重难点专训03 利用导函数研究恒成立问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以参变分离与分类讨论为核心，构建恒成立与能成立问题的系统性解题方法，通过典例变式与分层训练实现知识逻辑与解题能力的双重突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|含步骤/易错点|参变分离优先，分类讨论辅助，结合函数最值，明确步骤与易错点|从核心思路到操作步骤，构建方法框架| |题型通法及变式提升|题型1（典例2+变式2）、题型2（典例2+变式2）|恒成立求最值上限/下限，能成立求最值下限/上限，对比辨析逻辑差异|方法→题型应用→变式拓展，强化数学思维| |重难专题分层过关练|巩固10题+创新10题|综合运用分离参数与分类讨论，结合导数分析单调性、极值|基础巩固到创新提升，培养应用意识，形成完整能力链条|

重难点专训03 利用导函数研究恒成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 恒成立问题 2 题型2 能成立（有解）问题 10 重难专题分层过关练 16 巩固过关 17 创新提升 37 解题方法及技巧提炼 解决恒成立与能成立核心思路为参变分离、分类讨论，结合函数最值求解。恒成立问题：若(a>f(x)\)恒成立，只需(a>f(x)max)；(a<f(x))恒成立，则(a<f(x)min)。能成立（存在性）恰好相反，(a>f(x))有解只需(a>f(x)min)，(a<f(x))有解只需(a<f(x)max)。 优先使用参变分离，简化参数讨论，分离后构造新函数，求导分析单调性、极值，算出区间最值。含参无法分离时，对参数分段讨论，结合导函数零点划分区间，判断原函数增减，锁定最值位置。 易错点：务必标注定义域；端点、极值点都要对比取值；区分恒成立与能成立最值逻辑，切勿混淆。复杂题型可二次构造函数，结合放缩、数形结合辅助判断，大题书写规范写出导数、单调区间、最值推导步骤，避免直接给出结论失分。 总方针：分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 1.恒成立问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2.能成立（有解）问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 题型通法及变式提升 题型1 恒成立问题 【典例1-1】（2026·天津河西·三模）已知，函数，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】需对和分别分析，通过变量替换令简化计算、求函数最值确定的范围，即可得出结果. 【详解】令，则，当时，，，；当时，，，. 不等式化简为：时：①；时：②. 分析(即)的情况： 将②变形为，需求的最小值. 令，则 所以，令，解得. 代入，得. 因此，式②恒成立的条件是：. 分析(即)的情况： 将式①分为、和讨论： (1)时，不等式为恒成立； (2)，不等式变为，需求的最小值. 对求导(或代数变形)，得极值点，代入得. 因此，时， (3)，若，右边，不等式恒成立； 若，右边，不等式变形为，需求的最大值. 对求导，得极值点，代入得. 因此，时，. 综合所有条件 由时，；时，. 综上的取值范围是. 恒成立问题常见处理方法：①分离参数，化为 或 对定义域内所有 成立，转化为求 的最大值或最小值；②直接构造新函数 ，利用导数求其最小值，令最小值 （或 ）。若参数不可分离，则需对参数分类讨论，结合导数零点划分单调区间，最终通过最值条件求解。注意端点及定义域的限制。 【典例1-2】（2026·天津南开·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)，都有 ， （ⅰ）求取值的集合； （ⅱ）设在点处的切线交轴于点，，若， ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， ， 分母，导数符号由分子决定： 当时，恒成立，故在和上单调递增； 当时，，此时，为常函数，无单调性； 当时，恒成立，故在和上单调递减； （2）(i)令，则题意等价于对恒成立， ， ， 分母，故的符号由分子决定， 分情况讨论： 当时： 对，，故在上单调递减； 当时，，因此，与恒成立矛盾，舍去； 当时： 令，得，，符合定义域， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故在处取得最大值，需满足， 代入计算最大值：， 令，则上式变为， 对求导：， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故在处取得最小值，即对成立，当且仅当时取等号， 因此，的唯一解为，即， 综上，取值的集合为； (ii) 由(i)知，， 在点处的切线方程为：， 切线交轴于，代入解得：， 整理得：， 令，则：， 已知，故， 由递推式得， 当： 左边：； 右边：； 左右相等； 假设当时，结论成立，即：， 根据递推公式：， 将归纳假设代入：，， 即：，故时结论也成立； 故对任意自然数，恒有， 由，得，且， 由，得：， 求和得：, 代入，得： 因，故，因此：得证． 【变式1-1】（2026·天津和平·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. (3) 【详解】（1）当时，，则， ，则， 所以当时，曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， 则， 当时，对任意的，恒成立， 此时函数的增区间为，无减区间； 当时，对于函数，. 若时，即当时，对任意的，， 此时函数的增区间为，无减区间； 若时，即当时，由可得， 由可得或， 此时函数的减区间为， 增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （3）因为不等式对任意恒成立，则， 因为，则，所以，则， 即， 令，所以， 令，，则， 令，其中， 则， 由（2）知，当时，函数在上为增函数， 因为，则， 所以， 即函数在上为增函数， 此时，则， 所以函数在上单调递增，则，所以， 故实数的取值范围是. 【变式1-2】（2026·天津南开·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求实数的最大值； (3)当时，证明． 【答案】(1) (2) (3)证明：当时，， 要证明，只需证明． 令，则，令，解得. 则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为. 则.所以． 只需证明． ①当时，不等式成立， ②时，只需证明， 令，则，进而，即. 令，则，所以单调递增，，即. 因为，所以时，． ③时，由得，即． 令， 所以在递减，因此，即． 因此，当时，成立． 【详解】（1）， 可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由得，① 当时，时，，①式不成立，所以． 令，由①得，即对任意恒成立， 令， 当时，时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 故，解得，所以的最大值为． （3）略 题型2 能成立（有解）问题 【典例2-1】（2025·天津北辰·三模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】等价转化为的整数解唯一，再对分和讨论即可. 【详解】存在唯一使 的整数解唯一， 令，则有有解，而绝对值不等式知， 当且仅当同号时等号成立，故此时异号，，图象如下所示： ①当时，，即有唯一整数解， （i）若，知过定点，， 令与相切，切点为，其中，， 易得，即，解得， 时， 无解. 时，若使有唯一解，而，故该解只能为或， 若解为，则有，即，解得，如图2所示， 若解为，有，即，无解，故舍去. （ii）若，知整数解为，此时有，即，解得， ②当时，，即有唯一整数解，由图（1）中①知该整数解为， 此时有，即，解得，即. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. “存在 使得不等式成立”等价于不等式对应函数的最值满足条件：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 。分离参数后： 有解 ⇔ ； 有解 ⇔ 。注意与恒成立问题的最值方向恰好相反。 【典例2-2】（2026·天津南开·二模）已知函数，. (1)求的最小值； (2)若，且，求证：； (3)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，从而即可求得最小值； （2）由（1）知，即，由，得，即，从而，再由对数函数的性质可得，从而得证； （3）依题意可得有两个不等正根，不妨设，由，得，设，利用导数可得，，令，由导数可得在上单调递减，结合（2）可得，令，利用导数得在上单调递减，从而得，， 即可得证. 【详解】（1）解：函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以在时取得最小值0. （2）证明：由（1）知，所以. 由，得且， 所以，即，从而. 所以. （3）证明：依题意，有两个不等正根，不妨设， 由，得. 设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 且当时，，可得，. ，， 令，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以在上单调递减. 因为，，所以，. 由（2）当时，有， 所以，即， 所以，从而. 令， 所以在上单调递减. 所以，即. 所以. 所以，. 所以. 【变式2-1】（2025·天津宁河·一模）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，求函数 当时， 所以在单调递增； 当时， 所以在单调递减； 综上函数在单调递增，在单调递减； （2）当时， 要证，只需证，即证明 令，则 当时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增 所以，即. （3）由题意，不等式有解，即不等式在上有解 等价于在上有解，则 设，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，所以. 设，， 设（），，由，得.所以在单调递减，在单调递增. 所以，则，所以在上单调递增 当时，，所以 综上，实数的取值范围是. 【变式2-2】（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； (3)若，正实数满足，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）∵，∴， 此时，， ，， 由得，由得， ∴的单调增区间为，单调减区间为， ∴有极大值为，无极小值； （2）由恒成立，得在上恒成立， 问题等价于在上恒成立. 令，只要. ∵. 令， ∵，∴在上单调递减. ∵，， ∴在(0，＋)上存在唯一的，使得，即， ∴. ∴当时，，g(x)单调递增， 当时，，g(x)单调递减， ∴，即， ∵，∴整数的最小值为； （3）由题可知，. 当时，，. ∵， ∴， ∴， 令，则由得，， 易知在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴， 解得成立. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津和平·二模）已知，函数（a，），. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知，. （ⅰ）若，分别是函数，的导函数，且在区间上恒成立，求实数m的取值范围； （ⅱ）已知，证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知时，， 即，故， 所以有k，，，令， 则（k，）， 所以 . 所以，. 【详解】（1）当，时，， 则，，， 所以， 故切线方程为. （2）（ⅰ）若，，，，， 由，得（）， 法一：令， 由，且，且可得. 下证对于时，恒成立. 将函数视为关于m的一次函数且单调递增， 所以， 故只需证成立，令， ，，， 当时，， 所以，故在单调递减， 当时，，所以在单调递增， ，因此存在，使得， 故在单调递减，在单调递增， 又因为，，有，故在上单调递增， 所以，在单调递减，在单调递增， 因此， 故恒成立，所以，当时，恒成立， 综上，实数m的取值范围. 法二：当时，： 当时，，设， ， 设，， 则时，，单调递增； 时，，单调递减. 而，，，所以在上存在唯一零点，设为， 则时，，，单调递增； 时，，，单调递减. 故在处取得最大值，在处取得最小值，所以， 综上，实数m的取值范围为. （ⅱ）略 2．（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分类讨论，当时不合题意，当时，由导数求得极小值，列出不等式求解即可； （2）设切点为，由已知切线方程列出方程组，由导数求解即可； （3）由切线放缩，构造函数，结合导数分类讨论的范围即可求解． 【详解】（1）， ①当时，，则单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去； ②当时，令，设， 在上，，在单调递减， 在上，，在单调递增， 所以的极小值为， 由已知，时，时，只须， 所以，即， 解得． （2），设切点为，由已知切线方程可知， 由代入下式得， 所以， 令，，由得， 因为， 所以在为单调递增函数，为方程的唯一解． 所以，． （3）， 设， ，令，得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即， 所以， 令，，令，， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ，解得， 显然当时，恒成立， 当时，，存在，不符合条件， 综上所述． 3．（2026·天津东丽·一模）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分、和讨论求解即可； （3）将问题转化为成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案. 【详解】（1）依题意， 所以, ，         又 函数在处的切线方程为， 即． （2）当， ①当时，，在单调递增，     ②当时，，在单调递减，      ③当时，令，解得 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减．           综上可知， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减 （3）由（2）可知， ， ， 故在单调递减， 又因为时，, 所以， 即，         因为，对，关于a的不等式恒成立， 所以，对，恒成立， 即成立，    令，                  因为 令在上单调递增 因为 所以，由零点存在定理，可知，使得，即．     当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以， 所以 4．（2026·天津红桥·一模）已知为正实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明如下： 先证右侧不等式，如下： 由（2）可得，当时，有， 可得，所以， 即， 则有； 即，右侧不等式得证； 左侧不等式证明如下： 构造函数，则在上恒成立； 即在上单调递减，可知， 可得，也即， 可得， 因此， 可得 又因为， 所以， 故，左侧得证； 综上可得，不等式成立. 【详解】（1）易知， 当时，，此时， 又， 所以切线方程为，即； （2）由（1）可知， 若，即时，， 此时函数在区间上单调递增， 因此，符合题意； 若，即， 当时，，函数在区间上单调递减， 此时，不合题意； 综上所述，的取值范围为. （3）略 5．（2026·天津南开·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 【答案】(1)(2) (3)，令，解得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，，所以有两个零点. 不妨设为，，且， 由，可得， 所以要证，即证， 即证. 而，则， 所以要证 ，即证， 即证， 而 ， 由于，故，则， 故 ， 所以，即得证. 【详解】（1），则切线的斜率为，所以. 从而，所以处的切线方程为 ，即. （2）时，由得， 整理得. 令，则， 由于为上的单调递增函数，且， 故当时，，则；当时，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为. （3）略 6．（2026·天津·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知是的导函数，若存在，使得对任意成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，且，求证：. 【答案】(1) (2) (3) 解法一：由（2）可得，在上单调递增，在上单调递减， 若有2个极值点，需满足，且. 因为有2个极值点， ， 所以等价于方程的两根为，且， 即方程的两根为， 令，则等价于方程的两根为， 所以，即 因为 令，则即证 因为，所以在上单调递增， 下证： ，所以可得 即，即证， 因为，即，因此即证， 令， 则， 因此在上单调递增，，所以得证. 因为，所以， 又发现且在上单调递增， 因此 即得证. 解法二：由（2）问可得，在上单调递增，在上单调递减， 若有2个极值点，需满足，且. 设 则， 令， 因为，所以， 故，即， 所以在上单调递增，故，所以在上单调递增， 故， 下证： 因为，即， 故， 又，所以，即， 因为在上单调递减， 所以， 又因为，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 且的两个零点为， 所以在上，即在上单调递增， 所以， 因为，即，且 所以， 故得证. 【详解】（1）当时，. 因为，所以，. 曲线在点处的切线方程. 即. （2）解法一：因为， 所以， 因为， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减 故在处取得最大值，最大值为. 因为存在，对于任意，都有 成立 所以，即 恒成立，等价于 ， 即对任意，恒成立. 设，则 令，则 . ①当时，因为，则显然有， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即对任意恒成立， 所以 满足题意; ②当时，令，解得：， 当时， ，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当 时， ，即不恒成立， 可知不合题意. 综上所述， . 解法二：由（1）得，， 所以，因为， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减 故在处取得最大值，最大值为. 因为存在，对于任意，都有成立 即恒成立，等价于， 即对任意恒成立. 即恒成立，令 令 ，令 ，因为，所以， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即 所以在上单调递增 由洛必达法则（如果直接使用洛必达法则求解且结果正确扣两分）. 所以，即. （3）略 7．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【答案】(1)(2)在区间上单调递增，在区间上单调递减(3)(4) 【详解】（1）由得：， 则，又由直线的斜率为， 根据题意可知：； （2）由（1）可知， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （3）当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的, 所以的最小值为； （4）因为存在两个不同的极值点 所以由可得： ，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故， 又由可得， 而 令， 则， ，即，， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 8．（2025·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 【答案】(1) (2) 在恒成立，在上单调递增. (3)令，则原不等式等价于 令 则 令， 则 由（2）知， 在恒成立 又在恒成立， 在单调递减， ， 在单调递减， ， 即， 【详解】（1）当时， 又 曲线在点处的切线方程为： 即． （2）略 （3）略 9．（2025·天津滨海新区·三模）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)(2) (3)证明：根据题意需要分析，，在上的大小关系． 设，则， 则在区间上单调递减， 所以，即． 令，，所以，， 所以， 所以． 再证明，其中， 设，， 设， 因为函数、在上均为单调递减， 则在区间内单调递减， 因为，， 所以，，使得， 当时，；当时，． 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又因为，，， ，使得， 当时，；当时，． 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减． 因为，， 所以在区间内恒成立． 令，所以， 所以，，，⋯，， 所以． 对，，所以， 所以 ， 所以得证． 综上， 【详解】（1）因为，所以，， 所以切线斜率为， 所以函数的在处的切线方程为，即； （2）若对，有，转化为， 即对都成立． 设， 因为，所以要使 必须满足，即，所以 下面证明时满足题意： 因为，，所以， 只需要证明即可． 设， 所以，且，． 先研究当时，设，， 因为函数、在上均为单调递减， 则在内单调递减， 又因为，， 所以，使得， 且当时，；当时，． 此时在内单调递增，在内单调递减， 又，，故对任意的，， 则在内单调递增，所以． 综上，当时，，即得，所以得证： （3）略 10．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 【答案】(1) (2) 易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. (3) 由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 创新提升 1．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 2．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1)；(2)； (3) 由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； （3）略 3．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； (3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1)(2).(3)［方法一］有2个不同零点，则，因， 故函数的零点一定为正数. 由于函数有2个不同零点，， ， 设， 记，易知定义域上单调递增，又， 所以当时，，；当时，， 即在单调递减，单调递增， 故，又由知， 则， 要证，只需， 因且关于的函数在上单调递增， 则 所以只需证， 只需证， 只需证在时恒成立， ，只需证在时为正， 由于，故函数在上单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. ［方法二］ 有2个不同零点， ，由得（其中） 且. 要证，只需证， 即证，只需证 又，所以，即 所以只需证，而， 所以，又，只需证 所以， 原命题得证. ［方法三］ 若， 同法二知有两个零点且 又，故进一步有 由可得且， 从而， 因为，所以，只需证 又因为在区间内单调递增， 故只需证，即， 注意时有，故不等式成立 【详解】（1）因，则，解得. （2）［方法一］当时，不等式可化为恒成立， 不妨设，则， 当，即时，则在R上单调递增， 此时当时，，与矛盾，不合题意； 当时，则； 当时，由，解得， 于是当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 故， 即， 由于，故， 于是，令， 则， 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减 所以，， 此时， 因此，当时，的最大值为. ［方法二］依题意，可得恒成立， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 又，所以存在，使得，所以不符题意； 当时，要使恒成立，则，所以； 当且时，在上恒成立， 又因， 故可转化为恒成立，即恒成立， 令，则， 但时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当且仅当时取得等号，即当时， 即的最大值为， 即当时，对任意满足恒成立， 所以当时，对任意恒成立， 当且时，， 所以的最大值为. （3）略 4．（2025·天津河东·二模）已知函数，，. (1)函数在点处的切线方程为，求a，b的值； (2)求函数的极值； (3)函数，若，证明：. 【答案】(1) (2)的极大值为，无极小值 (3)证明如下： 易知，则， 令，则，令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数的极大值为， 由已知，∴，，由（2）可知，证毕. 【详解】（1）易知，切线斜率为，所以， 由切线方程可得； （2）易知，， 令，即，∴， 令，∴， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值. （3）略 5（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由； (3)设，是的极小值点，且，证明：． 【答案】(1)； (2)存在，理由见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，，求导得：，，而，则， 所以在点处的切线方程是. （2）当时，，对于在中的任意一个常数，假定存在正数，使得成立， 显然有， 令，求导得：， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 则当时，， 令，求导得：，即在上单调递增， ，即， 所以存在正数，使得. （3）依题意，，求导得：， 令，，即在上单调递增， 因，当时，，即，函数在上单调递增，不存在极值， 当时，，，从而存在，使得，即， 当时，，，当时，，，因此，是函数的极小值点，满足， ，则， 因函数在上单调递减，而当时，，则由得， 令，求导得，当在上单调递减， ，，当且仅当时取“=”,即，， 于是得，，， 因此，， 所以. 6．（2026·天津东丽·阶段检测）已知函数，，集合． (1)求． (2)讨论函数在A上的单调性； (3)若命题“，”是假命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减.(3) 【详解】（1）， 则； （2），时，. 当时，在上单调递增； 当时，， 则此时在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. （3）由题可得""为真命题，即. ，则. 令，，， ， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 从而. 7．（2026·天津滨海新区·联考）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求的取值范围； (3)若，证明：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1），所以点处的切线斜率为， 又，所以切线方程为． （2）， 因为在上均为增函数， 所以在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若对任意，都有，则， 所以，a的取值范围为． （3）设，则， 由（2）可知， 所以当时，，故， 所以 ， 所以只需证，只需证， 只需证， 只需证， 令， 则只需证． 因为， 所以令， 因为，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递减， 又，所以， 故当时，． 8．（2026·天津·阶段检测）函数，若对恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，所以，所以， 所以， 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，所以 所以， 在处取得最小值，最小值为， 故. 9．（2026·天津南开·调研）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，过定点，对称轴为， 若时，， 解得：，所以； 若时，在单调递减，且，所以； 所以在恒成立，可得. 当时，恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以. 综上所述：的取值范围为. 10．（2026·天津武清·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求在上的最小值； (2)若，求证：； (3)当时，不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)法一；由已知， 因为函数在都是增函数，所以在上单调递增， 又， 所以存在，有， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 令，则 所以在上单调递增，即， 综上：当时，， 法二：令， 当，即时，（恒成立）． 当，即时，在时单调递增， ，令， 因为在上都为增函数，且， 所以当，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以， 当，即时，在时单调递减， 所以， 令，则， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增，所以， 综上：当时， (3)1 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 利用导函数研究恒成立问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 恒成立问题 2 题型2 能成立（有解）问题 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 解决恒成立与能成立核心思路为参变分离、分类讨论，结合函数最值求解。恒成立问题：若(a>f(x)\)恒成立，只需(a>f(x)max)；(a<f(x))恒成立，则(a<f(x)min)。能成立（存在性）恰好相反，(a>f(x))有解只需(a>f(x)min)，(a<f(x))有解只需(a<f(x)max)。 优先使用参变分离，简化参数讨论，分离后构造新函数，求导分析单调性、极值，算出区间最值。含参无法分离时，对参数分段讨论，结合导函数零点划分区间，判断原函数增减，锁定最值位置。 易错点：务必标注定义域；端点、极值点都要对比取值；区分恒成立与能成立最值逻辑，切勿混淆。复杂题型可二次构造函数，结合放缩、数形结合辅助判断，大题书写规范写出导数、单调区间、最值推导步骤，避免直接给出结论失分。 总方针：分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 1.恒成立问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2.能成立（有解）问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 题型通法及变式提升 题型1 恒成立问题 【典例1-1】（2026·天津河西·三模）已知，函数，若对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________． 恒成立问题常见处理方法：①分离参数，化为 或 对定义域内所有 成立，转化为求 的最大值或最小值；②直接构造新函数 ，利用导数求其最小值，令最小值 （或 ）。若参数不可分离，则需对参数分类讨论，结合导数零点划分单调区间，最终通过最值条件求解。注意端点及定义域的限制。 【典例1-2】（2026·天津南开·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)，都有 ， （ⅰ）求取值的集合； （ⅱ）设在点处的切线交轴于点，，若， ，求证： ． 【变式1-1】（2026·天津和平·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式1-2】（2026·天津南开·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求实数的最大值； (3)当时，证明． 题型2 能成立（有解）问题 【典例2-1】（2025·天津北辰·三模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是__________. “存在 使得不等式成立”等价于不等式对应函数的最值满足条件：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 。分离参数后： 有解 ⇔ ； 有解 ⇔ 。注意与恒成立问题的最值方向恰好相反。 【典例2-2】（2026·天津南开·二模）已知函数，. (1)求的最小值； (2)若，且，求证：； (3)若有两个极值点，证明：. 【变式2-1】（2025·天津宁河·一模）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【变式2-2】（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； (3)若，正实数满足，证明：. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津和平·二模）已知，函数（a，），. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知，. （ⅰ）若，分别是函数，的导函数，且在区间上恒成立，求实数m的取值范围； （ⅱ）已知，证明：. 2．（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 3．（2026·天津东丽·一模）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．（2026·天津红桥·一模）已知为正实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 5．（2026·天津南开·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 6．（2026·天津·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知是的导函数，若存在，使得对任意成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，且，求证：. 7．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 8．（2025·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 9．（2025·天津滨海新区·三模）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围； (3)证明：． 10．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 创新提升 1．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 3．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； (3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 4．（2025·天津河东·二模）已知函数，，. (1)函数在点处的切线方程为，求a，b的值； (2)求函数的极值； (3)函数，若，证明：. 5（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由； (3)设，是的极小值点，且，证明：． 6．（2026·天津东丽·阶段检测）已知函数，，集合． (1)求． (2)讨论函数在A上的单调性； (3)若命题“，”是假命题，求实数a的取值范围． 7．（2026·天津滨海新区·联考）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，都有，求的取值范围； (3)若，证明：. 8．（2026·天津·阶段检测）函数，若对恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·天津南开·调研）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·天津武清·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求在上的最小值； (2)若，求证：； (3)当时，不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $