辽宁朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高二数学第6周晚周测试题

朝阳一高高二数学第六周周测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D．向量在向量上的投影向量的模长为 3．（JC)如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①；②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 5．(CT),如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 6．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面，，D、E、F分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在正三棱柱中，为的中点，，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为 10．(CT),正方体的棱长为分别为的中点.则（    ） A．正方体体积是三棱锥体积的12倍 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 11．如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．(CT),在正三棱锥P－ABC中，E为棱PC的中点，四点P，A，B，E在球的球面上，A，B，C，E在球的球面上，若，则点P到平面ABC距离的平方为______． 13．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 14．(GK),如图，在四棱锥中，底面，且，，，若在内有一动点，，在线段上有一动点，则的最小值为________. 四、解答题(15题12分，16题15分) 15．(GK),已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 16．(GK),如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 第3页（共4页） ◎ 第4页（共4页） 第1页（共6页） ◎ 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 朝阳一高高二数学第六周周测答案 一、单选题 1．已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，即． 2．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D．向量在向量上的投影向量的模长为 【答案】D 【分析】应用向量的坐标运算结合勾股定理计算点到直线的距离判断A，由空间向量基底的性质判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，先求出投影向量再计算模长判断D. 【详解】对于A，因为 ， 又 为 的一个方向向量， 则点 到直线 的距离，故A错误； 对于B， 因为 即共面，不能作为空间的一个基底，故B错误； 对于C，因为四边形为平行四边形，， 又， ，，， 因为在空间四边形中，与成角， 或， 又， ， 当时，， ，即此时两点间的距离为； 当时，， ，即此时两点间的距离为， 综上所述，两点间的距离为或，故C错误； 对于D，因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影模长为：，故D正确. 3．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 4．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 5．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 6．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 7．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 8．在三棱锥中，平面，，D、E、F分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量线面角求解即可. 【详解】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， ．，，，，， 设面的法向量为，则由， 得，取，则，设与平面所成角为θ， 则，与平面所成角为． 二、多选题 9．在正三棱柱中，为的中点，，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为 【答案】AC 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线所成角、线面角，逐项判断选项正误. 【详解】取中点，连接，，因为为中点， 由题可得平面，且平面， 所以，. 因为是等边三角形，为中点， 所以. 以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，，，则， 所以，故直线与直线所成的角为，A正确； 对于B，设直线与直线所成的角为， ,，，则， ，， 所以，故直线与直线所成的角不为，B错误； 对于C，平面的法向量，， 线面角满足，故，C正确； 对于D，设平面的法向量为， 由题可得，，， 联立， 得 令，则， 线面角满足，故，D错误. 10．正方体的棱长为分别为的中点.则（    ） A．正方体体积是三棱锥体积的12倍 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法及棱锥体积公式逐一判断各选项． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 则． 因为分别为的中点， 所以． 选项A：正方体体积． 三棱锥的体积． 因为，， 所以． 正方体体积是三棱锥体积的倍，故A错误； 选项B：． 设平面的法向量为， 则，取，得． 又， 所以，即． 又平面，所以直线平面，故B正确； 选项C：由坐标可得，，． 为等腰三角形，底边上的高． 所以截面面积，故C正确； 选项D：． ， 底面在平面（即平面）上． 在平面中， （此处坐标为）， ． 点到平面的距离为， 所以． 所以体积之比为，故D正确． 11．如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ACD 【分析】选项A，由题意平面，可得为底面上的高，然后计算的面积，利用求解即可.选项B，利用向量夹角公式，再结合在中由余弦定理计算，利用向量的数量积以及线性运算进行转化，最终得到直线与直线所成角的余弦值为；选项C，利用等体积法，求出点到平面的距离，然后利用线面角的定义得到直线与平面所成角的正弦值为；D选项，先求出的外接圆半径，然后构造直角三角形得到，解得外接球半径，再利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为，平面， 所以平面，所以为底面上的高， 选项A，因为由翻折得到，所以. 在中，，边上的高为， 所以，A正确 选项B，在中，， 可得 ，所以直线与直线所成角的余弦值为，B错误. 选项C，由题意得，设点到平面的距离为， 由，可得，解得 所以直线与平面所成角的正弦值为，C正确. 选项D，由选项B知，， 所以，所以的外接圆半径 设三棱锥的外接球半径为， 因为平面，所以，解得. 所以外接球的体积是，D正确. 三、填空题 12．在正三棱锥P－ABC中，E为棱PC的中点，四点P，A，B，E在球的球面上，A，B，C，E在球的球面上，若，则点P到平面ABC距离的平方为______． 【答案】或 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量求解． 【详解】记为中心，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，，记，，由球心到球面的距离为半径可得 ， 解得， ， 解得 由得， ， ， ， 或， 于是所求距离的平方或． 13．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 14．如图，在四棱锥中，底面，且，，，若在内有一动点，，在线段上有一动点，则的最小值为________. 【答案】 【分析】由确定的轨迹是内以为圆心、半径为 1 的一段圆弧；固定时，由余弦定理，随减小而变小，故求最小值等价于寻找上点与平面所成最小线面角；利用等体积法求出点到平面的距离，得到线面角的正弦值，再由直接算出最小值. 【详解】点的轨迹事实上就是内以点为圆心，1为半径的一段圆弧， 如图所示，由于距离为定值1，则当点固定时， 由余弦定理可知，的距离只取决于，越小，距离越小， 过作平面的垂线，垂足为，则， 由题意可得，，所以； 在中，，， 所以， 由，作，垂足为， 则，所以点与点重合，此时连接交圆弧于点， 此时为与平面的线面角，并取到最小， 此时，过点作线段的垂线，垂足为点， 取到最小值. 四、解答题 15．已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面， 所以． (2) 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论. 【详解】（1）略； （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系： 由，结合菱形性质得，，，， 因为在上，故可设，则， 取底面的法向量为， 因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值， 所以， 代入，，可得， 所以， 化简解得，即为中点，点的坐标为， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 因此 ， 观察图象可得二面角为锐二面角，故， 所以二面角的余弦值为. 16．如图1，已知菱形的对角线和交于点，，.将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点），平面与交于点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点）， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以. (2) 【分析】（1）先证明，利用线面平行的判定定理推得平面，再由线面平行的性质定理即可证明； （2）根据条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】（1）略； （2）因为菱形的对角线和交于点， 所以为的中点，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 故可以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，则点为的中点，故， 又是的三等分点，则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点到平面的距离为. 试卷第8页（共17页） 试卷第2页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $