精品解析：河北省邯郸冀南新区凌云中学2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

高二年级期中考试 数学试卷 考试范围：第一章-第二章2.4； 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合斜率的定义即可求得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，由直线斜率的定义可知：，则. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题. 2. 已知点，点满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，求向量，的坐标表示，由条件列方程求即可. 【详解】设点，因为， 所以， 又，所以， 解得，，，所以点的坐标是. 3. 如图，在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件所给的比例关系分解向量即可. 【详解】如图所示， . 故选：D. 4. 若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由点在圆的内部，得，即，解得， 所以实数的取值范围为． 5. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 6. 若直线平分圆，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】列出所满足的条件，由直线过圆心求得的值. 【详解】可化为，则， 又直线平分圆， 则直线经过圆心. 代入直线得，解得或. 因为不满足，故 故选：C. 7. 已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【详解】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 8. 设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为直线过定点，直线与线段没有交点，转化为过定点的直线与线段无公共点，画出图像，结合图像，即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点， 即直线与线段没有交点， 对于直线， 令，则，则直线恒过点 . 根据题意，作出如下图像： ，， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， ， 根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为 ， 直线的斜率为， 若直线与线段没有交点， 则. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得，进而可得共面，判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确； 对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误； 对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确； D选项，设，即，故， 解得，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 10. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线平行、垂直的判定条件分析A、B项，通过分离参数求解直线恒过定点判断C项，结合x轴截距的定义求直线斜截式判断D项。 【详解】选项A：若，根据两直线平行的判定条件，得，解得或， 检验可知两值对应的直线均不重合，满足平行要求. 选项B：若，根据两直线垂直的判定条件，得，整理为， 解得或，并非只有 选项C：将直线的方程变形为，令，解得，即直线恒过点. 选项D：若直线在轴上的截距为6，即过点， 代入方程得，解得， 此时的方程为，斜截式为，与选项中表达式不符. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 点F到直线的距离为1 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离、判断线面垂直以及点到面的距离. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 且E，F，G分别为棱，，的中点，可知， 可得， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点F到直线的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，可得， 且，平面，所以平面，故C正确； 对于选项D：因为平面的法向量可以为， 点到平面的距离为，故D正确； 故选：BCD. 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，，且，则=_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得， 所以，，所以. 14. 点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角的坐标运算公式求解即可； （2）由数量积的运算律以及模和数量积的坐标计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，所以； 【小问2详解】 由题意， 因为，， 所以，解得. 16. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； 【小问2详解】 线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； 【小问3详解】 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 17. 已知，两点． （1）求以线段为直径的圆的标准方程； （2）若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）．（除两点）. 【解析】 【分析】（1）求线段中点，然后确定圆的半径，即可求得圆的标准方程； （2）设坐标，由中点坐标公式得到点与点坐标的关系式，由题意可知点在（1）中的圆上，从而求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为为直径，则的中点为， 所以圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得， 所以， （1）知，点的轨迹方程为， 将代入得， 即. 又∵，∴， ∴动点的轨迹方程为．（除两点）. 18. 已知直线与直线相交于点． （1）求点关于直线对称点的坐标； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点关于直线对称的方法求解即可； （2）分直线过原点和不过原点两种情况，结合截距式求解即可. 【小问1详解】 由，得，即， 设关于直线对称的点为， 则有， 解得，即， 即点关于直线对称点的坐标为； 【小问2详解】 因为， 当所求直线过原点时，满足在轴上的截距是在轴上的截距的2倍， 此时所求方程为，即； 当所求直线不过原点时， 设所求直线方程为， 代入，得，解得， 所以直线方程为，即， 综上，所求直线方程为或. 19. 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为为正三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） （3）存在点，使得直线与平面所成的角为，且. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，结合面面垂直的性质定理，得到平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，利用向量的夹角公式，列出方程求得，进而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：平面， 在菱形中，，，则为正三角形， 因为是的中点，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设存在点在线段上，设， 由，则，可得， 又由平面的法向量为， 因为直线与平面所成的角为，所以， 可得， 化简得，平方得，解得， 因为，所以存在满足条件的点，使得直线与平面所成的角为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期中考试 数学试卷 考试范围：第一章-第二章2.4； 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，点满足，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线平分圆，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设点 ,，若直线与线段AB没有交点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 点F到直线的距离为1 C. 平面 D. 点到平面的距离为 第II卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示圆，的取值范围为_____ 13. 已知，，且，则=_______． 14. 点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数的值. 16. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 17. 已知，两点． （1）求以线段为直径的圆的标准方程； （2）若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 18. 已知直线与直线相交于点． （1）求点关于直线对称点的坐标； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程. 19. 如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $