专题研究19 利用导数研究恒成立、存在性问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题研究19　利用导数研究恒成立、存在性问题

1．已知函数f(x)＝x(ln x＋a－1)．

(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数g(x)＝f(x)－ax2在区间[2，3]上单调递减，求实数a的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

2．设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x(a∈R)．

(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

3．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－2ln x，a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)对于∀x∈[1，e]，∃b∈[2，＋∞)，使得f(x)≥b，求实数a的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

4．已知a∈R，f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝ax.

(1)若a＝－2，曲线y＝f(x)上一点P处的切线与直线y＝g(x)垂直，求点P坐标；

(2)若g(x)≥f(x)恒成立，求a的值．

5．已知函数f(x)＝ln x＋x＋1－axex(a∈R)．

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；

(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；

(3)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围

 

 

 

 

6.已知函数f（x）＝.当x≥1时，f（x）≤a（x－1），求a的取值范围.

 

 

 

 

 

 

7.已知函数f（x）＝ln x－.

（1）当a＝－1时，求f（x）的极值；

（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

 

 

 

 

 

 

8.已知函数f（x）＝x3＋x2＋ax.

（1）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，求实数a的最小值；

（2）若函数g（x）＝，对∀x1∈［，2］，∃x2∈［，2］，使f'（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围.

 

 

 

 

 

9.已知函数f（x）＝（a－1）x－2sin x.

（1）若函数f（x）有极值，求实数a的取值范围；

（2）若关于x的不等式f（x）＋x（1＋cos x）≤0在x∈［0，］上恒成立，求实数a的取值范围.

 

 

 

 

10.已知函数f(x)=ax2-bx+ln x(a,b∈R).

(1)若a=1,b=3,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)若b=0,不等式f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

 

 

11.已知函数f(x)=ex+a+cos x-sin x.

(1)当a=0时,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性;

(2)当x>0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

 

 

12.已知函数f(x)=ex-1-x.

(1)求证:对任意x∈R,f(x)≥0恒成立;

(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥a(x2-x-xln x)恒成立,求实数a的取值范围.

 

 

 

13.已知函数f(x)=mx2+(m-1)x-ln x(m∈R),g(x)=x2-+1.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当m>0时,若对任意的x1∈(0,+∞),总存在x2∈[1,+∞),使得f(x1)≥g(x2),求m的取值范围.