专题2.1 直线的倾斜角与斜率讲义【知识清单+10大题型+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.1 直线的倾斜角与斜率-重难点题型（讲） 知识点01：直线的倾斜角 1、定义：当直线与相交时，我们把轴称为基准， 轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 2、倾斜角的范围：。 当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合. 【注意】 1、定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角. 2、从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应. 4、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置. 【即学即练】 1．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的倾斜角，再利用已知条件结合倾斜角的取值范围求出的倾斜角． 【详解】直线 ，设直线斜率为，倾斜角为， ，， 直线绕原点顺时针旋转得到直线， 又倾斜角的取值范围为， 直线的倾斜角为，故D正确． 故选：D． 知识点02：直线的斜率 1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知： 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系， 在和内分别与倾斜角变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然． 因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 3、斜率公式 已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式. 【即学即练】 2．（25-26高二上·天津河东·期中）已知直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合直线倾斜角与斜率的关系及斜率公式计算解得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，则. 故选：B. 知识点03：直线平行的条件 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 【注意】1、公式成立的前提条件是： ①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 【即学即练】 3．（2026高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合： （1）经过点，；经过点，；( ) （2）的斜率为，经过点，；( ) （3）平行于轴，经过点，；( ) （4）经过点，，经过点，．( ) 【答案】 不平行 平行或重合 平行 重合 【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）. 【详解】（1），， ，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，即，无法判断两直线是否重合， 所以与平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴， 所以． （4）由题意，知，，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线，所以与重合． 知识点04：直线垂直的条件 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 【注意】1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【即学即练】 4．（2026高二·全国·专题练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)垂直 (2)垂直 (3)不垂直 (4)垂直 【分析】（1）由斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线垂直的条件判断； （3）由两直线垂直的条件判断； （4）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【详解】（1），两直线垂直． （2），两直线垂直； （3），不垂直； （4）斜率为0，斜率不存在，两直线垂直． 题型01 求直线的斜率 1．（26-27高二上·山东·期中）已知直线过、两点，则该直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 2．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）若直线经过，两点，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点斜率公式即可求解. 【详解】由两点斜率公式可知. 故选：B 3．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 4．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 题型02 求直线的倾斜角 5．（26-27高二上·四川·期中）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 6．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知直线经过两点，则直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角. 【详解】由题意可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：A 7．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 8．（2026高二上·浙江温州·专题练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】由直线与轴垂直，直接求得其倾斜角为. 【详解】直线与轴垂直，的倾斜角为. 故选：A. 题型03 斜率与倾斜角的关系 9．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）（多选）下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确； 对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确； 对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1， 由于，因此这条直线必过点，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 11．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 12．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）（多选）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 题型04 由倾斜角与斜率求参 13．（25-26高二上·全国·课后作业）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【详解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 16．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 题型05 图象中的斜率大小比较 17．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 18．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】由图可知，，则. 故选：AD. 19．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】AB 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故错误； 对于：，所以，故错误. 故选：. 20．（25-26高二上·四川广安·期中）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合图象利用斜率的定义判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 由图象可知，， 易知，当时， 又在时，且上单调递增， 所以，，即. 故选：ABD 题型06 由斜率解决三点共线问题 21．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 22．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可． 【详解】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得． 故答案为：D. 23．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 24．（25-26高二上·山西临汾·期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】C 【分析】由题意得，列式求解即可. 【详解】因为，又， 所以，即. 故选：C. 题型07 直线与线段的相交关系求取值范围 25．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由顺时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴顺时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.    26．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出直线过线段端点时的斜率，数形结合即可得出直线斜率范围. 【详解】如图， ，, 因为直线l与线段AB相交， 所以， 故答案为： 27．（2026高二·全国·专题练习）已知直线l过点P，点A的坐标为，点B的坐标为，若直线与线段有公共点，求l的倾斜角的取值范围． 【答案】 【分析】结合图形，根据过点的直线与线段有公共点，求出对应斜率，再求出倾斜角的取值范围。 【详解】 则， 当直线l过A时，设直线l的倾斜角为， 则， 所以要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的倾斜角的取值范围是． 故答案为： 【点睛】考查斜率的计算公式，以及斜率与倾斜角的关系。 28．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 【答案】BC 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 题型08 两条直线平行与垂直的判定 29．（2026高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【答案】(1) (2)直线与直线重合 (3)直线与直线平行或重合 (4) 【分析】根据直线的斜率求得正确答案. 【详解】（1）由题意知，， 所以直线与直线l2平行或重合， 又，故． （2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合， 又，故直线与直线重合． （3）由题意知，，则， 所以直线与直线平行或重合． （4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以． 30．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则 C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则 【答案】BCD 【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确. 【详解】对于A，当和倾斜角均为时，，但两直线斜率不存在，A错误； 对于B，若和斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知，B正确； 对于C，若，可知两直线倾斜角相等，C正确； 对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知，D正确. 故选：BCD. 31．（25-26高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据判断直线垂直； （2）斜率不存在，则判断是否与x平行，若平行，则两直线垂直； （3）方法一：根据判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直. 【详解】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 32．（25-26高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【答案】(1)不垂直 (2)垂直 (3)垂直 【分析】（1）分别求解直线与的斜率，根据斜率关系判断即可； （2）求解直线的斜率，根据斜率关系判断即可； （3）根据坐标确定直线倾斜角，即可判断直线位置关系. 【详解】（1），， 与不垂直． （2）， ． （3）由的横坐标相等得的倾斜角为， 则轴， 又，则轴，因此． 题型09 已知直线平行与垂直求参数 33．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）求满足下列条件的的值. (1)直线与直线平行； (2)直线与直线垂直； (3)已知两点，直线与线段有交点. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由平行性质计算即可得； （2）由垂直性质计算即可得； （3）求出直线所过定点后，分别计算、，结合直线斜率计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 当时，直线，符合； 当时，直线，符合； 故或； （2）由题意可得，解得； （3）直线过定点， 又，， 则或，解得或， 故的范围为或. 34．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【详解】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 35．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【详解】（1），， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. （2）当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 36．（2026高二·全国·专题练习）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【分析】（1）依题意可得，则，利用斜率公式计算可得； （2）分或为直角顶点两种情况讨论，分别计算可得； （3）结合（1）（2）得解. 【详解】（1）因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． （2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． （3）若为直角顶点，由（1）知； 若为直角顶点，由（2）知； 若为直角顶点，由（2）知． 综上可知，或或． 题型10 直线平行垂直在几何中的应用 37．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 38．（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明如下： 由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】略 39．（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】 证明：， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 【分析】利用向量共线定理证明，再证明其长度不等即可. 【详解】略 40．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式以及斜率与倾斜角公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得：，所以，， 所以. 2．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为， 故， 由斜率公式可得，解得. 3．（2026高二上·安徽·竞赛）已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，结合两条直线倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由，且， ， ，解得，因为，故； 结合得，即可得. 4．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【答案】B 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角，即可逐项判断. 【详解】直线，即为，所以斜率是，故A错误，B正确； 设直线的倾斜角为， 则，可得，所以倾斜角是，故CD错误. 5．（25-26高二下·陕西·开学考试）若直线的倾斜角为，则（   ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 【答案】C 【详解】因直线与轴垂直，故该直线的倾斜角. 6．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 7．（25-26高二上·湖北·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出草图，先求出直线和直线的斜率，直线与线段有公共点时，找出直线的斜率的临界状态即可. 【详解】运用两点间的斜率公式，，， 过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示， 直线斜率的取值范围是.    故选：B. 8．（25-26高二上·江苏苏州·期中）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线l的倾斜角为，根据直线l与连接的线段总有公共点，可得或，结合正切函数的图象即得. 【详解】 如图所示，设直线l的倾斜角为， 则 直线与连接的线段总有公共点， 或，即或， 又，则有. 故选：C. 9．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 【答案】CD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，斜率公式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； B：直线的斜率时，因为可以是不为的任意实数，而直线倾斜角的范围为，故B错误； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，故C正确； D：过，两点的斜率为：，故D正确. 故选：CD. 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 11．（25-26高二上·广东清远·期末）（多选）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【分析】A选项，由两点斜率公式得到A正确；B选项，得到直线的斜率，从而得到直线的倾斜角；C选项，由中点坐标公式可得C正确；D选项，得到与不平行，D错误. 【详解】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 12．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【答案】 【详解】已知，， 当时，单调递增； 则； 当时，单调递增； 故； 综上可得，斜率k的取值范围是． 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 14．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 15．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 16．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率-重难点题型（讲） 知识点01：直线的倾斜角 1、定义：当直线与相交时，我们把轴称为基准， 轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 2、倾斜角的范围：。 当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合. 【注意】 1、定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角. 2、从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应. 4、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置. 【即学即练】 1．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 知识点02：直线的斜率 1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，； （2）直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知： 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系， 在和内分别与倾斜角变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然． 因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 3、斜率公式 已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式. 【即学即练】 2．（25-26高二上·天津河东·期中）已知直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点03：直线平行的条件 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 【注意】1、公式成立的前提条件是： ①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 【即学即练】 3．（2026高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合： （1）经过点，；经过点，；( ) （2）的斜率为，经过点，；( ) （3）平行于轴，经过点，；( ) （4）经过点，，经过点，．( ) 知识点04：直线垂直的条件 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 【注意】1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【即学即练】 4．（2026高二·全国·专题练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 题型01 求直线的斜率 1．（26-27高二上·山东·期中）已知直线过、两点，则该直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）若直线经过，两点，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D． 3．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 4．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 题型02 求直线的倾斜角 5．（26-27高二上·四川·期中）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知直线经过两点，则直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二上·浙江温州·专题练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 题型03 斜率与倾斜角的关系 9．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）（多选）下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）（多选）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 题型04 由倾斜角与斜率求参 13．（25-26高二上·全国·课后作业）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A． B．2 C． D．4 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 16．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 题型05 图象中的斜率大小比较 17．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 19．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．  B．  C．   D．   20．（25-26高二上·四川广安·期中）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 题型06 由斜率解决三点共线问题 21．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 22．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 23．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 24．（25-26高二上·山西临汾·期末）若三点在同一直线上，则实数等于（    ） A． B． C．6 D．12 题型07 直线与线段的相交关系求取值范围 25．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是______． 27．（2026高二·全国·专题练习）已知直线l过点P，点A的坐标为，点B的坐标为，若直线与线段有公共点，求l的倾斜角的取值范围． 28．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 题型08 两条直线平行与垂直的判定 29．（2026高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 30．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则 C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则 31．（25-26高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 32．（25-26高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 题型09 已知直线平行与垂直求参数 33．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）求满足下列条件的的值. (1)直线与直线平行； (2)直线与直线垂直； (3)已知两点，直线与线段有交点. 34．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 35．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 36．（2026高二·全国·专题练习）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 题型10 直线平行垂直在几何中的应用 37．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 39．（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 40．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二上·安徽·竞赛）已知直线与直线的倾斜角分别为，若，则直线的斜率为（    ） A．3 B．1 C． D． 4．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 5．（25-26高二下·陕西·开学考试）若直线的倾斜角为，则（   ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 6．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏苏州·期中）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东清远·期末）（多选）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 12．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 14．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为_____. 15．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 16．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $