辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年高二上学期数学第4周晚周测试题

朝阳一高高二数学第四周周测答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在平面ABCD中，，，，若，且为平面ABCD的法向量，则等于（    ） A．2 B．0 C．1 D．无意义 【答案】C 【分析】根据已知的A，B，C三点坐标，可得向量和，再由为平面ABCD的法向量，可列出方程组，即得. 【详解】由题得，，，又为平面ABCD的法向量，则有，即，则，那么. 故选：C 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量，是基础题. 2．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 3．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则下列四组向量中能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使，只需成立即可，由此利用空间向量平行的坐标表示对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，要使，只需成立即可， 对于A，假设，所以存在，使得，因为，所以，得，即，无解，假设不成立，故A错误； 对于B，类比选项A得，得，即，无解，假设不成立，故B错误； 对于C，类比选项A得，得，即，无解，假设不成立，故C错误； 对于D，类比选项A得，得，解得，假设成立，故D正确. 故选：D. 4．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 5．如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直 【答案】D 【分析】根据图形位置证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面的法向量，直线的方向向量，判断平面的法向量是否与直线的法向量垂直，又判断直线与直线是否垂直，可得直线与平面的位置关系. 【详解】解：如图取中点，连接， 因为为中点，所以 又在三棱柱中，平面，为中点，所以 则平面，又平面，所以，， 又，则，所以， 以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则,2,，,0,，,0,，,0,，,2,， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，故， 又， 因为，又 所以直线与平面相交，且不垂直于平面． 故选：D. 6．在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算以及数量积的定义，结合向量模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则， 由， 则，， 所以 . 故选：B. 7．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8．已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简为，结合题意得的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意设正方体中心为O，即为正方体内切球球心， 则O为的中点，因为正方体的棱长是2，故， 则内切球半径为1； 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故， 即当P位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值， 则， 即的取值范围为， 故选：C 二、多选题 9．以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】CD 【解析】根据空间直线的方向向量数量积的值是否为零判定两直线是否垂直，即可判断A；根据空间直线的方向向量与平面的法向量是否共线判定B；根据两平面法向量是否平行可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积为零，即可求得的值，可判断D. 【详解】A:，，， 则不垂直，直线与不垂直，故A不正确； B:若，则， ∴存在实数，使得,无解，故B错误； C:，∴， 与共线，，故C正确； D:点，，， ，. 向量是平面的法向量，， 即，解得，故D正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 必须熟练掌握的知识和技能： （1）空间两直线垂直的充分必要条件是其方向向量垂直； （2）线面垂直的充分必要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行； （3）两个不同平面平行的充分必要条件是其法向量共线. 10．如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解. 【详解】， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确. 故选：BD. 11．已知正方体中，平面，平面，，记直线与平面所成角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】连接空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求出，由的取值范围，求出的取值范围，即可判断. 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，因为平面，平面， 所以，，即，令，则， 又， 所以， 因为，所以，所以， 所以. 即，故符合题意的有B、C； 故选：BC 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系点关于平面的对称点的坐标变换特征求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为， 故答案为： 13．已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为____________． 【答案】 【分析】过点A作，垂足为B，记点B坐标为，利用和列方程组求解可得. 【详解】过点A作，垂足为B，记点B坐标为， 则， 所以 解得，，， 则，即点到l的距离为. 故答案为： 14．在正三棱柱中，若，点是的中点，求点到平面的距离______． 【答案】 【分析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 【详解】 以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 0，，0，，，4，， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 点到平面的距离： ． 故答案为． 【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 四、解答题 15．如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,且侧面为等边三角形.为线段的中点. (1)求证:直线; (2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】(1)连接,通过一个顶角的菱形得到,又有得到平面即可证明结果; (2)根据题意建立空间直角坐标系,设出点坐标,通过向量求平面法向量与的夹角正弦值,使其等于,得出点坐标即可. 【详解】（1）证明:连接,如图所示: 因为三角形为正三角形,, 又四边形为菱形,且, 所以也是正三角形, 所以, 平面, 平面, 又平面; （2）由平面平面,及可得,平面. 直线两两垂直,以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示, 菱形边长为2,所以可求得 , , 设平面的法向量为, 则, 取, 可得其中一个法向量, 因为是线段上的点, 所以存在实数, 使得, , 设直线与平面所成的角为, 则 , 解得或, 所以线段上存在点满足题意,且为线段的两个三等分点. 16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1) 且是中点，直角中，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又底面，平面底面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，结合已知可得平面，从而可证结论； （2）取中点，连接，，可证底面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，， 且是中点，且 由（1）得平面底面，又平面底面， 底面， 分别以，为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系； ，，，，， ，，，， 若平面的一个法向量， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 若平面的一个法向量， ，令，则， 所以平面的一个法向量， ， 所以锐二面角的余弦值为. 试卷第14页（共14页） 试卷第2页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 朝阳一高高二数学第四周周测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．在平面ABCD中，，，，若，且为平面ABCD的法向量，则等于（    ） A．2 B．0 C．1 D．无意义 2．（JC）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 3．（CT）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则下列四组向量中能使的是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 5．如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直 6．（GK）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 7．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（GK）以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10．（CT）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（    ） A． B． C． D． 11．已知正方体中，平面，平面，，记直线与平面所成角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（CT）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是___________． 13．（JC）已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为____________． 14．在正三棱柱中，若，点是的中点，求点到平面的距离______． 四、解答题(15题12分，16题15分) 15．如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,且侧面为等边三角形.为线段的中点. (1)求证:直线; (2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为. 16．（GK）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 试卷第2页（共3页） 试卷第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $