专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）（专题训练）-2027届高三数学二轮复习

专题03利用导函数图象研究函数的单调性问题 (含参讨论问题)（典型题型归类训练） 目录 一、必备秘籍. ....1 二、含参问题讨论单调性的原则.· 二、典型题型. ..2 题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型)....2 题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式 分解型.... 题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型....6 三、专项训练...… 一、必备秘籍 一、含参问题讨论单调性 第一步：求y=f(x)的定义域 第二步：求∫'()（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为g(x) 对于y=fx)进行求导得到f'(x),对∫'(x)初步处理（如通分），提出'(x)的恒正 部分，将该部分省略，留下的部分则为)的有效部分（如：f()=(x-r+2 x2 ,则记g(x)=x2-ar+2为f'(x)的有效部分).接下来就只需考虑导函数有效部分，只 有该部分决定'(x)的正负 第四步：确定导函数有效部分8(x)的类型： 1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型) 借助导函数有效部分g(x)的图象辅助解题： ①令g(x)=0,确定其零点x,并在x轴上标出 ②观察y=g(x)的单调性， ③根据①②画出草图 2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 借助导函数有效部分g(x)的图象辅助解题： ①对g(x)因式分解，令g(x)=0,确定其零点，2并在x轴上标出这两个零点 ②观察y=8(x)的开口方向， ③根据①②画出草图 3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ①对y=g(x),求△=b2-4aC ②分类讨论△≤0 ③对于△>0，利用求根公式求g(x)=0的两根x1,x2 ④判断两根x1,X2是否在定义域内：对称轴+端点正负 ⑤画出y=g(x)草图 二、含参问题讨论单调性的原则 1、最高项系数含参，从0开始讨论 2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论 3、考虑根是否在定义域内 二、典型题型 题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型) 【典例1】(26-27高三上湖南长沙阶段检测)已知函数f()=e+c+2 3π ()若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为4，求a的值： (2)求函数f(x)的单调区间. 【典例2】(25-26高二下·重庆阶段检测)已知函数f(x)=nxr-ar. (1)当a=1时，求f(x)在区间，3上的最小值和最大值： 2)求f(x)的单调区间. 【变式1】已知函数f(x)=e1-ax」 ()当a=l时，曲线y=fw)的一条切线方程为y=x+b,求实数b的值： (2)求函数f:的单调区间. 【变式2】(25-26高二下山东潍坊期末)己知函数f()=x-n(x-1)+b (1)若曲线y=(x)在点(2，f(2》处的切线方程为y=3,求a,b: (2)求f(x)的单调区间. 【变式3】(25-26高二下·福建漳州期中)已知函数f(x)=ax-lnx (1)当a=2时，求曲线y=f()在点(f()处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性。 题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型)且可因式分 解型 【典例1】(26-27高三上广东深圳阶段检测)已知函数f(x)=a2nx-2x(a>0) (1)当a=2时，求曲线y=f,在点(，f0》处的切线方程： (2)求函数f(x)的单调区间. 【奥例2】(2526高二下费州毕节明中)已知函数()=(x-2e+号-a+ 1 2 (1)当a=1时，求f(x)的极值： (2)讨论函数f(x)的单调性. 【变式1】(2627高三全国一轮复习》已知函数f(写+u-3ax+l(aeR).若 a≤0，试讨论函数f(x)的单调性， 【变式2】(2627高三全国一轮复习)已知西数)r2-(2a+)x+2h(aeR). 当a>0时，求函数f(x)的单调递增区间. 【变式3】(25-26高二下山东济宁期中)已知函数f()=--1nr+ x(a∈R) ()当a=-1时，求函数f(x)的最大值： 2)当a>0时，求f(x)的单调区间. 题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 【典例1】(2026高二全国专题练习)已知函数f(四)=al血x-x+文讨论f(:)的单调 性； 【典例2】已知函数了)=1+ e,aeR'讨论f(x)的单调性， 【变式1】(2526商二下全国课堂例题)已知函数f()=x+:2血，aER,讨论函 数f(x)的单调性. 【变式2】（25-26高三上：山东聊城期中)已知函数f()=h(四)++ax-,其中 a≠0 (1)当a=1时，若直线y=-x+b是曲线y=f(x)的一条切线，求b的值； (2)讨论f(x)的单调性； 【变式3】(2026有三全国专题练习》已知弱数/国=alnx+号-x,讨论/儿的的单调 区间. 三、专项训练 1.(25-26高二下河南郑州期中)己知函数f()=ae2+2(1-a)e-2x. (1)若a=1,求函数f()的极值； (2)讨论f(x)的单调性. 2.(2526商二下北京期中)已知函数f(x)=2x-(a+)x+nx,其中a>0 (1)若曲线y=f()在x=2处的切线斜率为0，求实数a的值； (2)求f(x)的单调递增区间. 3.(25-26高一下北京海淀期中)已知函数f(x)=(a-1)e. (1)若a=1,求函数f(x)在[1,2]上的最值： (2)求函数f(x)的单调区间. 4.(25-26高二下湖北黄冈期中)已知函数fx)=hx+2ax. (1)当a=一2时，求f)的极值： (2)求(x)的单调区间. 5.(25-26高二下·北京西城期中)已知函数f(x)=x2+(a-2)x-anx(a∈R) (1)若a=1,求f(x)的最值： (2)讨论函数∫(x)的单调性 6.(2526商二下江苏无镯期中)已知函数()-+血(-，其中aeR a当。=1时，求f2的值： (2)当a>0时，讨论函数的单调性 7.(25-26高二下·陕西宝鸡阶段检测)已知函数f(x)=+lnr-1,aeR」 (1)若曲线y=f(x)在点PLf()处的切线平行于直线y=-x+1,求实数a的值： (2)讨论函数y=f(x)的单调区间. 8。(2526高二下江苏南京期中)已知函数f四=2+-3x+2, 2 g(x)=Inx+ax2-(2a+l)x. (1)若f在(2)上存在单调递减区间，求实数m的取值范围： 2若在22)上 )-f)>0恒成立，求实数m的取值范围： X-x2 (3)若a≥0，讨论函数8(x)的单调性， g.(2526高三下四训阳阶段粒)测已知函数)-(-2e-m2+a(acR)。 (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间. 10.(2526高=下福建厦门阶段校测)已知两数f)-2+(a-2nx-(口-)x. (1)若a=2,求函数在(2，f(2》处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 11.(25-26高二下·广东江门阶段检测)已知函数f(x)=x-lr-2. (1)求曲线y=(x)在x=1处的切线方程： 2)若a≥0，g(x)=lnr+a2-(2a+1)x,讨论函数g(x)的单调性. 12.(25-26高三·天津二轮复习)已知f(x)=x+ax.Inx(a∈R), ()当a=2时，求f(x)在点(ef(e》处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性 13.(25-26高三上江西吉安期末)已知函数f(x)=(2+am)ln(1+x)-2x,(aeR). (1)若a=0,求函数f(x)在点(，f()处的切线方程： (2)若a>0,设函数f(x)的导函数为8(x),讨论8(x)的单调性 14.(2026高二全国专题练习)已知函数f()=a心2-(a+2)e+x.讨论f(x)的单调性. 15.已知函数f(x)=x2-1+ah(1+x),求函数f(x)的单调区间. 专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题 （含参讨论问题）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、含参问题讨论单调性的原则 2 二、典型题型 2 题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 2 题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 6 题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 11 三、专项训练 16 一、必备秘籍 一、含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： 1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 借助导函数有效部分的图象辅助解题： ①令，确定其零点，并在轴上标出 ②观察的单调性， ③根据①②画出草图 2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 借助导函数有效部分的图象辅助解题： ①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点 ②观察的开口方向， ③根据①②画出草图 3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ①对，求 ②分类讨论 ③对于，利用求根公式求的两根， ④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负 ⑤画出草图 二、含参问题讨论单调性的原则 1、最高项系数含参，从0开始讨论 2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论 3、考虑根是否在定义域内 二、典型题型 题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 【典例1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的倾斜角为，求的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2) 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合切线倾斜角计算斜率，列方程求解a； （2）对函数求导后分类讨论参数a的取值，根据导数符号确定对应单调区间. 【详解】（1）由，得， 因为曲线在点处切线的倾斜角为，因此切线斜率， 所以，代入得，解得. （2）函数的定义域为，，分两类讨论： ① 当时，对任意，，因此恒成立，此时在上单调递增，无单调递减区间； ② 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 【典例2】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数． (1)当时，求在区间上的最小值和最大值； (2)求的单调区间． 【答案】(1)最大值为，最小值为 ； (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 【分析】（1）先求出导函数，再根据给定得出导函数为负即可得出函数单调性即可求解； （2）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； 【详解】（1）∵，∴， ，∴在上递减， 所以当时取函数的最大值为，当时取函数的最小值为 ； （2）∵，∴， 当时，恒成立，在上递增， 当时，令得，，∴在上递增， 令得，，∴在上递减． 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 【变式1】已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数无严格单调区间；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）根据导数的几何意义，可求出切点横坐标，再代入原函数，求出切点坐标，最后代入切线方程求出的值； （2）先求导，整理可得，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，，求导得， 设曲线的切线的切点为，因切线方程为， 则，解得， 所以，则切点坐标为， 于是，所以. （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，函数为常数函数，无严格单调区间； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式2】（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)求的单调区间． 【答案】(1)，． (2)当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【详解】（1）由题可知，在处的切线斜率为0， 对求导得， 则，所以， 因为，所以， 所以，． （2）由题可知，的定义域为， 求导得， 则当时，，则的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，令，解得，令，解得， 则的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【变式3】（25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，，可得， 则，且，即切线的斜率为，切点为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由函数，其定义域为，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，可得， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 【典例1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2) 单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）利用导数的几何意义求切点处的切线斜率，结合切点坐标写出切线方程； （2）求导后根据导函数的正负性，结合定义域确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得， 代入得，且. 由点斜式可得切线方程为，即. （2）函数的定义域为， ， 令，得或（舍去）. 由于，因此. 令，则，解得； 令，则，解得. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【典例2】（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件，求出的解，再由极值的定义即可求解； （2）根据条件得到，再对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. （2）的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．若，试讨论函数的单调性． 【答案】当时，函数在上单调递增； 当时，函数单调递增区间为，；单调递减区间为． 【分析】根据导数与单调性的关系，结合的范围分类讨论即可. 【详解】，且. 当时，，则在上单调递增． 当时，令，即，解得或，且. 当时，，单调递增； 当时，， 单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数单调递增区间为，；单调递减区间为． 【变式2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，当时，求函数的单调递增区间． 【答案】当时，的递增区间是， 当时，的递增区间是 当时，的递增区间是，． 【详解】因为定义域为， 所以， 当，即时，由，解得或； 当时，恒成立， 当，即时，由，解得或， 综上，当时，的递增区间是，； 当时，的递增区间是； 当时，的递增区间是，． 【变式3】（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无减区间． 【分析】（1）根据导数与最值的关系求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，对进行讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则. ，随的变化情况如下： 1 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取最大值，为． （2）， 当时，令，解得或， ①当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时， ，则函数在上单调递增． 综上： 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性； 【答案】 当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 【分析】求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】的定义域为，， 当时，令，解得，此时在单调递减； 当时，对于方程，则， ①当时，，令，解得，此时在单调递减； ②当时，，令，得，. 当变化时，，变化情况列表如下： 单调递减 极大值 单调递增 极小值 单调递减 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 【典例2】已知函数，，讨论的单调性. 【答案】 时在R上单调递增； 时在和上单调递增，在上单调递减； 时在上单调递减，在上单调递增； 时在和上单调递减，在上单调递增； 时在R上单调递减； 【分析】求函数的导数，讨论参数a，结合导数的符号判断函数单调性即可. 【详解】依题意， 若，则，当时，当时. 若，令，，令，解得或. 若，则；若，则； 若且，令，得，. 若，则， 当时，当时，当时； 若，则， 当时，当时，当时. 综上所述：时在R上单调递增； 时在和上单调递增，在上单调递减； 时在上单调递减，在上单调递增； 时在和上单调递减，在上单调递增； 时在R上单调递减； 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，，讨论函数的单调性. 【答案】 时，函数在上为增函数； 时，函数在，上为增函数，在上为减函数； 时，函数在上为减函数，在上为增函数. 【分析】求导数，分类讨论导数的符号，得函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， ①当，即时，得，则. ∴函数在上为增函数. ②当，即时，令，得， 解得 (ⅰ)若，则， ∵，在或时，；时， ∴在，上为增函数，在上为减函数. (ⅱ)若，则，当时，，当时，， ∴函数在上为减函数，在上为增函数. 综上可知，时，函数在上为增函数； 时，函数在，上为增函数，在上为减函数； 时，函数在上为减函数，在上为增函数. 【变式2】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减． 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调区间. 【答案】 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. 【分析】求出函数的导数，再按分类求解的单调区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 令，由，得，此时，在上单调递增； 当，即时，方程的两根为，， 当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，当时，，当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调 三、专项训练 1．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 2．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间是和；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和. 【分析】（1）依题意利用可求的值； （2）求导，分，，讨论导函数的符号，确定函数的单调递增区间. 【详解】（1）由 求导得， 依题意 ，解得. （2）定义域是， ①当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和； ②当时，，则的单调递增区间是； ③当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和. 3．（25-26高一下·北京海淀·期中）已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) 最小值，最大值. (2)时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性，进而分析其最值. （2）求出函数的导数，分类讨论的取值，讨论函数的单调区间. 【详解】（1）若，则，. 令，则. 当，则，当，则. 因此在上单调递减，在上单调递增，则最小值为. 因为，所以最大值为. （2）对求导得. 由于恒成立，的符号由决定，分类讨论如下： 当时：恒成立，因此的单调递减区间为，无单调递增区间. 当时：令，解得.时，，单调递减； 时，，单调递增. 当时，同理解得，时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 4．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)求的单调区间． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2) 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）求导,结合单调性进行求解； （2）由导数,求解不等式进行求解. 【详解】（1）当时，的定义域为． ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此的极大值为，没有极小值． （2）， ∴当时，，函数的单调增区间为； 当时，由，得，由，得， 则函数的单调增区间为，单调递减区间为． 5．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数 (1)若，求的最值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)最小值为0，无最大值 (2)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）分析函数的单调性，进而求解最值； （2）根据导数的性质，结合的不同取值分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，无最大值. （2）由， 则， 当时，当时，单调递减， 当时，单调递增； 当时，令或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 6．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）求导，代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 7．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增. 【分析】（1）根据导数的几何意义可列出的关系式，计算即可； （2）对函数求导，讨论，两种情况得单调性； 【详解】（1），定义域为 所以， 因为直线的斜率为， 所以，所以. （2），定义域为， 若，则在恒成立，故在递增; 若，令得，令得， 故在单调递减，在单调递增; 综上所述：当时，在递增， 当时，在单调递减，在单调递增. 8．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，. (1)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2) (3)当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在，上单调递增，在单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在单调递减. 【分析】（1）将函数在区间上有单调递减区间转化为在上有解，进而再转化为函数最值问题可得； （2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题可得； （3）直接根据导数的根分四类讨论：，，，,再结合二次函数的性质可得. 【详解】（1）因为函数，定义域为，， 因为在上存在单调递减区间，所以在上有解， 即在上有解，也等价于在上有解， 令，，所以函数在上单调递减， 所以，即，因此. 所以实数m的取值范围为. （2）因为在上恒成立，所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即等价于在上恒成立. 由（1）知在上单调递减，所以，所以. 因此实数的取值范围为. （3）因为，函数的定义域为，， ①当时，，令，得， 所以当，所以在单调递增，在单调递减； ②当时，令，得或， 当时，，所以或时，；， 所以函数在，上单调递增，在单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以或时，；， 所以函数在，上单调递增，在单调递减； 综上所述，当时，函数在单调递增，在单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在单调递减. 9．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2）分别对时，时，时讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】（1）由，知 ， 所以当时，有，， 故曲线在处的切线经过，且斜率为， 所以其方程为，即． （2）当时，对有， 对，有，故在和上递增，在（）上递减； 当时，对，有，故在上递增； 当时，对，有， 对，有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． 10．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）求出切点、由导数几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解； （2）利用导数工具分、、和四种情况分析导函数正负情况即可求解函数单调性. 【详解】（1）若，函数， 所以， 所以切点为，切线斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由题可得函数定义域为，， 令或， 所以当 时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上：当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 11．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性. 【详解】（1）由，得， 则切线斜率为，又，即切点为， 所以切线方程为. （2）由， 得， 当时，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 当，即时，，则函数在上单调递增； 当，即时，令得，或， 令得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，令得，或， 令得，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 12．（25-26高三·天津·二轮复习）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1); (2) 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 13．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】(1) (2) 当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 【分析】（1）代入，对函数求导得出斜率再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）求出，并对求导根据参数的取值范围进行分类讨论，即可得出其单调性. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 14．（2026高二·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增,在上单调递减． 【分析】求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】， （1）当时，恒成立，令，解得，令，解得， 在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，令，解得，， ① 当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增,在上单调递减． 15．已知函数，求函数的单调区间. 【答案】 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. 【分析】先确定函数定义域，求导后根据分子二次函数的判别式对参数分情况讨论导数符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，由根与系数的关系可知且，故两根均为负数， 因此有，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. 递增. 学科网（北京）股份有限公司 $