29.3 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章 圆 29.3 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 弧长公式 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 扇形的面积公式 8. 对接中考 1. 理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式. 2. 会利用弧长、扇形面积计算公式进行相关计算，发展运算能力. 学习目标 知识回顾 或. . 圆的周长 圆的面积 新课导入 如图，在运动会的800米长跑比赛中，甲和乙分别在第4跑道和第5跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 计算弯道对应的弧长. 问题1 问题2 新课讲解 知识点1 弧长公式 · 圆的周长公式：C=2πR. 圆的周长是360°的圆心角所对的弧长. 思考 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？ 1的圆心角所对的弧长： . 的圆心角所对的弧长为： . 探究 由此出发，1的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角呢？ 新课讲解 弧长公式 的圆心角所对的弧长为： （，，知二求一）. 1. 题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长. 2. 在弧长公式中，已知 ，，中任意两个量，都可求出第三个量， ， . 3. 正确理解等弧、弧的度数和弧长的关系.弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧. 注意 l 是弧长；R 是半径；n 表示 1 圆心角的倍数，没有单位； 弧长 l 的单位和半径 R 的单位一致. 新课讲解 例 1. 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料. 计算如图所示管道的展直长度 L（结果取整数）. 解：由弧长公式，得的长 l = =500π ≈ 1 570（mm）. 因此所要求的展直长度为 L2×700+1 570=2 970（mm）. 答：管道的展直长度约为2 970 mm． 新课讲解 例 2. 如图，四边形内接于， 的半径为2， ，则的长为____.（结果保留 ） 解：如图，连接，， 四边形 内接于， ， ， 的半径为2， 的长为 . 新课讲解 练一练 1. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力时（如图），爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点 A 的位置在不断改变.已知滑轮的半径为 12 cm，当重物上升 4π cm 时，滑轮上点 A 转过的度数为______. 解：设滑轮上点 A 转过的度数为 n°， 由题意可知，点 A 转过的弧长为 4π cm， ∴ . 解得 n=60， ∴ 滑轮上点 A 转过的度数为 60°. 60° 新课讲解 练一练 2. 如图，大圆半径是小圆半径的两倍，如果大圆将小圆截成弧长相等的两部分，那么小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为_____. 解：如图，设大圆与小圆相交于点， ，大圆的圆心为， 连接，， 大圆将小圆截成弧长相等的两部分，是小圆的直径. 大圆半径是小圆半径的两倍，， 是等边三角形，， 小圆将大圆截成的优弧与劣弧的度数比为， 小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为 . 新课讲解 知识点2 扇形的面积公式 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 如图，与半径OA，OB围成的图形记作扇形OAB. A O B C 新课讲解 思考 探究 圆的面积公式：S=πR2. 圆面积是圆心角为360°的扇形的面积. A O B C 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分. 想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？ 圆心角为1°的扇形面积是 圆心角为n°的扇形面积是 圆心角为1°的扇形面积是多少？ 圆心角为n°的扇形呢？ 新课讲解 扇形面积公式 1. 扇形面积公式中的“n”和弧长公式中的“n”一样，表示“”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位. 2. 在 求 扇 形 面积 时， 要 灵 活 选 用公 式， 当 已 知 半 径R 和 圆 心 角 的 度 数时，使用公式；当已知半径R 和弧长 l 时，使用公式 = lR. 注意 圆心角为的扇形面积是： . = = lR. （其中l为扇形的弧长， R为半径.） 新课讲解 圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大. 圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关， 圆心角越大，面积越大. 扇形的面积与哪些因素有关？ O A B D C E F ● O A B C D ● 扇形的面积与圆心角、半径有关. 想一想 新课讲解 2. 已知扇形面积为 ，圆心角为60º， 则这个扇形的半径 R=____． 1. 已知扇形的圆心角为120º，半径为2， 则这个扇形的面积S扇形=_____. 3. 已知半径为2的扇形，其弧长为， 则这个扇形的面积为_____． 公式熟记 新课讲解 例 B 3. 一个扇形的弧长是，其圆心角是 ，此扇形的面积为 ( ) A. B. C. D. 解：设扇形的半径为，则其弧长， 即 ， 解得， 此扇形的面积 ． 新课讲解 例 解：如图，连接 OA，OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D， 交 于点 C. 连接 AC. ∵OD=OC-DC， OC=0.6， DC=0.3，∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又 ADOC，∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线. ∴ AC=AO=OC. 从而 ∠AOD，∠AOB. 则有水部分的面积：S 0.12π0.3≈ 0.22  (m2 ). 你能求出 AB 的长吗？ 4. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 新课讲解 弓形的面积可以看成是扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式： 由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓 形 1.如图(1)，弓形ADB的面积小于圆面积的一半，此时 S弓形 = S扇形OAB - S△OAB . 2.如图(2)，弓形ADB的面积大于圆面积的半，此时S弓形 = S扇形OADB +S△OAB . 3.如图(3)，弓形ADB的面积等于圆面积的一半，此时 S弓形 = S圆 . 知识拓展 新课讲解 练一练 (1) 已知扇形的半径为 6 cm，面积为 6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为______. 解：(1) 设该扇形的圆心角是 n， 根据扇形的面积公式得 解得 . 60° (2) 一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3π cm，则此扇形的面积是 ______ cm2. (2) 设扇形的半径为 R cm. ∵ 扇形的圆心角为135，弧长为3π cm， ∴ 解得 R=4. 方法一： 方法二： 6π 新课讲解 练一练 2. 如图，在矩形中， ，.以的中点为圆心，长为半径作 ，则阴影部分的面积为________.（结果保留 ） 解：如图，设半圆交于， 两点， 连接，，过点作于点 ， 四边形 是矩形， ， 四边形 为矩形，. 易得 . 由勾股定理，得， ，. ，即 ， ， . 课堂小结 弧 面积公式 S扇形= S扇形=lR 弧长公式：l= 扇形 弧长和 扇形面积 当堂小练 弧长相等的两段弧是等弧吗？并说明理由. 解：弧长相等的两段弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，弧长相等的两段弧才是等弧. 当堂小练 2. 如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是 12 m，弧所对的圆心角是 81°. 这段圆弧所在圆的半径 R 是多少米（结果保留小数点后一位）. 解： 8.5 (m ). 当堂小练 3. 如图，△ABC 是边长为 a 的等边三角形，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中点，以 A，B，C 三点为圆心， 为半径作圆. 求图中阴影部分的面积. 解：S阴影 3S扇形 AFE 当堂小练 4. 如图，在半径为 6 的 ⊙O 中，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，四边形 OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ______. 解：如图 ，连接 . ∵ 四边形  是平行四边形， ∴ ，OC∥AB， ∴ ， ∴  是等边三角形，. ∵ OC∥AB， ∴ ， ∴ 图中阴影部分的面积  6π. 等积变换法求图形面积 在等面积转化中可根据同底（等底）等高（同高）的三角形面积相等或图形全等进行转化，从而将不易直接求得的图形面积转化成与其面积相等的易求的图形面积. 6π 当堂小练 5. 如图，以四边形 ABCD 各个顶点为圆心，以1 cm 为半径画圆，求图中阴影部分的面积之和. 解：由图知阴影部分扇形所对的四个圆心角正好是四边形 ABCD 的四个内角，和为 360°， 所以阴影部分的面积和为π （cm2）. 不规则图形面积的求解方法 在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取割、补、移的方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式. 当堂小练 6. 如 图 ，在矩形ABCD 中， BC= AB， O 为 BC 中 点， OE ＝AB ＝ 4，则扇形 EOF 的面积为 ________． 4π 解：∵ OE=AB=4， ∴ BC= AB=4 . ∵ O 为 BC 中点， ∴ OB=OC=BC=2 ． ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴∠ OBE=90° ， ∴ BE= = =2 ， ∴ BE=OB， ∴∠ BOE=45° . 同理， ∠ COF=45° ， ∴∠ EOF=180° - ∠ BOE- ∠ COF=90° ， ∴ S 扇形 EOF=× π •OE2=4π ． 当堂小练 7. 如图，中， ， ，将绕点顺时针旋转 得到 ，则图中阴影部分面积为____.（结果保留 ） 解： ，， . 由图可知：阴影部分的面积 . 绕点 顺时针旋转 后得到， 的面积 的面积， . 当堂小练 8. 甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品， 它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心 ，且圆心角 ，若， ，则阴影部分的面积是________.（结果用 表示） 解： . 当堂小练 B 9. 如图，在地球上，，两地经度相同，纬度分别为 (即)和 (即 ).已知地球的半径约为，则地球表面两地的距离（即 的长）约为 ( ) A. B. C. D. 解： ， ， ， 地球表面两地的距离(即的长)约为 . 当堂小练 10. 如图，以等边三角形的边为直径作半圆 ，交于点，交于点， . (1) 求 的长； 解：连接 . 以等边三角形的边为直径作半圆， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长为 . 当堂小练 10. 如图，以等边三角形的边为直径作半圆 ，交于点，交于点， . (1) 求 的长； (2) 求图中阴影部分的面积. 解：过点作于点 . 由(1) 知 ， 是等边三角形， . ， ， ， . F 对接中考 1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠ D=120°，则的长是 (　　) A.π B. π C.2π D.4π C 解：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∠D=120°， ∴∠ B=60°.∴∠AOC=2∠B=120°. ∵⊙O的半径为3，∴ 的长= =2π. 对接中考 A. B. C. D. 2. 如图，，，，是 上的点，半径，， ，连接 ，则扇形 的面积为( ) A 解：， ， ， 扇形的面积为 . 对接中考 3. 如图，是边长为 的等边三角形的外接圆，是的中点，连接，.以点 为圆心，的长为半径在 内画弧,则阴影部分的面积为 ( ) C A. B. C. D. 解：如图，连接 是等边三角形，， ， . 为的中点，， 垂直平分线段， 经过点，， ， ， ，， . 拓展与延伸 1. 如图，在扇形中， ，平分交于点 ，点为半径上一动点.若 ，则阴影部分周长的最小值为_________. 解：平分， ， 的长为. 如图，作点关于的对称点 ，连接交于点， 此时 的值最小，即阴影部分的周长最小.连接 点，关于对称， ， ，， ， ，， 阴影部分周长的最小值为 . 拓展与延伸 B 2. 如图，在平行四边形 中，，以为直径的恰好经过点 ，交于点，当点为 的中点时，下列结论错误的是 ( ) A. 平分 B. C. D. 的长为 解： 点为的中点， . 平分 ，故A选项正确，不符合题意. 四边形 是平行四边形， ， .故C选项正确，不符合题意. 拓展与延伸 如图，连接 ， ，， . ， 和 都是等边三角形. ，， 四边形 是平行四边形. 过点作，垂足为 .在中， ， . ， ， . ，故B选项错误，符合题意. ， 的长为 ，故D选项正确，不符合题意. 故选B. $