第2章 有理数的运算 单元复习（10大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年人教版数学七年级上册易错题重难点培优讲义

第2章 有理数的运算 知识点1：有理数加法法则与运算律 情形 法则 字母表示 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 若，，则 异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 若，则和取的符号 互为相反数的两数相加 和为0 一个数与0相加 仍得这个数 　　运算步骤：一看（同号、异号还是含0），二定（确定用哪条法则），三算（先定符号再算绝对值）。 　　加法交换律：；加法结合律：。常把互为相反数、同号的数、能凑整的数先结合相加以简化运算。 知识点2：有理数减法法则 　　1.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即。 　　2.减法转化为加法时，减数一定要改变符号，这是最易出错之处。 　　3.有理数的减法是有理数加法的逆运算。 知识点3：有理数加减混合运算 　　1.方法：先把加减法统一成加法，再运用加法交换律和结合律简化运算；交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换。 　　2.省略加号的和式：统一成加法后可写成省略加号和括号的形式，如，可读作"负2、负3、正27、负24的和"，也可读作"负2减3加27减24"。 　　3.运算步骤：减法转化加法，再统一成省略括号的和式，最后运用运算律计算。 知识点4：有理数乘法法则与运算律 情形 法则 字母表示 同号两数相乘 得正，积的绝对值等于乘数绝对值的积 异号两数相乘 得负，积的绝对值等于乘数绝对值的积 一个数与0相乘 都得0 　　运算步骤：先看乘数中是否含0，含0积为0；不含0时先定符号再算绝对值。 　　乘法运算律：交换律、结合律、分配律。 　　多个数相乘的符号法则：负因数有奇数个积为负、有偶数个积为正；若有乘数为0，积为0。 知识点5：倒数 　　1.定义：乘积是1的两个数互为倒数，即若与互为倒数，则。 类型 方法 非0整数 分母为1、分子为该数 分数 分子、分母交换位置 小数 先化成分数再求倒数 带分数 先化假分数，再交换分子分母 　　2.注意：0没有倒数；倒数等于它本身的数是1和-1。 知识点6：有理数除法法则 　　1.法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即（）。 　　2.法则二：两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 　　3.乘除混合运算：先把除法转化为乘法，再按乘法法则确定符号、求出结果。 知识点7：有理数的乘方 1.定义：求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。中叫底数、叫指数。 底数情形 幂的符号 正数的任何次幂 正 负数的偶数次幂 正 负数的奇数次幂 负 0的任何正整数次幂 0 　　2.注意区分与：如，而。 知识点8：有理数混合运算顺序 　　1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。 　　2.运算分级：加减为第一级、乘除为第二级、乘方为第三级运算，先算高级再算低级。 知识点9：科学记数法与近似数 　　1.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，为正整数）；=原数的整数位数-1，还原时把的小数点向右移动位。 　　2.近似数：接近实际数值的数叫近似数，与准确数的接近程度用精确度表示。 　　3.取近似数用四舍五入，精确到哪一位看该位的后一位；用科学记数法表示的数取近似数时要还原原数再判断数位。 知识点10：易错警示 易错点 错误理解 正确理解 减法转加法 减数不变号 减数变为它的相反数 乘方符号 ， 省略括号 去括号不变号 括号前为"-"时去括号各项变号 除法 除以一个数等于乘它本身 除以一个数等于乘它的倒数 近似数精确度 末尾0可随意省略 精确到百分位，末尾0不能省 【易错题型】 【题型1】加减混合运算中的符号处理 　　1.易错点总结 　　（1）减法统一成加法时减数未变为相反数，如误写成； 　　（2）省略括号时，括号前是"−"号去括号未变号； 　　（3）交换加数位置时，未连同前面的符号一起交换。 　　2.纠错技巧 　　（1）统一成加法：把减号变加号、减数变相反数，如； 　　（2）省略括号法则：括号前是"+"去括号不变号，是"−"去括号各项变号； （3）交换位置必须"带符号搬家"，移动哪个数就带上它前面的符号。 【例题1】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）写成省略括号和加号的形式是__________； 【变式题1-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）把写成省略括号和加号的形式是_______． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·辽宁朝阳·阶段检测）将算式写成省略括号和加号的形式：____________． 【基础题型】 【题型2】有理数的加法与减法运算 　　解题技巧： 　　（1）同号相加：取相同符号、绝对值相加；异号相加：取绝对值较大的符号、绝对值相减； 　　（2）互为相反数相加得0，一个数与0相加仍得这个数； 　　（3）减法转化为加法后，按加法法则计算； （4）情境应用（温度变化、收支）先定正负，再列式计算。 【例题2】.（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式题2-2】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【题型3】有理数的乘法与除法运算 　　解题技巧： 　　（1）两数相乘同号得正、异号得负，绝对值相乘；含0积为0； 　　（2）除以一个数等于乘它的倒数，除号变乘号、除数变倒数； 　　（3）求倒数：整数以1为分母、分数交换分子分母、0没有倒数； （4）先确定符号，再算绝对值。 【例题3】.（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【变式题3-1】.（26-27七年级上·山东滨州·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)； (2) 【变式题3-3】.（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型4】有理数的乘方运算 　　解题技巧： 　　（1）识别底数与指数：中是底数、是指数； 　　（2）符号规律：正数幂为正，负数偶次幂为正、奇次幂为负； 　　（3）区分与，负号在括号内外不同； （4）0的正整数次幂为0。 【例题4】.（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列各式中，运算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题4-1】.（26-27七年级上·四川绵阳·阶段检测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【题型5】科学记数法与近似数 　　解题技巧： 　　（1）科学记数法写作，要求，=整数位数-1； 　　（2）还原科学记数法：把的小数点向右移动位； 　　（3）取近似数用四舍五入，精确到哪一位看后一位； 　　（4）大数取近似要还原原数判断精确到的数位。 科学记数法要点 近似数要点 共同易错 系数在1到10之间 看后一位四舍五入 末尾0不能随意省略 =整数位数-1 大数还原后再判断位数 精确度与近似值混淆 【例题5】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）年利川龙船调文化节期间，全市共接待游客约人次．将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）四川眉山仁寿半程马拉松是2026年唯一一场全国半程马拉松锦标赛．赛事报名人数突破25.6万人，将25.6万用科学记数法表示为_________． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）小明用电子秤称得班级义卖的盐城藕粉圆礼盒质量为，将1.646精确到0.01是________． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．近似数0.61与0.610的精确度相同 B．近似数精确到十分位 C．用科学记数法表示的数，其原数是25000 D．“珠穆朗玛峰的最新测量高度为8848.86米”中的数是准确数 【提升题型】 【题型6】含乘方的有理数混合运算与简便运算 　　解题技巧： 　　（1）严格按顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号； 　　（2）同级运算从左到右； 　　（3）先确定幂的符号，再计算绝对值； （4）区分与，避免符号错误。 【例题6】.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）简便计算： (1) (2) 【变式题6-1】.（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）用简便算法进行计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）课本上说： 一般地， n个相同的因数的积可以表示为，例如 利用所学的知识解决问题． (1)求 的值 (2)已知，若，则 【变式题6-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：______． 【题型7】程序框图与数值运算 　　解题技巧： 　　（1）读懂程序框图的运算顺序（输入→运算→判断→输出）； 　　（2）分步代入计算，把每一步结果作为新输入； 　　（3）注意循环终止条件：满足阈值才输出； （4）逆推：由输出结果反求输入的值。 【例题7】.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是_______． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）按如图程序输入一个数x，若输入的数，则输出结果为__________． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江西吉安·期中）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵（    ） A． B． C． D． 【题型8】正负数在生活中的运算应用 　　解题技巧： 　　（1）把实际问题抽象成有理数运算； 　　（2）正负表示相对标准的偏差，0表示恰好达到标准； 　　（3）求总量、平均数、差值时正确列式； （4）跨学科情境（排球垫球、气温温差、收支流水、马拉松）转化为加减乘除计算。 【例题8】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）利川红茶是利川市的特色农产品．某茶叶合作社以每天生产红茶为标准，超过标准产量的部分记为正数，不足的部分记为负数，某周天的产量记录如下表（单位：）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 偏差 (1)求该合作社这一周红茶的实际总产量； (2)这一周平均每天的产量比标准产量多（或少）多少千克？ (3)产量最高的一天与产量最低的一天相差多少千克？ 【变式题8-1】.（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产____________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产____________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；每少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式题8-2】.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【变式题8-3】.（26-27七年级上·四川成都·期中）光明中学校园附近的水果超市最近新进了一批樱桃，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以20元为标准，超出20元的部分记为正，不足20元的部分记为负．超市记录了第一周樱桃的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 20 35 25 30 28 (1)求这一周超市出售此种樱桃的销售额． (2)超市为了促销这种樱桃，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过3斤樱桃，每斤25元；超出3斤的部分，每斤打七折； 方式二：每斤售价25元，买3斤送1斤． 有一名顾客想一次性购买8斤樱桃，该顾客通过哪种方式购买更便宜？请通过计算说明理由． 【培优题型】 【题型9】乘方运算与规律探究 　　解题技巧： 　　（1）末位数字规律：观察底数个位幂的循环周期，用指数除以周期判断； 　　（2）裂项、倒数和等规律：先算前几项归纳，再推广； 　　（3）运算规律探究：验证前几项，归纳通项； （4）数学文化情境（庄子"日取其半"、结绳计数）抽象成乘方或进位制。 【例题9】.（26-27七年级上·广西钦州·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的个位数字是_________． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： (1)归纳*运算的法则，并用符号语言直接表示： (2)计算：___________． (3)是否存在有理数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·江苏镇江·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)计算：______； (3)利用你发现的规律计算值． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·全国·单元复习）给出下面两组算式：与，与． (1)计算各组算式，每组的结果相等吗？ (2)想一想，当n是正整数时，等于什么？用乘方的意义说明你的结论的正确性． (3)用你发现的规律计算：． 【题型10】新定义运算与有理数计算 　　解题技巧： 　　（1）读懂新定义的运算规则，严格按定义代入； 　　（2）进位制转换：十进制转进制用除以取余，还原用位权展开； 　　（3）"24点"等游戏：先定符号再构造算式； 　　（4）判断多种可能时逐一验证，保证答案完整。 进制转换 方法 十进制→进制 除以取余，倒序排列 进制→十进制 各位数字乘位权后相加 【例题10】.（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）阅读理解阅读材料，解决问题． 我们定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如记作，读作“2的3次商”；，记作，读作“的4次商”．一般地，把记作，读作“的次商”． (1)直接写出结果：__________；__________； (2)将一个非零有理数的次商写成幂的形式为：__________； (3)计算：． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）定义了一种非零有理数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①．        ②． ③．    ④． (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 文字语言：两个非零有理数进行运算时，同号得 ，异号得 ，并把 ； 符号语言：已知两个非零有理数和，其中，，．当时， ； 当时， ． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ①． ② ③． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·河南焦作·期中）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）综合与实践 阅读下列材料： 材料一：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： 就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数345可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．反之，可以将十进制数转换为二进制数，例如将52转换为二进制数，因为，所以将十进制数52转化为二进制数为． 材料二：二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 所以． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将79转换为二进制数； (2)计算，并将结果转换为十进制数． 同步练习 一、单选题 1．嫦娥五号是中国探月工程三期发射的月球探测器，为中国首个实施无人月面取样返回的探测器，由中国空间技术研究院研制，于年月日成功发射，嫦娥五号质量克，将克用科学记数法表示为（     ）克． A． B． C． D． 2．一次市场调查中，某小组了解到某种品牌的面包包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（     ） A． B． C． D． 3．数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．把算式改写成省略括号和加号的形式是____________． 5．计算________________． 6．已知表示不超过的最大整数，例如，．则________． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，按*键，再输入数，就可以得到运算：： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 9．确山瓦岗红薯是当地特色农产品，口感粉糯香甜，深受消费者喜爱，某店主将自家种植的瓦岗红薯包装后在网上销售．原计划每天卖筐，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：筐） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)星期________实际的销售量最多，本星期共有________天不及计划量； (2)通过计算说明：本周实际销售总量是否达到了计划量； (3)若红薯售价为元/筐，同时需要支出运费元/筐，那么该店主本周总利润多少元？ 10．综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是_______； (2)【独立思考】数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_______； (3)试用数轴探究：当时m的值为_______． (4)【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：对于任意有理数x，的最小值是_______． (5)由以上探索猜想，的最小值是_______，此时x的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算 知识点1：有理数加法法则与运算律 情形 法则 字母表示 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 若，，则 异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 若，则和取的符号 互为相反数的两数相加 和为0 一个数与0相加 仍得这个数 　　运算步骤：一看（同号、异号还是含0），二定（确定用哪条法则），三算（先定符号再算绝对值）。 　　加法交换律：；加法结合律：。常把互为相反数、同号的数、能凑整的数先结合相加以简化运算。 知识点2：有理数减法法则 　　1.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即。 　　2.减法转化为加法时，减数一定要改变符号，这是最易出错之处。 　　3.有理数的减法是有理数加法的逆运算。 知识点3：有理数加减混合运算 　　1.方法：先把加减法统一成加法，再运用加法交换律和结合律简化运算；交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换。 　　2.省略加号的和式：统一成加法后可写成省略加号和括号的形式，如，可读作"负2、负3、正27、负24的和"，也可读作"负2减3加27减24"。 　　3.运算步骤：减法转化加法，再统一成省略括号的和式，最后运用运算律计算。 知识点4：有理数乘法法则与运算律 情形 法则 字母表示 同号两数相乘 得正，积的绝对值等于乘数绝对值的积 异号两数相乘 得负，积的绝对值等于乘数绝对值的积 一个数与0相乘 都得0 　　运算步骤：先看乘数中是否含0，含0积为0；不含0时先定符号再算绝对值。 　　乘法运算律：交换律、结合律、分配律。 　　多个数相乘的符号法则：负因数有奇数个积为负、有偶数个积为正；若有乘数为0，积为0。 知识点5：倒数 　　1.定义：乘积是1的两个数互为倒数，即若与互为倒数，则。 类型 方法 非0整数 分母为1、分子为该数 分数 分子、分母交换位置 小数 先化成分数再求倒数 带分数 先化假分数，再交换分子分母 　　2.注意：0没有倒数；倒数等于它本身的数是1和-1。 知识点6：有理数除法法则 　　1.法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即（）。 　　2.法则二：两数相除，同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 　　3.乘除混合运算：先把除法转化为乘法，再按乘法法则确定符号、求出结果。 知识点7：有理数的乘方 1.定义：求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。中叫底数、叫指数。 底数情形 幂的符号 正数的任何次幂 正 负数的偶数次幂 正 负数的奇数次幂 负 0的任何正整数次幂 0 　　2.注意区分与：如，而。 知识点8：有理数混合运算顺序 　　1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。 　　2.运算分级：加减为第一级、乘除为第二级、乘方为第三级运算，先算高级再算低级。 知识点9：科学记数法与近似数 　　1.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，为正整数）；=原数的整数位数-1，还原时把的小数点向右移动位。 　　2.近似数：接近实际数值的数叫近似数，与准确数的接近程度用精确度表示。 　　3.取近似数用四舍五入，精确到哪一位看该位的后一位；用科学记数法表示的数取近似数时要还原原数再判断数位。 知识点10：易错警示 易错点 错误理解 正确理解 减法转加法 减数不变号 减数变为它的相反数 乘方符号 ， 省略括号 去括号不变号 括号前为"-"时去括号各项变号 除法 除以一个数等于乘它本身 除以一个数等于乘它的倒数 近似数精确度 末尾0可随意省略 精确到百分位，末尾0不能省 【易错题型】 【题型1】加减混合运算中的符号处理 　　1.易错点总结 　　（1）减法统一成加法时减数未变为相反数，如误写成； 　　（2）省略括号时，括号前是"−"号去括号未变号； 　　（3）交换加数位置时，未连同前面的符号一起交换。 　　2.纠错技巧 　　（1）统一成加法：把减号变加号、减数变相反数，如； 　　（2）省略括号法则：括号前是"+"去括号不变号，是"−"去括号各项变号； （3）交换位置必须"带符号搬家"，移动哪个数就带上它前面的符号。 【例题1】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，该项错误，故不符合题意； B、，该项错误，故不符合题意； C、，该项正确，故符合题意； D、，该项错误，故不符合题意． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）写成省略括号和加号的形式是__________； 【答案】 【分析】依据有理数减法法则将原式中的减法统一转化为加法，再省略算式中的括号与加号即可解答． 【详解】解：， ． 【变式题1-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）把写成省略括号和加号的形式是_______． 【答案】 【详解】解：． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·辽宁朝阳·阶段检测）将算式写成省略括号和加号的形式：____________． 【答案】 【分析】根据有理数减法法则，先将原式中的减法统一转化为加法，再省略括号和多余的正号即可． 【详解】解：先将原式中所有减法统一改写为加法，可得， 省略括号和加号后，结果为． 【基础题型】 【题型2】有理数的加法与减法运算 　　解题技巧： 　　（1）同号相加：取相同符号、绝对值相加；异号相加：取绝对值较大的符号、绝对值相减； 　　（2）互为相反数相加得0，一个数与0相加仍得这个数； 　　（3）减法转化为加法后，按加法法则计算； （4）情境应用（温度变化、收支）先定正负，再列式计算。 【例题2】.（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项左边式子去括号化简，与右边式子对比判断． 【详解】解：A.，与等式右边不相等，错误； B.，与等式右边不相等，错误； C.，与等式右边相等，正确； D.，与等式右边不相等，错误． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去掉括号，把式子化成，再从左往右依次计算，得到结果 2． （2）先化简负号和绝对值，得到，再利用加法交换律和结合律，把分数与、小数与分别相加，最后求和得到 35． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算计算即可． （2）根据有理数的加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型3】有理数的乘法与除法运算 　　解题技巧： 　　（1）两数相乘同号得正、异号得负，绝对值相乘；含0积为0； 　　（2）除以一个数等于乘它的倒数，除号变乘号、除数变倒数； 　　（3）求倒数：整数以1为分母、分数交换分子分母、0没有倒数； （4）先确定符号，再算绝对值。 【例题3】.（26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】按照有理数乘除混合运算从左到右的运算顺序，先计算，再算，最后算，选出对应正确选项即可． 【详解】解： ． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·山东滨州·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据有理数运算的符号规律排除错误选项，再计算验证剩余选项． 【详解】解：选项A：，错误． 选项B：，错误． 选项C：，错误． 选项D：，正确． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将算式中的符号化简，再正负数分别结合，按有理数加法法则依次计算． （2）先将带分数转化为假分数，把除法全部转化为乘法，再确定结果的符号，最后计算数值部分． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】第题括号外的乘数是括号内各分母的公倍数，用乘法分配律去掉分母，避免先通分； 第题带分数除法，先定符号、化除为乘，再把接近整十数的带分数拆成整十数减一个分数，用分配律简化口算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4】有理数的乘方运算 　　解题技巧： 　　（1）识别底数与指数：中是底数、是指数； 　　（2）符号规律：正数幂为正，负数偶次幂为正、奇次幂为负； 　　（3）区分与，负号在括号内外不同； （4）0的正整数次幂为0。 【例题4】.（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列各式中，运算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：A选项：，，结果不相等． B选项：，，结果相等． C选项：，，结果不相等． D选项：，，结果不相等． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·四川绵阳·阶段检测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确乘方底数，结合有理数乘方法则、绝对值性质逐一判断． 【详解】解：，A运算正确． ，B运算错误． ，C运算错误． ，D运算错误． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）有理数的混合运算，应先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减； （2）有理数的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减； 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解： 原式 ． 【题型5】科学记数法与近似数 　　解题技巧： 　　（1）科学记数法写作，要求，=整数位数-1； 　　（2）还原科学记数法：把的小数点向右移动位； 　　（3）取近似数用四舍五入，精确到哪一位看后一位； 　　（4）大数取近似要还原原数判断精确到的数位。 科学记数法要点 近似数要点 共同易错 系数在1到10之间 看后一位四舍五入 末尾0不能随意省略 =整数位数-1 大数还原后再判断位数 精确度与近似值混淆 【例题5】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）年利川龙船调文化节期间，全市共接待游客约人次．将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的形式为 ，其中 ，为整数，直接计算即可． 【详解】解：根据科学记数法的形式为 ，其中 ，为整数 ∴． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）四川眉山仁寿半程马拉松是2026年唯一一场全国半程马拉松锦标赛．赛事报名人数突破25.6万人，将25.6万用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】先将25.6万换算为常规整数形式，再按照科学记数法的规范要求完成改写. 【详解】解：万． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）小明用电子秤称得班级义卖的盐城藕粉圆礼盒质量为，将1.646精确到0.01是________． 【答案】 【分析】精确到即保留两位小数，需根据千分位的数字按四舍五入规则取近似值． 【详解】解：精确到为． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．近似数0.61与0.610的精确度相同 B．近似数精确到十分位 C．用科学记数法表示的数，其原数是25000 D．“珠穆朗玛峰的最新测量高度为8848.86米”中的数是准确数 【答案】C 【详解】解：A、近似数0.61精确到百分位，0.610精确到千分位，二者精确度不同，故A错误； B、，数字9在千位，该近似数精确到千位，故B错误； C、用科学记数法表示的数，其原数是25000，故C正确； D、测量得到的高度是近似数，不是准确数，故D错误． 【提升题型】 【题型6】含乘方的有理数混合运算与简便运算 　　解题技巧： 　　（1）严格按顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号； 　　（2）同级运算从左到右； 　　（3）先确定幂的符号，再计算绝对值； （4）区分与，避免符号错误。 【例题6】.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把变形为，逆用乘法分配律提取公因数，把剩余系数合并计算后再相乘，实现简便运算； （2）先把带分数拆成，再用乘法分配律展开分别乘，化简求和． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）用简便算法进行计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加减运算法则，结合加法运算律和绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）课本上说： 一般地， n个相同的因数的积可以表示为，例如 利用所学的知识解决问题． (1)求 的值 (2)已知，若，则 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把乘方转换成乘法，再根据乘法运算律求解即可； （2）把，代入中，把乘方转换成乘法，再根据乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：______． 【答案】 【分析】将除法转化为乘法后，提取公因式，利用乘法分配律简化计算，先计算括号内的带分数加减，再得到最终结果． 【详解】解： ． 【题型7】程序框图与数值运算 　　解题技巧： 　　（1）读懂程序框图的运算顺序（输入→运算→判断→输出）； 　　（2）分步代入计算，把每一步结果作为新输入； 　　（3）注意循环终止条件：满足阈值才输出； （4）逆推：由输出结果反求输入的值。 【例题7】.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件中的，按照程序图的步骤进行计算，直到满足输出条件即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 最后输出的结果是． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是_______． 【答案】 【详解】解：输入，得到， 输入，得到， ∴输出的结果是． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）按如图程序输入一个数x，若输入的数，则输出结果为__________． 【答案】 【分析】根据题目中的运算程序代入计算即可． 【详解】解：当时，， 此时输入的数为，， 此时输入的数为0，， 此时输入的数为，， 所以输出的结果为4． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江西吉安·期中）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，根据程序框图列式计算，直至结果为即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数的熵， 故选：． 【题型8】正负数在生活中的运算应用 　　解题技巧： 　　（1）把实际问题抽象成有理数运算； 　　（2）正负表示相对标准的偏差，0表示恰好达到标准； 　　（3）求总量、平均数、差值时正确列式； （4）跨学科情境（排球垫球、气温温差、收支流水、马拉松）转化为加减乘除计算。 【例题8】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）利川红茶是利川市的特色农产品．某茶叶合作社以每天生产红茶为标准，超过标准产量的部分记为正数，不足的部分记为负数，某周天的产量记录如下表（单位：）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 偏差 (1)求该合作社这一周红茶的实际总产量； (2)这一周平均每天的产量比标准产量多（或少）多少千克？ (3)产量最高的一天与产量最低的一天相差多少千克？ 【答案】(1) (2)多 (3) 【分析】（1）以每天的生产标准为基准，把一周的偏差相加，所得的和就是这一周的实际总产量比 天标准产量多出的部分； （2）用偏差之和除以 ，即得平均每天比标准产量多的千克数； （3）先把偏差最大与最小的两天分别还原成实际产量，再作差． 【详解】（1）解：把 天的偏差相加，得 （）， ∴ 这一周红茶的实际总产量为 （）． （2）解：这一周平均每天的偏差为 （）， ∴ 这一周平均每天的产量比标准产量多 ． （3）解：偏差为 的这一天的产量最高，为 （）； 偏差为 的这一天的产量最低，为 （）． ∴ 产量最高的一天与产量最低的一天相差 （）． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产____________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产____________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；每少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1) (2) (3)该厂工人这一周的工资总额为元. 【分析】（1）先算出前三天的计划产量（辆），再加上前三天的增减量、、即可； （2）找出表中记录的最大值与最小值，用最大值减去最小值即可； （3）先由一周的增减量之和判断超额还是不足，求出一周的实际总产量，再按计件工资与超额奖惩分别计算后相加即可． 【详解】（1）解：前三天计划生产（辆），由表可知前三天的增减量依次为、、， 所以前三天共生产（辆）． （2）解：由表可知，产量最多的一天是星期六，记录为；产量最少的一天是星期五，记录为， 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）． （3）解：一周增减量之和为，结果为正，说明这一周超额生产辆， 所以这一周实际生产（辆）． 基本工资为（元）；超额部分每辆另奖元，奖金为（元）． 所以该厂工人这一周的工资总额为（元）． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地20千米． (2)冲锋舟离出发点A最远处有25千米． (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油． 【分析】（1）明确正负数的意义，约定向东为正方向，则向西为负方向，B地相对于A地的位置为所有航行路程的和，根据结果正负判断方向． （2）计算每次航行后离A点的距离，比较距离大小，找出最远距离． （3）首先计算总航行路程，然后计算总耗油，最后计算出需要补充的油量． 【详解】（1）解：计算路程和： 结果为正，说明B地在A地东边，距离为20千米． 答：B地位于A地的正东方向，距离A地20千米． （2）每次航行后离出发点的距离为当前累计航行路程的数值： 第一次航行后：14千米， 第二次航行后：千米， 第三次航行后：千米， 第四次航行后：千米， 第五次航行后：千米， 第六次航行后：千米， 第七次航行后：千米， 第八次航行后：千米， 将上述距离比较可得最大值为25，所以最远处离出发点25千米． 答：冲锋舟离出发点A最远处有25千米． （3）耗油量与航行方向无关，总路程为所有航行路程的绝对值之和： 所以总路程为74千米． 每千米耗油0.5升，总耗油量为：升， 油箱容量为28升，需要补充的油量为：升． 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·四川成都·期中）光明中学校园附近的水果超市最近新进了一批樱桃，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以20元为标准，超出20元的部分记为正，不足20元的部分记为负．超市记录了第一周樱桃的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 20 35 25 30 28 (1)求这一周超市出售此种樱桃的销售额． (2)超市为了促销这种樱桃，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过3斤樱桃，每斤25元；超出3斤的部分，每斤打七折； 方式二：每斤售价25元，买3斤送1斤． 有一名顾客想一次性购买8斤樱桃，该顾客通过哪种方式购买更便宜？请通过计算说明理由． 【答案】(1)2784元 (2)方式二购买更便宜，理由如下： 方式一：（元）； 方式二：由题意，一次性购买8斤樱桃，只需付6斤的费用，即（元）， ∵， ∴方式二购买更便宜． 【分析】（1）根据题意，由有理数加减和乘法运算列式求解即可得到答案； （2）由两种购买方式，按要求分别计算费用，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：这一周超市出售樱桃的销售额为2784元； （2）略 【培优题型】 【题型9】乘方运算与规律探究 　　解题技巧： 　　（1）末位数字规律：观察底数个位幂的循环周期，用指数除以周期判断； 　　（2）裂项、倒数和等规律：先算前几项归纳，再推广； 　　（3）运算规律探究：验证前几项，归纳通项； （4）数学文化情境（庄子"日取其半"、结绳计数）抽象成乘方或进位制。 【例题9】.（26-27七年级上·广西钦州·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的个位数字是_________． 【答案】 【分析】观察已知的个位数字，找出循环周期，计算除以周期的余数，根据余数得到对应个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，可得的个位数字按的顺序循环出现，周期为． 计算得，即余数为． 根据循环规律： 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为． 的个位数字是． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： (1)归纳*运算的法则，并用符号语言直接表示： (2)计算：___________． (3)是否存在有理数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)存在， 【分析】题目主要考查新定义运算，规律总结，理解题意是解题关键． （1）根据题意总结新的运算法则即可； （2）根据（1）中运算法则计算即可； （3）根据题意得出且，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： （2）， 故答案为：17； （3）存在，理由如下： ，且 当时，且 存在有理数使得 此时且， 解得：． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·江苏镇江·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)计算：______； (3)利用你发现的规律计算值． 【答案】(1) (2)3025 (3)2800 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可； （2）根据题目中的规律进行计算即可． （3）利用（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：． （2）解：由题意，得， 则 ． （3）解： ． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·全国·单元复习）给出下面两组算式：与，与． (1)计算各组算式，每组的结果相等吗？ (2)想一想，当n是正整数时，等于什么？用乘方的意义说明你的结论的正确性． (3)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)每组的结果相等 (2)． 理由： (3)8 【详解】（1）解：，， ． ， ， ． 所以每组的结果相等． （2）略 （3）解：． 【题型10】新定义运算与有理数计算 　　解题技巧： 　　（1）读懂新定义的运算规则，严格按定义代入； 　　（2）进位制转换：十进制转进制用除以取余，还原用位权展开； 　　（3）"24点"等游戏：先定符号再构造算式； 　　（4）判断多种可能时逐一验证，保证答案完整。 进制转换 方法 十进制→进制 除以取余，倒序排列 进制→十进制 各位数字乘位权后相加 【例题10】.（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）阅读理解阅读材料，解决问题． 我们定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如记作，读作“2的3次商”；，记作，读作“的4次商”．一般地，把记作，读作“的次商”． (1)直接写出结果：__________；__________； (2)将一个非零有理数的次商写成幂的形式为：__________； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据除方的定义直接进行除法运算； （2）仿照示例将除方运算转化为乘方运算； （3）根据（2）中结论将除方运算转化为乘方运算后，再进行有理数的混合运算． 【详解】（1）解：； ． （2）解：， 即． （3）解： ． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）定义了一种非零有理数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①．        ②． ③．    ④． (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 文字语言：两个非零有理数进行运算时，同号得 ，异号得 ，并把 ； 符号语言：已知两个非零有理数和，其中，，．当时， ； 当时， ． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立： ①． ② ③． 你有什么发现？试着用字母表示你发现的规律． 【答案】(1)正，负，绝对值相加；；． (2)，即“”运算满足交换律． (3)等式都成立：“”运算满足结合律，即． 【分析】根据新定义的法则进行解答即可． 【详解】（1）解：根据以上运算，归纳“”运算的法则： 文字语言：两个非零有理数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 符号语言：已知非零有理数和，其中，，．当时，； 当时，． （2）解：，， 由上可知，，即“”运算满足交换律． （3）解：， ， ∴成立． ， ， ∴成立， ， ， ∴成立． 综上可知，“”运算满足结合律，即． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·河南焦作·期中）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了十进制数与二进制数之间的转化，理解进制数的表示是解题的关键．根据进制数的表示方法及转化方法求解即可． 【详解】解：任务一：， 任务二：八进制数3751表示的十进制数为： ， ， ， 任务三：二进制数101101101转成十进制数为： ， ， ， 因为365为奇数，所以密码为：． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）综合与实践 阅读下列材料： 材料一：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： 就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数345可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．反之，可以将十进制数转换为二进制数，例如将52转换为二进制数，因为，所以将十进制数52转化为二进制数为． 材料二：二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 所以． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将79转换为二进制数； (2)计算，并将结果转换为十进制数． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了二进制问题，熟练掌握有理数的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． （1）结合材料一计算即可； （2）结合材料二计算，结合材料一转换为十进制数即可． 【详解】（1）解：， 转换为二进制数为； （2）解： ， ， 转换为十进制数为17． 同步练习 一、单选题 1．嫦娥五号是中国探月工程三期发射的月球探测器，为中国首个实施无人月面取样返回的探测器，由中国空间技术研究院研制，于年月日成功发射，嫦娥五号质量克，将克用科学记数法表示为（     ）克． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：克克． 2．一次市场调查中，某小组了解到某种品牌的面包包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标注计算出净含量的合格范围，再判断各选项是否符合要求． 【详解】解：∵面包净含量标注为， ∴合格净含量的范围为净含量，即净含量， ∵、、都在该范围内，超出合格范围， ∴不符合标准的是D选项． 3．数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值直接计算即可． 【详解】解：数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值， ∴． 二、填空题 4．把算式改写成省略括号和加号的形式是____________． 【答案】 【分析】先依据有理数减法法则将原式统一为加法形式，再按照和式的省略书写规则去掉所有括号与多余的加号，即可得到结果． 【详解】解：． 5．计算________________． 【答案】 【分析】需区分带括号的乘方与不带括号的乘方的运算顺序，分别计算两项的乘方结果后再求和． 【详解】解： ． 6．已知表示不超过的最大整数，例如，．则________． 【答案】 【详解】解： 表示不超过的最大整数， ，，， ． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律将互为相反数的数、可凑整的数分组计算； （2）先完成乘方运算，然后将除法转化为乘法，再计算乘法； （3）先计算括号内的减法与绝对值，将除法转化为乘法，再通过约分简化乘法运算； （4）按有理数混合运算优先级，依次计算乘方、乘除、括号内的部分，最后完成加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，按*键，再输入数，就可以得到运算：： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据新定义的运算规则，代入对应数值计算，含括号的先计算括号内的运算. 【详解】（1）解： . （2）解：. （3）∵， ∴. 9．确山瓦岗红薯是当地特色农产品，口感粉糯香甜，深受消费者喜爱，某店主将自家种植的瓦岗红薯包装后在网上销售．原计划每天卖筐，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：筐） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)星期________实际的销售量最多，本星期共有________天不及计划量； (2)通过计算说明：本周实际销售总量是否达到了计划量； (3)若红薯售价为元/筐，同时需要支出运费元/筐，那么该店主本周总利润多少元？ 【答案】(1)六， (2)本周实际销售总量达到了计划量， ∵， ∴本周实际销售总量达到了计划量； (3)元 【分析】（1）观察表中的数据即可求解； （2）只需计算每天多售的与不足的量的和与比较大小即可得； （3）根据收入销售额运费即可得． 【详解】（1）解：星期六实际的销售量最多，本星期共有星期二、三、五、日，共天不及计划量； （2）略 （3）解：（元）． 答：该店主本周总利润元． 10．综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是_______； (2)【独立思考】数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_______； (3)试用数轴探究：当时m的值为_______． (4)【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：对于任意有理数x，的最小值是_______． (5)由以上探索猜想，的最小值是_______，此时x的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5)最小值是，的取值范围是 【分析】（1）直接代入两点距离公式即可； （2）将两点x和代入距离公式，化简得到距离； （3）的几何意义是数轴上表示m的点到表示1的点的距离为3，到1的距离为3的点共有2个，分别在1的左右两侧，计算可得答案； （4）的几何意义是数轴上动点x到和4两个定点的距离之和，当x在和4之间（含端点）时，距离和最小，最小值就是到4的距离，计算即可； （5）定点总数为2026个，属于偶数，最中间的两个定点是1013和1014，因此当x的取值范围是时，距离和取得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离为； （2）解：由两点距离公式得：； （3）解：的几何意义是数轴上表示m的点到表示1的点的距离为3，到1的距离为3的点共有2个，分别在1的左右两侧，计算可得： ；； （4）解：的几何意义是数轴上动点x到和4两个定点的距离之和，当x在和4之间（含端点）时，距离和最小，最小值就是到4的距离，即：； （5）解：定点总数为2026个，属于偶数，最中间的两个定点是1013和1014，因此当x的取值范围是时，距离和取得最小值． 当时，取代入计算得： ． 学科网（北京）股份有限公司 $