第二十九章 圆 数学活动（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

人教版(新教材) 九年级上册 第二十九章圆 数学活动　四等分圆周和探究四点共圆 第二十九章 圆 1.如图，在半径为5的中， 于点，，则 ___． 3 知识回顾 练一练 知识点链接 相等的圆心角与所对的弧相等，所对的弦相等 解：∵ ∴ =8 ∵ 于点 ∴AD=AC=4(垂径定理) 有勾股定理得： DO= 知识回顾 练一练 知识点链接 *圆内接四边形对角互补 2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则BD的长为 。 解：连接OB，OD，BD，过O作OE⊥BD，垂足为E ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180° ∵∠C=2∠A， ∴3∠A=180°， 解得：∠A=60°， ∴∠BOD=120°， ∴ ∠BOE=60° 在Rt△BEO中，OB=4， ∴BE=2 ∴DB =2BE = 4 ， ∟ E 4 *同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半 导入新课 东汉连弧纹铜镜 铜镜背面的花纹制作分别需要八等分圆周 有两千多年历史的中国铜镜以 “装饰繁缛、制作精美” 著称于世，圆形铜镜是它最重要的一种样式 圆形铜镜的背面通常有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题 导入新课 西汉草叶纹铜镜——古人要在圆形镜背上画出对称的草叶纹，得先把圆周分成8等份、16等份，再沿着等分点排布花纹. 西汉草叶纹铜镜 今天，我们就从最基础的等分圆周入手，用尺规作图解锁古人的几何巧思，开启等分圆周的探究之旅. 画一画 环节一：探究四等分圆周方法 两条互相垂直的直径有什么特点？ 思考 O A B C D （1）作⊙O的直径AB ； （2）过O作AB的垂线CD，交⊙O于点C，D， 结论： 是⊙O的四个等分点。 A，B，C，D = = = ∟ ∵直径AB⊥CD ∴∠AOD= ∠DOB= ∠BOC= ∠COA=90° ∴ ∴圆周被四等分 四等分圆周方法： 两条互相垂直的直径四等分圆周 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 要八等分圆周，可以在此基础上怎么操作？ 思考 环节一：探究四等分圆周方法 O A B C D 分析： （1）若八等分圆周，则每段弧对的圆心角： 360°÷8=45° （2）在四等分圆周的基础上作90°圆心角的角平分线将90°圆心角所对的弧平分 ∟ E F 作法： （1）作∠COB的平分线交⊙O 于E、F两点 （2）作∠AOC的平分线交⊙O 于G、H两点 G H A、F、D、H、B、E、C、G是圆周的八等分点 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 学生用尺规跟随操作，教师巡视并提示：角平分线要保证将90°角平分为45° 7 O A B C D ∟ E F G H 在八等分圆周的基础上如何得到圆周的十六等分点？ 思考 环节一：探究四等分圆周方法 分析： （1）若十六等分圆周，则每段弧对的圆心角： 360°÷16=22.5° （2）在八等分圆周的基础上作45°圆心角的角平分线将45°圆心角所对的弧平分 方法： 继续平分 45° 圆心角，得到 22.5° 圆心角，就可以 十六等分一个圆周. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 学生用尺规跟随操作，教师巡视并提示：角平分线要保证将45°角平分为22.5° 8 环节一：探究四等分圆周方法 等分圆周的核心是将360°角平分为n个相等的圆心角（如八等分对应45°圆心角），可通过作角平分线平分已有等分弧/圆心角的方式，从四等分逐步得到八等分、十六等分，这是铜镜纹样等传统对称工艺的几何基础. 归纳 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 思考 环节二：探究四点共圆 （2）矩形的四个顶点能在同一个圆上吗？ （1）如图，▱ ABCD是圆内接四边形，∠A是多少度？▱ABCD是什么图形？ A C D O B ∵▱ ABCD是圆内接四边形 ∴ ∠A+ ∠C=180°（圆内接四边形对角互补） ∵ ∠A= ∠C（平行四边形对角相等） ∴ ∠A=∠C=90° ∴ ▱ABCD是矩形 即：圆内接平行四边形是矩形 如图：连结矩形ABCD对角线AC，BD交于O点 由矩形性质可得：OA=OB=OC=OD ∴A、B、C、D在同一个圆上 A C D B O 平行四边形中只有矩形（含正方形）的四个顶点能在同一个圆上 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究四点共圆 思考 D A B C D A B C D A B C 猜想：过四个顶点能作圆的四边形，对角互补. 图1 图2 图3 （3）画一画，过四边形的三个顶点ABC画圆，观察四边形与圆的关系，猜想普通四边形四个顶点在同一个圆上需要满足怎样的条件？ O O O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究四点共圆 验证 D A B C 图3 证明：四边形ABCD的四个顶点能作一个⊙O 则四边形ABCD内接于⊙O ， 由圆内接四边形性质可得： ∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°. （1）四边形ABCD的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和为180°（对角互补）. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究四点共圆 验证 （2）四边形ABCD的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不为180°（对角不互补）. D A B C D A B C 图1 图2 证明：假设∠A+∠D=180°， 但A、B、C、D不共圆. 过A、B、C三点作⊙O （因为A、B、C不共线）， 点D有两种位置关系： ►点D在⊙O外部. ►点D在⊙O内部. D' ①当点D在⊙O外部， 连接BD交⊙O于点D'，连接BD’和CD'. ∴∠ABC+∠AD′C=180°. 由三角形外角定理易得： ∠AD′C＞∠ADC. ∴∠ABC+∠ADC＜180° .这与假设相矛盾 O O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究四点共圆 验证 （2）四边形ABCD的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之和不为180°（对角不互补）. D A B C D A B C 图1 图2 证明：假设∠A+∠D=180°， 但A、B、C、D不共圆. 过A、B、C三点作⊙O （因为A、B、C不共线）， 点D有两种位置关系： ►点D在⊙O外部. ►点D在⊙O内部. D' 当点D在⊙O外部，连接BD并延长交⊙O于点D'，连接BD’和CD'. 同理可得：∠ABC+∠ADC＞180°. 这与假设相矛盾 D' ∴ A、B、C、D不共圆时， ∠BDC+∠BAD≠180° ∴∠ABC+∠AD′C=180°. O O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究四点共圆 几何语言： 几何语言： 四点共圆 一、判定： 对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆. 四点共圆的判定与性质 A B C D 四边形的四个顶点共圆 四边形对角互补 （即相对两个内角之和为180°） ⇔ 二、性质： 圆内接四边形对角互补 ∵∠A+∠C=180° ∴ A、B、C、D在同一个圆上 ∵A、B、C、D在同一个圆上 ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 归纳 O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究四点共圆 拓展 隐形圆问题 【模型展示】 图①中，若点 是定点，,则,, 三点在以点为圆心， 为半径的圆上. 图②中，若点是定点，是定长，则动点在以点 为圆心， 长为半径的圆上. O O 模型1 定点定长 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 模型2 四点共圆 【模型展示】 (1)若 ，则,,, 四点共圆. (2)若,则 四点共圆. 拓展 隐形圆问题 环节二：探究四点共圆 A B C D O O A B C D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例1 如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（    ）． A．六 B．八 C．十 D．十二 解：如图所示，连接OA，OC，OB， ∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边， ∴,， ∴， ∴， D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2、如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为 ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ． 解:（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵，∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例3.如图 4， 在 △ ABC 中 ，过点 B 作BD ⊥ AC 于点 D， 过 点 C 作 CE ⊥ AB 于 点 E，连 接 DE， 若 ∠ ABC=45 ° ，则 ∠ EDB 的 度 数为______ . 例题讲解 E ∟ D ∟ B A C M 解： ∵ CE ⊥ AB，BD ⊥ AC， ∴ △ BCE，△ BCD 都是直角三角形 . 取 BC 的 中 点 M，连 接EM，DM， ∴ BM=CM=EM， BM=CM=DM.∴ BM=CM=DM=EM. ∴ 点 B， C，D，E 在以点 M 为圆心， BM 为半径的圆上， ∵∠ ABC=45° ， ∴∠ BCE=180° -∠ ABC-∠ BEC=45° . ∴∠ EDB= ∠ BCE= 45° . 45° 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4.如图,在中,, ,为 上一点, ,, ,则 的长为_____. 解：如图,连接,过点作于点 . , , , . ●O H ∟ M ∟ 由勾股定理可得 . . . 又 ， . . 在中,由勾股定理可得 . . ,,,四点共圆. . . , . .过 点作于点,则易得 . 在中, , . 例题讲解 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂小结与知识梳理 1.等分圆周原理：n等分→圆心角＝360°÷n； 方法：平分圆心角（四等分→八等分→十六等分） 2.圆内接四边形 性质：圆内接四边形对角互补； 判定：对角互补的四边形的四顶点共圆 3.易错提示 ＊活动1：四等分圆周的关键是圆心角90°，作图时垂线的作法和准确性直接影响等分效果. ＊活动2：判定四点共圆时，必须满足“对角互补”即∠A+∠C=180°，不是“邻角互补”. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 1.如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 解:如图，连接,, ∵四边形是正方形 ∴ ∵六边形是正六边形 ∴ ∴ ∴弦所对圆周角的度数为或 C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 2.（2023秋·福建宁德·九年级统考期末）将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是6，则大正六边形的面积是 . 解：如图连线： ∵多边形为正六边形， ∴图中每个三角形都为等边三角形且全等， ∵小正六边形的面积是6， ∴每个三角形的面积为， 由图得共有54个等边小三角形， 故大正六边形的面积是， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 3.如图，四边形是的内接四边形，连接，，，已知，则的度数是（       ） A． B． C． D． 解：，， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ∴ D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 4、如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ． 解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°，∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 6. 在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 5 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 7.如图，四边形内接于，、的延长线相交于点E，、的延长线相交于点F．若，，则的度数为 ． 解：∵ 是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 8. 如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分. (1)求证：； (2)若为等边三角形，则 度；（直接写答案） (3)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径. （1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，又， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴, 又∵四边形是圆内接四边形， ∴， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 8. 如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分. (1)求证：； (2)若为等边三角形，则 度；（直接写答案） (3)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径. （3）解：在图2中，连接延长交于H，交于 K， ∵， ∴，则， ∴，， ∵为直径， ∴，又， ∴， ∴四边形是矩形， H K ∴， ∵， ∴，则， 在中， ， ∴的半径为． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 31 谢谢聆听 $