专题2.4 圆的方程讲义【知识清单+8大题型+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.4 圆的方程-重难点题型（讲） 知识点01：圆的标准方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 【即学即练】 1．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）已知点，，则以为直径的圆的方程为______． 【答案】 【分析】求出圆心坐标和半径，写出标准方程. 【详解】由题意知，圆心为线段的中点，坐标为，即. 因为为直径，所以半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 知识点02：圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）. （2）不含项； （3） 3、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 4、圆的方程的两种求法 （1）几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标半径，进而得到圆的标准方程。 （2）待定系数法：设出圆的方程，由三个独立的条件列出关于三个参数的方程组，解出参数的值，代入即得到圆的方程。 选用标准方程还是一般方程的原则：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程，否则可设圆的一般方程。 待定系数法求圆的方程的步骤： ①设：根据题意，设出所求圆的标准方程或圆的一般方程 ； ②列：根据已知条件，建立关于或的方程组； ③解：解方程组，求出或； ④代：将或的值代入所设方程，即得所求圆的方程。 【即学即练】 2．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）过，，三点的圆的半径为________． 【答案】/ 【详解】设圆的方程为， 则，解得， 则圆的方程为，即， 所以过，，三点的圆的半径为. 知识点03：点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆A上 或 点在圆A内 或 点在圆A外 或 【即学即练】 3．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 知识点04：轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. “轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。 2、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 【即学即练】 4．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． (1)求直线的方程； (2)求实数的值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互相垂直的两直线的斜率性质，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据圆的方程特征，结合圆的弦长公式、点到直线距离公式进行求解即可； （3）利用相关点法，结合代入法进行求解即可. 【详解】（1）因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 又因为直线过点，所以直线的方程为，即． （2）圆：的标准方程为， 则圆心，半径，． 因为圆心到直线的距离， 圆截直线所得的弦长为，所以，解得． （3）由（2），得圆的方程为． 设线段的中点为，． 因为，所以，则． 因为点在圆上运动，所以， 即， 化简，得， 即线段的中点的轨迹方程为． 题型01 求圆的标准方程 1．（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）圆心为，过点的圆的标准方程为______. 【答案】 【详解】设该圆的标准方程为 由题意可得，，， 故圆的标准方程为. 2．（26-27高二上·江苏·阶段检测）若圆的一条直径的端点坐标分别是和，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得圆心坐标为，半径. 所以圆的方程为. 3．（26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知点，，，则外接圆的方程是________． 【答案】 【分析】根据题意，求得为直角三角形，得到为外接圆的直径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由点，，，可得轴，且轴， 所以，即为直角三角形，所以为外接圆的直径， 设外接圆的方程为， 则，所以圆心， 又由，可得圆的半径为， 所以外接圆的方程为. 4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 题型02 求圆的一般方程 5．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知三个顶点，，． (1)求边上中线、边上高线的直线方程的一般式； (2)求外接圆的一般方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点坐标先求出相应直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程； （2）由圆的一般方程利用待定系数法解方程组即可求得结果. 【详解】（1）由，可得中点． 易知， 边上中线为直线， 又，可得， 所以边上中线的直线方程为，整理得． 边上高线过点，且高线垂直， 高线斜率， 高线的直线方程为，整理得； 所以边上中线方程为，边上高线的直线方程为； （2）设外接圆一般方程：． 将、、分别代入方程： ②−①得 ①−③得，得到方程组 第一个式子乘2可得， 减去第二个式子可得， 回代求得，． 所以外接圆一般方程为 6．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 7．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为____. 【答案】 【分析】根据中点坐标公式和两点间距离公式可求得圆心和半径，由此可得圆的标准方程，整理即可得到圆的一般方程. 【详解】，，中点坐标为，又， 以为直径的圆的圆心为，半径， 以为直径的圆的标准方程为，整理可得该圆的一般方程为：. 故答案为：. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）求与圆同心，且过点的圆的方程. 【答案】 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，将点代入，求得的值，即可求解. 【详解】因为所求圆与圆为同心圆， 设所求圆的方程为， 又因为所求圆过点，将此点坐标代入方程，可得， 所以所求圆方程为. 题型03 由圆的方程求圆心与半径 9．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【详解】将对分别配方得 故圆的圆心为. 故选：C 10．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】转化为标准圆方程即可得到答案. 【详解】，即， 则其圆心坐标和半径分别为，3. 故选：B. 11．（2026·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为______. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的标准方程即可直接求得圆心坐标. 【详解】由圆，得圆心坐标为. 故选：B. 题型04 二元二次方程与圆的关系 13．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）若方程表示圆，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原方程配方得：， 即. 因为该方程表示圆，所以，得. 故. 14．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【分析】本题考查曲线方程的化简与识别.先由右边根式的非负性确定左边的取值范围，再两边平方转化为圆的标准方程，最后根据 y 的取值范围判断是整圆还是半圆. 【详解】因为右边，所以左边，即. 两边平方得，整理为. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误. 当 时，方程化为，且，这是以 为圆心、1 为半径的上半圆. 当 时，方程化为，且，这是以为圆心、1 为半径的下半圆. 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受 限制）. 15．（25-26高二上·天津·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知化为圆的标准方程进行求解即可. 【详解】将方程化简得， 要使得该方程表示圆，则，解得. 故选：C. 16．（25-26高三上·上海·阶段检测）若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 【答案】且， 【分析】根据圆的一般式满足的关系即可求解. 【详解】由题意可得，故方程变形为， 因此，解得且， 故答案为：且， 题型05 点与圆的位置关系及其求参数 17．（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）已知点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由题意得，，得 18．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆的方程化为标准方程得， 所以，解得或， 又点在圆外，故，解得， 因此的取值范围为． 19．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）设为实数，若点在圆的内部，求的取值范围___________． 【答案】 【详解】若点在圆的内部， 则， 得， 得， 故的取值范围为： 20．（25-26高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【详解】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C 题型06 与圆有关的对称问题 21．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 22．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 23．（25-26高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 24．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 题型07 与圆有关的轨迹问题 25．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，将距离比例转化为动点的轨迹方程，再把三角形面积最大问题转化为圆上点到直线的距离最大问题． 【详解】以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设． 由，两边均非负，平方得，整理得， 故动点的轨迹是以为圆心、为半径的圆． 因为直线为轴，所以在边上的高为，面积为． 由轨迹方程得，从而，当，时取等号， 且这两点均满足原距离条件，因此面积的最大值为． 26．（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 【答案】 【分析】求出定点、坐标后，结合与的位置关系可得点轨迹，即可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】对，当时，，故， 对，当时，，故， 由，故， 故点在以为直径的圆上（不包括，两点）， 则，故, 则， 即，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 27．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 28．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 题型08 与圆有关的最值问题 29．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）（多选）已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（     ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】先根据动直线求定点，再利用垂直关系确定点的轨迹方程，注意空心点，然后求解即可. 【详解】直线：化简得， 令得即直线过定点， 直线：化简得， 令得即直线过定点， 因为时，，，所以，即直线与直线垂直， 时，，不存在，即直线与直线垂直，所以交点在以为直径的圆上， 又因为直线无法表示直线，直线无法表示直线，所以点坐标不可能是， 故的轨迹方程为  ，圆心， 半径，所以直线方程为：且， 为圆上点，所以的最值一定在直线与圆的交点处取得， 联立直线直线与圆方程解得或即点坐标为时取最小值， 又因为坐标不可能是，所以无最小值，点坐标为时取最大值，最大值为. 30．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】将条件化为圆的标准方程，利用坐标范围及特殊点判断分式结论，将平方和转化为距离的平方，并利用不等式及取等条件求的最大值． 【详解】对于A，原方程可化为，表示以为圆心、半径为1的圆， 因此，，分式中的分母为正及为非负． 取，满足原方程，此时，故A错误； 对于B，由及得，当时满足原方程且等号成立， 故其最小值为0，故B正确； 对于C，设圆上动点为，定点为，则， 由，及三角不等式得， 当位于时等号成立，因此的最大值为，故C正确； 对于D，由重要不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 由得 ， 所以，当时满足原方程且取得等号， 因此的最大值为，故D错误． 31．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 32．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线，整理为，则直线恒过定点； 已知曲线，整理为，对称中心恰好为. 由于直线过双曲线中心，所以交点关于对称，即是中点. 根据向量中点性质，可知， 代入条件，得，即， 即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆及其内部. 则原点到圆心的距离为：， 从而. 1．（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 2．（25-26高二上·陕西安康·期末）若圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆化成标准方程，可以知道圆的半径，代入面积公式即可求出答案. 【详解】由题意知圆的方程是， 可以化成标准方程，而圆的面积为， 则由圆的面积公式可得，解之可得. 故选： 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 【答案】C 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：C. 4．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 5．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 6．（25-26高二上·福建泉州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 7．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 8．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 9．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）（多选）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 【答案】AD 【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可. 【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确； 对于B，由于，故圆C必定不过，B错误； 对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误； 对于D，圆心始终在直线上，D正确. 故选：AD. 10．（2026·辽宁丹东·模拟预测）（多选）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 11．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．过点且与直线平行的直线方程是 B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．的取值范围为 D．当时，圆面积为 【答案】AC 【分析】由平行设出直线方程，利用待定系数法求解判断A；求出横纵截距判断B；利用二次方程表示圆的条件列式判断C；求出圆的半径判断D. 【详解】对于A，设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 因此过点且与直线平行的直线方程是，A正确； 对于B，直线在轴上的截距分别为，它们不相等，B错误； 对于C，由圆：，即， 则，即，C正确； 对于D，当时，圆的半径，则圆的面积为，D错误. 12．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线垂直，且过圆的圆心，则的方程是________． 【答案】 【分析】利用直线与直线垂直求出斜率，由于直线过圆的圆心，利用点斜式求得方程. 【详解】因为直线与直线垂直，且直线的斜率为1， 所以直线的斜率为， 又直线过圆的圆心， 所以直线的方程是，即. 13．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】联立直线方程，得，则交点， 交点在圆的内部，则，即， 展开整理得，解得， 故实数的取值范围为． 14．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 15．（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）已知的三个顶点分别为． (1)求边中垂线所在直线的方程； (2)求的外接圆方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的斜率和的中点坐标，再根据垂直直线的斜率关系得到中垂线斜率，使用点斜式写出直线方程； （2）方法一：设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 方法二：求线段的垂直平分线方程，与的垂直平分线方程联立求出圆心坐标，再求半径，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以直线的斜率，又中点的坐标为， 设线段的中垂线的斜率为，则， 所以 由点斜式得线段的中垂线方程为， 整理得. （2）方法一：设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得， 即的外接圆方程为， 即. 方法二：因为，， 所以直线的斜率，又中点的坐标为， 设线段的中垂线的斜率为，则， 所以，所以线段的中垂线方程为，即， 联立方程得圆心坐标，所以圆的半径， 所以圆方程为：. 16．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知方程（是实数）表示的图形是圆． (1)求实数的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的标准方程； (3)若点恒在所给的圆内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方整理成圆的标准方程，由即可求得t的取值范围； （2）根据，结合二次函数的性质即可得的最大值，从而可求得圆的标准方程； （3）将点代入圆的方程解不等式即可求得t的取值范围． 【详解】（1）原方程可整理为. 则，解得， 因此的取值范围为． （2）要使圆的面积最大，则圆的半径最大，即半径的平方最大， 由于，， 所以当时，的最大值为，此时圆的标准方程为． （3）若点在圆内，则应满足， 由于点恒在所给圆内，故， 即，解得， 结合（1）中求得的，可得的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 圆的方程-重难点题型（讲） 知识点01：圆的标准方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 【即学即练】 1．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）已知点，，则以为直径的圆的方程为______． 知识点02：圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）. （2）不含项； （3） 3、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 4、圆的方程的两种求法 （1）几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标半径，进而得到圆的标准方程。 （2）待定系数法：设出圆的方程，由三个独立的条件列出关于三个参数的方程组，解出参数的值，代入即得到圆的方程。 选用标准方程还是一般方程的原则：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程，否则可设圆的一般方程。 待定系数法求圆的方程的步骤： ①设：根据题意，设出所求圆的标准方程或圆的一般方程 ； ②列：根据已知条件，建立关于或的方程组； ③解：解方程组，求出或； ④代：将或的值代入所设方程，即得所求圆的方程。 【即学即练】 2．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）过，，三点的圆的半径为________． 知识点03：点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆A上 或 点在圆A内 或 点在圆A外 或 【即学即练】 3．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 知识点04：轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. “轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。 2、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 【即学即练】 4．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． (1)求直线的方程； (2)求实数的值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 题型01 求圆的标准方程 1．（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）圆心为，过点的圆的标准方程为______. 2．（26-27高二上·江苏·阶段检测）若圆的一条直径的端点坐标分别是和，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知点，，，则外接圆的方程是________． 4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 题型02 求圆的一般方程 5．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知三个顶点，，． (1)求边上中线、边上高线的直线方程的一般式； (2)求外接圆的一般方程． 6．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 7．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为____. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）求与圆同心，且过点的圆的方程. 题型03 由圆的方程求圆心与半径 9．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（2026·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为______. 12．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 题型04 二元二次方程与圆的关系 13．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）若方程表示圆，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 14．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 15．（25-26高二上·天津·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·上海·阶段检测）若方程表示一个圆，则的取值范围为___________． 题型05 点与圆的位置关系及其求参数 17．（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）已知点在圆：外，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 18．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）设为实数，若点在圆的内部，求的取值范围___________． 20．（25-26高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型06 与圆有关的对称问题 21．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 22．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 23．（25-26高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为__________. 24．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 题型07 与圆有关的轨迹问题 25．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为________． 26．（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）已知，若过定点A的动直线：和过定点B的动直线：交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为__________． 27．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 28．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 题型08 与圆有关的最值问题 29．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）（多选）已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（     ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 30．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 31．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 32．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西安康·期末）若圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 4．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26高二上·福建泉州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）（多选）设圆，则下列命题正确的是（    ） A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点 C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 10．（2026·辽宁丹东·模拟预测）（多选）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 11．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．过点且与直线平行的直线方程是 B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．的取值范围为 D．当时，圆面积为 12．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与直线垂直，且过圆的圆心，则的方程是________． 13．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 14．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 15．（26-27高二上·四川眉山·阶段检测）已知的三个顶点分别为． (1)求边中垂线所在直线的方程； (2)求的外接圆方程； 16．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知方程（是实数）表示的图形是圆． (1)求实数的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的标准方程； (3)若点恒在所给的圆内，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $