2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中测试卷

2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中测试卷 测试范围:第1章一元二次方程圆 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知是方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入原方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ． 2．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断． 【详解】解：、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意． 3．用配方法解一元二次方程时，可转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法将化为，可得，，计算，即可得出答案． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即， ∵方程可化为的形式， ∴，， ∴． 4．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据轴，可得出与的面积相等，可推出，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得k的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴， ∴与的面积相等，即， 又∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 5．已知是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求代数式拆分为的形式，结合方程根的定义和根与系数的关系分别求出两部分的值，代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴. 6．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键． 连接，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得，利用圆周角定理求得，然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：连接， ∵I是的内心，， ∴， ∵点O是的外心， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】梳理函数图象与参数的对应关系，分情况讨论k的取值，综合分析确定正确选项． 【详解】解：①当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项的图象符合要求； ②当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，没有符合条件的选项； 综上，只有B选项符合要求． 8．如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结，． ∵ ，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴的半径为． 9．如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第一次折叠性质得出 的长，根据第二次折叠性质得出且平分，从而求出的弦心距，最后利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图 设为的半径，于，则为 中点，， ∵劣弧沿折叠,经过圆心， ∴点与点关于对称， ∴，且 . 如图 ∵劣弧沿折叠，经过的中点， ∴且平分， 设 与 所在直线交于点 F，则． 设为关于的对称点，则为折后弧所在圆的圆心，连接， ∴，， 在中，， 由垂径定理得． 10．在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（    ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题根据圆周角定理确定“好点”的轨迹是两段圆弧，再分别验证三个结论即可．用到圆周角定理、两点坐标距离公式、直线与圆的位置关系、一元二次方程、扇形面积公式等初中知识点，根据相关知识进行求解即可． 【详解】解：已知，则，， 根据圆周角定理，满足的点的轨迹是两段圆弧，如图： ①圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故是“好点”，①正确； ②圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故也是“好点”，又， ∴满足的点的轨迹是两段圆弧（实线部分），所有“好点”围成的区域是两个弓形的面积和， 对任意一个弓形，对应扇形圆心角为，扇形面积为， 面积为， 总面积为，故②正确； ③设点C坐标为，则，则， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切； 由得， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切， 如图，当和时，直线与满足的点的两段圆弧相切， 由图知，当时，直线上不存在“好点”， 故当且时，直线上不一定有两个“好点”，故③错误． 综上，①②正确，答案选A． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 【答案】 【分析】连接、，设与相交于O，先根据正方形的性质得到，， ，再根据90度的圆周角所对的弦是直径得到，是的直径，点O为圆心，进而利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接、，设与相交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∵正方形是的内接四边形， ∴，是的直径，点O为圆心， ∵的半径为3， ∴弧的长为． 12．若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，结合给定的的取值范围，先判断各点对应值的正负，再利用同一象限内的函数增减性比较同象限的值大小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 反比例函数的比例系数， ∴ 函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点、位于第二象限的函数分支上，对应的、均为正数，且， ∵ ， ∴ 点位于第四象限的函数分支上，对应的为负数，即， 综上可得． 13．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 14．如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为____________________． 【答案】 【分析】延长交的延长线于，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，设，则，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后根据直角三角形的外接圆的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 又∵， ∴的外接圆半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、一元二次方程的应用、三角形外接圆的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 15．如图，为的直径，且．点在半圆上，丄，垂足为点为半圆上任意一点，过点作于，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，则内心所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据三角形内心的定义求出，利用全等三角形证明，从而确定点的轨迹是以为弦、圆周角为的两段圆弧；根据对称性可知这两段弧长相等，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 为的内心， 平分，平分， ，， ， 当点在半圆上从点运动到点时， 连接， 在和中， ， ， ， 点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上， 设该劣弧所在圆的圆心为，半径为， 在优弧上取一点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点从点运动到点时，点经过的路径长为， 同理，当点从点运动到点时，点经过的路径长也为， 内心所经过的路径长为． 16．若均为大于1的实数，且，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：， 整理得， ∴． ∴， 令，由，得，，代入： ， ∵， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用直接开平方法解出即可． （2）利用配方法和直接开平方法解出即可． （3）利用公式法解出即可． （4）利用提公因式法解出即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 直接开平方得， 或， ，． （2）解： ， 方程两边同时加4得， 配方得， 开方得， 或， ，． （3）解：， 整理得， ， ， ， ． （4）解： 移项得， 提公因式得， 或， ，． 18．（8分）为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元． (1)降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）； (2)为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？ 【答案】(1)； (2)该款文创产品应该定价37元 【分析】（1）根据单件利润=现售价−成本，销售量=原销量+增加销量，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程，结合“让利于游客”，选择售价更低的解． 【详解】（1）解：每件利润为元， 每天销售量为件． （2）解：根据题意，得 整理，得 因式分解，得 要让利于游客，定价尽可能低， 取． （元） 答：该款文创产品应该定价37元． 19．（8分）我们定义：若关于的一元二次方程（）满足，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题： (1)请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根； (2)若关于的一元二次方程是友好方程，求的值，并判断方程根的情况； (3)若友好方程有两个相等的实数根，求，的值． 【答案】(1)友好方程为，它的根为．（答案不唯一） (2)的值为或，方程有两个不相等的实数根． (3)，． 【分析】（1）根据友好方程定义，自主选取满足条件的构造一元二次方程，再解方程求出根． （2）利用友好方程的条件，把方程各项系数代入，列方程求出；再将代回原方程，计算判别式，根据判别式符号判断根的情况． （3）先由友好方程定义得到，列出第一个等式；再结合方程有两个相等实数根，得到判别式，列出第二个等式，联立两个等式求解，同时注意一元二次方程二次项系数不为0． 【详解】（1）解：取方程， ∵， ∴是友好方程， ， ， ∴． （2）解： ，， 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； 综上，的值为1或2，方程有两个不相等的实数根． （3）解：∵友好方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴ 把代入上式得， ， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 20．（8分）如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)双曲线的解析式为， (3) 【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较， （2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求， （3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可， 【详解】（1）解：∵双曲线的一支图像在第一象限， ，且双曲线在时，随的增大而减小， 点，在双曲线上，且， ； （2）解：∵为的中点，的面积为3， ∴， 轴， ∴， ∴双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得； （3）解：由（2）得， 设直线的解析式为， 把代入得 ， ， 直线解析式为， 设，则， 在直线上， ， ， ， ， 当时，， ． 21．（10分）【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… (1)如图②，证明：． 【模型运用】 (2)如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 (3)如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (4)如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 【答案】(1)证明：在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ； (2) (3) (4) 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）先利用已知条件求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论． （3）在上截取，连接、、、，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）作与，因为，则为的中点，由（3）知，由条件可求，则可求，又可求，为等腰直角三角形，所以可解． 【详解】（1）略； （2）解：在上截取，连接， 在中， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 的周长． （3）解： 证明：在上截取，连接、、、，如图3， 是弧的中点， ，， 又， △△， ， ， 又， ， ，即； （4）解：作与， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为的中点， 由（3）知， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 22．（10分）在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：扇形；并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法扇形．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． 【问题再探】甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式．如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，．他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分），他的猜想正确吗？ 【解决问题】 (1)补全空白部分的公式． (2)如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． (3)某纸杯的尺寸（单位：）如图2所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．①纸杯的侧面积为． ②记表示两边长分别为、（，单位：）的矩形纸片的大小．图3是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点、在对边上，点、分别在另外两边上，求出、的值． 【答案】(1)①；②；③； (2)正确，推导如下： 设弧的半径为，弧的半径为，， ∵， ∴， 则折扇扇面部分的面积 ； (3) ①；②；． 【分析】（1）根据扇形面积公式和弧长公式填空即可； （2）设弧的半径为，弧的半径为，，则折扇扇面部分的面积，然后代入弧长公式进行计算即可推导出结论； （3）①根据（2）推导的公式求解即可； ②延长交于点，设矩形的边与相切于点，连接交于点，则，先利用弧长公式列出方程组，求得，，然后利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：； 弧长公式； ∴； （2）略 （3）解：①由图可知，，，， ∴纸杯的侧面积； ②如图，延长交于点，设矩形的边与相切于点，连接交于点，则， ∵四边形是矩形， ∴四边形为矩形， ∴，， 由图可知，，，， 设，，则， ∴， 解得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴，，， ∴在和中，， ∴，， ∴， ． 23．（10分）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． (3)如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 【答案】(1)②③ (2)①；② (3)存在，或 【分析】（1）根据新定义逐个验证，即可求解． （2）①设，根据，在直线上得出，根据，是“瞬移点”得出，即可得出； ②联立，根据根与系数的关系可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，得出，即可建立方程求解． （3）根据新定义求得，根据正方形的性质以及全等三角形的性质得出的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ①，②，③， ∴是“2瞬移点”的有②③； （2）解：①设， ∵，在直线上， ∴ ∴， ∵，是“瞬移点”， ∴， ∴， ②联立 消去y得，， ，， ， ∵有两个交点A，B， ∴，即， 又∵B在A的右侧，则， ， 如图所示，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∵A，B在第一象限，则， ， ； 所以， ， 经检验是原方程的解， ∴m的值为3； （3）解：存在， ∵，， ①当时，解得：，满足， 此时， 当在第三象限时，如图所示， 过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在第四象限时， 设，则与关于对称， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当时，解得：，满足，结论同①， ∵不能为对角线，且，不存在其他情形， 综上所述，或． 24．（10分）如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： (1)【特殊情形】当时，直接写出r的值； (2)【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； (3)【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 【答案】(1) (2) (3)①直线；②；当与直线相切时 【分析】（1）当时，点D、C重合，，由直径所对圆周角逆定理得是直径，求出长后除以2得到半径； （2）由垂径定理得到，结合矩形性质表示、，在和中利用勾股定理结合化简求出； （3）①建立平面直角坐标系，写出圆心O坐标用m表达，消去参数m得到一次函数关系式，判断O的运动路径为直线的一部分；②根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到，代入线段表达式化简得，再根据直线和圆相切的判定：圆心到直线距离等于半径，列方程求解得到． 【详解】（1）解：， 点C与点D重合， ， 是的直径， ，， ， ； （2）解：如图，连接、， 点B、D都在上，且， 点O在的垂直平分线上， ， 又， ， ，直线AC，， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，以点C为原点、为x轴、为y轴建立坐标系，则，，， 由（2）知点O到的距离为，到直线的距离为，即， 设， ， ， ， 点O在直线上运动，其路径是直线的一部分； ②直线AC，且A、F都在上， G是弦的中点，， 由（2）知，，，， ， ， 当与直线相切时， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中测试卷 测试范围:第1章一元二次方程圆 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．已知是方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，可转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A． B． C． D． 9．如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（    ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，正方形是的内接四边形，若的半径为3，则弧的长为______．（结果保留） 12．若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 13．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 14．如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为____________________． 15．如图，为的直径，且．点在半圆上，丄，垂足为点为半圆上任意一点，过点作于，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，则内心所经过的路径长为______． 16．若均为大于1的实数，且，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元． (1)降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）； (2)为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？ 19．（8分）我们定义：若关于的一元二次方程（）满足，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题： (1)请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根； (2)若关于的一元二次方程是友好方程，求的值，并判断方程根的情况； (3)若友好方程有两个相等的实数根，求，的值． 20．（8分）如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 21．（10分）【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… (1)如图②，证明：． 【模型运用】 (2)如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 (3)如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (4)如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 22．（10分）在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：扇形；并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法扇形．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． 【问题再探】甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式．如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，．他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分），他的猜想正确吗？ 【解决问题】 (1)补全空白部分的公式． (2)如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． (3)某纸杯的尺寸（单位：）如图2所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．①纸杯的侧面积为． ②记表示两边长分别为、（，单位：）的矩形纸片的大小．图3是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点、在对边上，点、分别在另外两边上，求出、的值． 23．（10分）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． (3)如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 24．（10分）如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： (1)【特殊情形】当时，直接写出r的值； (2)【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； (3)【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $