第5章 一次函数 综合复习专题讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

一次函数 综合复习专题讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 复习导航 栏目 复习内容 掌握要求 页码 知识联系图与重点梳理 函数的表示、范围、图象、方程及应用之间的联系 说清概念条件，能在表、式、图之间转换 2 分题型例题 定式与范围、图象性质、方程不等式、分段、面积、整体关系 理解关键步骤，检查范围与分类是否完整 4 A 基础通关 函数概念、正比例、实际范围、系数符号与交点 准确判断、计算和规范书写基础结论 9 B 难点突破 参数条件、整体比例、平移、双条件比较与方案结算 识别有效条件，避免零系数、端点和结算单位错误 12 C 综合进阶 反向值域、象限参数、分段收费、折线与面积 联合多个知识点，分类求解并筛选有效答案 16 D 期中期末衔接 约束下方案设计、线段交点与面积、分段行程 独立完成期中期末综合题， 交代理由、分段、端点 与实际检验 20 知识联系图 数量与范围 → 明确自变量、因变量及实际限制 → 表格 函数式 图象。 表格中的对应值 → 代入求系数与检验 → （） → 由判增减、由定纵轴交点 → 图象与性质。 图象上的点 ↔ 坐标满足关系式；两图象的交点 ↔ 同时满足两个关系式；同一横坐标处的上下位置 ↔ 两函数值的大小关系。 实际问题 → 建立关系式并确定范围 → 用方程求相等、用不等式求限制、用增减性比较 → 检验结果是否符合单位、整数及阶段条件。 重点梳理 概念与条件 1. 函数要求允许范围内的每个都有唯一的与它对应；不同可以有相同的。 2. 一次函数先化简为并检查；正比例还要求。可以为负。 3. 两个横坐标不同的点确定一条直线；若两点纵坐标相同，所得是常值关系，不是本章所说的一次函数。 4. 时随增大而增大，时减小；是图象与轴交点的纵坐标。实际意义中的初始值还须有效。 5. 图象与轴交点的横坐标是一元方程的根；两条一次函数图象的公共点坐标是对应方程组的解。相交时有唯一公共点，平行时没有公共点，重合时有无数公共点。 6. 实际应用先确定连续范围或整数范围。分段式中每个解都要回到产生它的分段检验；求持续时间用结束时刻减开始时刻。 图象与计算的联系 • 变化率：同一一次函数中，。因此表示每增加个单位时的改变量；实际问题中还要写清“纵轴单位/横轴单位”。 • 作图：一次函数的图象是直线，选取横坐标不同的两个点，描点后画过两点的直线。正比例函数经过原点，可再取；不能把同一个原点当作两个轴截点。若自变量受限，只保留允许的图象部分。 • 平移：图象向右平移个单位长度，对应点由变成。新横坐标为时，原横坐标是，故新式为。向上平移个单位长度则为。向左、向下相应改变符号。 • 比较：解，找第一条图象位于第二条上方的部分，再读对应的范围。例如，两图在处相交，时。若限制，答案应为。 易错对照 容易混淆的说法 应注意的条件 一次函数就是 还须；不能漏掉零系数退化 给两组数据就能证明实际过程为一次变化 两点只能确定候选直线，全过程需题设给定规律或模型假设 不经过某象限就排除过原点的直线 “不经过”允许，应检验边界 求出交点横坐标就是方程组的解 一元方程求一个数；二元方程组求一组有序数对 求得满足不等式就可使用 还要满足实际范围、整数与所在阶段 面积所用底和高就是坐标值 长度非负；高是到直线的距离，点可能位于底的两侧 分题型例题 例1 函数关系与实际范围 某实验中，记录一杯水加热过程中的温度。已知加热开始后的分钟内， 水温（）是时间（分钟）的一次函数，部分记录如下。 （1）求与的函数关系式及的值。 （2）求水温不低于时的取值范围。 （3）仅根据题中条件，能否确定开始后第分钟的水温？说明理由。 例2 图象与性质 如图，直线经过、。 （1）求的值。 （2）写出直线经过的象限，并求当时该函数的取值范围。 （3）将直线向右平移个单位长度，求所得直线的函数表达式。 例3 方程与不等式 如图，直线经过、，直线经过、，两直线交于。 （1）根据图象估计点的坐标（各坐标保留一位小数）。 （2）求两条直线的函数表达式，通过解方程组求出的精确坐标，并用代入法检验（1）中的估计值是否为精确值。 （3）当时，求上点的纵坐标不小于上同横坐标点的纵坐标的的取值范围。 例4 分段函数的应用 某水箱原有升水。打开水箱的出水管后的前分钟每分钟排出升水；第分钟结束时调节出水速度，以另一恒定速度继续排水，第分钟结束时恰好排空。排水过程中没有水流入。设打开出水管后分钟箱内水量为升。 阶段 时间区间/分钟 排水速度/（升/分钟） 调整前 至 调整后 至 待求 （1）求调整后每分钟的排水量。 （2）求与的函数关系式，并写出各段的取值范围。 （3）求箱内水量不少于升的持续时间。 例5 一次函数与三角形面积 如图，直线与轴、轴分别交于，为坐标原点。点在轴上，且的面积为。 （1）求的坐标。 （2）求所有符合条件的点的坐标。 （3）若点还满足在直线的图象上，求的面积。 例6 函数关系的综合运用 一次函数与的图象交于。 已知信息 内容 共同点 第（3）问附加条件 （1）求关于的方程的解。 （2）直线与交于，求的坐标。 （3）已知，求关于的不等式的解集。 A 基础通关 1. 下表给出的对应值。若只允许修改表中一个值，使表中记录满足“是的函数”，则应修改的是（　　）。 记录序号 ① ② ③ ④ A．只能修改① B．只能修改③ C．修改①或③均可 D．修改②或④均可 2. 下表给出四个函数关系式，其中是的正比例函数的是（　　）。 编号 ① ② ③ ④ 关系式 A．① B．② C．③ D．④ 3. 某班现有本图书，可再购入同类图书（允许不购入），每本元，可用经费为元。设新购图书本，购书后共有本。 现有数量 单价 可用经费 18本 12元/本 90元 （1）求与的函数关系式。 （2）求的取值范围，并说明理由。 4. 如图，一次函数的图象从左向右下降，且与轴交于正半轴。 下列结论正确的是（　　）。 A． B． C． D． 5. 点、、在一次函数的图象上。已知，则的大小关系为________（用“”连接）。 点 横坐标 纵坐标 6. 如图，直线与直线交于。下列说法正确的是（　　）。 A．方程的解是 B．方程组的解是 C．当时， D．点是两条直线与轴的公共交点 B 难点突破 7. 已知是的正比例函数。根据下表中的系数信息，的值为________。 一次项系数 常数项 8. 已知与成正比例，部分对应值如下表。 （1）求与的函数表达式及的值。 （2）若，求的取值范围。 9. 如图，直线经过。将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到直线。 （1）求的函数表达式，并在图中画出。 （2）点经上述平移后成为。求的坐标，并检验是否在上。 10. 如图，直线与交于，与轴交于，与轴交于。设两直线对应的函数分别为。 （1）求两条直线的函数表达式。 （2）求同时满足且的的取值范围。 11. 三组方程如下表。下列关于解的情况的判断正确的是（　　）。 甲 乙 丙 A．甲唯一解，乙无解，丙无数解 B．甲无数解，乙无解，丙唯一解 C．甲无解，乙无数解，丙唯一解 D．三组都有唯一解 12. 某印制店制作纪念册有甲、乙两种收费方案，每批只选择一种方案。甲方案每批的总费用是制作本数的一次函数，报价记录如下表；乙方案不收制版费，按每本元收费。 甲方案制作本数/本 总费用/元 （1）求甲方案每批总费用（元）与制作本数（本）的函数关系式。 （2）分别制作本和本，两批各自选择较便宜的方案，求总费用。 （3）若将上述两批合并为一批制作，选择较便宜的方案，可比（2）节省多少元？ C 综合进阶 13. 已知一次函数在时，的取值范围恰为。 的范围 的范围 附加点 恰为 （1）求所有符合条件的函数表达式。 （2）若该函数的图象还经过表中点，求。 14. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围为（　　）。 一次项系数 常数项 A． B． C． D． 15. 某展馆提供资料寄送服务，收费标准如下。每件的计费质量按实际质量向上取整到整千克，例如千克按千克计费。 计费质量 收费标准 不超过2千克 每件10元 超过2千克 前2千克10元，超出部分每千克3元 （1）寄送实际质量为千克的一件资料需付费多少元？ （2）设用于计费的质量为千克、费用为元，写出与的关系式及的取值要求。 （3）若一件资料的费用为元，求它的实际质量（千克）的取值范围。 16. 某设备在一次测试中的温度（）与时间（分钟）的关系如图所示，图象由三条线段组成，整个测试历时分钟。 （1）分别求三个阶段与的函数关系式。 （2）求测试中温度不低于的持续时间。 （3）求温度达到的所有时刻。 17. 如图，、，点在直线上。 （1）若的面积为，则点的所有可能坐标为________。 （2）在（1）的条件下，若位于第一象限，则直线的函数表达式为________。 D 期中期末衔接 18. 学校购买甲、乙两种资料袋共个，每个资料袋的进价和可容纳资料册数如下表。每个袋子均按表中容量装满；甲袋至少购买个，总容量不少于册，总费用不超过元。 种类 单价/元 容量/册 甲 乙 满足上述全部条件时，总费用的最小值及对应的购买方案为（　　）。 A．元，甲袋个、乙袋个 B．元，甲袋个、乙袋个 C．元，甲袋个、乙袋个 D．元，甲袋个、乙袋个 19. 如图，、，线段所在直线为。直线与线段有公共点，公共点可以是端点。 （1）直线的函数表达式为________。 （2）的取值范围为________。 （3）在（2）的范围内，若两直线的交点满足将分成面积相等的两部分， 则________，的坐标为________。 20. 甲、乙两人沿同一条直路从地前往地。甲在时出发，途中休息一次；乙在甲出发分钟后从地出发，随后匀速前往地。两人到达地后均停留。图中折线表示甲距地的路程（米）与（分钟）的关系，线段表示乙从出发到到达地的关系。 （1）求乙的速度，并写出乙从出发到到达地这一时段（含两端时刻）与的关系式。 （2）求两人在到达地前相遇的时刻。 （3）在内，求两人之间的距离不超过米的的取值范围。 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数 综合复习专题讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 复习导航 栏目 复习内容 掌握要求 页码 知识联系图与重点梳理 函数的表示、范围、图象、方程及应用之间的联系 说清概念条件，能在表、式、图之间转换 2 分题型例题 定式与范围、图象性质、方程不等式、分段、面积、整体关系 理解关键步骤，检查范围与分类是否完整 4 A 基础通关 函数概念、正比例、实际范围、系数符号与交点 准确判断、计算和规范书写基础结论 9 B 难点突破 参数条件、整体比例、平移、双条件比较与方案结算 识别有效条件，避免零系数、端点和结算单位错误 12 C 综合进阶 反向值域、象限参数、分段收费、折线与面积 联合多个知识点，分类求解并筛选有效答案 15 D 期中期末衔接 约束下方案设计、线段交点与面积、分段行程 独立完成期中期末综合题， 交代理由、分段、端点 与实际检验 19 知识联系图 数量与范围 → 明确自变量、因变量及实际限制 → 表格 函数式 图象。 表格中的对应值 → 代入求系数与检验 → （） → 由判增减、由定纵轴交点 → 图象与性质。 图象上的点 ↔ 坐标满足关系式；两图象的交点 ↔ 同时满足两个关系式；同一横坐标处的上下位置 ↔ 两函数值的大小关系。 实际问题 → 建立关系式并确定范围 → 用方程求相等、用不等式求限制、用增减性比较 → 检验结果是否符合单位、整数及阶段条件。 重点梳理 概念与条件 1. 函数要求允许范围内的每个都有唯一的与它对应；不同可以有相同的。 2. 一次函数先化简为并检查；正比例还要求。可以为负。 3. 两个横坐标不同的点确定一条直线；若两点纵坐标相同，所得是常值关系，不是本章所说的一次函数。 4. 时随增大而增大，时减小；是图象与轴交点的纵坐标。实际意义中的初始值还须有效。 5. 图象与轴交点的横坐标是一元方程的根；两条一次函数图象的公共点坐标是对应方程组的解。相交时有唯一公共点，平行时没有公共点，重合时有无数公共点。 6. 实际应用先确定连续范围或整数范围。分段式中每个解都要回到产生它的分段检验；求持续时间用结束时刻减开始时刻。 图象与计算的联系 • 变化率：同一一次函数中，。因此表示每增加个单位时的改变量；实际问题中还要写清“纵轴单位/横轴单位”。 • 作图：一次函数的图象是直线，选取横坐标不同的两个点，描点后画过两点的直线。正比例函数经过原点，可再取；不能把同一个原点当作两个轴截点。若自变量受限，只保留允许的图象部分。 • 平移：图象向右平移个单位长度，对应点由变成。新横坐标为时，原横坐标是，故新式为。向上平移个单位长度则为。向左、向下相应改变符号。 • 比较：解，找第一条图象位于第二条上方的部分，再读对应的范围。例如，两图在处相交，时。若限制，答案应为。 易错对照 容易混淆的说法 应注意的条件 一次函数就是 还须；不能漏掉零系数退化 给两组数据就能证明实际过程为一次变化 两点只能确定候选直线，全过程需题设给定规律或模型假设 不经过某象限就排除过原点的直线 “不经过”允许，应检验边界 求出交点横坐标就是方程组的解 一元方程求一个数；二元方程组求一组有序数对 求得满足不等式就可使用 还要满足实际范围、整数与所在阶段 面积所用底和高就是坐标值 长度非负；高是到直线的距离，点可能位于底的两侧 分题型例题 例1 函数关系与实际范围 某实验中，记录一杯水加热过程中的温度。已知加热开始后的分钟内， 水温（）是时间（分钟）的一次函数，部分记录如下。 （1）求与的函数关系式及的值。 （2）求水温不低于时的取值范围。 （3）仅根据题中条件，能否确定开始后第分钟的水温？说明理由。 解析 （1）从已知同一时段内的一次关系入手，设。由、，相减得，所以。故（），。 （2）得，再与实际范围取交集，得。 （3）不能。不在已规定的一次变化时段内，不能把该式向前延伸作为实际水温。公式代入有数值，不等于题设保证该数值有效。 例2 图象与性质 如图，直线经过、。 （1）求的值。 （2）写出直线经过的象限，并求当时该函数的取值范围。 （3）将直线向右平移个单位长度，求所得直线的函数表达式。 解析 （1）在轴上，先得；代入，，所以。 （2）新函数为，一次项系数负、纵截距正，经过第一、第二、第四象限。它随增大而减小，两端值分别为，故。象限结论针对整条直线；值域针对题给线段。 （3）原直线上的点平移后横坐标为，所以。用平移到可复核。 例3 方程与不等式 如图，直线经过、，直线经过、，两直线交于。 （1）根据图象估计点的坐标（各坐标保留一位小数）。 （2）求两条直线的函数表达式，通过解方程组求出的精确坐标，并用代入法检验（1）中的估计值是否为精确值。 （3）当时，求上点的纵坐标不小于上同横坐标点的纵坐标的的取值范围。 解析 （1）先在同一坐标系中读出两线相交的位置，估计约为。读图值受作图与读数精度影响，可按实际图示精度给合理误差。 （2）由得；由得变化率，所以。交点坐标同时满足两式相加得，所以，故。把估计值代入：成立，但，故这组估计值不是精确解。精确数对代回两式均成立。图象提供位置与大小关系，代数计算给出精确坐标。 （3）得，再与给定范围合并，得。交点处允许相等，应取到右端点。 例4 分段函数的应用 某水箱原有升水。打开水箱的出水管后的前分钟每分钟排出升水；第分钟结束时调节出水速度，以另一恒定速度继续排水，第分钟结束时恰好排空。排水过程中没有水流入。设打开出水管后分钟箱内水量为升。 阶段 时间区间/分钟 排水速度/（升/分钟） 调整前 至 调整后 至 待求 （1）求调整后每分钟的排水量。 （2）求与的函数关系式，并写出各段的取值范围。 （3）求箱内水量不少于升的持续时间。 解析 （1）调整时剩水升，之后用了分钟，故每分钟排水升。 （2）前段（）；后段从剩余升开始，经历分钟，故（）。在时两式均为，在时后式为，衔接和终点符合题意。 （3）前分钟均不少于升；后段得，与本段范围合并为。合并两阶段得，持续分钟。不能把后段写成，否则忽略前段已排水量。 例5 一次函数与三角形面积 如图，直线与轴、轴分别交于，为坐标原点。点在轴上，且的面积为。 （1）求的坐标。 （2）求所有符合条件的点的坐标。 （3）若点还满足在直线的图象上，求的面积。 解析 （1）令，得；令，得，所以。 （2）在轴上，点到该轴的距离为。由，得。可在左侧或右侧，所以或，即或。 （3）还在上，且，得，选。，到轴的距离为，故。此处须从原有两个候选点中筛选，不可丢掉面积条件。 例6 函数关系的综合运用 一次函数与的图象交于。 已知信息 内容 共同点 第（3）问附加条件 （1）求关于的方程的解。 （2）直线与交于，求的坐标。 （3）已知，求关于的不等式的解集。 解析 两条直线有唯一交点，所以。对同一输入，仅在时成立。 （1）取，得，所以。 （2）两直线同时向上平移个单位长度，交点横坐标不变、纵坐标增加，故。将代入，两新函数值均为，可验证。 （3）相减得。它在时为正，在时为零，所以，其值在时为负。因此原不等式等价于，解得。仅有交点不能确定两侧谁大，题给确定了比较方向。 A 基础通关 1. 下表给出的对应值。若只允许修改表中一个值，使表中记录满足“是的函数”，则应修改的是（　　）。 记录序号 ① ② ③ ④ A．只能修改① B．只能修改③ C．修改①或③均可 D．修改②或④均可 解析 选C。冲突在同一输入对应和。可将①的改为，也可将③的改为。不同输入允许有相同输出，所以对应不是冲突。修改②或④不能消除处的冲突。 2. 下表给出四个函数关系式，其中是的正比例函数的是（　　）。 编号 ① ② ③ ④ 关系式 A．① B．② C．③ D．④ 解析 选A。①化简为，符合且；②的常数项不为零；③的一次项系数为零；④含二次项。判断以化简后的表达式为准。 3. 某班现有本图书，可再购入同类图书（允许不购入），每本元，可用经费为元。设新购图书本，购书后共有本。 现有数量 单价 可用经费 18本 12元/本 90元 （1）求与的函数关系式。 （2）求的取值范围，并说明理由。 解析 （1）购书后的总数等于原有本数与新购本数之和，所以。 （2）经费不超过元，故，得。新购本数不能为负，且必须是整数，题目允许不购入，所以为整数且，即。只写还没有满足实际数量要求。 4. 如图，一次函数的图象从左向右下降，且与轴交于正半轴。 下列结论正确的是（　　）。 A． B． C． D． 解析 选B。从左向右下降得；与轴交点为，交点位于正半轴得。两个条件分别确定两个系数的符号，不能仅用“同号、异号”判象限。 5. 点、、在一次函数的图象上。已知，则的大小关系为________（用“”连接）。 点 横坐标 纵坐标 解析 。由得，函数值随增大而减小；，故。 按题目要求用“”书写时要反向排列。 6. 如图，直线与直线交于。下列说法正确的是（　　）。 A．方程的解是 B．方程组的解是 C．当时， D．点是两条直线与轴的公共交点 解析 选B。由得，再得，故。A把纵坐标误当方程的根；C的大小方向相反；D不成立，因为的纵坐标不是。 B 难点突破 7. 已知是的正比例函数。根据下表中的系数信息，的值为________。 一次项系数 常数项 解析 或。正比例要求且。平方等于有两解，两值的一次项系数分别为，均不为零。负比例系数仍是正比例函数。 8. 已知与成正比例，部分对应值如下表。 （1）求与的函数表达式及的值。 （2）若，求的取值范围。 解析 （1）先把成比例的两个整体保留，设，。 用得，所以，。 第一组只能验证，不能单独确定。由得。 （2），区间两端输出为，故。（1）求出的无需在（2）的范围内，因为（2）另设一个限制用于求值域。 9. 如图，直线经过。将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到直线。 （1）求的函数表达式，并在图中画出。 （2）点经上述平移后成为。求的坐标，并检验是否在上。 解析 （1）向左平移后为，再向下平移得。作图可取、两点连成直线并延长。 （2），故。代入新式，，与纵坐标一致。左平移改变横坐标，不能把函数式中的直接写为。 10. 如图，直线与交于，与轴交于，与轴交于。设两直线对应的函数分别为。 （1）求两条直线的函数表达式。 （2）求同时满足且的的取值范围。 解析 （1）过，变化率为，所以；过，故。 （2）得，得，即。两个条件须同时成立，故。允许相等，使应舍去。 11. 三组方程如下表。下列关于解的情况的判断正确的是（　　）。 甲 乙 丙 A．甲唯一解，乙无解，丙无数解 B．甲无数解，乙无解，丙唯一解 C．甲无解，乙无数解，丙唯一解 D．三组都有唯一解 解析 选B。甲第二式是第一式的倍，两式表示同一直线，所有满足的数对都是解。乙若将第一式乘应得，与第二式矛盾，故无解，两直线平行。丙相加得，所以，唯一解，对应两直线相交。 12. 某印制店制作纪念册有甲、乙两种收费方案，每批只选择一种方案。甲方案每批的总费用是制作本数的一次函数，报价记录如下表；乙方案不收制版费，按每本元收费。 甲方案制作本数/本 总费用/元 （1）求甲方案每批总费用（元）与制作本数（本）的函数关系式。 （2）分别制作本和本，两批各自选择较便宜的方案，求总费用。 （3）若将上述两批合并为一批制作，选择较便宜的方案，可比（2）节省多少元？ 解析 （1）设，由，得，故，为正整数。 （2）本：甲元，乙元，选乙；本：甲元，乙元，选甲。共需元。 （3）合并为本：甲元，乙元，选甲。节省元。按批收取的固定部分不能按每本单价相加，也不能把分批方案直接用于合批。 C 综合进阶 13. 已知一次函数在时，的取值范围恰为。 的范围 的范围 附加点 恰为 （1）求所有符合条件的函数表达式。 （2）若该函数的图象还经过表中点，求。 解析 （1）一次函数在闭区间单调。若，则，解得，所以；若，则，解得，所以。两式端点分别达到，均符合“恰为”。 （2）分别代入：或，都得到。函数表达式不唯一，但这一点的横坐标唯一。 14. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围为（　　）。 一次项系数 常数项 A． B． C． D． 解析 选C。若一次项系数，当为足够小的负数时必有，图象必经过第二象限，所以需；在时，不经过第二象限当且仅当。因此且，合并得。边界得到，只经过第一、第三象限，符合条件，A漏掉这个边界。B只检验一次项系数，漏掉常数项条件；D把常数项应非正误作非负，例如时经过第二象限。故仅C给出完整正确范围。 15. 某展馆提供资料寄送服务，收费标准如下。每件的计费质量按实际质量向上取整到整千克，例如千克按千克计费。 计费质量 收费标准 不超过2千克 每件10元 超过2千克 前2千克10元，超出部分每千克3元 （1）寄送实际质量为千克的一件资料需付费多少元？ （2）设用于计费的质量为千克、费用为元，写出与的关系式及的取值要求。 （3）若一件资料的费用为元，求它的实际质量（千克）的取值范围。 解析 （1）千克按千克计，费用元。 （2）为正整数。或时；时。图象是离散点，不能把整数档位间连成连续收费线。 （3），得计费质量，实际质量应满足。按千克收费为元，应排除；可以取到。 16. 某设备在一次测试中的温度（）与时间（分钟）的关系如图所示，图象由三条线段组成，整个测试历时分钟。 （1）分别求三个阶段与的函数关系式。 （2）求测试中温度不低于的持续时间。 （3）求温度达到的所有时刻。 解析 由图读出折点。 （1）第一段变化率，（）；第二段（）；第三段变化率，（）。分界点也可分配给相邻段，数值须一致且不遗漏。 （2）升温段达到时，得；降温段达到时，得。其间包括恒温段，故持续分钟。 （3）升温段得；恒温段不达；降温段得。均在对应区间内，所以为第、第分钟。 17. 如图，、，点在直线上。 （1）若的面积为，则点的所有可能坐标为________。 （2）在（1）的条件下，若位于第一象限，则直线的函数表达式为________。 解析 （1）水平且长，面积要求到直线的距离为，故或。代入，得或。两侧高都必须考虑。 （2）第一象限取。直线过，故；得，所以。 D 期中期末衔接 18. 学校购买甲、乙两种资料袋共个，每个资料袋的进价和可容纳资料册数如下表。每个袋子均按表中容量装满；甲袋至少购买个，总容量不少于册，总费用不超过元。 种类 单价/元 容量/册 甲 乙 满足上述全部条件时，总费用的最小值及对应的购买方案为（　　）。 A．元，甲袋个、乙袋个 B．元，甲袋个、乙袋个 C．元，甲袋个、乙袋个 D．元，甲袋个、乙袋个 解析 选D。设甲袋购买个，则乙袋为个，总费用。 先确定可行方案。数量要求且，并取整数。容量条件为，得；经费条件为，得。 故，乙袋数量分别为。 随增大而减小，因此取可行的最大整数，得最低总费用元，对应甲袋个、乙袋个。检验：，；容量册，费用元，满足全部条件。 A的费用，超出经费；B虽然费用更低，但容量，不合要求；C的方案可行，但费用，不是最低。四个选项中仅D正确。 19. 如图，、，线段所在直线为。直线与线段有公共点，公共点可以是端点。 （1）直线的函数表达式为________。 （2）的取值范围为________。 （3）在（2）的范围内，若两直线的交点满足将分成面积相等的两部分， 则________，的坐标为________。 解析 （1）两点变化率为，代入得。 （2）联立得。交点在线段上等价于，所以，解得。两端对应，题目允许端点，故取等号。 （3），到轴的距离为，所以。等分后。点在线段上，纵坐标非负；以为底，，得。再代入，得。因此，代入，得，在（2）的范围内。 20. 甲、乙两人沿同一条直路从地前往地。甲在时出发，途中休息一次；乙在甲出发分钟后从地出发，随后匀速前往地。两人到达地后均停留。图中折线表示甲距地的路程（米）与（分钟）的关系，线段表示乙从出发到到达地的关系。 （1）求乙的速度，并写出乙从出发到到达地这一时段（含两端时刻）与的关系式。 （2）求两人在到达地前相遇的时刻。 （3）在内，求两人之间的距离不超过米的的取值范围。 解析 由图得甲折点，乙。 （1）乙速度米/分；（）。 （2）甲在时，与乙联立得，不在该段，舍去； 时，解得，落在该段，保留。 时，与乙运动段联立得，不在该段，舍去。 乙到达后在地停留，甲到达之前不在，不会再相遇。因此到达地前唯一相遇时刻为分钟。 （3）分界点为。在内，，取值从降到，无满足时刻。在内，距离为，由得。在内，乙领先，距离为，不超过仅有。在内乙停在，距离为，不超过得。合并为或。 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $