山东省实验中学（中心校）2026届高三下学期冲刺基础练——导数

山东省实验中学（中心校）高三冲刺基础练——导数 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1. 下列求导正确的是( ) A. B. C. D. 2. 若 则f(-2)= ( ) A. 2 B. - 2 C. 10 D. - 10 3.在曲线f(x)= ln(2x-1)+1上的点(1,1)处的切线方程为( ) A. x-2y+1=0 B. 2x-y-1=0 C. 2x+y-3=0 D. x+2y-3=0 4.若直线y=-3x+m与曲线 相切，则m的值为( ) A. - 5 B. - 3 C. 3 D. 5 5.过点(1,6)且与曲线 相切的直线方程为( ) A. 6x-y=0 B. 9x-y-3=0 C. 6x-y=0或3x-2y+9=0 D. 9x-y-3=0或3x+2y-15=0 6.过坐标原点作曲线 的切线，若切线有且只有一条，那么a=( ) A. - 2 B. - 4 C. 2 D. 4 7.曲线y= tanx在 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. π/2 8.设函数 在区间[a-1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A. (1,2] B. [4,+∞) C. (-∞,2] D. (0,3] 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 9.函数 图象上一点 P到直线 的最短距离为( ) A. B. C. D. 10.直线l:y= kx+b是曲线y= lnx和 的公切线,则k+b= ( ) A. D. 或 C. 0 B. 0 二、多选题 11. 如图所示是y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列结论中正确的是( ) A. f(x)在区间(-1,2), (4,+∞)上单调递增 B. x=-1是f(x)的极小值点 C. f(x)在区间(2,4)上单调递减 D. x=2是f(x)的极小值点 12. 已知函数f(x)= xln(1+x),则( ) A. f(x)在(0,+∞)单调递增 B. f(x)有两个零点 C. 曲线y=f(x)在点 处切线的斜率为-1-ln2 D. f(x)是偶函数 三、填空题 13.曲线 在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行,则a= . 14.已知曲线 在点(0，1)处的切线为l，若直线l与抛物线 也相切，则m= . 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 15.已知函数 在区间[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是 . 16.已知函数 的图象在x=1处的切线与直线.x-4y-2=0垂直，则a= . 四、解答题 17.已知函数 (1)求函数在点(1，f(1))处的切线方程. (2)试判断函数f(x)的单调性并写出单调区间； 18. 已知函数 其中a≥0. (1)若a=1,求函数f(x)的极值点和极值; (2)求函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值. 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 4/12 19.已知函数 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a=1时，令 求证： 20.已知函数 (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x>0时， 恒成立，求a的取值范围. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D C D A A C C 题号 11 12 答案 ABC AC 1. D【分析】根据导数的运算法则以及复合函数求导法则运算求解即可. 【详解】对于选项 两者不相等，故A 错误；对于选项 故B 错误； 对于选项 故C 错误； 对于选项 故D 正确； 故选: D. 2. A【分析】对给定等式两边求导，赋值求出f'(1)即可. 【详解】由 求导得： f'(x)=2f'(1)-2x+7, 则f'(1)=2f'(1)-2×1+7, 解得f'(1)=-5, 即 所以f(-2)=2.故选: A 3. B【详解】 所以过点(1,1)的切线方程为: y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 4. D【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设直线y=-3x+m与曲线 相切于点 由 所以 整理得 解得 或 (舍去),所以 故选：D 5. C【分析】设切点为 利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点(1，6)，求出x₀即可得解. 【详解】设切点为 因为 所以 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 所以曲线 在点 处的切线方程为 又该切线经过点(1，6)，所以 整理得 解得 或 所以切线方程为6x-y=0或3x-2y+9=0.故选: C 6. D【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为 所以切线的斜率 切线方程为 将坐标原点代入可得 因为切线有且只有一条，所以 解得a=0或a=4,又a≠0,所以a=4,故选: D. 7. A【分析】根据同角的三角函数关系式，结合导数的运算法则、导数的几何意义进行求解即可. 【详解】 因此该曲线在 处的切线的斜率为 所以切线方程为： 令x=0,得 令y=0,得 因此三角形的面积为 故选：A 8. A 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解. 【详解】f(x)的定义域为((0,+∞),f'(x)=x- 由f'(x)≤0,解得0<x≤3.由题意知 解得1<a≤2.故选: A 9. C 【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即 答案第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】设与直线 平行且与曲线 相切的直线的切点坐标为 因为 所以 解得 则切点坐标为(1,0). 最短距离为点(1，0)到直线 的距离，即 故选： C 10. C 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于y= lnx,设切点为( 求导得 则在该点处的斜率为 则切线方程为： 即 对于 设切点为 求导得 则在该点处的斜率为 则切线方程为： 即 因为l:y= kx+b是公切线, 所以 即 所以 即 所以 即 或 解得 或 当 时，此时 所以 当 时，此时 所以k+b=0, 所以k+b=0或 答案第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 故选: C. 11. ABC 【分析】先由导函数图象得到f(x)的单调性，进而得到极值点情况，从而可得结果. 【详解】由图象知,当x∈(-1,2)和x∈(4,+∞)时, f'(x)>0,所以函数f(x)在(-1,2),(4,+∞)上单调递增,故A 正确； 当x∈(2,4)时f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(2,4)上单调递减,故C正确; 当x∈(-3,-1)和x∈(2,4)时, f'(x)<0,当x∈(-1,2)时f'(x)>0,所以函数f(x)在(-3,-1)上单调递和(2,4)减，在(-1，2)上单调递增， 所以x=-1是f(x)的极小值点，x=2是f(x)的极大值点，故B正确，D错误. 故选: ABC. 12. AC 【解析】根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B. 【详解】由f(x)=xln(1+x)知函数的定义域为(-1,+∞), 当x∈(0,+∞)时, 故f(x)在(0,+∞)单调递增, A 正确; 由f(0)=0,当-1<x<0时, ln(1+x)<0,f(x)= xln(1+x)>0, 当 ln(1+x)>0,f(x)>0,所以f(x)只有0一个零点, B错误; 令 故曲线y=f(x)在点 处切线的斜率为-1-ln2，C正确； 由函数的定义域为(-1，+∞)，不关于原点对称知，f(x)不是偶函数，D错误. 故选: AC 【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题. 13. 1 答案第4页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据与已知直线平行得到斜率相等，从而列出方程解出参数. 【详解】因为曲线 在点(0，1)处的切线与直线y=2x平行， 所以曲线 在点(0，1)处的切线的斜率为2， 因为 所以 所以a=1. 故答案为：1. 【分析】先求曲线在点(0，1)处的切线方程，再与抛物线方程联立，利用相切条件(判别式为零)解出m. 【详解】设 则 则 则f(x)在(0,1)处的切线l的方程为y-1=4(x-0),即y=4x+1, 联立 得 因为直线l与抛物线 也相切， 则有Δ=16-4×16×(1-m)=0,解得 15. [3,+∞) 【分析】先将函数在区间上单调递减的条件转化为导数 在[0，1]上恒成立，再通过分离参数 求出3x²在区间内的最大值3，进而确定a的取值范围. 【详解】因为函数 在区间[0，1]上单调递减，所以 在区间[0，1]上恒成立，而 所以 故答案为: [3,+∞) 16. - 3 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由 求导可得 则f'(1)=2+2a, 因为该切线与直线x-4y-2=0垂直， 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 则 解得a=-3. 故答案为：-3. 17. (1)y=x-2 (2)单调增区间是(0,e),单调减区间是(e,+∞). 【分析】(1)根据函数的导函数的几何意义可得； (2)根据导函数的正负即可判断其单调性及单调区间. 【详解】(1)由函数 所以函数的定义域为(0,+∞), 所以f'(1)=1, f(1)=-1, ∴函数在点(1,f(1))处的切线方程为: y-(-1)=x-1,即y=x-2.所以函数在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-2. (2)因为函数的定义域为(0，+∞)，且 令 得0<x<e;令 得x>e,因此函数的单调增区间是(0，e)，单调减区间是(e，+∞). 18. (1)函数f(x)的极大值点为0,极小值点为2,极大值为f(0)=4,极小值为f(2)=0 【分析】(1)求导，利用导数判断函数f(x)的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值；(2)分a=0和a>0两种情况讨论，利用导数判断函数f(x)的单调性，即可得最小值. 【详解】(1)若a=1,则 的定义域为R，且 令f'(x)>0,解得x>2或x<0;令f'(x)<0,解得0<x<2; 可知函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)内单调递增,在(0,2)内单调递减, 所以函数f(x)的极大值点为0，极小值点为2，极大值为f(0)=4，极小值为f(2)=0. (2)因为函数 的定义域为[0,+∞),且 令f'(x)=0,解得x=0或x=2a, 若a=0,则 可知函数f(x)在[0,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(0)=4; 答案第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 若a>0,则2a>0, 当0<x<2a时, f'(x)<0;当x>2a时, f'(x)>0; 可知函数f(x)在[0,2a)内单调递减,在(2a,+∞)内单调递增, 所以函数f(x)在[0,+∞)内的最小值为 且当a=0时, f(0)=4,符合上式,所以函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值为 19. (1)答案见解析; (2)证明见解析. 【分析】(1)求出f(x)的导数，再按a≤0，a>0分类讨论求出f(x)的单调区间. (2)把a=1代入求出g(x)，再对所证不等式作等价变形，按x>1，0<x<1分段并构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】(1)函数f(x)= alnx-x-1的定义域为(0,+∞),求导得 当a≤0时, f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,由f'(x)>0,得0<x<a;由f'(x)<0,得x>a, 函数f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减, 所以当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,函数f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减. (2)当a=1时, 不等式 当x>1时, 令函数 求导得 函数h(x)在(1,+∞)上单调递增, 则h(x)>h(1)=0,因此 当0<x<1时, 函数 求导得 函数h(x)在(0,1)上单调递增, 则h(x)<h(1)=0,因此 所以 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 20. (1)当a≤0, f(x)的递增区间是(-∞,+∞),没有单调递减区间,若a>0, f(x)的递增区间是(lna,+∞),递减区间是(-∞,lnα); (2)(-∞,e-1] 【分析】(1)先求得函数的导函数，然后根据a≤0，a>0两种情况，讨论f(x)的单调性； (2)由题可知 在x>0时恒成立，则令 结合()判断函数g(x)的1单调性求其最小值，求得a的取值范围. 【详解】()由题知:1 若a≤0, f'(x)≥0, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 若a>0,令f'(x)=0解得: x= lna 当x∈(-∞, lna)时, f'(x)<0, f(x)单调递减; 当x∈(lnα,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 综上， 当a≤0，f(x)的递增区间是(-∞，+∞)，没有单调递减区间， 若a>0, f(x)的递增区间是(lnα,+∞),递减区间是(-∞,lnα); (2)依题意, x>0时, 恒成立，即 在(0,+∞)上恒成立, 令 则 令 由(1)知函数 在(0，+∞)上单调递增， 所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增, 则有h(x)>h(0)=0,即( 即当x>1时,则g'(x)>0,当0<x<1时,则g'(x)<0, 即g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以函数g(x)在x=1处取最小值g(1)=e-1,于是得a≤e-1, 所以a的取值范围为(-∞,e-1]. 答案第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $