专题06 利用导函数研究能成立（有解）问题专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题06 利用导函数研究能成立（有解）问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 1 方法一：分离变量法+最值法 1 方法二：分离变量法+隐零点法 7 方法三：分离变量法+切线放缩法 11 方法四：分类讨论法 17 方法五：双参不等式问题最值定位法 22 三、专项训练 28 一、必备秘籍 分离参数法 用分离参数法解含参不等式能成立（有解）问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分离参数（注意分离参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 二、典型题型 方法一：分离变量法+最值法 【典例1】（2026·河北张家口·一模）已知，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意结合导数依次求出即可由直线点斜式方程求解； （2）先由得到，构造函数，利用导数求出即可由存在性得解. 【详解】（1）时，， 所以，所以切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为即. （2）因为，使得即， 所以，令，则， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以， 所以. 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 【变式1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)求函数在上的最大值和最小值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2). 【分析】（1）对函数求导，根据单调性即可求得最值； （2）代入函数，参变分离，即可得到新的函数，，构造函数求最值即可. 【详解】（1）易得， 令，则或（舍去）. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为. 又，，， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故在上的最大值为，最小值为. （2）易知的定义域为， 故不等式可化为. 记，则原不等式有解可转化为， 易得，令，则， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故. 于是，解得. 所以实数a的取值范围为. 【变式2】（25-26高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为，递减区间为. (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间； （3）问题化为在上存在实数解，利用导数求右侧表达式在上最小值，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，故在处切线方程为， 所以. （2）由题设，且， 当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有， 此时的递增区间为，递减区间为. （3）原条件等价于在上存在实数解. 所以在上存在实数解， 令，则， 在上，得，故在上单调递增， 所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解. 【变式3】（25-26高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数. (1)讨论在区间上的单调性； (2)若时，不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论，求出函数的单调区间. （2）根据给定条件，将不等式分离参数得，再构造函数，，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】（1）函数，求导得，由，得， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增. （2）依题意，不等式在时有解，即在时有解， 令，，求导得， 由，得；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，因此， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 方法二：分离变量法+隐零点法 【典例1】2026·辽宁大连·三模）函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性，进而求解单调区间； （2）利用极限思想和构造函数，结合导数分类讨论，进而确定的极小值点，再建立 关于极小值点的二次不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，因此：时，， 时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由可知， ①当时 若，由于， 当时， ，而. 故存在使得. 若，，取 ，，满足题意. ②：当时，令，则，时，， 故在递增，且最小值为， 由，方程在上有唯一实根， 使得，则为的最小值点. 根据题意需满足： ， 代入： ， 则 ，整理得 ， 解得：或. 由，得：当 时，. 当 时，. 综上所述，的取值范围是. 【变式1】（2026·广东广州·一模）已知函数． (1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合； (2)若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，显然不满足题意；当时，将零点问题转化为交点问题，利用导数分析的单调性以及极值情况即可得出答案. （2）分，，三种情况讨论，将不等式恒成立转化成求即可. 【详解】（1）当时，显然不满足题意； 当时，若函数只有一个零点， 即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根， 即直线与函数（且）的图像只有一个交点． ，令，得， 在和上，，在上，， 所以在和上单调递减，在上单调递增． 在时有极小值，图像如图所示： 由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，则或， 综上． （2）恒成立，等价于， 令 ①若时，，所以在上单调递增， ，即，满足， ②若时，则，所以在上单调递增， 当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意． ③若时，令 令，因为在上单调递增， 且当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于0时，趋近于负无穷， 所以， ，单调递减，，单调递增， 只需即可， ， 令在上单调递增， 时，， 所以在上单调递增，，即， 综上： 方法三：分离变量法+切线放缩法 【典例1】（2026·河北张家口·一模）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 设，，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 设，定义域为， 则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以； (3) 【分析】（1）求出导函数，可得，进而利用导数的几何意义及点斜式直线方程求解切线方程； （2）先利用导数法证明当且仅当时等号成立，再利用导数法证明当且仅当时等号成立，即可证明； （3）将整理得，设函数，利用单调性得，即，利用导数法求得函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）由得，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）略 （3）因为，整理可得， 故，设函数，则， 因为，所以函数单调递增，所以， 整理可得，设函数，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围. 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在时，使成立，求a的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为； (2)； (3). 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数的递减区间为，递增区间为. （2）依题意，，则， 于是存在，成立，设， 则，函数在上递增，， 所以. （3）依题意，对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则对任意恒成立， 下面证明对任意恒成立， 设，，求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，则，即， 于是对任意恒成立，只需在上单调递增， 即在上恒成立，则在上恒成立，因此， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，变形给定不等式，利用同构的思想转化为函数单调递增是求解的关键. 【变式1】（2026·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2)． 【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性； （2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得． 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 而， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解，此时， 即在区间上有解， 令，则． 令，则， 所以函数在上单调递增，所以． 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是． 【变式2】（25-26高三上·江西·开学考试）已知函数，，，分别为，的导函数，且对任意的，存在，使． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：，有． 【答案】(1) (2) 令，，则． 令，解得，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即（当且仅当时，等号成立）． 令，则． 令，解得，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即（当且仅当时，等号成立）， 故（当且仅当时，等号成立）． 又，所以． 因为，所以， 故，即． 【分析】（1）任意的，存在，使，可转化为，则求出，即可求出实数a的取值范围； （2）指对缩放不等式可知，(需证明)，则可得，则不等式可证. 【详解】（1）因为， 所以， 所以在区间上单调递增， 故． 因为， 所以． 令，则， 又，所以， 故在区间上单调递增， 所以． 又对任意的，存在，使， 所以， 即，解得， 故实数a的取值范围为． （2）略 【点睛】方法点睛：指对不等式的常见处理手段指对同构法、指对放缩法、隐零点处理法. 方法四：分类讨论法 【典例1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知，其中． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、后可得切线方程； （2）根据的符号得的单调性，再求出在、在上的值域，根据它们的包含关系可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，则，， 故点处的切线方程为，即． （2）由题意得， 0 0 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 所以的单调增区间是，单调减区间是和． 由，当时，，当时，． 因为对于任意的，总存在，使得， 故，所以，所以． 设，，问题转化为． 下面分两种情况讨论：                  情形一：当，即时，有，在上单调递减， 故在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，故， 所以，不符合题意； 情形二：当时，，在上单调递减， 故的取值范围，故， 而，在上单调递减，故， 满足，故符合题设要求. 情形三：当，即时，此时， 故此时在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，即， 而，故成立， 综上，a的取值范围为． 【典例2】（25-26高二上·北京·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间、最大值； (2)设函数，若存在实数，使得，求m的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为； (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数求出函数的单调区间及最大值； （2）把存在性问题转化为求函数最小值问题，分情况讨论，利用导数求出函数的单调性及最小值，进而求出m的取值范围． 【详解】（1）当时，函数为，定义域为， 求导得， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 函数在上单调递增，在上单调递减； 函数在处取得极大值，即为最大值，． （2）已知，存在实数，使得， 即不等式 在其定义域 上有解， 令，则问题等价于， 当时，，，求导得， 其中，故，在上单调递增， ； 当时，，故，求导得， 其中，故，在上单调递减， ， 综上可得，，要存在实数，使得，只需满足， 的取值范围为． 【变式1】（25-26高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)减区间，增区间； (3). 【分析】（1）利用商的导数法则求导即可； （2）利用导数的正负判断单调性即可； （3）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可. 【详解】（1）求导得： （2）当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （3）由，可得， 题意等价于在上有解. 设，求导得， 当时，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，在在递增，时，在递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，. 【变式2】（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数． (1)求证：； (2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值； (3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1) 函数的定义域为， 不等式， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，即， 因此，所以. (2)； (3). 【分析】（1）等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得. （2）设出直线与函数图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与联立结合判别式求出值. （3）结合（1）的结论，按分类，借助导数讨论得解. 【详解】（1）略 （2）依题意，，设直线与函数图象相切的切点为， 则切线的方程为：， 又直线过点，于是， 整理得，即，令， 求导得，即在上单调增，又，因此， 切线的方程为，由与函数的图象相切，得， 即，于是，解得， 所以实数的值是. （3）①当时，，则，使，符合题意； ②当时，， ，则，又由（1）知，， 因此，不合题意； ③当时，令， 当时，，则， 当时，，则， 则， 令，求导得， 由，得时；由，得时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即当时，不合题意， 所以的最大值为. 方法五：双参不等式问题最值定位法 【典例1】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【详解】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 【典例2】（25-26高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点. (1)求的值； (2)设函数，若对，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可得解. （2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，并借助导数讨论值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极小值点，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极大值点，不符合题意， 所以. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此， ①当时，对，，使得， 因此，符合题意，则； ②当时，，取，对，有，不符合题意； ③当时，函数，求导得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，则， 若对，，使得，只需，即，解得， 所以的取值范围为. 【变式1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）设函数，． (1)若曲线在处的切线过点，求的值； (2)设若对，，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题意，再分别求导，分类讨论分析最大值即可. 【详解】（1）∵， ∴． 又，即切点为， ∴，解得． （2）“对，，使得成立”，即 “在上，”． ∵，， ∴在上单调递增， ∴． 令，得或． ①当时，在上恒成立，单调递增， ，解得； ②当时，在上恒成立，单调递减，在上恒成立，单调递增， 或， ∴或． 解得：或，∴； ③当时，在上恒成立，单调递减，，解得， ∴． 综上所述：或，即的取值范围为 【变式2】（2026高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减． (2) 【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性； （2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可. 【详解】（1）∵，∴， 令，可得两根分别为1，， ∵，∴ 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． （2），，由（1）知， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴在上的最小值为． 对，，使，即 在上的最小值不大于在上的最小值，（*） 又， ∴①当时，，此时与（*）矛盾； ②当时，，同样与（*）矛盾； ③当时，，且当时，， 解不等式，可得， ∴实数b的取值范围为． 三、专项训练 1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数为偶函数，其中e是自然对数的底数. (1)求m的值及最小值； (2)关于x的不等式在上恒成立，求实数b取值范围； (3)存在，使得成立，其中，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的性质，建立方程，利用基本不等式，可得答案； （2）根据指数函数的值域以及换元法，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案； （3）利用函数单调性的定义，可得函数的最值，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】（1）由函数为偶函数，则，即，解得， 由，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为. （2）由，则不等式为， 由，则不等式整理为， 由，则，令，则不等式为， 令，问题等价于不等式在恒成立， 当时，由，则函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，则函数在上单调递增，不符合题意； 当时，由，即，函数在上单调递减， 令，解得，故， 由，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 令，化简可得，解得或，故， 综上所述可得. （3）令，取，设， 由，当且仅当时等号成立，则， 易知，则函数在上单调递减，所以最大值为， 易知函数在上单调递增，则最小值为， 由题意可得当时，，解得. 2．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求在上极值点个数； (3)设函数，是否存在、，使得？若存在，求的所有可能取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在上极值点个数为1 (3) 存在，的所有可能取值为． 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导得，令，求导，可得在上单调递增，且存在，使得，即，进而可得结论； （3）利用（2）求得在上的值域为，利用导数求得在的值域为，由题意可得，构造函数，利用导数求得不等式的解即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由，得， 令，求导得， 又，所以， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 当时，，即，所以在上单调递减， 当时，，即，所以在上单调递增， 所以是在上的极小值点，也是唯一的极值点； 故在上极值点个数为1. （3）存在，的所有可能取值为．理由如下： 由（2）可知是在上的唯一极小值点， 所以，又，所以， 所以在上的值域为， 由，得，又， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以的最大值为， 所以在的值域为， 由存在，，使得， 可得， 令，求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以不等式有唯一解，所以. 所以的所有可能取值为． 3．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数（）. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：； (3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明：当时，，. 设，则，在上单调递增，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ，即，当且仅当时取等号. ∴当时，. 设，，则. 在上单调递减，且， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ，即，当且仅当时取等号. ∴当时，. . ，即得证. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义及点斜式直线方程求解切线方程即可. （2）构造函数，利用导数可证明；构造函数，利用导数可证明，利用两个不等式即可证明. （3）将不等式转化为，再构造函数，利用的单调性得，再构造函数，求出的最大值即可. 【详解】（1）由函数，得. 当时，，则. ，， ∴曲线在点处的切线方程为，即. （2）略 （3）由不等式，化简得， . 设，则. ，单调递增. ，即. 设，， 则，在上单调递减，且. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. . 又有解， ，即，解得， ∴实数的取值范围为. 4．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）把代入函数解析式，对其求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合导数与单调性关系及有解条件即可求解. 【详解】（1）当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . （2），， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则 ， 令 ，则， 所以 在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 5．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合题意，得到，列出方程，即可求解； （2）求得，分，和，三种讨论，得到函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解； （3）由，得到，令，转化为存在，使得，求得，得到的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时，， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. （3）解：由，可得， 整理得，即， 令，则问题转化为，， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 6．（25-26高二下·山东日照·期中）已知函数的一个极值点是. (1)当时，求的单调区间； (2)设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在和上单调递减 (2) 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 因为函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为，最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 因为存在，，使得成立， 即存在，，使得成立， 则， 又，解得， 所以实数的取值范围为． 7．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数．当时，，，满足，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，求出这两个函数的最小值，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，则对任意的，此时函数在上单调递增； 当时，由得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，，满足，则， 因为，由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 由（1）可知，当时，若时，即当时， 函数在上单调递增，此时，则，解得， 此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 令，则，故函数在上单调递增， 此时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 8．（2026·青海西宁·二模）已知函数． (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知，当时，， 所以， 要证， 只需证， 只需证， 令， 则， 所以在上单调递增，，所以， 令，代入得成立， 所以． (3) 【分析】（1）求导，判断导数符号，确定函数单调递增，进而求出值域； （2）通过证明，可得，进而将问题转化为证明，再构造函数求导分析单调性和极值点即可； （3）构造函数，求导数，并对参数 分类讨论即可. 【详解】（1）由题得， 所以在上单调递增， 所以，当时，， 所以在区间上的值域为． （2）略 （3）令，则， 当时， 令，则， 令，则， 令，则， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增， ， 即， ②当时，，， 所以， 综上①②，当时，对任意，都有成立，不符合题意． 当时，， 则必存在，使得当时，， 所以在上单调递减，，即，符合题意， 所以 的取值范围为． 9．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，且存在，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）当时，求得，求得函数的单调区间，进而求得的极值； （2）求得，得到的单调区间，分和，两种情况讨论，求得的极小值，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，可得 ，其定义域为， 且，令，即，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）由函数，可得，其中， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以在上的最小值为， 因为存在，使得成立，所以，即， 可得，因为，所以，此时不等式无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 因为存在，使得成立，所以，即， 可得，即， 因为，所以，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 10．（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 令，则． 因为，所以当变化时，的变化情况如下表： 0 增 极大值 减 所以． 由，可知在 上单调递减， 所以. (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求出，令，利用导数可证，从而可得的单调性，故可证； （3）原不等式有解即为存在，使成立，，就、结合导数分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，，所以，故 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）略 （3）由题意，存在，使成立， 即存在，使成立， 即成立． 令， 则． ①当时，在 上 ，故在 单调递增， 所以 ，不合题意． ②当时，令． 因为，所以在 单调递增， 又因为， 所以存在，使． 所以当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减 极小值 增 ，取，故 在上有解， 综上，的范围是. 11．（24-25高二下·天津·阶段检测）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 12．（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 【答案】(1) (2)函数的极大值为，极小值为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导研究函数得单调区间，进而根据单调区间确定函数的极值； （3）根据题意转化为在内有解，进而构造函数求解最大值即可. 【详解】（1）解：由题知， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为：. （2）解：由（1）知，定义域为， 令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值. 综上，函数的极大值为，极小值为 （3）解：函数，在定义域内有解， 故在内有解， 即在内有解， 所以在内有解， 所以 令 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以在上的值域为， 令，则， 显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以有最大值， 所以，即的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $专题06利用导函数研究能成立（有解）问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍。.. 二、典型题型. 方法一：分离变量法+最值法.· .....2 方法二：分离变量法+隐零点法...· 方法三：分离变量法+切线放缩法..…6 方法四：分类讨论法.... 方法五：双参不等式问题最值定位法.… .....10 三、专项训练。. 。....12 一、必备秘籍 分离参数法 用分离参数法解含参不等式能成立（有解）问题，可以根据不等式的性质将参数分离出 来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式： 步骤： ①分离参数（注意分离参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：3x∈D,使得a>f(x)能成立台a>f(x)min: x∈D,使得a<f()能成立台a<f(x)max. ③求最值. 二、典型题型 方法一：分离变量法+最值法 【典例1】(2026河北张家口一模)已知fx)=nx-a(x+),aeR. (1)若a=2,求曲线(x)在x=1处的切线方程： 2若3五∈0,2刃使f)>0,求0的取值范国 【典例2】(2526商=上山东青岛期未)已知函数f()=x7. 似球效份含B 上的最大值和最小值： 2)若不等式 f(x)>(2-a)x2 有解，求实数的取值范围。 【变式1】(2526高=上全国课后作业)已知两数f)=lr. )求函数)在2：2上的最大值和最小值： 2)若不等式f()>2-a) 有解，求实数“的取值范围。 【变式2】(25-26高三上·天津西青期中)己知函数f()=hx+2ax(a∈R). (1)当a=e时，求函数f()在，f》处切线方程； (2)求函数f9的单调区间： 考8(=)-2，不等式8之-在+四）上存在实数解，求实数“的取值范围 在 【变式3】(25-26高三上甘肃兰州阶段检测)己知函数f:)=-lnx,a∈R, (1)讨论f(x)在区间山，2]上的单调性： (2)若x∈(0，时，不等式f(x)≤3有解，求a的取值范围！ 方法二：分离变量法+隐零点法 【典创1】(2026辽宁大连三模)函数f()=c-(2x-l)+a,(a∈R）,e为自然对 数的底数 a当a=1时，求函数因的单调区间： 2)若存在实数x,满足()<0 求实数a的取值范围： 【变式1】(2026旷东广州一模)已知函数f()=x-ahnx.acR (1)若函数y=(x)只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合： f(x)≥(a+)x-xe (2)若函数 恒成立，求实数a的取值范围. 方法三：分离变量法+切线放缩法 【典例1】(2026河北张家口一模)已知函数(=e,8()=ln(x-) 求审线3（在点28(2》处的切线方程： (2)证明： f(x)>g(x)+3 B)若0>0，关于的不等式旷()+a<8-'有解，求实数“的取值范园. 【典例2】(25-26高三上天津滨海新区·期末)己知函数f()=xlhx,g(x)=(a+)x-a. (1)当a=l时，求函数h)=f)-g)的单调区间： 2若存在cLc时，使2因2-r+x-3 成立，求a的取值范围. (3)若不等式)-8sx-a-2e+ 对任意t∈几+o) 恒成立，求实数4的取值范围， f(x)=x2-2alnx-2(aER) 【变式1】(2026全国模拟预测)已知函数 时论因的单调性， 包若不等式2旷+r-2“在区间+网）上有解，求实数a的取值范用。 【变式2】（2526高三上江西开学考试)已知两数f)写+分+m, 2 ()=心+xhx,f),8因分别为因.8（四的导函数，且对任意的5∈0则， 存在5e0,使代)sg()-2 (1)求实数a的取值范围： 2)证明：x>0,有8()之f() 方法四：分类讨论法 【典例1】(25-26高三下重庆阶段检测)已知f()=-2r+ ,其中a>0 若0=2，求函数=因在点L.0)处的切线方程： 2对任意的∈(+o),总存在∈(2网），使得()/飞)=2 求a的取值范围. 【典例2】(25-26高二上北京期中)已知函数)=二+m,m∈R (1)当m=0时，求f(x)的单调区间、最大值： 2)设函数8血-f0,若存在实数，使得8伍)K0 求的取值范围. 【变式1】(2526高二下上海期末)已知函数f()-品 求的导函数) 2求f在，+o）上的单调区间， 3)存在∈(0,1)U(1,+o）,使得f(x) 成立，求实数k的取值范围： 【变式2】(25-26高三上江苏泰州期中)已知函数 f-2g(-r+生ae. (1)求证：f(x)≤x-1. (2)过点（一山，-2）作直线I与函数f(,8()的图象均相切，求实数a的值： 3已知<4，若存在 ∈(0，+o)生mf(xo)≥g(xo) ，使得 成立，求实数“的最大值。 方法五：双参不等式问题最值定位法 【奥例1】(2026辽宁大连模拟预测)已知f(=ar-2h,xe(0,d. 其中°是自然对 数的底数。 (1)讨论f(x)的单调性： 2设a>。,8()=-5+h。存在x,5@g使得/)一g(与小<9成立，试求实数 1 a的取值范围， 【典例2】(2526高三上湖北期中)已知=2为质数)=-e-。的极小值点 (1)求c的值； 2)设函数8)= e,若对x∈(0，+∞)，3x,∈R,使得fx)-g(x)≥0，求k的取值范围. 变式1】(25-26高三上江苏准安·阶段检测)设函数f(x)=Cx-r+a (aER) (2,3 (①若曲线’=因在=1处的切线过点 ,求“的值： 2)设8(x)=x+1-1 x+13若对ne[0,2,m∈[0,2]，使得f(m)≥g(n)成立，求a的取值 范围. 【变式2】(2026高二下全国专题练习)已知函数f()=lhx-m+10-1aeR).】 x ()当0<a<2时，讨论f(x)的单调性： 2)设g(x)=x2-2bx+4.当a=4时，若对x∈(0,2)，3x2∈[，2]，使f(x)≥gx),求实 数b的取值范围。 三、专项训练 1.(25-26高二下江苏无锡阶段检测)已知函数 f(x)=me*+e* 为偶函数，其中e是自然 对数的底数。 求m的值及儿)最小值： 2关于X的不等式()≤e+h-在Q+四)上恒成立，求实数b取值范固 在 B存在c+）,使得f代)K3m四成立，其中a>0,求实数a的取值范围 2.(2627高三上北京海淀阶段检测)已知函数f()2r+已(a>0). 当a=1时，求曲线’=/（✉在0，f(o》处的切线方程： 2求f(四在Q+ 上极值点个数： 3)设函数8()=mr-c @,是否存在510，切.使得@)03？若存在，求的 所有可能取值；若不存在，请说明理由. 3。(2627高三上甘肃阶段检测)已知函数f()=e-h(x-)(a∈R) 四若a=0,求曲线=因在点3f3 处的切线方程： 2)若a=1,证明：f(x>3。 B若。>0：关于x的不等式<h。l有解，求实数n的取值范围， 4。(25:26高二下四川南充阶段检测)已知函数f)-c+a-hx。 但若a=2,求曲线=/因在点0)处的切线方程， 2当0>1时，讨论函数f(因的单调性： B若f)sr在xe(0,m)上有解，求实数o的取值范围。 5.(2526商二下上海期巾)已知面数)=-2anx-至.g)=-(2a+1nx-至，其 中a∈R (1)若x=2是函数 () 的极值点，求实数“的值： 2当0>0时，讨论函数8的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点： B)若存在xe的](e为自然对数的底)，使得不等式f≤g(国成立，求实数的取值 e 范围. 6,(25-26高二下山东日照期中)已知函数/(x)=+心-/ e 的一个极值点是x=2. a当0>-2时，求f的单调区间， a设a0:g间=，若存在5,50时引使得(G)8s号成立，求实数a 的取值范围。 7.(2526高=下山东济南期中)已知函数f()=e-w 时论（四的单调性： 2设函数8()=-nr+口-1.当a>0时，%>0,3>0，满足)2)，求0的 取值范围。 8。(2026青海西宁二模)已知函数f()=mCOS+-2m,g(x)-=x-sinr a求3（在区间0+o)上的值域， E项，豆如h2+MoeN) B若存在x0,+o）,使得f代)+8()<x,求m的取值范围 f)=anx+4-1 9.(25-26高二下山东青岛·阶段检测)已知函 a当a=1时，求刊的极值， 2)若0>0，且存在∈0⊙，使得f()K-1时 成立，求a的取值范围。 10.(2026北京丰台·一模)已知函数 J(x)=x+a 当a=1时，求曲线=f(在0，f0》处的切线方程， 2刨若≥5，证明：当e0,+w)时，f)≤a 6若有在6∈0w）,使f)K-a+ 成立，求实数“的取值范围. f(x)=e*-x-1 g(x)=alnx-x 11.(24-25高二下·天津阶段检测)已知函数 a求（的极值： 日若(=f(冈-8(d在L,2单调递馆，求实数a的取值范围。 (3)当a<0时，若对任意的 56 使得f(s)sg(s),求实数a的 取值范围. 12,(25-26高三上宁夏中卫阶段检测)已知函数(：=血x+(x-3) 求曲线=f八在点0川处的切线方程； (2)求函数 (女的极值： 西数8（个c“+-5x-1,若(2≥8（在定义域内有解，求的范园。