专题05 利用导函数研究恒成立问题（专题训练）-2027届高三数学二轮复习

专题05 利用导函数研究恒成立问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 1 方法一：分离变量法+最值法 1 方法二：分离变量法+隐零点法 8 方法三：分离变量法+切线放缩法 14 方法四：分类讨论法 22 方法五：等价转化法（左减右构造函数） 30 三、专项训练 35 一、必备秘籍 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 二、典型题型 方法一：分离变量法+最值法 【典例1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)极小值是，无极大值 (2) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性即可求解； （2）将已知条件整理为对任意恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 因此函数的极小值为，无极大值. （2）将不等式整理为， 由于对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 而，， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以在处取得最小值，最小值为， 由于，所以， 要使恒成立，则，由于是整数，所以的最大值是. 【典例2】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）设，． (1)当时，求函数在区间的最小值； (2)对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，通过求导分析函数单调性，比较区间内极值点和端点的函数值即可得到最小值； （2）将不等式恒成立问题转化为参数分离问题，构造新函数求其最小值，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. 对求导得：，令，解得. 当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减. ，，比较得， 故在区间上的最小值为. （2）由题意，对任意，恒成立， 移项得： ， 因为，两边同除以得：对任意恒成立. 令，，对求导得：，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故在处取得最小值：， 因此，即实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高二下·山东青岛·期末）设函数． (1)当时，求单调区间； (2)若时，，求的范围． 【答案】(1)增区间是，减区间是， (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的区间符号确定区间单调性，即可得； （2）讨论、、，将不等式作对应转化，再应用导数研究在对应区间的最值，即可得参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以， 令，解得，令，解得或， 所以，的增区间是，减区间是，； （2）当时，，则， 当时，可化为， 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 当时，取最小值，所以， 当时，可化为， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取最大值，此时， 综上，的取值范围是. 【变式2】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，， 要证明，只要证，即证， 设，，则， 令得， 列表得 1 0 减 极小值 增 所以，即， 所以． (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，再按值分类讨论正负作答. （2）根据（1）的结论，构造函数，利用导数求出最小值，证明即可. （3）将不等式恒成立转化为，构造，利用导数求出最大值，进而得到的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，， ①当时，，在上单调递减； ②当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）略 （3）变形得，. 令，，， ， 在上单调递增，在上单调递减，所以 所以. 【变式3】（25-26高二下·河北·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再结合导数分和两类讨论，函数的单调性； （3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立．再构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以. ，所以曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． （2）因为函数，定义域为， 所以， 因为恒成立，所以 当时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由不等式化简得：， 因为，所以对任意恒成立． 令，则， ，，，所以， 所以在上单调递减， 因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 方法二：分离变量法+隐零点法 【典例1】（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)两个零点 (3)3 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 【典例2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数求单调区间即可； （2）易知时不符合题意，时，利用导数结合隐零点问题求解． 【详解】（1）当时，，． 由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，不满足题意． 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 所以 ，代入得到a的取值范围是． 【变式1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 【变式2】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断的单调性，并求出的极值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为；时，取得极小值 (3)2. 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数可得函数的单调区间，根据极值的概念可得极值； （3）分离参数，令，，求导根据导数及对勾函数性质可解. 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知. 令，则， 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即 所以在区间上单调递减； 当时，，即， 所以在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值. （3），即恒成立，等价于恒成立， 即恒成立. 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又在上单调递减，所以， 即，所以， 又因为，所以的最大值为2. 【变式3】（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数． (1)若的最大值为1，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）求导分析函数单调性和极值点，进而建立关于的方程求解即可；（2）参变分离，构造函数，求导分析函数单调，进而结合二阶导数分析一阶导数单调性和零点，再求解最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， 令，得， 令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减． 因为 ． （2）若恒成立， 即恒成立，即 即恒成立， 设， 则， 令， 则在上单调递增，易知， 即存在，使得， 即，则，两边取对数有，即， 即时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 则， 所以，即的取值范围为． 方法三：分离变量法+切线放缩法 【典例1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在时恒成立，求k的取值范围； (3)若在时恒成立，求k的最大值． 【答案】(1)时在R上单调递增，时在上单调递减，在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）求导，讨论参数，然后根据参数在不同范围内的情况判断函数的单调性. （2）由恒成立问题可知，，结合（1）中单调性判断. （3）将整理得，结合（1）中结论对进行讨论， 再结合恒成立问题求k的最大值. 【详解】（1）， ①时，，在R上单调递增； ②时，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，时在R上单调递增，时在上单调递减，在上单调递增． （2）易知，由（1）易得当时或即时，在上单调递增 此时，成立； 当 即时，在上单调递减，因此，矛盾． 综上所述，k的取值范围为． （3）即， 即即，即， 由（1）得时在上单调递减，在上单调递增，此时，即， 因此有， ①当即时，成立； ②当，有，此时若即可证明矛盾， 若则有，令，则有，， 因此在上存在使， 此时， 即与矛盾， 综上，，即k的最大值为． 【典例2】（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求证：； (2)当时，证明：； (3)若对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)由，得. 要证只要证 令，则 当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以则即 (2)当时，原不等式可化为， 设，则， 当时，单调递增； 当时，令， 则， 所以单调递增，所以，单调递减， 所以，原不等式得证. (3) 【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，即可证明； （2）原不等式可化为，利用导数求出的最小值即可得证； （3）求导得，令，则，分类讨论可求得的范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由已知可得， 令，求导可得， (1)当时，由，得，因此，满足题意. (2)当时，由，得，则在上单调递增. ①当时，，所以，即在单调递增， 所以在单调递增，所以， 则在上单调递增，所以满足题意. ②当时，，，则存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以不满足题意. 综上： 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数 ，若对任意恒成立，利用极点效应求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由且，可知端点处取得最小值．利用端点极值的单侧变化率得到的必要条件，再验证该条件的充分性． 【详解】由题意，，且对任意都有． 因此对任意，有． 令（），得． 因为，所以，即． 下面验证充分性． 当时，令． 设，， 则在上单调递增，则， 则； 又，所以，即． 若，则对任意，． 综上，实数的取值范围为． 【变式2】（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在原点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，证明：当时，． 【答案】(1)． (2) (3)证明：令，则． 令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，所以是增函数． 因为，所以在上恒成立， 即当时，在上恒成立． 令，则，所以是增函数． 因为，所以当时，，即． 因为，所以当时，，所以 ， 所以当时，． 【分析】（1）求导，代入计算得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）法一：对分和讨论即可；法二：分离参数得．再设新函数，求导得到右边最小值即可； （3）利用导数证明不等式，再合理放缩即可. 【详解】（1）当时，，， ，，所以曲线在原点处的切线方程为． （2）法一：，若在上单调递增，则在上恒成立． ①当时，在上恒成立．令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取得最小值，最小值为1，所以， ，符合题意； ②当时，令， 则． 因为在上单调递增，，所以当时，， 当时，，在上单调递减，在上单调递增． 要使得在上恒成立， 则，解得，结合，得． 综上，的取值范围为． 法二：．若在上单调递增， 则在上恒成立． 由，得．令，， 则，．令，则． 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，即． 当时，，，， 所以，即； 当时，，，， 所以，即． 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围为． （3）略 【变式3】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数（），. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2) 【分析】（1）先确定的定义域为，对求导，根据导数的符号判断单调区间； （2）将不等式变形为在时恒成立，构造新函数，问题转化为求的最小值，对求导，分析导数的零点，判断的单调性，进而求得的最小值. 【详解】（1）的定义域为，， 令得， 令得， 令得， ∴在单调递增，在单调递减. （2）若恒成立，即恒式立， 即， 即恒成立， 构造函数，，则， 令得，令得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴ 可知恒成立，当且仅当时等号成立， 令，，则恒成立， ∴在单调递增， ∵，， ∴使得成立， ∴， ∴， 所以. 方法四：分类讨论法 【典例1】（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先对求导，求出切线的斜率，然后点斜式写出切线方程. （2）将不等式恒成立问题转化成求函数最小值问题，然后分情况讨论求的最小值. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 即 （2）当时，不等式恒成立，只需即可， 当时，，， 函数在上单调递减，而，与题意矛盾，故. 当时，，， 函数在上单调递增，所以，所以符合题意； 当时，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，与题意矛盾； 当时，函数在上单调递增，所以， 所以符合题意，综上所述，实数的取值范围为. 【典例2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为 (3) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，再分类讨论，根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （3）当时，不等式恒成立，只需即可，结合（2）求出函数的最小值即可得解. 【详解】（1）当时，， 则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 令，则，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为； 当时，， 令，则或， 当且，即时，， 所以函数的增区间为，无减区间； 当且，即时， 令，则或，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为； 当且，即时， 令，则或，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为； （3）当时，不等式恒成立， 只需即可， 由（2）得，当时，函数在上单调递减， 而，与题意矛盾，故； 当时，函数在上单调递增， 所以，所以符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，与题意矛盾； 当时，函数在上单调递增， 所以，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式1】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数（）． (1)当时，求在的值域； (2)若是增函数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导判断函数单调性，进而求出函数的最值，得解； （2）由题意问题转化为对恒成立，即，分，，讨论分离参数，利用导数求出最值得解. 【详解】（1）当时，， 则，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在的值域为. （2），， 因为是上的增函数，所以对恒成立， 所以，即， 当时，上式对恒成立； 当时，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，故，即； 当时，， 由，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，故，即； 综上，的取值范围为. 【变式2】（25-26高二下·广东佛山·期末）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)若，在上单调递增；若，在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）对函数求导，利用导数与单调性关系讨论即可. （2）将恒成立问题转化为最值问题，结合（1）的单调性结论，分情况讨论区间内的最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，对其求导得，， 当时，恒成立，因此恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递增， 若，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，因此在上也单调递增， 此时对任意，有， 满足恒成立， 当，在处取得极小值， 根据极小值点与区间的位置关系， 当，即时，在上单调递增， 因此在上的最小值大于， 满足恒成立， 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 因此区间内的最小值为， 要使恒成立，需最小值非负，即，则 令（），求导得， 当时，，故在上单调递增。 又，因此的解为， 结合前提，得， 综上的取值范围为. 【变式3】（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知函数，． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； (2) 【分析】（1）先求导得到，分、两种情况，依据导函数的正负判断原函数的单调性，进而划分出单调区间； （2）法1：借助 (1) 得到的单调性结论，分、、三类讨论：举反例推翻，直接验证成立，求出函数最小值并令最小值解出的范围，最终整合得到取值范围；法2：对、、分类参数分离构造函数，通过求导分析单调性得到不同区间下的最值与极限情况，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得， 当时，，函数在R上单调递减． 当时，令，得， 因在R上单调递增， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述：当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； （2）法1：当时，由（1）知在R上单调递减， ，与恒成立矛盾． 当时，恒成立． 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 令，得． 综上，实数a的取值范围是． 法2：由恒成立，得． 当时，恒成立． 当时，由恒成立，可得恒成立； 当时，由恒成立，可得恒成立； 设，则， 令得，故当时，，在上单调递减， 故当或时，，在，上单调递增， 所以当时，的最小值为，此时． 当时，，且当时，，此时 综上，a的取值范围是． 方法五：等价转化法（左减右构造函数） 【典例1】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知，其中. (1)当时，求函数在的切线方程； (2)函数，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可； （2）将不等式化为对任意的恒成立，构造函数并求出其最大值，即可得的取值范围为. 【详解】（1）当时，， 则，所以， 又， 所以切线方程为，即； （2）不等式即为， 可得对任意的恒成立， 所以，， 令， 则，令，解得； 当时，，因此在上单调递增， 当时，，因此在上单调递减， 所以在时取得极大值，也是最大值，即， 因此，即的取值范围为. 【典例2】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求得函数的单调区间； （3）根据题意，把不等式转化为恒成立，令，得到对任意恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）解：当时，函数，可得， 可得，且， 所以切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 当时，可得恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上可得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）解：函数， 由不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，其中，原不等式即为对任意恒成立， 令，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，当时，取得最小值，最小值为， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 【变式1】已知，设，求证：当时，恒成立. 【答案】要证当时，恒成立 ，， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，则. 再令，则，当时，， 所以在上单调递增，则. 又，，则，即， 所以当时，恒成立. 【分析】转化问题为证明时，即可，分别构造和，利用导数研究这两个函数的单调性，再结合，的已知条件，即可得出证明. 【详解】略 【变式2】已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先设恒成立，再找出是它成立的一个必要条件，再通过对进行放缩，并证明充分性即可. 【详解】设， 由题知恒成立，所以恒成立， 解得，所以是成立的必要条件， 当时，因为，， 时，恒成立，即在单调递增， 时，恒成立，即在单调递减， 所以时有最大值0， 即恒成立，即恒成立， 则， 即恒成立， 综上，实数的取值范围是. 【变式3】（26-27高二上·福建莆田·开学考试）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)当，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减区间是，无单调递增区间；当时，单调递增区间是，单调递减区间是. (2)要证时，，等价于证明，即证，也即证， 令，求导得，令，得， 当时，，则，故，在上单调递增， 因此，即，所以恒成立， 故在时成立. (3) 【分析】（1）对函数求导后通分，依据参数的正负讨论导数符号，以此划分区间得到f(x)的单调性； （2）将等价变形为，构造辅助函数利用导数证明该指数不等式； （3）构造差值函数，以为界分类讨论，借助前两问单调性结论，排除不合要求的参数，得到的取值范围. 【详解】（1）的定义域为， 若，则恒成立，即，故在上单调递减； 若，令，解得或（舍）， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上，当时，单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，单调递增区间是，单调递减区间是. （2）略 （3）当时，即，整理得， 令，则，， 若，则，又时，且由（2）的结论可得， 所以， 因此在上单调递增，所以，满足， 若，则，由（1）可知在单调递减， 所以，而时，，不满足； 若，在上单调递减，，而，不满足； 综上，的取值范围是. 三、专项训练 1．（26-27高三上·江苏·期中）已知函数，，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将函数不等式化成，指对同构令，再构造函数，利用导数分析单调性和最值可得． 【详解】由，得，即，即， 因为，令，，则，所以． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则． 2．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的最大值，结合函数不等式恒成立，即可得参数范围. 【详解】由，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， 要使恒成立，必须且只需， 因此实数的取值范围为. 3．（2026高三上·全国·专题练习）已知，，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况进行讨论；通过分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】等价于. 当时，不等式可化为，显然成立. 当时，因为，所以，故只需，即. 令，则. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为，所以. 又，所以. 当时，因为，所以，故只需恒成立. 由于，故不恒成立. 综上，实数的取值范围为. 4．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知，恒成立，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离变量得，令，利用导数求得最小值即可. 【详解】由恒成立，可得恒成立， 又，所以恒成立，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以a 的取值范围为. 5．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知，若当时，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C．e D． 【答案】B 【分析】构造辅助函数，求导得到最大值点，将恒成立转化为最大值小于等于 0，再构造关于参数的新函数研究单调性求得参数的范围，从而得到最大值. 【详解】由题意，当时，恒成立， 构造函数，则， 分母，令，得，所以， ，，单调递增，，，单调递减， 所以在处取得最大值，要恒成立， 只需最大值， 设,则，   令,得， ，， 单调递减，，， 单调递增， 且，当，结合单调性知，，不满足， 的最大值为. 6．（25-26高二下·河北唐山·期中）若不等式对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，然后利用导数研究其单调性，求出的最小值，最后根据最小值大于等于0来确定实数的取值范围. 【详解】令，则. 当时，，此时在上单调递增，且，此时不满足对任意实数恒成立. 当时，，不满足对任意实数恒成立. 当时，令，得. 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，. 要使对任意实数恒成立，则，即. 令，，令，则. 当，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. ，因此，当且仅当时，，即成立. 综上，实数的取值范围是. 7．（25-26高二下·四川成都·期中）若，恒成立，则的最大整数值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定时的情况，当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可. 【详解】当时，，不等式成立，； 当时，恒成立，即， 令，则， 令，，则， 则在上单调递增，所以，即. 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，所以； 综上，故的最大整数值为. 8．（25-26高二下·山东枣庄·期中）已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设,由题意得，令，则，所以函数是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，运用配方法求出函数在上的最大值即可． 【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,不妨设 所以，即， 令，则，所以函数在上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 又函数，当时，等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是． 二、填空题 9．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先对恒成立不等式进行参变分离，变形为在上恒成立，转化为求函数在区间上的最大值，只要大于等于这个最大值即可. 【详解】由不等式对恒成立，得对恒成立， 令，，则， 令，，则，恒成立， 所以在上单调递减， 当时，，即，所以在上单调递增， 当时，，即，所以在上单调递减. 所以， 因此，即的取值范围是． 10．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分离参数，构造函数，利用导数求出函数的单调性及最值，根据恒成立问题即可求解. 【详解】对恒成立， 令，，， 所以在上单调递减，且，所以， 所以. 11．（25-26高二下·上海·期中）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】同构变形给定不等式，构造函数并利用导数确定单调性建立不等式，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】不等式 由，得，令函数，求导得， 函数在上单调递增，不等式 ，令函数，依题意，对，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以的取值范围是. 三、解答题 12．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2)当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． (3) 【分析】（1）代入后求导，由导函数符号得单调区间，确定极小值点与极小值，无极大值； （2）求导后分子为，讨论与两种情况，分别得单调区间； （3）分离参数得，构造函数求最大值，由恒成立条件得参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以，. 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以，在处取得极小值，无极大值. （2）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以在单调递增； 当时，令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （3）因为对任意的，都有恒成立，所以，即， 令，，则， 令，得， 令，解得，故在单调递增， 令，解得，故在单调递减， 所以在处取得唯一的极大值，所以， 故当时，对任意的，恒成立，即恒成立． 13．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）利用导数求单调区间即可； （2）参变分离得，令，再利用导数求的最小值即可. 【详解】（1）当时， ， 当时，；当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由，得，即， 令，依题意m小于的最小值， ，当时，，当时，， 故在上单调减，在上单调递增， 故的最小值为，故. 14．（吉林省吉林市普通中学2027届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求实数的最大值； (3)若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据切线的几何意义，先求出切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程即可； （2）由恒成立，则且，求出在上的最小值和最大值，即可求出的最大值； （3）对不等式进行变形，利用同构函数，参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出的取值范围即可. 【详解】（1），在处切线斜率， ，∴切点为， ∴曲线在处切线方程为，即； （2）对任意恒成立，则且， 由（1）知，令，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，且， ． 且，，， 即当且时，实数的最大值为； （3）由题可知，对任意恒成立． ，，． 设，，，则在上单调递减， ，， ，即在上恒成立． 设（），则， ，令，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，， ，即正实数k的取值范围是． 15．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)令，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值． (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减． (3) 【分析】（1）当时，求导，利用导数分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分、、三种情况讨论，利用分离参数法可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，且， 令得，列表如下： 减 极小值 增 当时，取极小值，无极大值． （2）． ①当时，则，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令得，令得或， 故在、上单调递增，在上单调递减； ③当时，（仅处取等），故在上单调递增； ④当时，令得，令得或， 故在、上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减． （3）， ①当时，对任意的恒成立，符合题意； ②当时，由，可得，即， 令，其中，则， 求导得， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，无最小值，此时不合乎题意； ③当时，由，可得，即， 所以，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16．（26-27高三上·内蒙古包头·期中）已知，． (1)求的极小值； (2)若方程有两个不相等的实数根，． ①求a的取值范围； ②若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据函数导数，判断函数单调区间，进而确定函数极小值点，直接求出结果即可； （2）①根据方程的根和函数零点的关系，根据方程构造函数，求出函数单调性，判断函数最小值，进而说明参数范围； ②根据不等式恒成立的条件，构造函数，根据函数导数和基本不等式，判断函数最小值，进而说明参数范围. 【详解】（1）定义域为，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在处取得极小值，可知. （2）①方程等价于， 设，问题转化为与有两个交点， ，时，， 令，，所以在上单调递增， 且，故存在唯一满足，即， 并且当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可知， 又因为和时，，所以当时方程有两个不等实根． 故a的取值范围为． ②原方程变形得：，设，则方程变为， 设两根为，，则，且满足 不妨设，下面证明， 令，则不等式变形为， 令，， 所以在上单调递增，所以， 即不等式成立，变形可得， 可得，要使不等式恒成立，只需， 故k的取值范围为． 17．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调性； (2)若，证明：仅有和两个零点； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)当时，， ， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， 又，， 则有2个零点，设为， 则 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 时，，时，， 故仅有和两个零点； (3) 【分析】（1）把代入得，再利用导数确定函数单调性即可； （2）代入得，求导并令，求导，然后根据函数单调性推导即可证明； （3）分、、三种情况，结合（2）的结论讨论求解． 【详解】（1）当时，，， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故在上单调递增，在上单调递减； （2）略 （3）①当时，，，又，则， 当时，，故不符合题意； ②当时，， 令，，， 则的解为， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又，， 时，， 此时， 则， 故时，不符合题意； ③当时， 由②可知， 由（2）知，时，函数 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则时，恒成立， 即时，， 综上，实数的取值范围是． 18．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，． (1)若，讨论的单调性； (2)若关于的不等式恒成立，求的最大值； (3)若存在唯一的正数，使得在上恒成立，求的值． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)． 【分析】（1）直接利用导数判断函数的单调性可得； （2）先用导数求得函数的最大值，进而将问题转化为，再构造函数，，再用导数判断函数单调性及函数的零点，从而可得的最大值； （3）先将不等式化简构造为，先通过端点效应得及，对求导得极值点，根据极值点是否在内分两种情况讨论：当，记，要使恒成立，即且有唯一解，通过导数判断得；当，利用唯一性排除可得. 【详解】（1）若时，，其定义域为，， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）由题意知，的定义域为，，      令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以. 要使恒成立，则，即恒成立. 设，，则， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，      所以当时，，不符合；当时，，符合题意. 要使恒成立，则的最大值为. 因此的最大值为. （3）不等式化为在上恒成立． 设． 因为对任意，恒成立， 当，必有，即. 当时，，即，故． ，令，得. 因为函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增，在上单调递减， ．      设，． 欲存在唯一的正数，使得，只需，且取得最小值时的值唯一． ，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，解得. 当时，，则在上单调递减， 欲满足题意，则，解得，故． 若且给定，显然满足的值不唯一， 若，则满足的为．      但当时，， 由（2）知，当时，均有，故的值不唯一． 若，则，不存在满足. 综上所述，． 19．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值． (2) (3)． 【分析】（1）利用导数法求出的单调性，利用单调性得到极值． （2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到一个关于的等式，将切点代入得到另一个关于的等式，这两个等式相减得到的方程，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到所求. （3）由对任意的恒成立，得到，构造函数，利用恒成立得到，解得的范围．通过放缩法得到，构造函数，求导，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． （2）直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． （3），， 因为对任意的恒成立， 所以， 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 又，则由，由， 所以在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 20．（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知函数. (1)求函数的极值； (2)证明：； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，且无极小值 (2)由（1）知，即，则（当且仅当时取等号）， 令（其中）， 因为，所以等号不成立，有， 所以， 因此，得证毕. (3) 【分析】（1）利用导数研究函数的极值即可； （2）结合（1）有，再应用放缩、累加及对数的运算性质、等比数列的前n项和公式证明即可； （3）问题化为恒成立，再应用导数研究右侧的最小值，即可得范围. 【详解】（1）函数定义域为， 求导，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此，函数极大值为，且无极小值； （2）略 （3）若恒成立，即对恒成立， 变形得，其中，则， 令，则只需， 求导， 令，得，即， 因为在上为增函数， 且， 故该方程的唯一正根为且，则，则①， 构造，则①等价于，求导得， 因为，所以，即在上单调递增，所以， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以最小值为， 所以 ，要使恒成立，则， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第三问注意将问题转化为恒成立，再应用导数研究最值. 学科网（北京）股份有限公司 $专题05利用导函数研究恒成立问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍..... 二、典型题型. 方法一：分离变量法+最值法... ....2 方法二：分离变量法+隐零点法.. 方法三：分离变量法+切线放缩法 ….7 方法四：分类讨论法... 方法五：等价转化法（左减右构造函数）.......…12 三、专项训练.… ..14 一、必备秘籍 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一 个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式： 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)mx;若a<f(x)对x∈D恒成 立，则只需a<f(x)min ③求最值， 二、典型题型 方法一：分离变量法+最值法 【典例1】(2026·重庆渝中模拟预测)已知函数f(x)=mx+xx(meR) ()当m=1时，求函数f(x)的极值： (2)若f(x)>(2m-)x-m对任意x>1恒成立，求整数m的最大值. 【典例2】(26-27高三上上海宝山阶段检测)设f(,=nx+ac-1,x>0 ()当a=-1时，求函数y=f在区间e,的最小值： (2)对任意的x∈(0，+∞)，都有f()≤x,求实数a的取值范围. 【变式1】(25-26高二下山东青岛期末)设函数f(x)=-2ae(x+1)+x2+4x+2. (1)当a=1时，求f(x)单调区间： (2)若x≥-2时，f(x)≤0，求a的范围. 【变式2】(25-26高二下·安徽合肥期末)己知函数f(x)=ax2-21hx. ()讨论函数∫(x)的单调性： 2求证：当a>0时，f()22- a: 3)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 【变式3】(2526高二下河北期未末)已知函数f()-2m+(a-2k-2hx,aeR ()当a=2时，求曲线y=f()在点(f()处的切线方程； (2)讨论函数∫(x)的单调性； B)若f()>a对任忘xcB,o恒成立，求实数，的取值范国。 方法二：分离变量法+隐零点法 【典例1】(25-26高三下·云南阶段检测)己知函数f(x)=x-x-2. (1)求曲线y=f(x)在点（山f()处的切线方程： (2)判断函数f(x)的零点个数； 3)若对任意的x∈(L,+o),都有xnx+x>k(x-l)成立，求整数k的最大值. 【典例2】(2026内蒙古鄂尔多斯二模)已知西数f()=(x-alx+号，共中a≥0 (1)当a=0时，求函数f()的单调区间： (2)若f(w)≥0，求a的取值范围. 【变式1】(2026宁夏银川模拟预测)己知函数f(x)=e+a,g(x)=a+ln(x+a) (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)当a=0时，若不等式f(x)≥g(x)+mx+1恒成立，求实数m的取值范围. 【变式2】(25-26高三下·云南楚雄阶段检测)已知函数f(:)=e-ln(x+a)(aeZ) (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(O》处的切线方程： (2)当a=1时，判断f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； 3)若f(x)≥0，求a的最大值： 【变式3】(2526高下河北张家口阶段检测)已知函数/y)=4+,aeR (1)若f(x)的最大值为1，求a的值： 2)若f(x)≤e-l恒成立，求a的取值范围. 方法三：分离变量法+切线放缩法 【典例1】(26-27高三上湖北阶段检测)已知函数f(x)=e-c (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)≥1在x∈[0，+o)时恒成立，求k的取值范围： (3)若f(x)≥e2x(x-lhx)在x∈(0，+o)时恒成立，求k的最大值. 【典例2】(26-27高三上·天津河西·阶段检测)已知函数f(x)=xe*+asinx. a当。=0时，求证：x+1, 当a=号时.正：21+e[写： 2 (3)若f()>0对x∈(0，恒成立，求实数a的取值范围. 【变式1】(2627高三全国一轮复习)已知函数f八)=e-r-ax-1,若20对 任意x≥0恒成立，利用极点效应求实数a的取值范围. 【变式2】(2627高三上山东吉岛阶段检测已知函数f)=e--i-1 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在原点处的切线方程： (2)若f(,)在-22上单调递增，求。的取值范围： (3)当0≤a≤1时，证明：当x>0时，f(x)>0 【变式3】(25-26高二下安徽合肥期末)己知函数f()=a+1血x (aeR). g(x)=e*-1 (1)求f(x)的单调区间： 2)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围。 方法四：分类讨论法 【奥例1】(2627高三上河南郑州阶段检测已知通数f()=(0+小x+今xk≥0) ()当k=2时，求曲线y=f()在点（凸(）处的切线方程： (2)当x∈[0，+∞)时，不等式f(x)≥0恒成立，求实数k的取值范围. 【典例2】(2627高三上北京西城阶段检测)已知西数f()=1+-x+今(：≥0) (1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(，f()处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间. (3)当x∈[0，+o)时，不等式f(x)≥0恒成立，求实数k的取值范围. 【变式1】(26-27高三上吉林长春阶段检测)已知函数f(x)=(2x-)e-2(a∈R ) (1)当a=0时，求y=f(x)在x∈[l,0]的值域： (2)若f(x)是增函数，求a的取值范围。 【变式2】(25-26高二下广东佛山期末)己知函数f(x)=e-a(x+)+e,其中aeR. (1)讨论f(x)的单调性； (2当x>-1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 【变式3】(25-26高二下福建龙岩期未)己知函数f(x)=e2+,a∈R. ()求f(x)的单调区间： 2)若f(x)≥20恒成立，求a的取值范围. 方法五：等价转化法（左减右构造函数) 【典例1】(25-26高二下天洋静海阶段检测已知f()=nx-号x2-(a-)x,其中 a∈R (1)当a=-2时，求函数f()在(，f()》的切线方程： 2)函数8()-x,若不等式了因5g对任意的x(0,四)恒成立，求。的取值范 围 【典例2】(2627高三上江苏无锡阶段检测)已知函数 f(x)=ax-3a-Inx,g(x)=-xe*+(a+1)x-5. (1)当a=2时，求函数f(x)在f()处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若不等式f(x)≥g(x)对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围. 【变式1】已知f(x)=xlhx+(2-a)x+a-l,g(x)=er2-xe*+x,设a<2,求证：当x>1 时，f)>g()恒成立. 【变式2】己知函数f)=anx,g(x)=x-(2-a)x2,若f)≤g()恒成立，求实数a 的取值范围。 【变式】(2627商二上福建前日开学考试)设函数f付-m-a-r,&()-士。 (1)讨论f(x)的单调性； 2)证明：当x>1时，g(x)>0, 3)当xe(L,+∞)，f(x)>g(),求a的取值范围. 三、专项训练 1.（2627商三上江苏期中)已知函数f(闪)=mx-e,g)-2, xe,若x>0? f(x)≥g(x),则m的取值范围为() [0.[) C.(Le] D.（-o,e] 2.(26-27高三上河北承德·阶段检测)己知函数f(x)=xsinx+cosx, 都有f(x)<t成立，则实数1的取值范围为() π3m B.22 D (经m 3.(2026高三上全国专题练习)已知f(x)=r+1,8(x)=e-er,若关于x的不等式 f(x)g(x)≥0在(0，+o)上恒成立，则实数a的取值范围为() A.[-1, B.[0, c.[o,e) D.[0,e 4.(26-27高三上·湖南阶段检测)已知x≥1，e-ax-1≥0恒成立，则a的取值范围为 () A.（-o,e-1] B.(0,e c.(0,e-] D.（-o,e] 5.(26-27高三上湖南衡阳开学考试)已知a>0,若当x>-a时，n(a+)≤心恒成立， 则a的最大值为() A日 2 B.1 C.e .2 6.(25-26高二下河北唐山期中)若不等式-心-1≥0对任意的实数x恒成立，求实数 a的取值范围() A.a=1 B.0≤a≤1 c.a=0 D.a≥0 7.(25-26高二下四川成都期中)若x∈[0，+∞），x2+a+1≤e恒成立，则a的最大整数 值为() A.3 B.2 c.1 D.0 8.(25-26高二下山东枣庄期中)已知函数f(:)=x+l血x,若对任意两个不相等的正 f()-f1,则实数，的取值范围是（） 实数x”,都有-为 A[及）®.(g e. 0 [goj 二、填空题 9.(26-27高三上·四川南充阶段检测)己知不等式mx+1-sir≥0对x∈(0，)恒成立， 则实数m的取值范围是 10.(26-27高三上黑龙江阶段检测)已知不等式m+x-sinx≥0对x∈[0，+)恒成立， 则实数m的取值范围是 11.(25-26高二下·上海期中)设实数1>0，若对任意x∈(，+∞)，不等式 e-(2+l)x+lnx之0恒成立，则2的取值范围是 三、解答题 12.(2526商二下寸东溜州期未)已知函数f(=hx+1, (1)当a=e时，求f(x)的极值： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若对任意的x∈(0，+∞），都有f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 13.(25-26高二下湖北随州期末)已知函数()=mr-x血r+1. (1)当m=2时，求f()的单调区间： (2)若对任意的x>0,f)<2恒成立，求m的取值范围。 14.(吉林省吉林市普通中学2027届高三上学期第一次调研测试数学试题)已知函数 f(x)=Inx-2x+1 (1)求曲线y=f()在x=1处的切线方程： (2)若a≤f(x)sb对任意x [】恒胶立。来实数。6的最大位。 3)若f(x)-1≥：c-2e“对任意x∈[1，+∞)恒成立，求正实数k的取值范围. 15.(26,27高=上江苏阶段检)已知图数-+(a-lhx,aeR ()若a=0,求函数f(x)的极值： (2)讨论函数∫(x)的单调性： 3)令g(x)=f(x)+a,若g(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 16.(26-27高三上内蒙古包头期中)已知f(x)=xe,g(x)=lnx+x+a(a∈R) (1)求f(x)的极小值： (2)若方程f()=g()有两个不相等的实数根，x. ①求a的取值范围； 1 ®若)之恒成立，求实数k的取值范围， 17.(2627高三上山东临沂阶段检测)已知函数f()-(me+e2-2m小r-2+号 (1)若m=0,求f(x)的单调性： (2)若m=1,证明：f(x)仅有0和2两个零点： 3)当x≥0时，f(x)20恒成立，求实数m的取值范围. 18.(26-27高三上安徽阶段检测)已知函数f(x)=h(a+x)-am,a>0. (1)若a=1,讨论f(x)的单调性： (2)若关于x的不等式f(x)≤0恒成立，求a的最大值： 3)若存在唯一的正数a,使得f(x)≤a(2-l)x在x∈(0，+o)上恒成立，求元的值. 19.（26-27高三上陕西榆林阶段检测)已知函数f()=4hx x g(x)=2nx+a-L(aeR)】 (1)求函数∫(x)的极值： (2)若直线y=5x-4与曲线y=(x)相切，求a的值： 3)若f(x)≤g(x)对任意的x∈(0，+o)恒成立，求a的取值范围. 20.(26-27高三上四川成都开学考试)已知函数f(x)=lr-x+1. (1)求函数f(x)的极值： 2)证明： (e 8). (3)若f()≤xe-mr恒成立，求实数m的取值范围.