与圆有关的最值与取值范围问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

与圆有关的最值与取值范围问题 知识梳理 1、极化恒等式与中线长定理 极化恒等式：在 中， 为 的中点，则 证明： 所以 故 这就是极化恒等式：两条边的数量积，等于中线长的平方减去半底边长的平方. 中线长定理： 两式相加，含 的项一正一负相消： 即两边长的平方和，等于中线长平方的 倍加上底边平方的一半. 2、切线长公式与切点弦 设 在圆外（），、 为过 的两条切线，、 为切点， 为圆心. 切线长公式： 切点弦方程：圆 ， 在圆外，则切点 、 所在直线的方程为 题型一　圆上的点到定点的距离最值 求圆上动点到定点的距离 → 先算圆心到该定点的距离 d，最大值 d+r、最小值 |d−r| → 由三角不等式，P、圆心与该定点共线时取到等号. 条件是垂直、定比、距离平方和这类轨迹条件 → 先把动点轨迹求成圆（直径圆、阿波罗尼斯圆等），再套上一条的距离结论 → 由直径所对圆周角、两点距离公式整理保证轨迹是圆. 例 、已知两定点 A(−2,0)，B(1,0)，动点 P 满足 ，点 Q 是圆 上的动点，则 的最大值为( ) A．　 B．　 C．　 D． 解：设 P(x,y)，把 两边平方，得 ， 展开整理为 ，配方得 ， 即 P 在以 为圆心、2 为半径的圆上运动（定比不为 1 时轨迹为阿波罗尼斯圆，由两点距离公式平方整理即得）. 点 Q 在圆 上，圆心 ，半径 ，故两圆圆心距 .由两圆上各取一个动点的距离结论，，等号当 P、、、Q 依次共线且各取外侧点时取到，所以 ，选 B. 1、已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 2、已知,点M满足，则的可能取值是( ) A．4 B． C．1 D． 3、在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为( ) A．34 B．40 C．44 D．48 4、已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是( ) A． B． C． D． 5、已知直线过定点，直线过定点，直线与直线的交点为，则的最大值为( ) A． B． C． D． 题型二　圆上的点到直线的距离最值 目标是圆上的点到定直线的距离 → 求圆心到直线的距离 d，相交时取 、相离时取 . 直线方程含参数、可整理成「参数×式₁＋式₂」 → 先求定点，圆心到直线的距离不超过圆心到定点的距离 → 由垂线段最短，直线与连线垂直时取到等号. 例 、已知圆 C：，直线 ，则圆心 C 到直线 l 的最大距离为______，圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为______． 解：圆的方程配方得 ，圆心 ，半径 . 把直线整理为 ，可见 l 恒过定点 . 圆心 C 到 l 的距离 ，当且仅当 （即直线 ）时取到 ，故圆心 C 到直线 l 的最大距离为 1. 圆 C 上的点到 l 的距离，最大者出现在过圆心垂直于 l 的直径远离 l 的一端，其值为 （圆心另一侧端点给出 ），故所求最大值为 ；此时 l 与圆相交，最小值为 0. 1、点在圆上运动，则的取值范围( ) A． B． C． D． 2、已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 3、对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为______. 4、已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 题型三　圆的切线长与切点弦的最值 目标是切线长或切点弦长 → 两者都只由 |PC| 决定，且随 |PC| 增大而增大（切线长公式、切点弦长公式）→ 化为求 |PC| 的最值，P 在定直线上时即圆心到直线的距离. 例 、从直线 上任意一点 P 作圆 的两条切线，切点为 A、B，求弦 AB 长度的最小值． 解：直线 l 化为 ，圆心 O 到 l 的距离 （半径），故 l 与圆相离，P 恒在圆外，两条切线总存在.设 AB 交 OP 于 H，由切点弦的相似关系得 ，则 ；r 定值，|OP| 越小则 越大、|AB| 越小，故 |OP| 最小时弦最短. 此时 等于圆心到直线的距离 （P 为垂足 ），故 ，，即弦 AB 长度的最小值为 . 1、已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为( ) A． B． C．1 D． 2、已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 3、若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为_____. 题型四　过圆内定点的弦长最值 直线过圆内定点 M → 最长弦是过 M 的直径，最短弦与 CM 垂直、长 例 、已知点 在圆 内，求过点 M 的最长弦与最短弦所在的直线方程，并求最短弦长． 解：圆配方得 ，圆心 ，半径 ，，M 在圆内. 由弦长公式 ，弦长随圆心到弦的距离 d 增大而减小：最长弦取 ，即过 M 的直径所在直线 CM.，由点斜式得 ，即 ，弦长 . 最短弦对应 d 最大， 且等号当且仅当 弦，故最短弦过 M 且垂直于 CM，斜率 ，由点斜式得 ，弦长 . 1、已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为( ) A．2 B． C．4 D． 2、已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为( ) A．4 B．2 C．6 D． 3、已知圆，直线，当圆截直线所得的弦最短时，的值为( ) A．2 B． C． D．-2 题型五　代数式的几何意义最值 目标是 型分式 → 看作圆上点与 连线的斜率，设 ，由圆心距不大于半径解 k → 分界为两条切线. 目标是 型 → 看作平行直线族 的参数，相切取最值 → 由圆心距不超过 r 得 . 目标是 或其平方 → 看作圆上点到定点的距离 →最小 、最大 ，平方型端点直接平方. 例 、已知实数 x，y 满足 ，求 的最大值与 的取值范围． 解：配方得 ，圆心 ，半径 . 先求斜率型 ：即圆上点与原点连线的斜率，原点在圆外（）. 设直线 ，与圆有公共点，即圆心到直线距离不大于半径：，平方整理为 ，解得 ；竖直直线 到圆心距离 2>1，与圆无交，故 的最大值为 . 再求距离型 ：即圆上点到直线 的距离.圆心到直线距离 ，相离，距离范围为 . 1、已知实数满足方程，求的最大值和最小值( ) A． B． C． D． 2、实数x，y满足，则的最大值为( ) A． B． C． D．0 3、已知是圆上任意一点，则的最小值为( ) A． B． C． D． 4、已知点在曲线上，则的最大值是( ) A．6 B．25 C．26 D．36 5、已知实数x，y满足方程，则的最小值是________． 6、实数x，y满足，则的最大值是__________． 题型六　半圆上的最值 曲线配方后带 y≤0 或 x≥0 的范围限制，是半圆 → 先在整圆上求候选（斜率型化作切线、|ax+by+c| 型化作点到直线的距离），再检验候选点是否落在弧上 → 由弧是圆的子集，最值只能取自整圆候选点或弧端点. 例 、设点 是曲线 上的任意一点，则 的最小值为( ) A．2　B．　C．　D．0 解：曲线平方配方得 且 ，是圆心 、半径 2 的下半圆，含端点 、 表示半圆上的点与 连线的斜率，，Q 在圆外. 再对整圆求候选：设过 Q 的切线 ，由圆心到切线距离等于半径得 ，平方整理为 ，解得 或 ，即整圆上斜率范围是 的切点 纵坐标为负，在弧上，为弧上最大斜率； 的切点 不在弧上，故最小值只能在端点产生.两端点斜率 与 ，故最小值为 ，选 B. 1、已知点为半圆上一动点，则的最大值为( ) A． B． C． D． 2、若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 3、已知点在曲线上，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 4、点在曲线上，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 题型七　面积型最值 三角形一边固定、第三顶点在圆上 → 面积＝×定底×高，转化为圆上点到定直线的距离 → 由距离范围 （相交时下端为 0）乘定底的一半得面积范围. 目标是两切线围成的四边形面积 → 由切线长公式得 ，随 |PC| 增大而增大 → P 在定直线上时，取圆心到直线的距离作 ，此时该四边形面积最小. 例 、已知圆 C：，直线 ，M 为 l 上的动点，过 M 作圆 C 的两条切线 MA、MB（A、B 为切点）．当四边形 MACB 的面积最小时，求直线 AB 的方程． 解：圆配方得 ，圆心 ，半径 .圆心到 l 的距离为 ，l 与圆相离，M 恒在圆外，两条切线存在. 四边形 MACB 由两个全等直角三角形拼成， 随 减小而减小（r 定值），故 取圆心到直线的距离 时面积最小，M 为垂足.过 C 垂直于 l 的直线 代入 l 得 ，，垂足 . 把 代入切点弦方程 ，得 ，整理为 ，即所求直线 AB 的方程. 1、已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为( ) A． B． C． D． 2、直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( ) A． B． C． D． 3、直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是( ) A． B． C． D． 题型八　数量积型最值 两向量同起点、起点在圆上的 → 用极化恒等式化为中点距离平方减半弦平方 → 由圆上点到定点的距离范围取两端. 例 、已知圆 ，直线 与圆 交于 、 两点，点 是圆 上的动点，则 的最小值为( ) A．　 B．　 C．　 D． 解：圆 的圆心为 ，半径 ；圆心 到直线 的距离 ，故 与圆 相交.设 、 的中点为 ，则 是圆心 在 上的垂足，，. 由极化恒等式，，即数量积的最小值转化为「圆上点到定点 的距离平方的最小值」. 点 在圆 上， 在圆内，故 的最小值为 ，当且仅当 、、 依次共线时取到，等号可取. 故 的最小值为 ，选 B. 1、直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为( ) A． B． C． D． 2、已知圆C：，圆心为O，直线与C交于A，B两点，则的最小值为( ) A． B． C．11 D．9 3、已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为( ) A． B． C． D． 4、已知直线与圆相交于两点，则的最小值为( ) A． B．2 C．4 D． 题型九　角度型最值 两切线夹角或圆外一点对圆的张角 → 用 化为求 最值 → 越小张角越大，P 在定直线上时最小值为圆心到直线距离. 题设「圆上存在点使某角为定值」→ 转化为两圆有公共点或距离不等式 → 由 列不等式解参数. 例 、已知点 是直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、，则 的最大值为( ) A．　 B．　 C．　 D． 解：由切线的性质，，在 中 ，且由轴对称 ，故 最大等价于 最小. 圆心 到直线 的距离 ，故 与圆 相离， 恒在圆外，两条切线总存在； 的最小值即圆心到直线 的距离 ，在 为 在 上的垂足时取到. 此时 ，且 为锐角，故 ，从而 ，选 C. 1、已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为( ) A． B． C． D． 2、已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为( ) A． B． C． D． 3、已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得 ，则m的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 4、设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是( ) A．1 B． C．2 D．4 5、已知点是圆上的动点，点，则的最大值是( ) A． B． C． D． 6、已知圆：与直线：（），过上任意一点向圆引切线，切点为，，若的最小值为，则实数的值为( ) A． B． C． D． 7、在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，______. 8、若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____． 题型十　利用对称性求最值 求 的最小值、A 与 B 在定直线同侧 → 作对称点化为异侧再连直线 → 由两点之间线段最短，交点处取到；动点在圆上时先化到圆心再减半径. 求 的最大值 → 先用对称把两点移到同侧，再连直线取与定直线的交点 → 由三角形两边之差小于第三边，三点共线时取到. 例 、设圆 与圆 ，点 A、B 分别是 、 上的动点，M 为直线 上的动点，则 的最小值为( ) A．　B．　C．　D． 解：配方得 、，圆心 、，半径 2、5. 两圆心到 的距离 、（点线距离），故 M 在两圆外：，，相加得 ，等号当 A、B 为 、 与圆的靠近交点. 两圆心在 同侧（ 为 7、8），作 关于 的对称点 ，则 ， 与 异侧.由两点之间线段最短，，等号当 M 为线段 与 的交点；前证 M 在两圆外，等号可取.故最小值 ，选 B. 1、若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为( ). A．12 B．9 C．6 D． 2、已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为( ) A． B． C． D． 3、已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是( ) A． B． C． D． 4、已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为__________. 课后作业 1、若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 2、已知实数满足方程，则( ) A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为-20 D．的最大值为 3、（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则( ) A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 4、（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是( ) A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 5、（多选）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则( ) A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 6、（多选）已知两条直线和交于点，则( ) A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 7、（多选）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则( ) A．圆上的点到直线的最大距离为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为8 D．当点坐标为时，直线的方程为 8、（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是( ) A．点到曲线C上任意点距离最大为7 B．的最大值是 3 C．的最小值是 D．的取值范围是 9、（多选）已知实数，满足方程，则下列说法正确的是( ) A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10、过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为( ) A． B． C． D． 11、已知圆，点为直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为( ) A． B． C． D． 12、已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，________． 13、已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为( ) A． B． C． D． 14、已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 15、已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 与圆有关的最值与取值范围问题 知识梳理 1、极化恒等式与中线长定理 极化恒等式：在 中， 为 的中点，则 证明： 所以 故 这就是极化恒等式：两条边的数量积，等于中线长的平方减去半底边长的平方. 中线长定理： 两式相加，含 的项一正一负相消： 即两边长的平方和，等于中线长平方的 倍加上底边平方的一半. 2、切线长公式与切点弦 设 在圆外（），、 为过 的两条切线，、 为切点， 为圆心. 切线长公式： 切点弦方程：圆 ， 在圆外，则切点 、 所在直线的方程为 题型一　圆上的点到定点的距离最值 求圆上动点到定点的距离 → 先算圆心到该定点的距离 d，最大值 d+r、最小值 |d−r| → 由三角不等式，P、圆心与该定点共线时取到等号. 条件是垂直、定比、距离平方和这类轨迹条件 → 先把动点轨迹求成圆（直径圆、阿波罗尼斯圆等），再套上一条的距离结论 → 由直径所对圆周角、两点距离公式整理保证轨迹是圆. 例 、已知两定点 A(−2,0)，B(1,0)，动点 P 满足 ，点 Q 是圆 上的动点，则 的最大值为( ) A．　 B．　 C．　 D． 解：设 P(x,y)，把 两边平方，得 ， 展开整理为 ，配方得 ， 即 P 在以 为圆心、2 为半径的圆上运动（定比不为 1 时轨迹为阿波罗尼斯圆，由两点距离公式平方整理即得）. 点 Q 在圆 上，圆心 ，半径 ，故两圆圆心距 .由两圆上各取一个动点的距离结论，，等号当 P、、、Q 依次共线且各取外侧点时取到，所以 ，选 B. 1、已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【详解】因为所以点在以为直径的圆上，圆的方程为，所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即.故选：B. 2、已知,点M满足，则的可能取值是( ) A．4 B． C．1 D． 【答案】B【详解】设点，由，整理得：，即点的轨迹为圆心在，半径为的圆，因，即点在圆外，则表示圆外的点到圆上的点的距离，如图，有.故选：B. 3、在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为( ) A．34 B．40 C．44 D．48 【答案】B【详解】设，则，即等价于点到点的距离的平方的两倍加八，又，即.故选：B. 4、已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是( ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】直线可变形为，直线过定点，同理，则直线过定点， 时，直线，，此时；当时，，直线，直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆，又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示， 的最大值是．故选：D． 5、已知直线过定点，直线过定点，直线与直线的交点为，则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】直线的方程可整理为，令，解得，所以，直线的方程可整理为，令，解得，所以，又对于直线与直线，因为，所以，所以两直线的交点为以为直径的圆上的点，而，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以.故选：C. 题型二　圆上的点到直线的距离最值 目标是圆上的点到定直线的距离 → 求圆心到直线的距离 d，相交时取 、相离时取 . 直线方程含参数、可整理成「参数×式₁＋式₂」 → 先求定点，圆心到直线的距离不超过圆心到定点的距离 → 由垂线段最短，直线与连线垂直时取到等号. 例 、已知圆 C：，直线 ，则圆心 C 到直线 l 的最大距离为______，圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为______． 解：圆的方程配方得 ，圆心 ，半径 . 把直线整理为 ，可见 l 恒过定点 . 圆心 C 到 l 的距离 ，当且仅当 （即直线 ）时取到 ，故圆心 C 到直线 l 的最大距离为 1. 圆 C 上的点到 l 的距离，最大者出现在过圆心垂直于 l 的直径远离 l 的一端，其值为 （圆心另一侧端点给出 ），故所求最大值为 ；此时 l 与圆相交，最小值为 0. 1、点在圆上运动，则的取值范围( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】圆的圆心为，半径，因为点在圆上运动，又，其中表示圆上的点到直线的距离，所以，又圆心到直线的距离，所以，即，所以.故选：C 2、已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】【详解】直线：可化为，令，解得：，所以直线恒过定点.圆方程：，配方.圆心，半径，所以圆心到定点距离：，又因为，且，所以直线与不垂直，所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：.当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为.因此点P到直线的距离的取值范围为. 3、对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为______. 【答案】【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，直线方程可化为，令解得，所以直线过定点，显然当直线与圆相切或相交时，取最小值且，不妨令直线过原点，将代入，此时，设圆心到直线的距离为，当直线与垂直时，取得最大值，下面证明：当与直线垂直时，记为直线，当不与直线垂直且直线不经过时，记为直线，过作交于点，如下图所示，由图可知为直角三角形，且为斜边，所以，所以取最大值时，与直线垂直时，故，，但此时的方程为，即为，此时无论取何值都无法满足要求，故取不到，所以，故答案为： 4、已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】【详解】圆心，半径为，直线过定点，圆心到直线的最大距离，所以到直线的最大距离为. 题型三　圆的切线长与切点弦的最值 目标是切线长或切点弦长 → 两者都只由 |PC| 决定，且随 |PC| 增大而增大（切线长公式、切点弦长公式）→ 化为求 |PC| 的最值，P 在定直线上时即圆心到直线的距离. 例 、从直线 上任意一点 P 作圆 的两条切线，切点为 A、B，求弦 AB 长度的最小值． 解：直线 l 化为 ，圆心 O 到 l 的距离 （半径），故 l 与圆相离，P 恒在圆外，两条切线总存在.设 AB 交 OP 于 H，由切点弦的相似关系得 ，则 ；r 定值，|OP| 越小则 越大、|AB| 越小，故 |OP| 最小时弦最短. 此时 等于圆心到直线的距离 （P 为垂足 ），故 ，，即弦 AB 长度的最小值为 . 1、已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为( ) A． B． C．1 D． 【答案】C【详解】的半径是2，圆心是，切线长，根据四边形的面积为，可知，所以当取得最小值时，最小，因为，所以，此时，又，则，则，所以．故选：C． 2、已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】如图所示，可知，根据对称性易得，所以，所以，圆心到直线的距离，且易知，，所以，所以． 3、若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为_____. 【答案】【详解】将圆配方得，圆心，半径．因为圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，即，故点在直线上运动．由切线长公式得，半径为定值，因此最小时最小．点在直线上，的最小值即圆心到该直线的距离．此时，点在圆外，切线存在．所以． 题型四　过圆内定点的弦长最值 直线过圆内定点 M → 最长弦是过 M 的直径，最短弦与 CM 垂直、长 例 、已知点 在圆 内，求过点 M 的最长弦与最短弦所在的直线方程，并求最短弦长． 解：圆配方得 ，圆心 ，半径 ，，M 在圆内. 由弦长公式 ，弦长随圆心到弦的距离 d 增大而减小：最长弦取 ，即过 M 的直径所在直线 CM.，由点斜式得 ，即 ，弦长 . 最短弦对应 d 最大， 且等号当且仅当 弦，故最短弦过 M 且垂直于 CM，斜率 ，由点斜式得 ，弦长 . 1、已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为( ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C【详解】直线，可化为，则直线过定点，圆配方得，可得圆心，半径，所以，即点在圆内，则当点到直线的距离的最大值为时，，故选：C． 2、已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为( ) A．4 B．2 C．6 D． 【答案】A【详解】圆，则直线过定点，因定点在圆内，定点到圆心的距离为，所以直线与圆相交弦长的最小值为.故选：A. 3、已知圆，直线，当圆截直线所得的弦最短时，的值为( ) A．2 B． C． D．-2 【答案】C【详解】由圆，可得圆心为，半径为，直线过定点，且点在圆内．当直线时，圆心到直线的距离最大，弦最短．因为直线的斜率，所以．故选：C． 题型五　代数式的几何意义最值 目标是 型分式 → 看作圆上点与 连线的斜率，设 ，由圆心距不大于半径解 k → 分界为两条切线. 目标是 型 → 看作平行直线族 的参数，相切取最值 → 由圆心距不超过 r 得 . 目标是 或其平方 → 看作圆上点到定点的距离 →最小 、最大 ，平方型端点直接平方. 例 、已知实数 x，y 满足 ，求 的最大值与 的取值范围． 解：配方得 ，圆心 ，半径 . 先求斜率型 ：即圆上点与原点连线的斜率，原点在圆外（）. 设直线 ，与圆有公共点，即圆心到直线距离不大于半径：，平方整理为 ，解得 ；竖直直线 到圆心距离 2>1，与圆无交，故 的最大值为 . 再求距离型 ：即圆上点到直线 的距离.圆心到直线距离 ，相离，距离范围为 . 1、已知实数满足方程，求的最大值和最小值( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】由方程，可化为，表示以为圆心坐标､为半径的圆，由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即，如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 2、实数x，y满足，则的最大值为( ) A． B． C． D．0 【答案】A【详解】可化为，表示圆心为，半径为的圆.表示圆上的点与点连线的斜率.设过且与圆相切的直线为，即，所以，化简可得，解得或，由图可得的最大值为.