所以四边形的面积为，所以D正确. 题型04 两圆的公切线条数问题 13．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先求得两圆的圆心与半径，通过计算圆心距判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为，故圆心，半径； 将圆的一般方程配方，得，故圆心，半径； 两圆圆心距： ， 由，可知两圆外切， 故两圆公切线的条数为3. 14．（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由对称性得到的圆心，再根据圆与圆的位置关系确定公切线条数即可． 【详解】设点A关于直线l的对称点， ，解得， 则的圆心为，半径为2， ，圆心为，半径为， 圆与圆的圆心距， 又， 所以圆与圆外切， 则圆与圆的公切线条数为． 15．（2026·陕西渭南·一模）（多选）已知圆：，直线：，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．圆与圆有四条公切线 D．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 【答案】AB 【分析】对A，将直线含参部分合并同类项列出方程组求解直线恒过的定点即可；对B，先判断定点与圆的位置关系，弦长最小时即为定点与圆心的连线与已知直线垂直时取得，再运用弦长公式计算即可；对C，利用两个圆心的距离与半径判断两个圆的位置关系；对D，当时直线确定，先求出圆心到直线的距离，再结合半径长度进行判断. 【详解】对于A，直线的方程可变形为， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆化成标准方程为， 其圆心为，半径为3，满足， 所以两圆外切，共有三条公切线，故C错误； 对于D，圆，则圆心，半径， 当时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 因为，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：AB. 16．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）（多选）已知直线，圆，则（   ） A．动直线经过定点 B．圆心到直线的最大距离为 C．当直线与圆有两个不同的交点时， D．圆与圆有两条公切线 【答案】BCD 【分析】将直线方程进行变换为，解方程组可判断A；设， 易知当时，圆心到直线的距离最大，再由斜率关系和点斜式可得B；由圆心到直线的距离小于半径可得C；利用两圆心间距离可判断D. 【详解】对于A：将直线方程进行变换可得， 则有，解得.  所以直线经过定点，所以A错误； 对于B：圆的方程变换为，设， 易知当时，圆心到直线的距离最大，最大距离为， 直线斜率为，所以直线的斜率为，此时，所以B正确； 对于C：当直线与圆相交时，圆心到直线的距离， 化简得，解得，C正确； 对于D：两圆心间距离为，由可知圆与圆相交，所以有两条公切线，D正确；   故选：BCD. 题型05 求两圆的公切线方程 17．（25-26高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 18．（25-26高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是______． 【答案】 【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程. 【详解】设圆的圆心为，半径为，则，， 设圆的圆心为，半径为，则，， 所以，所以两圆内切. 联立方程，解得， 所以两圆的公切线方程为. 故答案为：. 19．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 20．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 题型06 圆系方程的应用 21．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 22．（2026高二·全国·专题练习）求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 【答案】 【分析】根据题意，求得两圆的公共弦的方程为，再设出所求圆的方程，结合题意和圆的性质，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦方程为， 过直线与圆的交点的圆， 可设为，即， 要使得所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心必在公共弦所在直线上， 即，解得， 代回圆系方程得所求圆方程. 23．（25-26高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 24．（25-26高二上·吉林长春·期中）（多选）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A，联立两圆方程，求出两圆的相交弦所在直线方程判断；对B，求出圆心到直线的距离，进而求得两圆的公共弦长判断；对C，设经过，两点，且过原点的圆的方程为，求出代回求得方程判断；对D，的最大值为，求出判断选项D. 【详解】对于A，由，得， 所以两圆的相交弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则两圆公共弦长为，故B正确； 对于C，经过，两点的圆的方程可设为， 即，因为此圆过原点， ，解得， 所以经过，两点，且过原点的圆的方程为，故C错误； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 1．（25-26高二上·甘肃白银·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】C 【分析】计算两圆的圆心距并与两圆半径之和比较，即可得答案. 【详解】由题知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 所以，所以圆与圆外切. 故选：C. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以圆心距， 又圆与圆相交，所以， 即，又，所以解得：， 故选：C. 3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】将两圆方程化成标准方程，分别求出圆心和半径，由此判断两圆的位置关系，从而得到它们的公切线的条数. 【详解】由，得，所以圆心，半径为； 由，得，所以圆心，半径为. 所以. 因为，所以两圆相交. 所以它们有两条公切线. 故选：C. 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 5．（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 6．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，两圆方程作差即可判断B，求出即可判断C，根据公切线的性质判断D. 【详解】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 7．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或0 D．或0 【答案】B 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证即得. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得（公共弦方程不成立，舍去）或， 当时，圆，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为. 故选：B 8．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）下列结论错误的是（   ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是. B．若圆上有且仅有2个点到直线l：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则. D．已知圆C：，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为4. 【答案】D 【分析】对于A，利用两圆方程相减即得公共弦方程；对于B，结合直线与圆的位置关系分析需满足，计算即得；对于C，由条件判断两圆外切，可得，计算即得答案；对于D，由切线长定理推得，依题需使最小，即当与直线垂直时，由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】对于A，将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足，解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得，知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为，故，故D错误. 故选：D. 9．（26-27高二上·河南·阶段检测）（多选）已知圆：，圆：，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】BC 【分析】对A，根据圆心坐标和两点距离公式求解判断；对B，两圆方程作差求解判断；对C，结合公共弦所在直线方程，用弦长的几何求法求解判断；对D，由直线与圆相切列式验证判断. 【详解】对于A：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心距，A错误； 对于B：圆即①，圆即②， ①②化简得，B正确； 对于C：圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，C正确； 对于D：圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离 所以直线与圆相切，与圆不相切，D错误. 10．（25-26高二上·福建三明·期中）（多选）已知圆：与圆：，下列说法正确的是（     ） A．与的公切线恰有条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 【答案】ABD 【详解】由已知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于A，所以，故两圆相交， 则与的公切线恰有条，故A正确； 对于B，，，两式作差得，故B正确； 对于C，到的距离为， 所以与相交弦的弦长为，故C错误； 对于D，，故D正确. 11．（25-26高二下·安徽·期中）（多选）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；直线与圆的位置关系和三角形的面积公式计算即可判断B；如图，确定当取最小值时取得最小值，结合点与圆的位置关系计算即可判断C；设，根据平面向量数量积的定义，由选项C可得，结合换元法和基本不等式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 且，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，当与圆相切时，， 所以的面积为，故B正确． 对于C，连接，则， 当取最小值时取得最小值， 又，所以，故C正确； 对于D，设，则， 在中，，则， 由对C的分析，知， 所以， 令，则，， 当且仅当时等号成立，故D错误． 12．（26-27高二上·江苏·阶段检测）圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 【答案】 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 13．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 14．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 【详解】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 15．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知圆经过，两点，并且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求直线：被圆所截得的弦长； (3)已知点，以为圆心的圆与圆相切，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）圆心是的中垂线与已知直线的交点，定出圆心后再用两点距离求半径； （2）先算圆心到直线的距离，再由半径、弦心距、半弦长的勾股关系求弦长； （3）先算圆心距，再按外切、内切两类方程分别求圆的半径． 【详解】（1）的中点为，直线的斜率， 故的中垂线为，即． 圆心既在中垂线上，又在上，联立解得， 半径， 故圆的标准方程为． （2）圆心到直线的距离， 由垂径定理得所得弦长为． （3），设圆的半径为． 若两圆外切，则，； 若两圆内切，则，得或（舍去）． 故圆的标准方程为或． 16．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. (1)求的方程； (2)求的圆心坐标和半径； (3)判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 【答案】(1) (2)圆心坐标为，半径为5 (3)相交， 【分析】（1）由两点间的距离公式得到的方程； （2）由圆的定义及两点间的距离公式判断的圆心坐标和半径； （3）两圆联立方程组，利用交点判断位置关系并求弦长. 【详解】（1）因为以原点为圆心，5为半径， 根据两点间的距离公式有，两边平方得的方程为. （2）因为的方程为， 圆上的点到定点的距离等于定长5，所以的圆心坐标为，半径为5. （3）将两圆方程联立得，解方程组得或， 即两圆相交于点，， 进而两圆的相交弦长为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 圆与圆的位置关系-重难点题型（讲） 知识点01：圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 【即学即练】 1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 知识点02：两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。 【即学即练】 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03：两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 【即学即练】 3．（25-26高二上·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 知识点04：利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 【即学即练】 4．（25-26高二上·全国·单元测试）求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 题型01 圆与圆的位置关系判断 1．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）两圆：和：的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 4．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 题型02 由圆与圆的位置关系求参 5．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)圆，当为何值时，两圆外切？ 6．（2026高二·全国·专题练习）已知圆：与圆：相切，则实数______． 7．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知圆：，圆：．若圆与圆有公共点，则的取值范围是________． 8．（26-27高二上·重庆石柱·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值是______． 题型03 两圆的公共弦问题 9．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知圆经过，，并且圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系；如果相交求公共弦所在直线方程，并求得公共弦长. 10．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长为______． 11．（26-27高二上·吉林四平·期中）已知点和以点为圆心的圆. (1)求以为直径，点为圆心的圆的方程； (2)设圆与圆相交于，两点，证明：直线，是圆的切线； (3)求直线的方程. 12．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知圆，，圆与圆相交于点，，，下列结论正确的是（     ） A． B．直线的方程是 C．公共弦长 D．四边形的面积是24 题型04 两圆的公切线条数问题 13．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 14．（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2026·陕西渭南·一模）（多选）已知圆：，直线：，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．圆与圆有四条公切线 D．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 16．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）（多选）已知直线，圆，则（   ） A．动直线经过定点 B．圆心到直线的最大距离为 C．当直线与圆有两个不同的交点时， D．圆与圆有两条公切线 题型05 求两圆的公切线方程 17．（25-26高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 18．（25-26高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是______． 19．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 20．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 题型06 圆系方程的应用 21．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 22．（2026高二·全国·专题练习）求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 23．（25-26高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·吉林长春·期中）（多选）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为 1．（25-26高二上·甘肃白银·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 5．（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 7．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或0 D．或0 8．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）下列结论错误的是（   ） A．若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是. B．若圆上有且仅有2个点到直线l：的距离等于1，则 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则. D．已知圆C：，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为4. 9．（26-27高二上·河南·阶段检测）（多选）已知圆：，圆：，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 10．（25-26高二上·福建三明·期中）（多选）已知圆：与圆：，下列说法正确的是（     ） A．与的公切线恰有条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 11．（25-26高二下·安徽·期中）（多选）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 12．（26-27高二上·江苏·阶段检测）圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 13．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 14．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 15．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知圆经过，两点，并且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求直线：被圆所截得的弦长； (3)已知点，以为圆心的圆与圆相切，求圆的标准方程． 16．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. (1)求的方程； (2)求的圆心坐标和半径； (3)判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 学科网（北京）股份有限公司 $