29.3 弧长和扇形面积（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

第29章　圆 29.3 弧长和扇形面积（第1课时） 弧长和扇形面积 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 弧占整圆圆周的几分之几？呢？ 答：；。 同圆内比例等于圆心角与之比。 情境引入 示例 同一圆内圆心角的扇形面积占整圆面积多少？ 答：。 面积与圆心角成比例。 新知探究 弧长公式：观察与推理 研究问题 整圆对应周长，对应多长？ 观察与依据 对应，再乘得所需弧长。 O A B 新知讲授 弧长公式 结论 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为。 条件与用法 角度n按“度”取数值，半径与弧长使用同一长度单位。 O A B 新知探究 扇形的定义：观察与推理 研究问题 弦AB与劣弧AB围成的部分是否是扇形？ 观察与依据 不是。扇形边界须经过圆心，有两条半径。 O A B 新知讲授 扇形的定义 结论 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 条件与用法 扇形边界含两条半径与一段弧，不同于弦与弧围成的弓形。 O A B 新知探究 扇形面积公式：观察与推理 研究问题 扇形占整圆多少，就占整圆面积多少吗？ 观察与依据 它所占比例为，因此将圆面积乘该比例。 新知讲授 扇形面积公式 结论 半径为，圆心角为的扇形面积为。 条件与用法 面积公式分母是，半径要平方；弧长公式分母是，半径不平方。 新知探究 弧长表示扇形面积：观察与推理 研究问题 怎样消去弧长公式与扇形面积公式中的角度？ 观察与依据 。 新知讲授 弧长表示扇形面积 结论 ，其中为扇形的弧长，为半径。 条件与用法 当已知弧长与半径时可直接求面积，不必先求圆心角。 新知探究 组合图形面积：观察与推理 研究问题 半径与水深已知，如何计算圆管中水的截面面积？ 观察与依据 过圆心向水面弦作垂线，求出圆心角，再用扇形减三角形。 新知讲授 组合图形面积 结论 弓形面积可用扇形面积减去对应三角形面积，其他阴影面积可用整体减去空白部分。 条件与用法 先找每一部分的准确边界，再决定相加还是相减。 例题讲解 例 1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料。计算图示管道的展直长度（结果取整数）。 答：先建立解题所需的关系。 中间弧半径、圆心角，弧长为。 中间弧半径、圆心角，弧长为。 例题讲解 例 1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料。计算图示管道的展直长度（结果取整数）。 答：。 中间弧半径、圆心角，弧长为。 再加两端直线段：。 再加两端直线段：。 例题讲解 例 2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。 答：先建立解题所需的关系。 弦心距为，圆心角，弦长为。 弦心距为，圆心角，弦长为。 例题讲解 例 2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。 答：约。 弦心距为，圆心角，弦长为。 ，。 。 。 例题讲解 示例 半径、圆心角，求弧长。 O A B 答：。 。 变式训练 变式 半径、圆心角，求弧长。 答：。 。 例题讲解 示例 半径、圆心角，求扇形面积。 答：。 。 变式训练 变式 半径、圆心角，求扇形面积。 答：。 。 例题讲解 示例 半径的圆上，弧长，求圆心角。 答：。 。 变式训练 变式 扇形面积、弧长，求半径。 答：。 。 例题讲解 示例 半径的扇形面积为，求圆心角。 答：。 它的面积是整圆的一半。 变式训练 变式 半径的圆中，弦所对劣弧圆心角，求小弓形面积。 答：。 扇形面积，等腰三角形面积。 例题讲解 示例 扇形弧长、半径，求面积。 答：。 。 变式训练 变式 半径、圆心角，求扇形周长。 答：。 两条半径加四分之一圆周长。 例题讲解 示例 圆心角不变，半径扩大为原来的倍，弧长和面积各怎样变化？ 答：弧长为倍，面积为倍。 弧长含R一次，面积含R平方。 变式训练 变式 边长的等边三角形内，以三顶点为圆心、半边长为半径画扇形，求余下面积。 答：。 等边三角形面积，减三个、半径的扇形。 课堂练习 练习 弧长相等的两段弧是等弧吗？并说明理由。 答：不一定。不同半径圆上可取长度相等而形状不同的弧，不能重合。 等弧需同圆或等圆条件，弧长相等本身不足。 课堂练习 练习 如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是，弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径是多少米（结果保留小数点后一位）？ O A B 答：。 由弧长公式反解半径。 课堂练习 练习 如图，是边长为的等边三角形，分别是的中点，以三点为圆心、为半径作圆。求图中阴影部分的面积。 答：。 等边三角形面积减三个扇形面积。 方法归纳 本阶段的解题方法 按圆的比例计算 ① 先明确圆心角对应的整圆比例。 ② 弧长按周长分，扇形面积按圆面积分。 处理组合图形 ① 画出半径、垂线等辅助线，求准确的圆心角。 ② 阴影或弓形用整体减空白，长度与面积单位分别检查。 课堂总结 弧长和扇形面积 弧长 。 扇形 两半径与对应弧围成。 面积 。 综合 相加相减处理弓形与阴影。 针对训练 训练 半径、圆心角，弧长公式是哪一个？A.；B.；C.；D.。 答：选B。 用整圆检验应得到。 用整圆检验应得到。 针对训练 训练 半径、圆心角的扇形面积为________。 答：。 。 。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 弧长相等必为等弧 错 不同半径圆上的等长弧未必能重合。 （2） 同圆中圆心角越大弧越长 对 同一圆内，弧长与圆心角成正比例。 （3） 扇形面积只由弧长确定 错 还需知道半径，面积为。 （4） 扇形面积可用一半弧长乘半径计算 对 由弧长与扇形面积公式消去圆心角可得。 不同半径要分别考虑。 针对训练 训练 半径，圆心角，求弧长。 答：。 。 。 针对训练 训练 圆心角、弧长，求半径。 答：。 。 。 针对训练 训练 扇形面积、弧长，求半径。 答：。 。 。 针对训练 训练 扇形弧长为，圆心角，求半径与面积。 答：半径，面积。 先由弧长求R，再用。 先由弧长求R，再用。 针对训练 训练 半径的圆中，弦所对劣弧的圆心角为，求小弓形面积。 答：。 扇形减两半径构成的直角三角形。 扇形减两半径构成的直角三角形。 针对训练 训练 圆形草坪半径，沿圆周修一段圆心角的小路，求小路长度与所围扇形草坪面积。 答：长度，面积。 分别使用弧长与面积公式，注意单位。 分别使用弧长与面积公式，注意单位。 针对训练 训练 雨刷长，转动，把转轴到末端看作半径，求覆盖扇形面积。 答：。 覆盖面积按整圆的三分之一计算。 覆盖面积按整圆的三分之一计算。 方法归纳 本课方法总结 按圆的比例计算 ① 先明确圆心角对应的整圆比例。 ② 弧长按周长分，扇形面积按圆面积分。 处理组合图形 ① 画出半径、垂线等辅助线，求准确的圆心角。 ② 阴影或弓形用整体减空白，长度与面积单位分别检查。 $