故选:A. 3、已知是圆上任意一点，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B【详解】设，变形可得，则的几何意义为为圆上的点与点确定直线的斜率，方程化为，圆心坐标为，半径，因为是圆上任意一点，则直线与圆相交或相切，故，解得，所以的最小值为.故选：B 4、已知点在曲线上，则的最大值是( ) A．6 B．25 C．26 D．36 【答案】A【详解】解:表示圆上的点到的距离，所以的最大值为圆心到点的距离加上半径1，故．故选：A 5、已知实数x，y满足方程，则的最小值是________． 【答案】【详解】由，得，它表示以为圆心，1为半径的圆．设，即，当与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值．由，得.故的最小值为.故答案为： 6、实数x，y满足，则的最大值是__________． 【答案】10【详解】试题分析：化为，设，最大值为点评：本题还可以设，转化为直线与有交点时求的最值 题型六　半圆上的最值 曲线配方后带 y≤0 或 x≥0 的范围限制，是半圆 → 先在整圆上求候选（斜率型化作切线、|ax+by+c| 型化作点到直线的距离），再检验候选点是否落在弧上 → 由弧是圆的子集，最值只能取自整圆候选点或弧端点. 例 、设点 是曲线 上的任意一点，则 的最小值为( ) A．2　B．　C．　D．0 解：曲线平方配方得 且 ，是圆心 、半径 2 的下半圆，含端点 、 表示半圆上的点与 连线的斜率，，Q 在圆外. 再对整圆求候选：设过 Q 的切线 ，由圆心到切线距离等于半径得 ，平方整理为 ，解得 或 ，即整圆上斜率范围是 的切点 纵坐标为负，在弧上，为弧上最大斜率； 的切点 不在弧上，故最小值只能在端点产生.两端点斜率 与 ，故最小值为 ，选 B. 1、已知点为半圆上一动点，则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】因，其中可看成半圆上的动点与点连线的斜率．过点作QB与半圆相切，B为切点，此时连线斜率最大，因,则在中，，，则，故的最大值为.故选：D. 2、若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】由已知直线过定点，曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，，作出它们的图形，如图，直线的斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，，故选：C． 3、已知点在曲线上，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分.到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍.又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为；过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点，所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为，故的取值范围为. 4、点在曲线上，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B【详解】由，曲线的图象如下图所示，它表示圆的一部分，因为，所以表示半圆上的点到直线距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值为，点到直线的距离为，所以的最大值为，所以的取值范围为，故选：B 题型七　面积型最值 三角形一边固定、第三顶点在圆上 → 面积＝×定底×高，转化为圆上点到定直线的距离 → 由距离范围 （相交时下端为 0）乘定底的一半得面积范围. 目标是两切线围成的四边形面积 → 由切线长公式得 ，随 |PC| 增大而增大 → P 在定直线上时取圆心到直线的距离作 . 例 、已知圆 C：，直线 ，M 为 l 上的动点，过 M 作圆 C 的两条切线 MA、MB（A、B 为切点）．当四边形 MACB 的面积最小时，求直线 AB 的方程． 解：圆配方得 ，圆心 ，半径 .圆心到 l 的距离为 ，l 与圆相离，M 恒在圆外，两条切线存在. 四边形 MACB 由两个全等直角三角形拼成， 随 减小而减小（r 定值），故 取圆心到直线的距离 时面积最小，M 为垂足.过 C 垂直于 l 的直线 代入 l 得 ，，垂足 . 把 代入切点弦方程 ，得 ，整理为 ，即所求直线 AB 的方程. 1、已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A【详解】由圆，得圆心，半径，由题意，四边形的面积为，在中，因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可，此时，即，所以，，则四边形的面积的最小值为 2、直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】依题意，直线交轴于，交轴于，则，圆的圆心到直线的距离，而圆的半径为，于是圆上的点到直线的距离的范围为，所以的面积.故选：C 3、直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B【详解】直线分别与轴，轴交于，两点,则，点P在圆上圆心为，半径为：，则圆心到直线距离，故点P到直线的距离的范围为，则，故选：B. 题型八　数量积型最值 两向量同起点、起点在圆上的 → 用极化恒等式化为中点距离平方减半弦平方 → 由圆上点到定点的距离范围取两端. 例 、已知圆 ，直线 与圆 交于 、 两点，点 是圆 上的动点，则 的最小值为( ) A．　B．　C．　D． 解：圆 的圆心为 ，半径 ；圆心 到直线 的距离 ，故 与圆 相交.设 、 的中点为 ，则 是圆心 在 上的垂足，，. 由极化恒等式，，即数量积的最小值转化为「圆上点到定点 的距离平方的最小值」. 点 在圆 上， 在圆内，故 的最小值为 ，当且仅当 、、 依次共线时取到，等号可取. 故 的最小值为 ，选 B. 1、直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】由圆，即得圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图：因为的面积为2，所以，解得，所以，所以为等腰直角三角形，所以，所以 ，所以当取得最大值时，取得最大值，，所以的最大值为. 2、已知圆C：，圆心为O，直线与C交于A，B两点，则的最小值为( ) A． B． C．11 D．9 【答案】A【详解】即，令可得，故直线过定点.又，故只需求的最小值，此时.则.故选：A 3、已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 4、已知直线与圆相交于两点，则的最小值为( ) A． B．2 C．4 D． 【答案】C【详解】圆的圆心为，半径，直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又，所以当时，弦的长度取得最小值，即，设的中点为，则，所以.故选：C 题型九　角度型最值 两切线夹角或圆外一点对圆的张角 → 用 化为求 最值 → 越小张角越大，P 在定直线上时最小值为圆心到直线距离. 题设「圆上存在点使某角为定值」→ 转化为两圆有公共点或距离不等式 → 由 列不等式解参数. 例 、已知点 是直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、，则 的最大值为( ) A．　B．　C．　D． 解：由切线的性质，，在 中 ，且由轴对称 ，故 最大等价于 最小. 圆心 到直线 的距离 ，故 与圆 相离， 恒在圆外，两条切线总存在； 的最小值即圆心到直线 的距离 ，在 为 在 上的垂足时取到. 此时 ，且 为锐角，故 ，从而 ，选 C. 1、已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1．因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，所以，，，，所以，．当时，取最小值，，此时取最大值，又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值，又，所以． 2、已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B【详解】圆的圆心，半径，依题意，，显然当取得最小值时，取得最小值，的最小值即为点到直线的距离，即，所以.故选：B 3、已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得 ，则m的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C【详解】以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆的圆心为，半径为.要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点，所以，即，所以，解得，所以的最大值为6.故选：C 4、设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是( ) A．1 B． C．2 D．4 【答案】C【详解】以MP为一边作正方形MPSQ.若对角线PQ与圆有交点,则满足条件的N存在,此时正方形的中心在圆上或内,即MH≤1,所以，所以,所以，则其最大值为2.故选：C 5、已知点是圆上的动点，点，则的最大值是( ) A． B． C． D． 【答案】B【详解】法一：如图，设过，，三点的圆的半径为，则，又，所以，则是锐角，可得，故取最大，最大，则时，取得最小值，此时，而是锐角，此时，法二：如图，结合圆的性质设，则由余弦定理得，由基本不等式得，当且仅当，即时取等，故， 则的最大值是；法三：设，由正弦定理得，即，则，因为，所以，故为锐角，得到的最大值为．故选：B． 6、已知圆：与直线：（），过上任意一点向圆引切线，切点为，，若的最小值为，则实数的值为( ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】圆：，圆心，半径，由的最小值为，可得．又，，所以的最小值为2，而圆心到直线：（）的距离等于2，即，解得，故选：D． 7、在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，______. 【答案】【详解】设.因为，所以，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.则当取最大值时，与圆相切，则.在中，，所以. 8、若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____． 【答案】【详解】如图，当过的直线和圆相切于如图所示的情形时，最小，由题知，圆心，，则，连接，由切线的性质，是直角三角形，于是，则，由于斜率为，结合图形可知，，则 题型十　利用对称性求最值 求 的最小值、A 与 B 在定直线同侧 → 作对称点化为异侧再连直线 → 由两点之间线段最短，交点处取到；动点在圆上时先化到圆心再减半径. 求 的最大值 → 先用对称把两点移到同侧，再连直线取与定直线的交点 → 由三角形两边之差小于第三边，三点共线时取到. 例 、设圆 与圆 ，点 A、B 分别是 、 上的动点，M 为直线 上的动点，则 的最小值为( ) A．　B．　C．　D． 解：配方得 、，圆心 、，半径 2、5. 两圆心到 的距离 、（点线距离），故 M 在两圆外：，，相加得 ，等号当 A、B 为 、 与圆的靠近交点. 两圆心在 同侧（ 为 7、8），作 关于 的对称点 ，则 ， 与 异侧.由两点之间线段最短，，等号当 M 为线段 与 的交点；前证 M 在两圆外，等号可取.故最小值 ，选 B. 1、若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为( ). A．12 B．9 C．6 D． 【答案】B【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，设点关于直线的对称点为，连接，如图：则，解得，即，，则，当且仅当是与直线的交点，且分别是线段与圆的交点时取等号，所以的最小值为9.故选：B. 2、已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为圆的圆心为，半径，因为，当且仅当点在线段上时，等号成立，设点C关于l的对称点为，则，解得，即，则，所以的最小值为．故选：C. 3、已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是( ) A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，作关于x轴的对称点，如图所示， ，当共线时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 4、已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值为__________. 【答案】【详解】,点分别是圆，圆上的动点，可知：所以，，设关于轴的对称点为，则，当三点共线时，取最大，最大值为，所以，故答案为：7 课后作业 1、若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径，点到直线的距离公式为，曲线上存在两点到直线的距离为6，即，故，即所在直线为：，，其中到圆心距离为，故与圆无交点，故与右半圆有两个交点，到圆心距离，解得，联立到圆的方程得：，整理得，由韦达定理得曲线是右半圆，即，则，解得，（1）且或，（2）故，综上可得． 2、已知实数满足方程，则( ) A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为-20 D．的最大值为 【答案】C【详解】由，得对于A，令，则.因为，所以当时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为.所以选项A不正确；对于B，如图所示，表示以为圆心，3为半径的半圆，可看作是半圆上的点与点连线的斜率.因为，所以的范围是.所以选项B错误；对于C，.可看作是半圆上的点到点 的距离，如图所示，其最小值为.所以的最小值为.所以选项C正确；对于D，可看作半圆上的点到直线的距离.设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为.由，得.此时，切点到直线的距离为；点到直线的距离为.所以，的最大值为.所以的最大值为所以选项D不正确.故选：C. 3、（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则( ) A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 【答案】ABD【详解】由题知圆O的圆心为，半径．不妨取点，则，故，从而，所以可以是等边三角形，故A正确；设点，则，以为直径的圆的方程为，又圆，两式作差可得直线的方程为，又，代入可得，令解得故直线过定点，故B正确；四边形的面积为，故当最小时，四边形的面积最小，又的最小值为圆心到直线的距离，且，因此四边形面积的最小值为，故C错误；，在四边形中，，所以，又，所以，则，故的取值范围为，故D正确． 4、（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是( ) A．最大度数为 B．四边形面积的最小值为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】ACD【详解】由圆可知，圆心，半径，圆心到直线的距离，因为，所以直线与圆相离，如图所示，因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为，设，则，在中，，要使最大，即最大，则取得最小值，即，所以，因为为锐角，所以，所以，即最大度数为，故A选项正确；根据题意，，所以，在中，由勾股定理可得，所以当最小时，即取最小值，即取最小值，所以，所以，所以四边形的面积的最小值为，故B选项错误；设点，因为点在直线上动，所以，即，圆展开为根据切点弦方程公式，直线的方程为，又，所以，即，所以，解得，，即直线过定点，所以C选项正确；根据直线与圆相切的性质，可得，又，所以，垂足为，且为中点，在中，利用等面积法可得，所以，所以，当取得最小值时，取得最小值，即时，，故D选项正确.综上所述，选项ACD正确. 5、（多选）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线上动点，则( ) A．存在以为直径的圆与相切 B． C． D． 【答案】BCD【详解】如图，设直线与圆的切点为，依题意，对A，以为直径的圆的半径为，点到直线的距离为.到直线的距离，又，故以为直径的圆与直线相离.故A错误；对B，因为 .又，所以.所以.故B正确；对C，因为，所以，因为 ，所以 ，又，所以.故C正确；对D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离为，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，使最小.设，，，点关于直线的对称点为.易得直线：，联立，消去整理得，整理得，因.则.所以，，同理，.所以 ，. 故当时，取得最小值， 所以.故D正确. 6、（多选）已知两条直线和交于点，则( ) A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 【答案】ABD【详解】对A：将代入，可得，故直线必过点，故A正确；对B：对，令，则，故过点，又，故与垂直，结合直线过点，可得点在以为直径的圆上，圆心为，半径，故点在圆上，故B正确；对C：由B知，点在圆上，由斜率存在，故的轨迹不过点，故点的轨迹方程为，且不过点，的轨迹所在圆的圆心为，半径，到直线距离，则点到直线距离最小值为，由图可得，此时点不为，故C错误；对D：圆的圆心为，半径，则，，故圆与圆相外切，即有三条公切线，故D正确. 7、（多选）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则( ) A．圆上的点到直线的最大距离为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为8 D．当点坐标为时，直线的方程为 【答案】ABD【详解】由题意得，，半径，因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离为，故A正确；因为，所以四边形面积为，当时，四边形面积的最小值，故B正确；因为，所以因为在上单调递增，且，所以当，即时取得最小值，最小值为，故C错误；因为，所以以为直径的圆的方程为，即，则直线的方程为，故D正确. 8、（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是( ) A．点到曲线C上任意点距离最大为7 B．的最大值是 3 C．的最小值是 D．的取值范围是 【答案】ACD【详解】易知曲线的方程，如图所示，设，圆心，半径，连接AC延长交圆C于B点，此时长为点到曲线C上任意点距离最大值，易得，故A正确；，即为圆上一点到原点距离的平方，延长OC交圆C于D点，则，故B错误；令，则的值为过圆上一点的直线在纵轴上的截距，显然该直线与圆在相切时取得最值，即到直线的距离为半径时，，故C正确；，即为圆C上一点与点的斜率，易知与圆C相切时斜率取得端点值，可设该切线方程为，则有或，由图象可知，故D正确.故选：ACD. 9、（多选）已知实数，满足方程，则下列说法正确的是( ) A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD【详解】方程，即表示以点为圆心，半径的圆，令，由，得，则的最大值为，的最小值为，A正确，C错误；由，得，解得，因此，的最大值为，的最小值为，B错误，D正确.故选：AD 10、过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B【详解】连接，则，圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，所以当取最小值时，取最小值，故当与直线垂直时，取最小值，即，所以. 11、已知圆，点为直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为过点作圆的两条切线，切点分别为，，所以有，，，因此有，要使四边形周长最小，只需最小，即当时，，此时，四边形周长的最小值为. 12、已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，________． 【答案】【详解】由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，又因为，，所以，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，当与直线垂直时，取最小值，且，所以，所以，此时，因此，故答案为. 13、已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A【详解】设，由，得，化简整理，得，由题意得，圆与有公共点，故，其中，所以，解得，所以实数的最小值是. 14、已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A【详解】圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，则，若圆上到直线距离为的点有且仅有个，需满足，即，即，解得，所以实数的取值范围为. 15、已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A【详解】圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则，圆上有个点到直线的距离为时，两条平行直线与圆各有两个交点，需，即，所以「至多有个点」等价于，即，化简得，解不等式得或，所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $与圆有关的最值与取值范围问题 知识梳理 1、极化恒等式与中线长定理 极化恒等式：在△ABC中，M为BC的中点，则AB.AC=hd了—BCP, M 证明：AB=AM+MB,AC=AM+MC=AM-MB. AB AC (AM+MB).(AM -MB)=AM-AM.MB+MB.AM -MB 故AB.Ac=AM-MB=AM-IBc平， 这就是极化恒等式：两条边的数量积，等于中线长的平方减去半底边长的平方 中线长定理：MBl2+cP=2A+2wiB=2d+引Bc IABI2 =AM+2AM.MB+MBl",IACI?AM-2AM.MB+MB 两式相加，含AM·MB的项一正一负相消： 即两边长的平方和，等于中线长平方的2倍加上底边平方的一半 2、切线长公式与切点弦 设P在圆外(|PC>r),PA、PB为过P的两条切线，A、B为切点，C为圆心 切线长公式：PA=VPC2-r2, 切点弦方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,P(xo,yo)在圆外，则切点A、B所在直线的 方程为(x0-a)(x-a)+(yo-b)y-b)=r2. 题型一圆上的点到定点的距离最值 求圆上动点到定点的距离→先算圆心到该定点的距离d,最大值d什r、最小值d-r→由 三角不等式，P、圆心与该定点共线时取到等号 条件是垂直、定比、距离平方和这类轨迹条件→先把动点轨迹求成圆（直径圆、阿波罗 尼斯圆等)，再套上一条的距离结论→由直径所对圆周角、两点距离公式整理保证轨迹是圆 例、已知两定点A(-2,0),B(1,0),动点P满足IPA=2PB1,点2是圆(x-2)2+y- 3)2=3上的动点，则PQ1的最大值为() A.5-V3 B.5+V3 C.3+2v3 D.3-2V3 解：设Px),把IPA=2PB|两边平方，得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y], 展开整理为3x2-12x+3y2=0,配方得(x-2)2+y2=4, 即P在以C(2,0)为圆心、2为半径的圆上运动（定比不为1时轨迹为阿波罗尼斯圆，由 两点距离公式平方整理即得)· PQ=C,C以+n+n Q(2.33) C2,3) C:20) 5 6 轨迹圆(x-2沙+y2=4 P2, 圆Q(x-2沙+0-3驴=3 点Q在圆(x-2)2+(y-3)2=3上，圆心C2(2,3),半径V3,故两圆圆心距IC1C2l=3 由两圆上各取一个动点的距离结论，IPQ1≤IPC1|+IC1C2+IC2Q,等号当P、C1、C2、2依 次共线且各取外侧点时取到，所以IPQlmax=3+2+V3=5+V3,选B. 2 1、已知点A(2,4),B(4,4),动点P满足PA1PB,则IOPI(O为坐标原点)的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 2、已知A(1,0),B(0,1),C(0,3),点M满足MB·MC=0,则|AM1的可能取值是() A.4 B.V2 C.1 D.月 3、在平面直角坐标系x0y中，已知A(-3,0),B(1,0),P为圆C:(x-3)2+(y-3)2=1上动点， 则IPA2+IPBI的最小值为() A.34 B.40 C.44 D.48 4、已知点P是直线l1:mx-y-5m+1=0和l2:x+my-5m-1=0的交点，点Q是圆 C:(x+1)2+y2=1上的动点，则PQ1的最大值是() A.8+2V2 B.7+2W3 C.6+23 D.6+2V2 5、已知直线l1:mx+y-3m-4=0过定点A,直线l2:x-my+8m-6=0过定点B,直线 L1与直线L2的交点为P,则IPA|+PB的最大值为() A.4V2 B.4v3 C.5v2 D.8 3 题型二圆上的点到直线的距离最值 目标是圆上的点到定直线的距离→求圆心到直线的距离d,相交时取[0，d+r]、相离 时取[d-r,d+r]. 直线方程含参数、可整理成「参数×式十式2」先求定点，圆心到直线的距离不超过 圆心到定点的距离→由垂线段最短，直线与连线垂直时取到等号 例、已知圆C:x2+y2-4x=0,直线：kx-y+1-2k=0(k∈R),则圆心C到直 线1的最大距离为，圆C上的点到直线1的距离的最大值为 解：圆的方程配方得(x-2)2+y2=4,圆心C(2,0),半径r=2 把直线整理为k(x-2)-(y-1)=0,可见1恒过定点M(2,1) 圆心C到1的距离d=2少=≤1，当且仅当k=0(即直线y1)时取 Vk2+1 到d=1,故圆心C到直线1的最大距离为1. 圆C上的点到1的距离，最大者出现在过圆心垂直于1的直径远离1的一端，其值为d+ r(圆心另一侧端点给出d-r),故所求最大值为1+2=3；此时1与圆相交，最小值为0. 1、点P(x,y)在圆x2+y2=2上运动，则|x-y+3的取值范围() A.[0,1] B.[0,4] C.[1,5] D.[1,4] 2、已知直线l:(21-1)x-(1+1)y+1+4=0,点P是圆x2+y2+2x-8y+16=0上一 点，则点P到直线1的距离的取值范围为 3、对任意的实数λ，圆C:x2+y2=1上一点到直线(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0的距 离d的取值范围为 4 4、已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=9,直线：kx-y+3-2k=0.设P为圆C上的一动点，则P 到直线的最大距离为 题型三圆的切线长与切点弦的最值 目标是切线长或切点弦长→两者都只由PC决定，且随PC增大而增大（切线长公式、 切点弦长公式)→化为求P℃的最值，P在定直线上时即圆心到直线的距离 例、从直线：+￥=1上任意一点P作圆0：x2+y2=8的两条切线，切点为A、B, 求弦AB长度的最小值. 解：直线1化为x+2y-8=0,圆心0到1的距离>2V2(半径)，故1与圆相离， P恒在圆外，两条切线总存在设AB交OP于么，由切点弦的相似关系得OH=则 AB引=2r2-IOH2;r定值，OP越小则IOH越大、AB越小，故OP最小时弦最短. 此时oP等于圆心到直线的年离等(P为垂足（得，）)，故OH=85=V5, |AB|=2V8-5=2V3,即弦AB长度的最小值为2V3 1、已知点P为直线：x+y+4=0上的动点，过点P作⊙O:x2+y2=4的切线，切点分别为 A,B,则当|AB最小时，sim(PA,PB)的值为() A.v3 B.9 C.1 2 D.9 2、已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=8,直线l:x+y=10,过直线l上一动点P作圆C的两条切 线，切点记作A,B,则ABI的最小值为() A.2 B.5 C.2V10 D.40 3 3 5 3、若圆C:x2+y2-2x-2y-7=0关于直线ax+by+3=0对称，由点P(a,b)向圆C作切 线，切点为A,则线段PA的最小值为 题型四过圆内定点的弦长最值 直线过圆内定点M→最长弦是过M的直径，最短弦与CM垂直、长2√r2-ICMI2 例、已知点M(3,0)在圆x2+y2-8x-4y+10=0内，求过点M的最长弦与最短弦 所在的直线方程，并求最短弦长. 解：圆配方得(x-4)2+(y-2)2=10,圆心C(4,2),半径V10,1CM|= √(4-3)2+2z=5<V0,M在圆内. 由弦长公式2vr2-d2,弦长随圆心到弦的距离d增大而减小：最长弦取d=0,即过M 的直径所在直线CM.kcM=9=2由点斜式得y=2(x-3).即2x-y-6=0,弦长 2W10 最短弦对应d最大，d≤ICM且等号当且仅当CML弦，故最短弦过M且垂直于CM, 斜率-2，由点斜式得x+2y-3=0,弦长2√2-1CM=2V10-5=2W5 1、已知直线：ax-by+2a+b=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于A、B两点，则|AB|的 最小值为() A.2 B.2V2 C.4 D.4V2 2、已知圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,直线：mx-y+3-m=0,则直线与圆相交弦长 的最小值为() A.4 B.2 C.6 D.22 6 3、已知圆C:(x-4)2+y2=9,直线：y=k(x-5)+2,当圆C截直线l所得的弦AB最短时， k的值为() A.2 B. c.- D.-2 题型五代数式的几何意义最值 目标是型分式→看作圆上点与(a,b)连线的斜率，设y-b=k(x-),由圆心距 不大于半径解k分界为两条切线 目标是ax+by型→看作平行直线族ax+by=t的参数，相切取最值→由圆心距不超 过r得lt-(axc+byc)l≤rVa2+b2 目标是√(x-a)2+y-b)2或其平方看作圆上点到定点的距离→最小MC-r 最大|MC+r,平方型端点直接平方 例、已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y+4=0,求兰的最大值与3x+4y+5的取值 5 范围. 解：配方得(x-2)2+(y-1)2=1,圆心C(2,1),半径r=1. 先求斜率型兰：即圆上点与原点连线的斜率，原点在圆外(10C1=V5>1)· 设直线kx-y=0,与圆有公共点，即圆心到直线距离不大于半径：2k-1≤1，平方整 Vk2+1 理为3k2-4k≤0，解得0≤k≤：竖直直线x=0到圆心距离2>1，与圆无交，故兰的最 大值为等 再求距离型3x+4y+5 5 即圆上点到直线3x+4y+5=0的距离.圆心到直线距离d= 16+4+5=3>,相离，距离范围为[d-r,d+r门=2,4 5 7 1、已知实数x,y满足方程x2+y2一4x+1=0,求2的最大值和最小值() A.2,0 B.3,0 C.3,-3 D.2,-3 2、实数x,y满足x2+y2-6x-4y+4=0,则+的最大值为() X+2 A.日 B.3+2W2 C.16+3V23 7 D.0 3、已知P(xoyo)是圆C:x2+y2-2x-4y+4=0上任意一点，则的最小值为() A.音 B.- C. D.- 4、已知点(x,y)在曲线(x-2)2+y2=1上，则√(x-5)2+y+4)2的最大值是() A.6 B.25 C.26 D.36 5、已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-4y+7=0,则y-x的最小值是 8 6、实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是 题型六半圆上的最值 曲线配方后带≤0或≥0的范围限制，是半圆→先在整圆上求候选（斜率型化作切线、 +by叶c型化作点到直线的距离)，再检验候选点是否落在弧上→由弧是圆的子集，最值 只能取自整圆候选点或弧端点 例、设点P(x,y)是曲线y=-V4-(x-可上的任意一点，则的最小值为() A.2B.号C.号D.0 解：曲线平方配方得(x一1)2+y2=4且y≤0，是圆心C(1,0)、半径2的下半圆，含 端点(-1,0)、(3,0)： 表示半圆上的点与Q(4,2)连线的斜率，1CQ1=V>2,0在圆外 0(4,2)- 十的 (3.0)4 5 (1,0)最小斜率 一下半圆y=-V4-(x-1) 整圆（仅作参照） 9 再对整圆求候选：设过Q的切线y一2=k(x一4)，由圆心到切线距离等于半径得 23=2,平方整理为5k2-12k=0,解得k=0或k=号即整圆上斜率范围是[0，引 Vk2+1 k-号的切点（侣，-）纵坐标为负，在弧上，为弧上最大斜率：k=0的切点(1,2)不 在弧上，故最小值只能在端点产生两端点斜率=号与器=2，故最小值为学选B 1、已知点P(x,y)为半圆C:(x-2)2+0y-1)2=10y≥1)上一动点，则+x2的最大值为() A.V3+1 B.V3+ c.3 D.9+1 3 2、若直线：y=k(x+1)一4与曲线x=1-V4-y2有两个交点，则实数k的取值范围是() A.(后.+o∞ B.层1 C.[3,+o) D.(0,3] 3、已知点P(m,n)在曲线C:y=√4x-x2上，则4m-3n+10的取值范围是() A.[10,26] B.[8,26] C.[10,28] D.[8,28] 4、点(x,y)在曲线y=V4-x2-2上，则|4x-3y+5的取值范围为() A.层 B.[1,19] C.[3,19] D.[1,21] 10 题型七面积型最值 三角形一边固定、第三顶点在圆上→面积=×定底×高，转化为圆上点到定直线的距离 →由距离范围[ld-rl,d+r](相交时下端为0)乘定底的一半得面积范围 目标是两切线围成的四边形面积→由切线长公式得S=r√1PC-r2,随PC增大而增 大→P在定直线上时，取圆心到直线的距离作PC引，此时该四边形面积最小 例、已知圆C:x2+y2-2x-2y-2=0,直线L:x+2y+2=0,M为1上的动点， 过M作圆C的两条切线MA、MB(A、B为切点)，当四边形MACB的面积最小时，求直线 AB的方程. 解：圆配方得(x-1)2+y-1)2=4,圆心C(1,1),半径r=2.圆心到1的距离为 1+2+2=V5>2,1与圆相离，M恒在圆外，两条切线存在. V5 四边形MACB由两个全等直角三角形拼成，S=r√MC2-r2随|MC|减小而减小(r定 值)，故MC|取圆心到直线的距离V5时面积最小，M为垂足.过C垂直于1的直线(x,y)= (1+t,1+2t)代入1得5t+5=0,t=-1,垂足M(0,-1). 把M(0,-1)代入切点弦方程(x-1)(x-1)+y0-1)y-1)=4,得-(x-1)- 2(y-1)=4,整理为x+2y+1=0,即所求直线AB的方程 1、已知点P是直线：3x+4y-7=0上的动点，过点P作圆C:(x+1)2+y2=3的两条切线， 切点分别为M,N,则四边形PMCN的面积的最小值为() A.3 B.9 C.2 D.1 2、直线x+y+4=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆x2+(y-2)2=2上，则△ ABP面积的取值范围是() A.[2,6] B.[4,8] C.[8,16] D.[4V2,8v2 11 3、直线x+y-2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆(x+4)2+y2=2上，则△ ABP面积的取值范围是() A.[2,6] B.[4,8] C.[W2,3W2 D.[22,3V2 题型八数量积型最值 两向量同起点、起点在圆上的PA·PB→用极化恒等式化为中点距离平方减半弦平方→ 由圆上点到定点的距离范围取两端 例、已知圆0：x2+y2=16,直线：3x+4y-15=0与圆0交于A、B两点，点M是 圆0上的动点，则MA·MB的最小值为() A.-27 B.-6 C.1 D.42 解：圆0的圆心为0(0,0)，半径r=4圆心0到直线1的距离d=3x0+x15=3< V32+42 4,故L与圆O相交.设A、B的中点为D,则D是圆心0在1上的垂足，IOD1=3,AB|= 2Vr2-d2=2v7. 由极化恒等式，MA·MB=IMDI2-AB2=MDP-7,即数量积的最小值转化为「圆 上点到定点D的距离平方的最小值」. +y=16 点M在圆0上，D在圆内，故IMD川的最小值为r-IOD|=4-3=1,当且仅当O、D、 M依次共线时取到，等号可取 故MA·MB的最小值为12-7=-6，选B. 12 1、直线l与圆C:x2+y2-6x-2y+6=0交于A,B两点，且△ABC的面积为2，已知M是圆 C上的动点，则MA·MB的最大值为() A.2+2V2 B.2+4V2 C.4+2V2 D.4+4V2 2、已知圆C:x2+y2=4,圆心为O,直线2mx+ny-m-n=0与C交于A,B两点，则 A0·AB的最小值为() A号 B. C.11 D.9 3、已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上的两个动点，且IMN|=4,点P为直线l:x+y+ 1=0上的动点，则PM·PN的最小值为() A.2V2-5 B.2v2+V5 C.5-4v2 D.5+4v2 4、已知直线mx-y+2m+1=0与圆C:(x+1)2+(y-2)2=4相交于M,N两点，则MN: MC的最小值为() A.V2 B.2 C.4 D.2V2 13 题型九角度型最值 两切线夹角或圆外一点对圆的张角→用sin/APC=P化为求|PC最值→越小张角越 大，P在定直线上时最小值为圆心到直线距离 题设「圆上存在点使某角为定值」→转化为两圆有公共点或距离不等式→由-21≤ d≤r1+r2列不等式解参数 例、已知点P是直线：4x-3y-11=0上一点，过点P作圆C:(x-1)2+(y-1)2= 1的两条切线，切点分别为A、B,则∠APB的最大值为() A.君 B. C. D. 解：由切线的性质，CALPA,在Rt△APC中sintAPC=cA= IPCIPCI ,且由轴对称 ∠APB=2∠APC,故∠APB最大等价于IPC最小， 圆心C,)到直线1的距离d=出=吕=2>1，故1与圆c相离，P恒在园 √42+(-3)2 外，两条切线总存在；PC的最小值即圆心到直线L的距离2，在P为C在L上的垂足时取 到 此时sinLAPC=且∠APC为锐角，故∠APC=名从而∠APB=2×名-号选C 1、已知点P是直线：x+y+1=0上一点，过点P作圆C:(x-5)2+y2=1的两条切线，切 点分别为A,B,则cos∠APB的最小值为() A.号 B.22 3 C.a D. 2、已知圆C:x2+2x+y2=0,点P为直线2x+y-2=0上的一点，过P作圆C的切线，切点 分别为A,B,则cosLAPB的最小值为() A. 5 B. C.、45 5 D.8 14 3、已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存点P, 使得∠APB=90°，则m的最大值为() A.4 B.5 C.6 D.7 4、设点P(xo,1),若在圆M:(x-1)2+y2=1上存在点N,使得LMPN=45°，则xo的最大值 是() A.1 B.V2 C.2 D.4 5、已知点P是圆0：x2+y2=2上的动点，点A(1,0),则∠0PA的最大值是() A.君 B. c.号 D.月 6、已知圆C:x2+y2-4x+2y+4=0与直线l:mx-y+m+1=0(m≠0)，过l上任 意一点M向圆C引切线，切点为A,B,若LACB的最小值为，则实数m的值为() A.号 B.-月 c.3 D.-号 7、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0),B(4,0),动点P满足IPA|=2PB引.当∠AOP 取最大值时，OP|=· 15 8、若点M是圆E:x2+y2-4y=0上的任一点，直线：y=x-2与x轴，y轴分别相交于 A,B两点，则∠MBA最小值为一· 题型十利用对称性求最值 求|MA+MB|的最小值、A与B在定直线同侧→作对称点化为异侧再连直线→由两 点之间线段最短，交点处取到：动点在圆上时先化到圆心再减半径 求川MA-IMB川的最大值→先用对称把两点移到同侧，再连直线取与定直线的交点→ 由三角形两边之差小于第三边，三点共线时取到 例、设圆C1:x2+y2-10x+4y+25=0与圆C2:x2+y2-14x+2y+25=0,点A、 B分别是C1、C2上的动点，M为直线y=x上的动点，则IMA+IMB|的最小值为() A.3V15-7B.3v13-7C.5v2-4D.5V3-4 解：配方得(x-5)2+(y+2)2=4、(x-7)2+(y+1)2=25,圆心C1(5,-2)、 C2(7,-1),半径2、5. 两圆心到y=x的距离后>2、是>5（点线距离），故M在两圆外：MA≥MC1 2,IMB|≥IMC2I-5,相加得IMA|+IMB|≥IMC1l+IMC2I-7,等号当A、B为MC1、 MC2与圆的靠近交点 y◆ 一C::(x-5y+y+2y=4 y=x 一C2:(x-7y+0y+1P=5 8 C(-2,5) 、M⅓ C7.-1 ● 16 两圆心在y=x同侧(x-y为7、8)，作C1关于y=x的对称点C1(-2,5),则 lMC1l=IMC1,C1与C2异侧.由两点之间线段最短，1MC1+IMC2l≥I1C1C2|=V92+62= 3V13,等号当M为线段C1C2与y=x的交点；前证M在两圆外，等号可取.故最小值 3V13-7,选B. 1、若A,B分别为圆C1:x2+y2-4x-2y+4=0与圆C2:(x+6)2+(y-5)2=4上的动点， P为直线x+y+5=0上的动点，则IPA|+PB的最小值为(). A.12 B.9 C.6 D.4V5-3 2、已知圆C:(x+2)2+(y-1)2=8,直线：4x-y-8=0,M为直线1上一动点，N为圆 C上一动点，定点P(2,3),则IMN川+IMPI的最小值为() A.V2 B.3 C.2√2 D.2v3 3、已知圆C1:(x-1)2+y-2)2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4,M,N分别是圆C1,C2上 两个动点，P是x轴上动点，则IPW|-PMI的最大值是() A.2V2+3 B.2v2+5 C.2V10+3 D.2V10+5 4、已知圆C1:(x-1)2+y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+y-5)2=1,点M,N分别是圆C1, 圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则IPN|-PM的最大值为 17 课后作业 1、若曲线C:x=√9-y2上存在两点到直线l:V3x-y-n=0(n>0)的距离为6，则n的取值 范围为() A.[8,11) B.(8,11] C.[15,18) D.(15,18] 2、已知实数x,y满足方程y=V9-x2,则() A.x+y的最小值为-3V2 B.的范围是[名， C.x2+y2-6x-8y+1的最小值为-20 D.x+2y-1的最大值为3V5+1 3、(多选)过直线x+y一4=0上任意一点P作圆0：x2+y2=4的两条切线，切点分别为 M,N,则() A.△PMN可以是等边三角形 B.直线MN过定点(1,1) C.四边形PMON面积的最小值是2V6 D.0M·ON的取值范围为(-4,0] 4、(多选)已知直线：x-y+1=0,过直线上任意一点M作圆C:(x-3)2+y2=2的两条 切线，切点分别为A,B,则下列选项正确的是() A.∠AMB最大度数为60° B.四边形MACB面积的最小值为4v3 C.直线AB过定点（⑤） D.IAB的最小值为V6 18 5、(多选)设动直线L1与圆x2+y2=1相切，且与圆x2+y2=25相交于两点A、B,点P为 直线l2:x+y-10=0上动点，则() A.存在以AB为直径的圆与l2相切 B.AP.PB≤-27+10V2 C.PA2+PB2 150-20v2 D.IPAI+IPB|≥8V3 6、(多选)已知两条直线mx+y-2=0和x-my+4=0(mER)交于点M,则() A.直线x-my+4=0必过点(-4,0) B.点M在圆(x+2)2+(y-1)2=5上 C.点M到直线y=x-3距离最小值为3V2 D.点M的轨迹与圆x2+(y+3)2=5有三条公切线 7、(多选)已知圆C:x2+y2=4,过直线l:x+y-4=0上任意一点P作圆C的两条切线， 切点分别为A,B,则() A.圆C上的点到直线的最大距离为2(1+V2) B.四边形PACB面积的最小值为4 C.PA·PB的最小值为8 D.当点P坐标为(1,3)时，直线AB的方程为x+3y-4=0 8、(多选)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-3=0,则下列选项正确的是() A.点(4,4)到曲线C上任意点距离最大为7B.x2+y2的最大值是3 C.x+y的最小值是1-22 D.生2的取值范围是(-∞，-U[0,+o∞) 19 9、(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4y+1=0,则下列说法正确的是() A.y-x的最大值为V6+2 B.x2+y2的最大值为2+V3 C.y-x的最小值为V-2 D.x2+y2的最小值为7-4V3 10、过直线x+y=4上的动点P向圆O:x2+y2=4引切线PQ,切点为Q,则|PQ的最小值为 () A.4 B.2 C.V2 D.1 11、已知圆C:(x-2)2+(y-6)2=4,点M为直线：x-y+8=0上一个动点，过点M作圆C 的两条切线，切点分别为A,B,则四边形CAMB周长的最小值为() A.8 B.6V2 C.5v2 D.2+4V2 12、已知圆C:x2+y2-2x-2y=0,点P在直线x+y+2=0上运动，过P作C的两条切线， 切点分别为A、B,当四边形PACB的面积最小时，∠ACB=· 13、己知A(-2,0),B(1,0),若圆(x-5)2+(y-4)2=2(r>0)上存在点P满足IPA=2PB引， 则实数r的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 20 14、已知圆(x-1)2+y2=8上到直线y=x+m的距离为v2的点有且仅有4个，则实数m的 取值范围为() A.(-3,1) B.(-3,0) C.(0,1) D.(-∞，-3)U (1,+0) 15、已知圆C:(x+2)2+(y-1)2=9,直线l:x+y-m=0,若圆C上至多有3个点到直线l 的距离为2，则m的取值范围是() A.(-∞，-V2-1]U[V2-1,+∞) B.（-∞，-V2-1)U(V2-1,+∞) C.[-V2-1,V2-1 D.(-V2-1,V2-1) 之