专题一· 期中综合复习·基础巩固讲义（三角形实数勾股定理） ·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（三角形实数勾股定理） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握平方根、算术平方根、立方根的概念与求法，能熟练进行实数的基本运算 · 会判断无理数与实数分类，掌握实数大小比较与无理数估算的基本方法 · 掌握三角形三边关系、全等三角形的五种判定方法及其性质，能进行规范证明 · 掌握等腰三角形、轴对称图形及角平分线、垂直平分线的性质，能解决基础综合题 · 掌握勾股定理及其逆定理，会解决折叠、网格等与勾股定理有关的简单问题 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根、立方根与实数 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根，记作 ±；正数 a 的算术平方根是 ，0 的算术平方根是 0 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 叫做 a 的立方根，记作 ∛a；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0 非负性：被开方数 a≥0 时 才有意义，且 ≥0；利用算术平方根与平方的非负性可求字母取值 平方根与立方根解方程：x2=a 得 x=±，x3=a 得 x=∛a，注意平方根有两个、立方根只有一个 概念辨析例题：一个正数的两个平方根分别是 2a-3 和 5-a，求这个正数的值。 答案：49 解析：正数的两个平方根互为相反数，故 (2a-3)+(5-a)=0，解得 a=-2，则两个平方根为 -7 和 7，这个正数为 72=49。 ☆ 2.无理数与实数 无理数：无限不循环小数叫做无理数，常见有 π、开方开不尽的数（如 、∛3）、有规律但不循环的小数（如 0.10010001…） 实数按定义分为有理数和无理数；有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数） 实数与数轴上的点一一对应；比较实数大小可用开方法、平方法、数轴法或与中间值比较 估算无理数：利用夹逼法，如 32<10<42，得 3<<4；近似数常用科学记数法与四舍五入表示 概念辨析例题：估计 的值在（　　）A．2和3之间　B．3和4之间　C．4和5之间　D．5和6之间 答案：B 解析：因为 9<13<16，即 32<13<42，所以 3<<4，故选 B。 ☆ 3.全等三角形 全等三角形对应边相等、对应角相等；全等三角形的周长、面积相等 判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），判定时必须有边参与 证明全等先找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、等角加减等 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；其逆定理用于判定角平分线 概念辨析例题：如图，AC=DF，BC=EF，添加一个什么条件可以判定 △ABC≌△DEF（用SSS）？ 答案：AB=DE 解析：SSS 判定需要三边分别相等，已知 AC=DF、BC=EF，再需 AB=DE，即可由 SSS 得 △ABC≌△DEF。 ☆ 4.等腰三角形与勾股定理 等腰三角形两腰相等、两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一 等边三角形三边相等、三角均为60°；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 轴对称图形：对应点连线被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形全等 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2；逆定理用于判定直角三角形 概念辨析例题：下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4　B．5，12，13　C．6，7，8　D．4，5，6 答案：B 解析：根据勾股定理逆定理，52+122=25+144=169=132，所以 5、12、13 能构成直角三角形，故选 B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根 x2=a，x=±（a≥0） 正数有两个平方根，互为相反数 算术平方根 （a≥0） ≥0，被开方数非负 立方根 x3=a，x=∛a 任何实数都有唯一立方根 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 必须有边相等，SAS 夹角 等腰三角形 等边对等角，三线合一 底角相等，顶角平分线即高 勾股定理 a2+b2=c2 逆定理判定直角三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根、立方根与实数运算 · 求平方根先判断被开方数非负，正数平方根有两个（互为相反数），算术平方根取非负值 · 立方根不要求被开方数符号，直接开立方即可，注意负号保留在根号内 · 解 x2=a 型方程开方后记得 ±；解 x3=a 型方程直接开立方 · 含绝对值、根号的混合运算先化简各项，再合并计算，注意运算顺序 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）若，那么=______． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）北京2022年冬奥会志愿者共有来自全球超过人报名．将用四舍五入法精确到，并用科学记数法表示，则可表示为________． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）求的值： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）（1）计算：； （2）已知∶，求的值． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）求下列各题中的x的值． (1)； (2)． 7．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列式子中的 (1) (2) 8．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）求的值： (1)； (2)； (3)． 【考点2】实数的分类、大小比较与估算 · 判断无理数抓住“无限不循环”：π、开方开不尽的根式、有规律不循环小数 · 分数、有限小数、无限循环小数都是有理数；化简后再判断是否无理数 · 比较实数大小可平方比较、与0或1比较、利用数轴位置判断 · 估算无理数用夹逼法找相邻整数，如 n2<a<(n+1)2 则 n<<n+1 9．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 11．（24-25八年级上·广东佛山·期中）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 12．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）比较下列实数的大小：_______（填“”“”或“”）． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：                     ，， (每两个2之间依次增加一个1)，0，，， 正数集合：{                  ．．．}； 负有理数集合：{                  ．．．}； 整数集合：{                  ．．．}； 无理数集合：{                  ．．．}． 【考点3】三角形三边关系与中线 · 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 · 已知两边求第三边范围：|a-b|<c<a+b · 中线把三角形分成面积相等的两个三角形，倍长中线构造全等是常见辅助线 · 周长问题常转化为线段和，利用垂直平分线、等量代换化简 14．（23-24七年级下·上海虹口·期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（      ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 15．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段检测）三角形的三边分别为，则的取值范围是________． 16．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 【考点4】全等三角形的判定与性质 · 证明全等先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件，再选择判定方法 · SSS 适合三边已知；SAS 注意角必须是夹角；ASA/AAS 找两角一边 · 直角三角形优先考虑 HL，再考虑其他方法；等腰直角三角形常用 SAS · 全等性质用于证明线段相等、角相等，再进一步证明等腰、垂直等结论 17．（12-13八年级上·湖北十堰·期末）已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·重庆·开学考试）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·江苏常州·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．所有的等边三角形是全等三角形 B．面积相等的两个等腰直角三角形是全等三角形 C．周长相等的两个直角三角形是全等三角形 D．顶角相等的等腰三角形是全等三角形 20．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段检测）下列结论正确的是（   ） A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等； B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等； C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等； D．两个等腰直角三角形全等． 21．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段检测）如果，，那么______． 22．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有________个． 23．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知，其中，，，则中的的长度为______． 24．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据______判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空） 25．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，若，则的度数为_____． 26．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为______． 27．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A， B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点． (1)在图中请画出平移后的； (2)利用格点画出的中线； (3)的面积是_____； (4)若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有 个（点P异于点A且与点A在直线的同一侧）． 28．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 29．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 30．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知：如图，、相交于点，，．求证∶．    31．（2024·江苏淮安·一模）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 32．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，，、相交于点O，求证：． 33．（26-27八年级上·全国·课堂练习）如图，，求证：． 34．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 35．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【考点5】等腰三角形与轴对称 · 等腰三角形等边对等角、等角对等边，证明等腰常通过角相等或边相等 · 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合，常作底边高辅助线 · 轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，利用对称构造最短路径 · 折叠问题抓住折叠前后对应边、对应角相等，转化为全等或等量关系 36．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列说法错误的是（   ） A．有一个内角是的等腰三角形是等边三角形 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一 D．轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 38．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等 C．若实数满足，则 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 39．（24-25八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．两个关于某直线对称的图形一定全等 B．成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线 C．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线 D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 41．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列命题：①成轴对称的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，其中真命题的个数为______ 42．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则的度数是 ________． 43．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，，在内有一点P，，点P和点关于对称，点P与点关于对称，连接、，则 =______． 44．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为______． 【考点6】角平分线与垂直平分线 · 角平分线上的点到角两边距离相等，常用作垂线构造等距离 · 角平分线性质逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上 · 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可用于转化线段求周长 · 尺规作图：作角平分线（SSS全等原理）、作垂直平分线（垂直平分线性质） 45．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 46．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，射线是的平分线，D为射线上一点，于点P，，若Q是射线上一点，，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．5 C．3 D． 47．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，于点，于点，，，，则的周长为（   ） A．21 B．24 C．27 D．33 48．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则的周长为___． 49．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知的周长是42，，分别平分和，于，且，的面积是_________． 50．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）    (1)在图1中，在边上求作一点D，使得点D到边的距离相等； (2)在图2中，在边上求作一点E，使得． 51．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了（顶点是网格线的交点）． (1)的面积为___________； (2)在直线l上找一点P，使点P到边的距离相等； (3)画出关于直线l对称的图形． 【考点7】勾股定理及其逆定理 · 勾股定理用于直角三角形求边长：a2+b2=c2，注意 c 为斜边 · 勾股数：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，如 3,4,5；5,12,13 · 逆定理：三边满足 a2+b2=c2 则构成直角三角形（c 为最大边） · 实际问题（钢缆、旗杆、大树折断）先画直角三角形再列式求解 52．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）由下列线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 53．（第10讲 勾股定理的逆定理（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））在中，，，边上的中线，那么__________，_________． 54．（23-24八年级上·河北保定·阶段检测）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是________．    55．（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为______． 56．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【考点8】勾股定理综合与折叠 · 折叠问题：折叠前后图形全等，对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 · 网格问题：格点间距离用勾股定理计算，再比较或判断形状 · 最短路径：化折为直，利用轴对称找对称点，两点间线段最短 · 综合题常把全等、等腰、勾股结合，先证全等再求线段 57．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，为等边三角形，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 58．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为______． 59．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，，点E是中线上的一个动点，点F是边上的一个动点，连接、，则的最小值为______． 60．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）如图，在正方形网格中，点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点．将的三边、、按照从小到大排列为______（用“<”连接）． 💯 课后巩固 复习建议 · 平方根、立方根的概念易混，记清“平方根有两个、算术平方根取正、立方根唯一” · 证明全等先找隐含条件再选方法，书写规范“对应”二字不能漏 · 等腰三角形题目优先考虑三线合一与等边对等角，作底边高线是常用辅助线 · 勾股定理题先判断哪个角是直角、哪条是斜边，避免代错公式 · 折叠、轴对称问题抓住“对应相等”，设未知数列方程是核心方法 【作业1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．16的平方根是4 B．8的平方根是±2 C．的平方根是 D． 【作业2】．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）下面三组数中是勾股数的一组是（    ） A．6，7，8 B．2，3，4 C．1.5，2，2.5 D．5，12，13 【作业3】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【作业4】．（21-22八年级上·四川内江·期中）在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【作业5】．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．5，6，7 C．5，12，13 D．7，8，9 【作业6】．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）下列算式错误的有几个？①；②；③；④若，则；⑤（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业7】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）平方根与立方根相同的数是_________． 【作业8】．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的平方根是和，则a的值是______． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）比较大小： ______ ． 【作业10】．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）一个正数的两个平方根分别是和，则该正数值为_________． 【作业11】．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）的算术平方根是______；______． 【作业12】．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则______． 【作业13】．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为______． 【作业14】．（23-24八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在，，E是上一点，且，于点E，若，则的值为______．    【作业15】．（江苏省宿迁市南京师范大学附属中学宿迁分校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）解方程： (1)； (2)． 【作业16】．（22-23八年级上·山东济宁·期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【作业17】．（24-25七年级下·福建厦门·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为　　　，的“青一区间”为　　　； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 【作业18】．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．每个小方格均为正方形，A，B，C均为格点(每个小方格的顶点叫做格点)． (1)按要求画图： ①画线段 (D为格点)，使 ； ②画线段(E为格点)，使 ； (2)在（1）的条件下，与的位置关系是_______， 图中的所有余角为_______． 【作业19】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【作业20】．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（三角形实数勾股定理） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握平方根、算术平方根、立方根的概念与求法，能熟练进行实数的基本运算 · 会判断无理数与实数分类，掌握实数大小比较与无理数估算的基本方法 · 掌握三角形三边关系、全等三角形的五种判定方法及其性质，能进行规范证明 · 掌握等腰三角形、轴对称图形及角平分线、垂直平分线的性质，能解决基础综合题 · 掌握勾股定理及其逆定理，会解决折叠、网格等与勾股定理有关的简单问题 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根、立方根与实数 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根，记作 ±；正数 a 的算术平方根是 ，0 的算术平方根是 0 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 叫做 a 的立方根，记作 ∛a；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0 非负性：被开方数 a≥0 时 才有意义，且 ≥0；利用算术平方根与平方的非负性可求字母取值 平方根与立方根解方程：x2=a 得 x=±，x3=a 得 x=∛a，注意平方根有两个、立方根只有一个 概念辨析例题：一个正数的两个平方根分别是 2a-3 和 5-a，求这个正数的值。 答案：49 解析：正数的两个平方根互为相反数，故 (2a-3)+(5-a)=0，解得 a=-2，则两个平方根为 -7 和 7，这个正数为 72=49。 ☆ 2.无理数与实数 无理数：无限不循环小数叫做无理数，常见有 π、开方开不尽的数（如 、∛3）、有规律但不循环的小数（如 0.10010001…） 实数按定义分为有理数和无理数；有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数） 实数与数轴上的点一一对应；比较实数大小可用开方法、平方法、数轴法或与中间值比较 估算无理数：利用夹逼法，如 32<10<42，得 3<<4；近似数常用科学记数法与四舍五入表示 概念辨析例题：估计 的值在（　　）A．2和3之间　B．3和4之间　C．4和5之间　D．5和6之间 答案：B 解析：因为 9<13<16，即 32<13<42，所以 3<<4，故选 B。 ☆ 3.全等三角形 全等三角形对应边相等、对应角相等；全等三角形的周长、面积相等 判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），判定时必须有边参与 证明全等先找隐含条件：公共边、公共角、对顶角、等角加减等 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；其逆定理用于判定角平分线 概念辨析例题：如图，AC=DF，BC=EF，添加一个什么条件可以判定 △ABC≌△DEF（用SSS）？ 答案：AB=DE 解析：SSS 判定需要三边分别相等，已知 AC=DF、BC=EF，再需 AB=DE，即可由 SSS 得 △ABC≌△DEF。 ☆ 4.等腰三角形与勾股定理 等腰三角形两腰相等、两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一 等边三角形三边相等、三角均为60°；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 轴对称图形：对应点连线被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形全等 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2；逆定理用于判定直角三角形 概念辨析例题：下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4　B．5，12，13　C．6，7，8　D．4，5，6 答案：B 解析：根据勾股定理逆定理，52+122=25+144=169=132，所以 5、12、13 能构成直角三角形，故选 B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根 x2=a，x=±（a≥0） 正数有两个平方根，互为相反数 算术平方根 （a≥0） ≥0，被开方数非负 立方根 x3=a，x=∛a 任何实数都有唯一立方根 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 必须有边相等，SAS 夹角 等腰三角形 等边对等角，三线合一 底角相等，顶角平分线即高 勾股定理 a2+b2=c2 逆定理判定直角三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根、立方根与实数运算 · 求平方根先判断被开方数非负，正数平方根有两个（互为相反数），算术平方根取非负值 · 立方根不要求被开方数符号，直接开立方即可，注意负号保留在根号内 · 解 x2=a 型方程开方后记得 ±；解 x3=a 型方程直接开立方 · 含绝对值、根号的混合运算先化简各项，再合并计算，注意运算顺序 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）若，那么=______． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及平方的非负性；根据非负数的性质，算术平方根和平方项均非负，它们的和为零时，每个部分都为零，据此作答即可． 【详解】解：∵， ∴，． ∴，， ，． ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）北京2022年冬奥会志愿者共有来自全球超过人报名．将用四舍五入法精确到，并用科学记数法表示，则可表示为________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与10的多少次方无关． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根与立方根的求解，解题的关键是掌握平方根和立方根的运算性质． （1）通过移项求解方程，再根据平方根定义得出结果； （2）利用立方根性质化简方程，进而求解． 【详解】（1） ； （2） ． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）（1）计算：； （2）已知∶，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、带有字母的绝对值化简问题 【分析】此题考查了化简绝对值，立方根和算术平方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简绝对值，立方根和算术平方根，然后计算加减即可； （2）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）求下列各题中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了解方程，求一个数的平方根、求一个数的立方根，正确计算是解题的关键． （1）直接开平方，注意一个数的平方根有两个； （2）先移项，然后再开立方； 【详解】（1）解：， 开方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 即， 解得：． 7．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列式子中的 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的性质解方程即可； （2）利用立方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或； （2）解： ∴． 8．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）求的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 【考点2】实数的分类、大小比较与估算 · 判断无理数抓住“无限不循环”：π、开方开不尽的根式、有规律不循环小数 · 分数、有限小数、无限循环小数都是有理数；化简后再判断是否无理数 · 比较实数大小可平方比较、与0或1比较、利用数轴位置判断 · 估算无理数用夹逼法找相邻整数，如 n2<a<(n+1)2 则 n<<n+1 9．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴；依据，结合数轴分析被开方数的范围即可． 【详解】∵，即， ∴在数轴上表示实数的点可能是． 故选：C． 10．（24-25七年级上·浙江台州·期末）的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理的大小估算，掌握无理数的大小估算是解题的关键．根据无理数的大小估算，可知，求算术平方根即可． 【详解】解： 故选：C． 11．（24-25八年级上·广东佛山·期中）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式的定义是解题的关键．由得到，进而求解即可． 【详解】解： ， ， 即， 故选：A． 12．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）比较下列实数的大小：_______（填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、求一个数的算术平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查了比较实数的大小，根据算术平方根和立方根的定义求解即可，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：                     ，， (每两个2之间依次增加一个1)，0，，， 正数集合：{                  ．．．}； 负有理数集合：{                  ．．．}； 整数集合：{                  ．．．}； 无理数集合：{                  ．．．}． 【答案】，，；，；0，；， (每两个2之间依次增加一个1) 【知识点】无理数、实数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查了实数的分类，理解正数，负有理数，整数，无理数的定义是解决问题的关键．根据实数的分类，正数，负有理数，整数，无理数的定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴正数集合{，，．．．}； 负有理数集合{，，．．．}； 整数集合{0，．．．}； 无理数集合{， (每两个2之间依次增加一个1)．．．}． 【考点3】三角形三边关系与中线 · 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 · 已知两边求第三边范围：|a-b|<c<a+b · 中线把三角形分成面积相等的两个三角形，倍长中线构造全等是常见辅助线 · 周长问题常转化为线段和，利用垂直平分线、等量代换化简 14．（23-24七年级下·上海虹口·期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（      ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可． 【详解】根据三角形的三边关系，得 A、，能组成三角形，故此选项正确； B、，不能够组成三角形，故此选项错误； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，不能组成三角形，故此选项错误． 故选：A． 15．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段检测）三角形的三边分别为，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】本题考查三角形的三边关系，已知三角形的两边长，求第三边的取值范围，利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求解． 【详解】解：∵，，是三角形的三边长， ∴， ∴. 16．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 【答案】(1)边角边 (2) (3) 证明：如图所示，延长至点，使得， ∵是中点，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的判定方法即可求解； （2）运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，可证，可得，再根据可证，由此即可求解． 【详解】（1）解：是的中线， ∴， ∵延长到，使，， ∴， ∴运用的是“边角边”判定定理证明， 故答案为：边角边． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． （3）略 【考点4】全等三角形的判定与性质 · 证明全等先找公共边、公共角、对顶角等隐含条件，再选择判定方法 · SSS 适合三边已知；SAS 注意角必须是夹角；ASA/AAS 找两角一边 · 直角三角形优先考虑 HL，再考虑其他方法；等腰直角三角形常用 SAS · 全等性质用于证明线段相等、角相等，再进一步证明等腰、垂直等结论 17．（12-13八年级上·湖北十堰·期末）已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 18．（25-26八年级上·重庆·开学考试）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然第③块中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等． 故选：B． 19．（23-24八年级上·江苏常州·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．所有的等边三角形是全等三角形 B．面积相等的两个等腰直角三角形是全等三角形 C．周长相等的两个直角三角形是全等三角形 D．顶角相等的等腰三角形是全等三角形 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次判定即可． 全等三角形的判定方法有、、、．注意没有和． 两个三角全等，至少要有一组边对应相等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】A、所有的等边三角形不一定是全等三角形，因为边长不一定相等，故A选项错误，不符合题意； B、面积相等的两个等腰直角三角形的直角边长也相等，可根据得到两个三角形全等，故B选项正确，符合题意； C、周长相等的两个直角三角形，边长不一定对应相等，不能得到两个三角形全等，故C选项错误，不符合题意； D、顶角相等的等腰三角形，腰长不一定相等，不能得到两个三角形全等，故D选项错误，不符合题意． 故选：B 20．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段检测）下列结论正确的是（   ） A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等； B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等； C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等； D．两个等腰直角三角形全等． 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：A、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，故A选项错误； B、一条斜边对应相等的两个直角三角形，只有两个元素对应相等，不能判断全等，故B选项错误； C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，确定了顶角及底边，即两个等腰三角形确定了，可判定全等，故C选项正确； D、两个等腰直角三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，故D选项错误， 故选：C． 21．（23-24八年级上·湖南郴州·阶段检测）如果，，那么______． 【答案】/度 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟知全等三角形对应角相等． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 22．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有________个． 【答案】3 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据网格的特点结合全等三角形的判定定理画图求解即可． 【详解】解：如图所示，都是与全等的格点三角形， ∴除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有3个， 故答案为：3． 23．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知，其中，，，则中的的长度为______． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键 【详解】解：∵，，，， ， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据______判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空） 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，根据作图得到结合，证明三角形全等，即可得出结论． 【详解】解：由作图可知： 又∵， ∴； 故答案为：． 25．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，，若，则的度数为_____． 【答案】/120度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，根据全等三角形对应角相等得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为______． 【答案】或或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键． 三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”进行判定三角形全等． 【详解】∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴坐标系原点在点A的下方3个单位，在点C的左方2个单位处，建立坐标系，如图， ∴点B的坐标为， ∴， ∵点为网格图中与全等的格点三角形的一个顶点，对应点为，在坐标轴上， ∴符合条件的点E的坐标有或或 ． 故答案为：或或 ． 27．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A， B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点． (1)在图中请画出平移后的； (2)利用格点画出的中线； (3)的面积是_____； (4)若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有 个（点P异于点A且与点A在直线的同一侧）． 【答案】(1) 解：如图，平移后的； (2) 如图，即为所求； (3)8 (4)3 【知识点】格点作图题、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查平移的性质及平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先作出点B、C的对应点E、F；然后顺次连接即可； （2）取格点G，连接即可； （3）利用割补法求的面积即可； （4）由等积法及平行线间的距离相等可进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积为： ． （4）解：根据平行线间的距离相等可知：在格点图中画出与平行的直线，如图所示,直线与格点的交点，，即为所求， ∴满足条件的格点P共有3个． 28．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1) 证明： ， ， 即 在和中， (2) 证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 29．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线判定，掌握三角形全等判定与性质，角平分线判定是解题关键．根据垂直的定义得到，根据判定，得出，根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】略 30．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段检测）已知：如图，、相交于点，，．求证∶．    【答案】见详解 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，连接，由可判定，由全等三角形的性质，即可得证；选择恰当的方法证明三角形全等是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接，    在和中， ， （）， ． 31．（2024·江苏淮安·一模）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，即可解决问题． 【详解】略 32．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】略 33．（26-27八年级上·全国·课堂练习）如图，，求证：． 【答案】 证明， ，即． 在和中， ∴， ． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 首先根据可证明，然后根据证明，即可证明． 【详解】略 34．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ，即． 在和中， ， ． ． ． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，先证明得出，再由等角对等边即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 35．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2)t的值为或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由证明，得，即可得出结论； （2）先证，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出t即可． 【详解】（1）证明∶ 略． （2）解∶ 由（1）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点C时，t的值为或． 【考点5】等腰三角形与轴对称 · 等腰三角形等边对等角、等角对等边，证明等腰常通过角相等或边相等 · 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合，常作底边高辅助线 · 轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，利用对称构造最短路径 · 折叠问题抓住折叠前后对应边、对应角相等，转化为全等或等量关系 36．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边对等角 【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则 最小，可得 ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论. 【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， 则最小， ，， ， ， ， 故选:B 37．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列说法错误的是（   ） A．有一个内角是的等腰三角形是等边三角形 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一 D．轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行判断、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质．利用等腰三角形、角平分线的性质判断A、B，利用等腰三角形的性质判断C，利用轴对称的性质判断D． 【详解】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，说法正确，故选项A不合题意； 角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，故选项B不合题意； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，原说法错误，故选项C符合题意． 轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，说法正确，故选项D不合题意． 故选：C． 38．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等 C．若实数满足，则 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【知识点】平行公理的应用、实数的性质、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【详解】解：对于选项A，相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，故A是假命题； 对于选项B，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，故B是真命题； 对于选项C，若，则或，例如，满足，但，故C是假命题； 对于选项D，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，选项缺少“直线外”的前提，故D是假命题. 39．（24-25八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，如图，作利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 40．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．两个关于某直线对称的图形一定全等 B．成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线 C．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线 D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 【答案】C 【知识点】成轴对称的两个图形的识别、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了轴对称的性质、成轴对称的性质、等腰三角形的性质、全等和轴对称的关系等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 两个关于某直线对称的图形一定全等，说法正确，不合题意； B. 成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线，说法正确，不合题意； C. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线所在直线，选项说法不正确，符合题意； D. 平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，说法正确，不合题意； 故选：C 41．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列命题：①成轴对称的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，其中真命题的个数为______ 【答案】3 【知识点】成轴对称的两个图形的识别、根据等角对等边证明等腰三角形、全等三角形的概念、判断命题真假 【分析】本题考查命题真假的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称图形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和轴对称图形的判定与性质是解题的关键．根据轴对称的性质判定①；根据全等三角形的定义判定②；根据等腰三角形判定判定③；根据轴对称图形的有定义判定④． 【详解】解：成轴对称的两个三角形全等，故①是真命题； 面积相等的两个三角形不一定全等，故②是假命题； 有两个内角相等的三角形是等腰三角形，故③是真命题； 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故④是真命题； ∴真命题有①③④共3个， 故答案为：3． 42．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则的度数是 ________． 【答案】/40度 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题主要考查了三角形的旋转，由旋转得到，，得，，得，即可得． 【详解】解：由旋转得到，， 得，， 得， 得． 故答案为：． 43．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，，在内有一点P，，点P和点关于对称，点P与点关于对称，连接、，则 =______． 【答案】3 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．连接，由题意得到，再证明是等边三角形，即可． 【详解】解：连接， ∵点P和点关于对称，点P与点关于对称， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：3． 44．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查求线段最小值的问题，由轴对称的性质得出MN=AP，即可求解． 【详解】解：连接， ∵点P关于直线的对称点分别是M，N， ∴垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【考点6】角平分线与垂直平分线 · 角平分线上的点到角两边距离相等，常用作垂线构造等距离 · 角平分线性质逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上 · 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可用于转化线段求周长 · 尺规作图：作角平分线（SSS全等原理）、作垂直平分线（垂直平分线性质） 45．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质推出，即可求出的长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴． 故选：C． 46．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，射线是的平分线，D为射线上一点，于点P，，若Q是射线上一点，，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．5 C．3 D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上一点到角的两边的距离相等；根据此性质过D作于H，则得，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过D作于H， ∵射线是的平分线，且，， ∴， ∴； 故选：D． 47．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，于点，于点，，，，则的周长为（   ） A．21 B．24 C．27 D．33 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，割补法表示出，进而求出的值，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵在中，是的角平分线，于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为； 故选：C． 48．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则的周长为___． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，而的周长，得到的周长，然后把，代入计算即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点， ， ∵的周长， ∴的周长， ∴，， ∴的周长． 故答案为： 49．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知的周长是42，，分别平分和，于，且，的面积是_________． 【答案】63 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，过作于，于，连接，根据角平分线性质得出，求出的面积，再求出答案即可． 【详解】解：过作于，于，连接， 平分，，，， ， 平分，，， ， ∴， ∵的周长为42， ， ∴ ， 故答案为：63． 50．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）    (1)在图1中，在边上求作一点D，使得点D到边的距离相等； (2)在图2中，在边上求作一点E，使得． 【答案】(1) 如图，点D即为所作；      (2) 如图，点E即为所作；    【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）作的角平分线，与的交点即为点D； （2）作线段的垂直平分线，与的交点即为点E； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质，作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质．掌握基本作图方法是解题关键． 51．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了（顶点是网格线的交点）． (1)的面积为___________； (2)在直线l上找一点P，使点P到边的距离相等； (3)画出关于直线l对称的图形． 【答案】(1)4 (2) 如图所示，点P即为所求； (3) 如图所示，即为所求． 【知识点】角平分线的性质定理、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换和平移变换 （1）利用割补法求解可得； （2）作的平分线，与直线l的交点即为所求； （3）先作出三点关于直线l的对称点，再顺次连接即可． 【详解】（1）的面积为， 故答案为：4； （2）略 （3）略 【考点7】勾股定理及其逆定理 · 勾股定理用于直角三角形求边长：a2+b2=c2，注意 c 为斜边 · 勾股数：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，如 3,4,5；5,12,13 · 逆定理：三边满足 a2+b2=c2 则构成直角三角形（c 为最大边） · 实际问题（钢缆、旗杆、大树折断）先画直角三角形再列式求解 52．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）由下列线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为12，15，18，不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴三边长为11，60，61，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为6，8，10，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； ∵， ∴三边长为3，4，5，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 53．（第10讲 勾股定理的逆定理（2考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））在中，，，边上的中线，那么__________，_________． 【答案】 /90度 25 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及逆定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 通过勾股定理逆定理可证明为直角三角形，然后证明，得即可． 【详解】解：如图， ∵是边的中线， ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：，25． 54．（23-24八年级上·河北保定·阶段检测）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是________．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据题意得、，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：∵从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意、运用勾股定理计算是解题的关键． 55．（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为______． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，连接，   为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ， ，， ， ， 故答案为：5． 56．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】(1) 证明：由题意得， ， ， ； (2) ，理由如下， 如图，   ， ∵， ∴； (3) 【知识点】勾股定理的证明方法、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用； （1）通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理； （2）由题意得，可得； （3）分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：略； （2）解：略； （3）解：如图，分别交、于点、点，    ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【考点8】勾股定理综合与折叠 · 折叠问题：折叠前后图形全等，对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 · 网格问题：格点间距离用勾股定理计算，再比较或判断形状 · 最短路径：化折为直，利用轴对称找对称点，两点间线段最短 · 综合题常把全等、等腰、勾股结合，先证全等再求线段 57．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，为等边三角形，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹在射线上是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，始终有， ∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ∴在 中，， ∴的最小值为， 故选D． 58．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为______． 【答案】 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 59．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，，点E是中线上的一个动点，点F是边上的一个动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、三线合一 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短的含义，如图，过作于，交于，可得则，此时最短，再结合等腰三角形的性质与勾股定理可得结论． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，此时最短， ∵，，点E是中线上的一个动点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 60．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）如图，在正方形网格中，点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点．将的三边、、按照从小到大排列为______（用“<”连接）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了格点正方形与勾股定理，解题的关键是将三角形的顶点平移到格点位置上． 将三角形向右平移小正方形边长的一半距离，然后利用勾股定理计算三角形的各边长，最后进行比较大小即可． 【详解】解：如图．将向右水平平移小正方形边长的一半，使三角形各顶点落在正方形格点上． 根据勾股定理得：， ， ． ∵，即， ∴． 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 平方根、立方根的概念易混，记清“平方根有两个、算术平方根取正、立方根唯一” · 证明全等先找隐含条件再选方法，书写规范“对应”二字不能漏 · 等腰三角形题目优先考虑三线合一与等边对等角，作底边高线是常用辅助线 · 勾股定理题先判断哪个角是直角、哪条是斜边，避免代错公式 · 折叠、轴对称问题抓住“对应相等”，设未知数列方程是核心方法 【作业1】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．16的平方根是4 B．8的平方根是±2 C．的平方根是 D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义及性质，掌握平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根的定义和性质对各个选项进行逐项分析即可． 【详解】解：A. 16的平方根是，故本选项错误； B. 8的平方根是，故本选项错误； C. 由平方根的性质得，负数没有平方根，故本选项错误； D.49的算术平方根等于7，即，故本选项正确； 故选D． 【作业2】．（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）下面三组数中是勾股数的一组是（    ） A．6，7，8 B．2，3，4 C．1.5，2，2.5 D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A．，不能构成勾股数，故错误； B．，不能构成勾股数，故错误； C．1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误； D．，能构成勾股数，故正确． 故选：D． 【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义． 【作业3】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数的判断，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否无理数即可． 【详解】解：在，，，，，0.10010001…，这些数中，无理数是，，，0.10010001…共4个， 故选：C． 【作业4】．（21-22八年级上·四川内江·期中）在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【知识点】无理数、求一个数的立方根、平方根概念理解 【分析】本题考查了立方根和算术平方根，无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：， 无理数有，π，1.010010001…， ∴无理数有3个， 故选：A． 【作业5】．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．5，6，7 C．5，12，13 D．7，8，9 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为2，3，4，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为5，6，7，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为5，12，13，可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为7，8，9，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【作业6】．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）下列算式错误的有几个？①；②；③；④若，则；⑤（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用平方根解方程、计算单项式乘多项式及求值、积的乘方运算 【分析】本题考查整式的运算及平方根的定义，根据积的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，完全平方公式，平方根解方程逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：①，原式计算错误，符合题意； ②，原式计算错误，符合题意； ③，原式计算正确，不符合题意； ④若，即，则，原式计算错误，符合题意； ⑤，原式计算错误，符合题意； 故符合题意的有①②④⑤共个． 故选：D． 【作业7】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）平方根与立方根相同的数是_________． 【答案】0 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根和立方根， 根据平方根和立方根的定义解答即可. 【详解】解：因为正数的平方根有两个，互为相反数，任何实数都有一个立方根， 所以正数的平方根和立方根不能相同. 因为负数没有平方根， 所以负数的平方根和立方根不能相同. 只有0的平方根是0，立方根是0. 故答案为：0. 【作业8】．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的平方根是和，则a的值是______． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可得． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， 故答案为：． 【作业9】．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）比较大小： ______ ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的比较大小．根据两个负数比较，绝对值越大，反而越小，即可得答案． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 【作业10】．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）一个正数的两个平方根分别是和，则该正数值为_________． 【答案】16 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． ∴该正数值为． 故答案为：16 【作业11】．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）的算术平方根是______；______． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了算术平方根，去绝对值，注意一个正数的平方根有两个．根据开平方的意义，可得平方根、算术平方根；根据去绝对值的运算法则计算即可． 【详解】解：， 则的算术平方根为； 故答案为：；． 【作业12】．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则______． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 【作业13】．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为______． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 【作业14】．（23-24八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在，，E是上一点，且，于点E，若，则的值为______．    【答案】8 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】连接，先根据定理得出，则可得出，由此可得出结论． 【详解】解：连接．    ∵，， ∴与均是直角三角形． ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，熟知根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 【作业15】．（江苏省宿迁市南京师范大学附属中学宿迁分校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先方程两边同时除以4，再根据平方根的意义求解即可得到答案； （2）先两边同时加上8，再根据立方根的意义进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【作业16】．（22-23八年级上·山东济宁·期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【作业17】．（24-25七年级下·福建厦门·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为　　　，的“青一区间”为　　　； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】无理数的大小估算、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“青一区间”的定义求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求解得出，结合题意即可得解； （3）先根据平方根的定义求出，再根据“青一区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为， ∴的“青一区间”为； （2）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为， ∴，， ∴， ∵为正整数， ∴的值为或， ∴或； （3）解：∵实数，分别为一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【作业18】．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图．每个小方格均为正方形，A，B，C均为格点(每个小方格的顶点叫做格点)． (1)按要求画图： ①画线段 (D为格点)，使 ； ②画线段(E为格点)，使 ； (2)在（1）的条件下，与的位置关系是_______， 图中的所有余角为_______． 【答案】(1) ①②如图所示即为所求； (2)平行；、、 【知识点】勾股定理与网格问题、求一个角的余角 【分析】题目主要考查利用网格画图，勾股定理解三角形，余角的定义等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）①根据网格特点画图即可；②根据网格特点画图即可； （2）先根据网格及勾股定理得出为等腰直角三角形，确定，再由平行线的判定即可得出；再利用余角的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意得：， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵为等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的所有余角为、、， 故答案为：平行；、、． 【作业19】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【答案】 证明：连接， 由图形可知， 则 ． ∴． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证． 【详解】略 【作业20】．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $