辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年高二上学期数学第10周晚周测试题

朝阳一高高二数学第十周周测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．设圆：与圆：交于，两点，则（     ） A．1 B．2 C． D． 3．已知点是圆：上一动点，则点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若方程有实数解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知点，圆，则下列结论正确的有（     ） A．是圆外一点，是圆的切线，切点为，则切线长为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 11．已知圆C：和直线l：，则（     ） A．直线与圆相切 B．当时，圆上的点到直线的最大距离为 C．当圆上有且仅有个点到直线的距离等于时 D．若直线与圆交于，两点，则的中点的轨迹是圆的一部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．与圆关于直线对称的圆的方程为______． 13．数学家阿波罗尼斯曾证明：平面内到两定点距离之比为定值（不为0）的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点M满足，则面积的最大值为________． 14．已知如图所示的爱心由两个半圆和线段，组成，两个半圆分别以正方形的边，为直径．若正方形的边长为，点在上，且，，，则的最大值为________． 四、解答题(15题12分，16题15分) 15．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上． (1)求此圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点， ①若，求直线的方程； ②当绕点转动时，求中点的轨迹方程． 16．设点，以线段为直径作圆 ． (1)求圆的方程； (2)若直线过点 ，与圆交于，两点，，求直线的方程； (3)已知为直线 上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形PECF面积的最小值． 答案第2页（共3页） 答案第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高二第十周周测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B B C A BD BD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】由已知，圆心为直径端点，的中点， 圆心坐标：， 半径， 圆的标准方程为， 即. 2．B 【详解】由圆：，圆：，即， 将两圆方程相减，整理得直线的方程：， 而圆：的圆心为，半径为， 显然直线经过圆的圆心，则. 3．B 【详解】因圆心到直线的距离为，半径为， 所以点到直线：的距离的最大值为. 4．C 【分析】先由对称性得到的圆心，再根据圆与圆的位置关系确定公切线条数即可． 【详解】设点A关于直线l的对称点， ，解得， 则的圆心为，半径为2， ，圆心为，半径为， 圆与圆的圆心距， 又， 所以圆与圆外切， 则圆与圆的公切线条数为． 5．B 【分析】求圆心到直线的距离，结合题意分析可知，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 则，即，解得， 所以半径的取值范围是. 6．B 【分析】将问题转化为直线与半圆有交点，通过数形结合的方式可确定的取值范围. 【详解】由得：， 由得：， 则原方程有实根等价于直线与半圆有交点， 当直线与相切时，，解得：； 当直线过点时，； 结合图象可知：当时，直线与半圆有交点， 即当时，方程有实数解. 7．C 【分析】首先求点的轨迹方程，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设点，又，所以，整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上. 点在圆上运动，圆心为，半径为，点在直线上运动，如图， 圆与圆关于直线对称，则，所以， 即当，，三点共线时，取得最小值. 设，则，解得. 因此. 8．A 【分析】设切点对应的点，写出以为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦的直线方程；利用在已知直线上，消元整理，求出直线恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等于圆心到定点距离）时，弦长最小，用弦长公式算出最小值. 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 9．BD 【分析】分别利用点与圆的位置关系、切线长公式、弦长公式及垂径定理逐项判断.注意直线截圆所得弦长问题需分类讨论斜率是否存在. 【详解】已知点，圆，则圆心，半径. 选项A，， 由切线长定理可求出，故A错误； 选项B，因为，所以点在圆内部，故B正确； 选项C，弦长，由弦长公式， ， 即圆心到直线距离， 直线过，当直线的斜率存在时， 设直线的方程是，即，圆心到直线距离， 即 所以直线的方程是，即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，圆心到它的距离，也满足条件. 所以的方程为：或，故C错误； 选项D，以为中点的弦，则弦与垂直，， 所以弦所在的直线的斜率，又过， 所以该直线方程为，即，故D正确． 10．BD 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心和半径，A、B、C三个选项分别利用“圆上点到定点距离”、“两点连线斜率”、“截距”的几何意义，结合圆心到直线距离公式求解；D选项利用“点在圆上，切线与半径垂直”的性质求出切线方程． 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示， 所以的最大值为， 故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示， 设，即，由题意直线与圆C有公共点， 故圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为，故B项正确； 对于选项C：设，则直线方程为， 当直线与圆C有公共点时，圆心到直线的距离 ，即， 即，解得，所以的最小值为，故C错误； 对于D项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故D项正确； 11．BCD 【分析】由直线所过定点坐标判断A选项的正确性，结合点到直线的距离公式判断BC选项的正确性，判断中点的轨迹来确定D选项的正确性. 【详解】圆：，即，圆心为，半径为. 直线，即， 当时，，所以直线过定点. ，所以点在圆内，所以直线与圆相交，A选项错误. 时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最远距离为，B选项正确. 若圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离为， 即，C选项正确. 对于D选项，直线与圆相交于、两点，设的中点，则， 则，即点的轨迹是以为直径的圆. 由于直线的斜率存在，所以点的轨迹是以为直径的圆，且除去与直线的交点（以外的另一点），所以D选项正确. 12． 【详解】圆关于直线对称后半径不变，仅需求出原圆圆心关于对称轴的对称点作为新圆心，即可写出对称圆的方程. 【点睛】由原圆方程，可得其圆心为，半径, 设圆心关于直线的对称点为，根据轴对称性质列方程： 直线与对称轴垂直，对称轴斜率为，故，整理得 ①； 线段的中点在对称轴上，代入直线方程得， 整理得 ②； 将①代入②解得，，即对称圆的圆心为，半径与原圆相等为. 故所求对称圆的方程为. 13． 【分析】建立平面直角坐标系，将距离比例转化为动点的轨迹方程，再把三角形面积最大问题转化为圆上点到直线的距离最大问题． 【详解】以点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，设． 由，两边均非负，平方得，整理得， 故动点的轨迹是以为圆心、为半径的圆． 因为直线为轴，所以在边上的高为，面积为． 由轨迹方程得，从而，当，时取等号， 且这两点均满足原距离条件，因此面积的最大值为． 14． 【分析】以正方形的对角线，建系，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可. 【详解】以正方形的对角线，的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图. 因为正方形的边长为， 所以，，，， 以为直径的圆的半径为，其圆心为的中点. 设点，， 则，，. 因为，，， 所以，  解得， 所以 . （其中，，，） 不妨取，则. 所以当时，取得最大值. 15．(1)圆的方程为 (2)①直线的方程为或 ②的轨迹方程为 【分析】（1）求出线段的中垂线的方程，联立直线，解出圆心坐标，进而解出半径即可； （2）①分类讨论直线斜率存在与不存在的情况，利用弦心距和点到线的距离公式计算即可得出结果； ②设中点的坐标为，则，再分、进行讨论求解． 【详解】（1）因为，，所以线段的中点为， 直线的斜率， 进而线段的中垂线的斜率为，因此线段的中垂线的方程为， 即．联立，解得． 则圆的半径， 所以圆的方程为． （2）①由可得弦心距， 当直线的斜率不存在时，即直线的方程为， 圆心到直线的距离也为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即． 则圆心到直线的距离 解得，此时直线的方程为； 综上，直线的方程为：或． ②解：设中点的坐标为， 因为为弦的中点，所以， 又因为直线过点，所以， 当时，， 即， 整理得， 当时，，则也满足该方程， 所以中点的轨迹方程为． 16．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间的距离公式求出半径即可； （2）分情况讨论：当直线斜率不存在时，单独验证弦长是否符合要求；当斜率存在时，设出点斜式方程，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，由垂径定理和勾股定理可得，求出斜率即可； （3）利用切线性质与勾股定理把四边形面积转化为，根据垂线段最短求出点到直线的距离，再代回式子算出面积最小值. 【详解】（1）由题意可知，圆的圆心为线段的中点， 因为，所以圆心的坐标为， 圆的半径为， 所以圆的方程为. （2）当斜率不存在时，过点 的直线，此时，舍去. 当斜率存在时，设直线的方程为即. 圆心到直线的距离为， 因为，，由垂径定理可得， 即，所以， 所以，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为， 综上，直线的方程为或. （3）由切线的性质可知，，，且， 四边形PECF面积， 在中，， 所以，要使最小，需最小. 因为在直线 上， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 即四边形PECF面积的最小值为. 答案第12页（共12页） 答案第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $