专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题03 三角函数的图象与性质 （零点或根的问题）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 1 题型一：已知根（零点）的个数求参数 1 题型二：零点（根）的代数和问题 7 三、专项训练 14 一、必备秘籍 实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题. 二、典型题型 题型一：已知根（零点）的个数求参数 【典例1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，且的图象过点. (1)求的值及函数的单调递增区间; (2)将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 【典例2】（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数的取值范围． 【变式1】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 【变式2】（26-27高三上·山东日照·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【变式3】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求函数，的单调区间； (3)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型二：零点（根）的代数和问题 【典例1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数图象的两条相邻对称轴的距离，且的图象关于点中心对称． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有个零点，，，求的取值范围及的值． 【典例2】（26-27高三上·山东·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求的解析式及单调递增区间； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．求方程在内所有实数根的和． 【变式1】（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数（）的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求函数的值域； （ⅱ）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，若，求的值. 【变式2】（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数的图象，求在区间上的所有零点之和． 【变式3】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)当时，求的值域； (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求方程在区间上所有根之和． 三、专项训练 1．（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 3．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于x的方程在上有且仅有一解，求实数m的取值范围． 4．（25-26高一下·内蒙古·期中）向量，，函数，其中，相邻对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上恰有两个解，求实数的取值范围. 5．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知向量；，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间： (2)将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数. （i）求的解析式； （ii）当时，若函数有两个解，求取值范围； 6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为. (1)求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若函数在区间上存在零点，求实数k的取值范围. 7．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求. 8．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的取值范围； (3)将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的零点. 9．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知函数的图象的相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数的零点为，求； (3)若对有解，求的取值范围. 10．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 11．（2026·安徽·模拟预测）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到的图象，若方程在区间上有解，求m的取值范围. 12．（25-26高一下·上海·期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及严格减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：.试确定的值，并求的值. 13．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）已知向量，设函数. (1)将函数化简为的形式； (2)求函数的最小正周期及单调递减区间； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围. 14．（25-26高一下·河南南阳·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)若在上存在唯一的，使得恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 15．（25-26高一下·河南信阳·期中）如图，是函数图象的一部分. (1)求函数的解析式. (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象. ①求函数在上的单调递增区间； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 16．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 17．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）已知函数，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数和的解析式； (2)若，求的所有可能的值； (3)求函数（为正常数）在区间内的所有零点之和. 18．（25-26高一下·河北承德·阶段检测）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 19．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和. 20．（25-26高一上·天津·期末）已知函数的图象相邻两个对称轴间的距离为，且图象关于点对称． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，且，求； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数的图象与性质 （零点或根的问题）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 1 题型一：已知根（零点）的个数求参数 1 题型二：零点（根）的代数和问题 7 三、专项训练 14 一、必备秘籍 实根问题，换元法令将函数化简为，在利用正弦函数的图象来解决交点（根，零点）的问题. 二、典型题型 题型一：已知根（零点）的个数求参数 【典例1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，且的图象过点. (1)求的值及函数的单调递增区间; (2)将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，的单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，代入已知点求出参数，再根据正弦函数单调区间列不等式即可得到递增区间； （2）依据三角函数图象平移规则得到新函数，再结合正弦图象与轴交点情况确定的范围即可. 【详解】（1）因为 ， 因为的图象过点，所以， 即，所以，得， 因为，所以取符合条件，所以， 令，则， 故的单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位， 得， 因为在上的图象与轴有且仅有3个交点， 即方程在上恰有3个解， 因为 ，则，所以 ， 解得，故的取值范围为. 【典例2】（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦型函数图像求周期，算出，代入点坐标求出，得到解析式； (2)根据平移规则写出，零点转化为方程在区间内有个解。换元后结合正弦函数图像，根据交点个数列不等式求范围. 【详解】（1）由图可知：函数的周期， 又，所以． 又因为，即， 则，即， 由，可知，，所以． （2）依题意可得：， 在区间上有三个零点， 即函数与函数在区间上有三个交点， 令，即与函数在区间上有三个交点， 结合图象可得：， 即有，实数的取值范围为． 【变式1】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由函数最小正周期及所过点可得函数解析式； （2）由函数图像平移变换知识可得表达式，由题可得范围与值域保持一致，据此可得答案. 【详解】（1）函数的最小正周期为，，，解得. 又函数的图象过点，，解得. ，， . （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. 方程在上有解， 的范围与在上的值域保持一致. ，. 由余弦函数的性质，得当时，； 当，即时，， ，，即， 【变式2】（26-27高三上·山东日照·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期是，对称轴是，． (2) 【分析】（1）由辅助角公式得，再由正弦函数的周期及对称轴可得； （2）先由平移可得，再由正弦函数性质判断的单调性及值域，结合函数图象可得的取值范围. 【详解】（1）由． 所以函数的最小正周期， 令，，化简得，， 所以的最小正周期是，对称轴是，． （2）由题意得：， 因为，所以． 当，即时，单调递增，； 当，即时，单调递减，； 所以当在上有两个不同的实数解时，的取值范围为． 【变式3】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求函数，的单调区间； (3)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期是，对称轴是， (2)在，上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）由辅助角公式得，再由正弦函数的周期及对称轴可得； （2）令，则，再由正弦函数的单调性可得函数的单调区间； （3）先由平移可得，再由正弦函数性判断的单调性及值域，结合函数图象可得所求的值范围. 【详解】（1）由． 所以函数的最小正周期， 令，，化简得，， 所以的最小正周期是，对称轴是，． （2）因为，令，则，由正弦函数的性质， 当，时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以，时，单调递增； 同理可得在上单调递减； 因此在，上单调递增，在上单调递减． （3）由题意得：， 因为，所以． 当，即时，单调递增，； 当，即时，单调递减，； 所以当在上有两个不同的实数解时，的取值范围为． 题型二：零点（根）的代数和问题 【典例1】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数图象的两条相邻对称轴的距离，且的图象关于点中心对称． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有个零点，，，求的取值范围及的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用对称轴求的范围，利用中心对称求表达式，从而确定值； （2）先求出并换元，数形结合求出的范围，利用对称性求和。 【详解】（1）因为两条相邻对称轴的距离，所以，所以． 因为的图象关于点中心对称， 所以，得． 又，所以． 所以． （2）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 所以． 当时，，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以当时，曲线与直线在内有3个交点，即函数在内有3个零点． 因为有3个实数根，且，关于直线对称，，关于直线对称，所以，， 所以， 即，得． 综上，的取值范围是，的值为． 【典例2】（26-27高三上·山东·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求的解析式及单调递增区间； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．求方程在内所有实数根的和． 【答案】(1)，单调递增区间为，． (2) 【分析】（1）由题设易得，可得，再根据正弦函数的单调性求解即可； （2）先根据平移得到，再根据结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由的图象过点，得， 所以，，解得，， 又，故，因此， 由，得，， 故的单调递增区间为，． （2）将的图象向左平移个单位长度， 得， 方程，即， 所以或，， 即或，， 在内：，无满足条件的解； ，取，2，3，得三个实根，，， 所以， 故方程在内所有实数根的和为． 【变式1】（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数（）的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移，再把图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求函数的值域； （ⅱ）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，若，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先利用二倍角余弦公式、辅助角公式化简，再结合的最小正周期求出，即可求得的解析式； （2）先根据三角函数图象平移、伸缩变换规则求出函数的解析式， （ⅰ）先由的取值范围推出中角的取值范围，再结合正弦函数即可求出函数的值域； （ⅱ）先解方程得到根的通式，再结合正弦函数的对称性推导根的和的规律，计算出的取值后，再利用正切的和角公式求解． 【详解】（1） ， 因为，，所以，所以． （2）的图象向右平移，可得， 再把各点的横坐标缩小为原来的，可得到． （ⅰ）当时，，则， 故当时，的值域为． （ⅱ）化简方程，即为， 令， 则在有36个根，如下图所示： 其中，，，…，． 由，可得，， 故 ． 故 【变式2】（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数的图象，求在区间上的所有零点之和． 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为，； (2)零点之和为 【分析】（1）利用最小正周期公式求解；令函数值为，解出为对称中心点的横坐标，纵坐标为，从而得到对称中心点. （2）利用平移求出，令，求出在的值，将这些的值求和得解. 【详解】（1）因为，所以， 令，即，解得， 即，则的对称中心为； （2）因为向左平移个单位， 得到， 再向下平移个单位，得到， 令，即，解得， 即 或， 解得或， 当时，因为，所以， 解得 ， 因为，所以，共30个值， 则零点和为. 当时， 因为，所以， 因为，所以，共30个值， 则零点和， 则在区间上的所有零点之和为. 【变式3】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)当时，求的值域； (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求方程在区间上所有根之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简，采用整体代换的方法可求得单调减区间； （2）由的范围可求得的范围，通过分析正弦函数图象可确定最值，进而得到值域； （3）根据三角函数平移和伸缩变换可确定解析式，令，结合的图象的对称性和的范围可求得所有根之和. 【详解】（1）， 令，解得：， 的单调减区间为. （2）当时，，， ，即当时，的值域为. （3）由题意知：， 令，则， 当时，令，则， 作出的图象如下图所示， 若与相交，则共有四个交点，从左至右依次可记为，则方程在区间上有四个根，依次为， ，，，， ，即所有根之和为. 三、专项训练 1．（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数周期，且，所以，解得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 又，所以，所以函数. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，    由图可知方程在区间上有3个根，所以， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数的解析式和周期； （2）根据正弦函数的性质求解； （3）根据伸缩平移变换得到的图象，几何结合正弦函数的性质求参数范围. 【详解】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，， ， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 3．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于x的方程在上有且仅有一解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数， （2）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【详解】（1） ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以； （2）由（1），将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上只有一个解，    由的图象可得，或， 所以的取值范围是. 4．（25-26高一下·内蒙古·期中）向量，，函数，其中，相邻对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上恰有两个解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，对称中心为 (2) 【分析】（1）利用辅助角公式对函数化简，由最小正周期计算的值，再结合正弦函数的对称性进行求解； （2）利用行平移得到，将问题转化为和有两个交点进行求解. 【详解】（1）因为，， 所以 ，其中， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，得， 所以函数的对称中心为； （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上恰有两个解，等价于和有两个交点， 画出的图像如图所示， 由图可知，需满足， 则的取值范围是. 5．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知向量；，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间： (2)将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数. （i）求的解析式； （ii）当时，若函数有两个解，求取值范围； 【答案】(1)，，. (2)（i）；（ii）. 【分析】(1)通过向量点积结合三角恒等变换，将转化为的标准形式，再用周期公式求周期，根据正弦函数单调性求单调区间； (2)(i)遵循“左加右减”的平移规律和“横坐标伸缩换x”的变换规则，分步完成平移与伸缩变换； (ii)先确定的范围，将方程的解的个数转化为的交点个数，再结合余弦函数图像列出不等式求解. 【详解】（1）因为； 则 ，所以最小正周期， 令，，可得，， 所以的单调递减区间是，. （2）（i）将函数的图象先向左平移个单位， 得， 再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数； （ii）当时，， 由有两个解，可得有两个解， 根据，由余弦函数图象可得，得. 6．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为. (1)求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若函数在区间上存在零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为，可得周期，据此可得； （2）由图象变换知识可得，然后由余弦函数单调性可得值域，最后由方程在上有解可得答案. 【详解】（1）因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期，所以，解得； （2）由（1）得，将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故， 因为在上单调递增，在上单调递减， 则；，故. 因为函数在区间上存在零点，所以方程有解，所以实数k的取值范围为. 7．（2026·辽宁锦州·二模）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求. 【答案】(1)表格如下： (2) (3) 【分析】（1）利用表格中的数据求出、的方程组，解出这两个参数的值，结合可求出的值，结合五点法可完善表格； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出的取值范围，再结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域； （3）利用正弦型函数的对称性得出，根据已知条件得出，再利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得 【详解】（1）由题意可得，解得， 又因为，故， 由可得；由可得；由可得. 完善表格如下： （2）由题可得，   当时，，则，   函数的值域为. （3）函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、， 当时，，由可得， 所以直线是的一个对称轴，而区间的区间长度为一个周期. 所以两个交点关于直线对称，且， 所以，   所以 . 8．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的取值范围； (3)将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的零点. 【答案】(1)，单调递增区间. (2) (3)和 【分析】（1）将化简为正弦型标准形式后，利用周期公式计算最小正周期，结合正弦函数的单调递增区间解不等式得到的单调递增区间； （2）根据的定义域求出相位的范围，结合正弦函数在该区间的值域，推导出的取值范围； （3）根据三角函数平移变换规则得到的解析式，令解方程，筛选出落在区间内的解即为零点. 【详解】（1） ， ， 由，得 ， 所以的单调递增区间是. （2）由，得， 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以的取值范围是. （3）由题 ， 由得，解得或，又， 所以或，即在上的零点为和. 9．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）已知函数的图象的相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数的零点为，求； (3)若对有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由条件可求出和，根据函数为奇函数的条件可求得，继而可得到的解析式. （2）由条件可求得，利用诱导公式即可求出结果. （3）令，把命题转化为在上有解的问题，继而可求出结果. 【详解】（1）因为相邻对称轴之间的距离是，设的最小正周期为， 所以， 解得，将的图像向右平移个单位， 可得函数， 因为函数为奇函数，所以 因为，所以， （2）因为函数的零点为，所以， 因为， 所以， （3）有解即有解， 因为，所以， 因为， 所以当时，， 因为有解，所以的取值范围为. 10．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出周期可得，再由对称中心求出，根据正弦型三角函数的性质求最小值即可得解； （2）根据函数图象的变换求出解析式，由正弦型函数的性质及所给条件列出不等式，求参数的取值范围即可 【详解】（1）函数且图象上相邻两个最高点的距离为，函数的最小正周期为，则， 又关于点中心对称，， 则，而，所以， ． 当时，，当，即时，取得最小值1． 要使恒成立，则的取值范围是． （2）由题意，函数． ，要使函数有且仅有4个零点， 则，解得，所以的取值范围是． 11．（2026·安徽·模拟预测）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到的图象，若方程在区间上有解，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数性质，可得的定义域，根据辅助角公式，二倍角的正弦公式，可得的解析式，根据正弦函数的性质，代入求解，即可得答案. （2）根据图象平移、伸缩变换的方法，可得的解析式，根据x的范围，可得的范围，结合正弦函数的性质，可得的值域，即可得答案. 【详解】（1）原解析式中分母不为0，即， 所以，得， 则 令，解得， 故的单调递增区间为. （2）由题意知，且. 当时，， 则，所以. 又的定义域不含， 所以在区间上的值域为， 故的取值范围是. 12．（25-26高一下·上海·期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及严格减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：.试确定的值，并求的值. 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式及其单调递减区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得． 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有3个根，即， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 13．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）已知向量，设函数. (1)将函数化简为的形式； (2)求函数的最小正周期及单调递减区间； (3)将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小正周期为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据数量积的坐标运算结合三角恒等变换运算求解； （2）根据正弦型函数的最小正周期公式求函数的最小正周期，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解； （3）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 所以. （2）因为，则的最小正周期； 令，解得， 所以函数的最小正周期为，单调递减区间为. （3）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得， 由可得， 因为，则， 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 即，可得，即 所以实数的取值范围是. 14．（25-26高一下·河南南阳·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)若在上存在唯一的，使得恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用函数平移和伸缩规律解题即可； (2)利用换元法写出不等式，解不等式即可； (3)利用分离参数法，将问题转化为求函数值域问题进行求解. 【详解】（1）将函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数，； （2）因为 ，所以 ， 因为在上存在唯一的，使得恒成立， 所以， 解得，所以的取值范围为. （3），即， 所以， 因为，所以，，， 所以. 令，所以. 令，因为函数和在上都是增函数， 所以在上是增函数， ，，所以在上的值域为. 故实数的取值范围是. 15．（25-26高一下·河南信阳·期中）如图，是函数图象的一部分. (1)求函数的解析式. (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象. ①求函数在上的单调递增区间； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) ①；② 【分析】（1）根据最值可得；根据最小正周期可得，求得，由此可得解析式； （2）①将整体代入正弦函数单调递增区间中，即可构造不等式求得递增区间； ②根据正弦函数的图像求解即可. 【详解】（1）由图像可知，函数最大值为，最小值为，且，得. ，所以周期. 又，，因此. 将最高点代入得：，则， 解得.因为，所以. 因此函数解析式为. （2）①向右平移个单位，则， 再纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），则. 令，解得. 因为，所以在上的单调递增区间为. ②当时，令，则. 因为方程在区间上恰有两个不同的实数解， 则在上恰有两个不同解. 由在的图象可知，当时，方程恰有两个不同解， 解得. 因此的取值范围为. 16．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，由周期求出，可得的解析式； （2）由函数图象的变换，求出解析式，整体代入法求在上的单调递增区间； （3）由函数解析式，结合正弦函数的图象，利用对称性求解. 【详解】（1） ， 函数图象的相邻两对称轴间的距离为，则有，解得， 又，所以. （2）向右平移个单位，得； 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得， ，可得， 求单调递增区间，则， 的单调递增区间. （3）由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即， 解得， 所以， 综上，. 17．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）已知函数，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数和的解析式； (2)若，求的所有可能的值； (3)求函数（为正常数）在区间内的所有零点之和. 【答案】(1)， (2)1和 (3)当时，函数在区间内的所有零点之和为； 当时，函数在区间内的所有零点之和为； 当时，函数在区间内的所有零点之和为. 【分析】（1）根据平方差公式、二倍角公式化简可得的解析式，根据平移、伸缩变换的方法，可得的解析式. （2）由题意得，根据二倍角公式，结合一元二次方程的解法，可得的所有取值，即可得值，根据两角差的正弦公式，即可求得答案. （3）由（1）得的解析式，令，可得关于的一元二次方程，即可求得二次方程的根，分别讨论、和三种情况，根据根的范围，结合正弦函数的对称性，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意 ； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得， 再把所得图象向右平移个单位长度，得. （2）由，得，则， 所以，解得或， 当时，， 则； 当时，， 则， 即或， 综上，的所有可能的值为1和. （3）由题意， 令，则，即， 令，则， 所以，判别式恒成立，解得， 由，得， 根据正弦函数的对称性得，与的图象在上有2个解， 且2个解之和为， 则方程在内所有实根之和为； 当时，则，此时无解，即无解； 当时，则，即，解集为， 所以在内所有实根之和为， 当时，， 则与的图象在上有2个解， 且2个解之和为， 则方程在内所有实根之和为， 综上，当时，函数在区间内的所有零点之和为； 当时，函数在区间内的所有零点之和为； 当时，函数在区间内的所有零点之和为. 18．（25-26高一下·河北承德·阶段检测）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对进行化简，根据正弦函数性质列不等式计算即可求出答案； （2）利用换元法令，根据的范围求出的范围，结合正弦函数图象求出的范围，即可求出在上的值域，即可求出答案； （3）求出变换后的函数解析式，将函数的零点转化为方程的解，求出的值，再结合，即可求出在上的零点，求和即可得到答案. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）令，因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为，，所以， 所以当时，取得最大值， 即，则， 则在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象向左平移个单位得， 纵坐标伸长为原来的2倍得， 所以， 令，即， 所以或， 即或， 又，所以只能取，所以或或或， 即函数在上的零点为， 所以函数在上所有零点之和为. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，代入求值即可； （2）结合三角函数的单调性进行求解即可； （3）利用三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合方程进行求即可解． 【详解】（1）化简得， . （2）令，解得， 故函数的单调增区间为. （3）函数的图象向右平移个单位的图象， 即， 令，得， 或，， 解得或，， ，故当时，或， 即方程在区间上所有根之和为. 20．（25-26高一上·天津·期末）已知函数的图象相邻两个对称轴间的距离为，且图象关于点对称． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，且，求； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据相邻两个对称轴间的距离为最小正周期的一半求函数的最小正周期，根据与的关系求，根据正弦函数的对称性求，再结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间； （2）由条件可得，由角的范围及同角关系求， 方法一：利用诱导公式求结论；方法二：利用两角差正弦公式求结论； （2）根据题意确定的解析式，从而得到解的个数，结合函数图象判断解的对称关系，即可求解. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以的最小正周期．可得． 又由函数关于点对称，令，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为的单调递增区间为， 令， 解得． 所以的单调增区间为． （2）因为，即，因为，所以， 又因为，所以，所以． 法一：所以． 法二： ； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 方程，可化为，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中， 即， ， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $