第1章 有理数 单元复习（6大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版七年级数学上学期

该初中数学有理数单元复习讲义通过系统梳理6个核心知识点，结合分层题型归纳构建知识体系，利用表格对比有理数分类标准，思维导图呈现数轴、相反数、绝对值的内在联系，清晰标注重点难点分布。 讲义亮点在于分层精练设计，基础题型如正负数实际应用培养应用意识，压轴题型如绝对值几何意义求最值发展几何直观，每个题型配解题技巧和变式训练，帮助不同层次学生提升运算能力与推理意识，易错点总结助力自主复习，教师可据此实施精准教学。

第1章 有理数 知识点 1：正数、负数与 0   1. 正数：大于 0 的数；正数前面 “” 号可以省略。   2. 负数：在正数前面加上 “” 的数；负数前面 “” 号不能省略。   3.既不是正数，也不是负数。0 是正负数的分界，可以表示 “没有”，也可以作为计量基准。   4. 相反意义的量：同一类量，意义相反；规定其中一类为正，另一类记作负。 知识点 2：有理数的概念与分类   1. 整数：正整数、0、负整数统称整数。   2. 分数：正分数、负分数统称分数；有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。   3. 有理数：整数和分数统称为有理数。 按定义分类 按符号性质分类 有理数 有理数 相关名词辨析   非负数：正数和 0；非正数：负数和 0   非负整数：正整数和 0；非正整数：负整数和 0 知识点 3：数轴   1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素缺一不可。   2. 对应关系：每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的点不一定都是有理数。   3. 几何含义：数轴上右边的数总大于左边的数；点到原点距离用绝对值描述。 知识点 4：相反数   1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；与互为相反数；的相反数是。   2. 几何意义：数轴上互为相反数的两个点，分布在原点两侧，到原点距离相等。   3. 代数性质：互为相反数的两数之和为 0，即若互为相反数，则。   4. 多重符号化简：负号的个数决定结果符号；偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，与正号个数无关。 知识点 5：绝对值   1. 几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，记作。距离大于或等于 0。   2. 代数定义： 当时，； 当时，； 当时，。 核心性质：，绝对值具有非负性；若，则。   4. 重要结论：绝对值等于本身的数是非负数；绝对值等于它相反数的数是非正数；互为相反数两数绝对值相等。 知识点 6：有理数大小比较   1. 数轴法：数轴上右边的数大于左边的数。   2. 符号法则：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。   3. 作差法：若，则；若，则；若，则。 【基础必考题型】 【题型 1】正负数与相反意义的量 1. 核心知识点:   正数负数定义；0 的意义；相反意义的量的识别；生活情境中正负数表示。 2. 解题方法技巧:   ①判断相反意义的量必须是同一类量，意义相反，带有单位；   ②看清题目规定的正方向，把实际文字语言转化为数学符号；   ③注意 0 作为基准的实际含义。 【例题1】.中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量，且进行负数运算的国家．手机支付如今已是人们常用的支付方式，若收入10元记作元，则支出6元应记作________元． 【变式题1-1】.中国古代第一部数学专著《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：现有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若把一个物体向正后方移动5米记作米，那么这个物体又移动了米表示（   ） A．又向正后方移动7米 B．又向正前方移动米 C．又向正前方移动7米 D．不向前方移动也不向后方移动 【变式题1-2】.在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-3】.下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【题型 2】有理数概念辨析与分类 1. 核心知识点:   有理数定义；整数、分数区分；非负数、非正数等概念；识别无限不循环小数不是有理数。 2. 解题方法技巧:   ①区分：有限小数、无限循环小数属于分数；含的数不属于有理数；   ②分类填数时，0 不要漏写；   ③看清集合要求，区分非负、非正、非负整数等易混淆概念。 【例题2】.下列说法正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数 C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1 【变式题2-1】.下列各数：，，，0，，，其中有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题2-2】.把下列各数分别填在相应的集合内． －17、 25%、－4.7、 、3.14 、0、、 、2017、 －19 正数集：__________________________ 负数集：__________________________ 分数集：_________________________ 有理数集：________________________ 【变式题2-3】.把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合： 分数集合： 非负整数集合： 【题型 3】多重符号化简 1. 核心知识点:   相反数定义；多重符号化简 “奇负偶正” 法则。 2. 解题方法技巧:   ①只统计式子中负号的个数，正号不影响结果符号；   ②奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正；   ③区分不一定是负数，可以取正数、0、负数。 【例题3】.___________． 【变式题3-1】.化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【变式题3-2】.化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题3-3】.按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【题型 4】求相反数与绝对值基础运算 1. 核心知识点:   相反数代数与几何意义；绝对值定义；绝对值基础计算。 2. 解题方法技巧:   ①求相反数直接在数字整体前添加负号；0 的相反数是 0；   ②计算绝对值先判断内部数正负，正数绝对值等于本身，负数等于它的相反数；   ③注意区分这类题型，优先计算绝对值，再处理外部负号。 【例题4】.如果一个数的相反数等于5，那么这个数是________． 【变式题4-1】.的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.用数轴上的点表示下列各数，并求它们的相反数和绝对值： ，，7，，． 【变式题4-3】.求下列各数的相反数和绝对值：，，，． 【题型 5】有理数大小比较 1. 核心知识点:   有理数大小比较法则；数轴比较法；多重符号、绝对值先化简再比较。 2. 解题方法技巧:   ①遇到带括号、绝对值的数，先全部化简，再比较；   ②两个负数比较大小，先比较绝对值，绝对值大的数反而小；   ③多个数排序，可以借助数轴辅助判断。 【例题5】.下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.用“<”号或“>”号填空： （1）3.6________2.5；     （2）________0； （3）________；  （4）________ （5）________； （6）________． 【变式题5-2】.判断下列大小比较是否正确： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题5-3】.回答下列问题： (1)大于的负整数有哪几个？ (2)小于4的正整数有哪几个？ (3)大于且小于4的整数有哪几个？ 【培优高频题型】 【题型 6】数轴上点的平移与两点距离 1. 核心知识点:   数轴三要素；点平移规律；数轴两点距离公式。 2. 解题方法技巧:   ①点向右平移做加法，向左平移做减法；   ②两点距离等于两数差的绝对值；已知距离求点的数值，需要分类讨论两个解；   ③题目没有配图时，要自己画出简易数轴辅助分析。 【例题6】.如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.5 B．1.8 C．2.6 D．5.4 【变式题6-1】.有理数在数轴上对应的点到原点的距离为，则有理数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式题6-2】.如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【变式题6-3】.数轴上点A表示的数是1，将点A向右移动2个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【题型 7】正负数跨学科实际应用 1. 核心知识点:   正负数表示误差；基准量；绝对值判断偏差大小；结合物理、生活测量情境。 2. 解题方法技巧:   ①零件误差、质量检测题型，误差范围看正负允许区间；   ②偏差数据的绝对值越小，代表越接近标准；   ③读懂情境材料，找准题目规定的基准 0。 【例题7】.一袋面粉的标准质量是，如果比标准质量多记作，那么，，分别表示什么？ 【变式题7-1】.初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【变式题7-2】.现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了．在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是时，表示直径，单位是毫米（）．这样标注表示零件直径的标准尺寸是，实际产品的直径最大可以是，最小可以是，在这个范围内的产品都是合格的．如果生产了一个零件的直径是，它合格吗？这里的给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出． (1)直径为和直径为的零件是否合格？为什么？ (2)你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明． 【变式题7-3】.某水库在星期一的水位是，星期二水位下降了，星期三水位上升了，星期四水位下降了．如果规定水位上升为正，下降为负，请你将每天的水位变化情况用正数或负数表示出来． 【题型 8】数轴整点与数轴折叠问题 1. 核心知识点:   数轴上整数点识别；折叠重合：折叠点是重合两点的中点，中点公式。 2. 解题方法技巧:   ①线段覆盖整数点，分起点是否为整数两种情况；   ②折叠题型，先求折叠中心（中点），再计算对应重合点；   ③无图题目，分类讨论，不要漏解。 【例题8】.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 【变式题8-1】.如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【变式题8-2】.已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 操作一： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 　　的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题； ①表示5的点与表示 　　的点重合； ②若数轴上，两点之间的距离为13（点在点的左侧），且，两点经折叠后重合，求两点表示的数； （3）已知数轴上点表示的数是，点移动4个单位，此时点表示的数和是互为相反数，求的值． 【变式题8-3】.已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 【压轴素养题型】 【题型 9】绝对值几何意义求最值 1. 核心知识点:   表示数轴上数与数两点之间距离；多个绝对值相加的几何意义。 2. 解题方法技巧:   ①的最小值，当取之间（包含端点）时取得，最小值为两点距离；   ②奇数个绝对值相加，在中间点取得最小值；   ③读懂几何意义，避免大规模分段讨论。 【例题9】.我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，整数可取的值有__________个． 【变式题9-1】.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式题9-2】.材料一： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【例】已知，求的值． 解：数轴上与表示2的点距离为5的点表示的数为7或， 或． 材料二： （i）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ii）探究问题：如图，点、、（看作动点）分别表示数、、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)当时，求出的值； (2)求代数式的最小值是多少？ (3)当为何值时，代数式的最小值是2． 【变式题9-3】.数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【题型10】数轴上点的规律探究 1. 核心知识点:   数轴、周期规律；圆、多边形在数轴滚动情境；周期循环。 2. 解题方法技巧:   ①写出前几组对应数据，找出循环周期；   ②总数除以周期，利用余数判断结果；   ③余数为 0，对应周期末尾位置。 【例题10】.如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字_________的点重合． 【变式题10-1】.如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【变式题10-2】.如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【变式题10-3】.如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 易错点 1. 有理数分类容易漏写0；混淆非负数、非正整数概念；误将含的数判定为有理数。 2. 误认为一定是负数；多重符号化简时数错负号个数；遇到，先算外部负号，忽略绝对值运算优先级。 3. 绝对值概念误区：，只记，漏掉；，只记，漏掉。 4. 两个负数比较大小，沿用小学思维，绝对值大的数误认为数值更大。 5. 已知只写出一个解，漏掉负的解；数轴距离问题忘记分类讨论，出现漏解。 6. 画数轴缺少三要素（原点、正方向、单位长度）；负分数在数轴描点位置颠倒。 重点 1. 正负数、有理数相关概念辨析，有理数分类。 2. 相反数、绝对值概念理解，多重符号化简、绝对值基础计算。 3. 数轴三要素，数轴两点距离公式，数轴与有理数对应关系。 4. 有理数大小比较，结合实际情境用正负数表示相反意义的量。 难点 1. 绝对值非负性综合计算；利用绝对值几何意义求代数式最值。 2. 根据数轴上点位置，化简含有绝对值的代数式。 3. 数轴折叠、周期规律探究、新定义阅读理解题型，信息提取与知识迁移。 4. 数轴动点基础问题，结合距离做分类讨论，排除不符合题意的解。 【对应练习题】 一、单选题 1．的绝对值为（     ） A． B． C． D． 2．下列各数是负数的是（     ） A． B． C． D．0 3．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒，一盒草莓的标准质量为，如果比标准质量多记作，那么比标准质量少记作__________． 5．下面直线上点A表示的数是( )，点B用分数表示是( )． 6．填空： （1）2.5的相反数是________； （2）________是的相反数； （3）是________的相反数； （4）________的相反数是； （5）8.2和________互为相反数． 三、解答题 7．求下列各数的相反数和绝对值： ，，0，，30． 8．把下列各数填入相应的集合里． ，，，，0，，，． (1)正数集合：{                          …}； (2)负分数集合：{                …}； (3)非正数集合：{                         …}． 9．点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧．一个点从点出发，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，点表示的是什么数？ 10．如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数 知识点 1：正数、负数与 0   1. 正数：大于 0 的数；正数前面 “” 号可以省略。   2. 负数：在正数前面加上 “” 的数；负数前面 “” 号不能省略。   3.既不是正数，也不是负数。0 是正负数的分界，可以表示 “没有”，也可以作为计量基准。   4. 相反意义的量：同一类量，意义相反；规定其中一类为正，另一类记作负。 知识点 2：有理数的概念与分类   1. 整数：正整数、0、负整数统称整数。   2. 分数：正分数、负分数统称分数；有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。   3. 有理数：整数和分数统称为有理数。 按定义分类 按符号性质分类 有理数 有理数 相关名词辨析   非负数：正数和 0；非正数：负数和 0   非负整数：正整数和 0；非正整数：负整数和 0 知识点 3：数轴   1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素缺一不可。   2. 对应关系：每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的点不一定都是有理数。   3. 几何含义：数轴上右边的数总大于左边的数；点到原点距离用绝对值描述。 知识点 4：相反数   1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；与互为相反数；的相反数是。   2. 几何意义：数轴上互为相反数的两个点，分布在原点两侧，到原点距离相等。   3. 代数性质：互为相反数的两数之和为 0，即若互为相反数，则。   4. 多重符号化简：负号的个数决定结果符号；偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，与正号个数无关。 知识点 5：绝对值   1. 几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，记作。距离大于或等于 0。   2. 代数定义： 当时，； 当时，； 当时，。 核心性质：，绝对值具有非负性；若，则。   4. 重要结论：绝对值等于本身的数是非负数；绝对值等于它相反数的数是非正数；互为相反数两数绝对值相等。 知识点 6：有理数大小比较   1. 数轴法：数轴上右边的数大于左边的数。   2. 符号法则：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。   3. 作差法：若，则；若，则；若，则。 【基础必考题型】 【题型 1】正负数与相反意义的量 1. 核心知识点:   正数负数定义；0 的意义；相反意义的量的识别；生活情境中正负数表示。 2. 解题方法技巧:   ①判断相反意义的量必须是同一类量，意义相反，带有单位；   ②看清题目规定的正方向，把实际文字语言转化为数学符号；   ③注意 0 作为基准的实际含义。 【例题1】.中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量，且进行负数运算的国家．手机支付如今已是人们常用的支付方式，若收入10元记作元，则支出6元应记作________元． 【答案】 【详解】解：∵收入与支出是一对具有相反意义的量，收入元记作元， ∴支出元应记作元． 【变式题1-1】.中国古代第一部数学专著《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：现有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若把一个物体向正后方移动5米记作米，那么这个物体又移动了米表示（   ） A．又向正后方移动7米 B．又向正前方移动米 C．又向正前方移动7米 D．不向前方移动也不向后方移动 【答案】C 【分析】本题考查相反意义的量，根据已知的正后方移动的记法，判断正数所代表的相反的移动方向即可． 【详解】解：向正后方移动5米记作米，正负表示相反意义的量． 米表示又向正前方移动7米． 故选：C 【变式题1-2】.在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“小于0的数是负数”逐个判断所给数，统计负数个数即可得到结果． 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，不是负数， 既不是正数也不是负数， ，是负数， 所以负数共有2个． 【变式题1-3】.下列说法正确的有______． ①0是最小的正数； ②任意一个正数，前面加一个“”号，就是一个负数； ③大于0的数是正数； ④字母既是正数，又是负数． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念．根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：①0既不是正数也不是负数，因此0不是最小的正数，故①错误； ②任意一个正数，前面加一个“”号，表示它的相反数，是负数，故②正确； ③大于0的数是正数，这是正数的定义，故③正确； ④字母a可以表示正数或负数，但不能同时既是正数又是负数，故④错误． ∴正确的说法有②③． 故答案为：②③． 【题型 2】有理数概念辨析与分类 1. 核心知识点:   有理数定义；整数、分数区分；非负数、非正数等概念；识别无限不循环小数不是有理数。 2. 解题方法技巧:   ①区分：有限小数、无限循环小数属于分数；含的数不属于有理数；   ②分类填数时，0 不要漏写；   ③看清集合要求，区分非负、非正、非负整数等易混淆概念。 【例题2】.下列说法正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数 C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义与绝对值的性质，根据相关基础概念逐一判断选项即可． 【详解】解：0是整数，故A选项说法错误； 有理数的定义为整数和分数统称有理数，故 B选项说法正确； 的绝对值是0，0不是正数，故C选项说法错误； 所有非负数的绝对值都等于它本身，故D选项说法错误． 综上，选B． 【变式题2-1】.下列各数：，，，0，，，其中有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查有理数的定义．有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，据此求解即可． 【详解】解：，，0，，都是有理数，共有5个； 只有是无理数； 故选：D． 【变式题2-2】.把下列各数分别填在相应的集合内． －17、 25%、－4.7、 、3.14 、0、、 、2017、 －19 正数集：__________________________ 负数集：__________________________ 分数集：_________________________ 有理数集：________________________ 【答案】 【分析】根据正数、负数、分数、有理数的定义，对给出的数逐一分类即可. 【详解】解：大于的数是正数，正数集为； 小于的数是负数，负数集为； 分数包括正分数和负分数，有限小数、无限循环小数和百分数都属于分数，分数集为； 整数和分数统称为有理数，本题给出的所有数都为有理数，有理数集为. 【变式题2-3】.把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合： 分数集合： 非负整数集合： 【答案】正数集合：{①⑤…}；分数集合：{③④⑤⑦…}；非负整数集合：{①⑥…} 【分析】根据正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归类，即可求解． 【详解】解：正数是大于的数，和都大于， 所以正数集合：{①⑤…} 分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴，、、、都满足分数的定义， 所以分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数是正整数和0，是正整数，属于非负整数， 所以非负整数集合：{①⑥…}． 【题型 3】多重符号化简 1. 核心知识点:   相反数定义；多重符号化简 “奇负偶正” 法则。 2. 解题方法技巧:   ①只统计式子中负号的个数，正号不影响结果符号；   ②奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正；   ③区分不一定是负数，可以取正数、0、负数。 【例题3】.___________． 【答案】 【分析】本题需要根据去括号法则化简符号，括号前是负号时，去掉括号后括号内的数改变符号,即可得出答案． 【详解】解：∵去括号法则规定，括号前是负号，去掉括号后括号内的数要改变符号， ∴． 【变式题3-1】.化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相反数的性质即可得出结果． 【详解】解：． 【变式题3-2】.化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】多重符号化简看负号个数，负号个数为偶数时，结果为正；负号个数为奇数时，结果为负． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式题3-3】.按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥． (2)当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】（1）根据多重符号化简规则，数负号个数，偶数个负号结果为原数，奇数个负号结果为原数相反数； （2）用奇偶判断多负号化简结果，归纳通用规律． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ （2）解：当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律略 【题型 4】求相反数与绝对值基础运算 1. 核心知识点:   相反数代数与几何意义；绝对值定义；绝对值基础计算。 2. 解题方法技巧:   ①求相反数直接在数字整体前添加负号；0 的相反数是 0；   ②计算绝对值先判断内部数正负，正数绝对值等于本身，负数等于它的相反数；   ③注意区分这类题型，优先计算绝对值，再处理外部负号。 【例题4】.如果一个数的相反数等于5，那么这个数是________． 【答案】 【详解】解：∵的相反数等于5， ∴这个数是． 【变式题4-1】.的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数是． 【变式题4-2】.用数轴上的点表示下列各数，并求它们的相反数和绝对值： ，，7，，． 【答案】 解：数轴表示如图： 相反数依次为；绝对值依次为 【分析】画出数轴，表示出各数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，非负数的绝对值为本身，负数的绝对值为其相反数，写出相反数和绝对值即可. 【详解】略 【变式题4-3】.求下列各数的相反数和绝对值：，，，． 【答案】解：的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是． 【分析】利用相反数的定义以及绝对值的定义求解即可． 【详解】略 【题型 5】有理数大小比较 1. 核心知识点:   有理数大小比较法则；数轴比较法；多重符号、绝对值先化简再比较。 2. 解题方法技巧:   ①遇到带括号、绝对值的数，先全部化简，再比较；   ②两个负数比较大小，先比较绝对值，绝对值大的数反而小；   ③多个数排序，可以借助数轴辅助判断。 【例题5】.下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比小的数为负数且绝对值大于3，据此即可解答． 【详解】解：∵ 正数大于负数， ∴，排除D． ∵ 负数比较大小，绝对值大的数反而小，，，，， ∴，即选项A符合题意． 【变式题5-1】.用“<”号或“>”号填空： （1）3.6________2.5；     （2）________0； （3）________；  （4）________ （5）________； （6）________． 【答案】 【分析】根据有理数比较大小的法则“正数大于，大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”分别对各小题进行比较即可得答案． 【详解】解：(1) ∵、是两个正数， ∴． (2) ∵是负数，负数都小于， ∴． (3) ∵，，且， ∴ ． (4) ∵是正数，是负数，正数大于负数， ∴． (5) ∵是负数，为正数，正数大于负数， ∴． (6) ∵，，且 ， ∴ ． 【变式题5-2】.判断下列大小比较是否正确： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 正确 (2) 正确 (3) 错误 (4) 错误 【分析】先利用绝对值的性质，去掉每个式子中的绝对值符号，计算出两边的具体数值．如果是正数，绝对值是它本身；如果是负数，绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．再将得到的两个数值进行大小比较，判断给出的不等关系是否成立。比较分数大小时可以用通分的方法，比较小数时直接按照小数比较规则判断． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴；原式大小比较正确． （2）解：，， ∵， ∴；原式大小比较正确． （3）解：，， ∵分子相同的正分数，分母越大分数越小， ∴， ∴， ∴不成立，比较错误． （4）解：，， ∵， ∴， ∴不成立，比较错误． 【变式题5-3】.回答下列问题： (1)大于的负整数有哪几个？ (2)小于4的正整数有哪几个？ (3)大于且小于4的整数有哪几个？ 【答案】(1)大于的负整数有,, (2)小于的正整数有,, (3)大于且小于的整数有,,,,,, 【分析】根据数轴上有理数的大小关系即可解决． 【详解】（1） 解： 根据数轴可知，大于的负整数有,,； （2） 解： 根据数轴可知，小于的正整数有,,； （3） 解： 根据数轴可知，大于且小于的整数有,,,,,,． 【培优高频题型】 【题型 6】数轴上点的平移与两点距离 1. 核心知识点:   数轴三要素；点平移规律；数轴两点距离公式。 2. 解题方法技巧:   ①点向右平移做加法，向左平移做减法；   ②两点距离等于两数差的绝对值；已知距离求点的数值，需要分类讨论两个解；   ③题目没有配图时，要自己画出简易数轴辅助分析。 【例题6】.如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.5 B．1.8 C．2.6 D．5.4 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，确定的取值范围是关键． 根据数轴上的值在刻度尺的和之间，得出数轴上的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ，，，， 的值最有可能是， 故选：C． 【变式题6-1】.有理数在数轴上对应的点到原点的距离为，则有理数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，属于基础题型，分类讨论是关键． 分该点在原点的右侧和该点在原点的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：因为有理数在数轴上对应的点到原点的距离为3， 所以当该点在原点的右侧时，当该点在原点的左侧时， 所以有理数是或． 故选：C． 【变式题6-2】.如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 【变式题6-3】.数轴上点A表示的数是1，将点A向右移动2个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点的移动，向右移动表示加，向左移动表示减，通过直接计算可得结果； 【详解】解：∵点A起始表示的数为1， 向右移动2个单位长度：， 再向左移动3个单位长度：， ∴此时点A表示的数是0； 故选：A 【题型 7】正负数跨学科实际应用 1. 核心知识点:   正负数表示误差；基准量；绝对值判断偏差大小；结合物理、生活测量情境。 2. 解题方法技巧:   ①零件误差、质量检测题型，误差范围看正负允许区间；   ②偏差数据的绝对值越小，代表越接近标准；   ③读懂情境材料，找准题目规定的基准 0。 【例题7】.一袋面粉的标准质量是，如果比标准质量多记作，那么，，分别表示什么？ 【答案】表示比标准质量少；表示与标准质量相等；表示比标准质量多． 【分析】本题考查了正负数的应用，解题的关键是理解正负数表示相反意义的量； 依据正负数表示相反意义的量，已知比标准质量多记为正，从而推出比标准质量少记为负，0表示与标准质量相等，进而确定，，的意义． 【详解】解：表示比标准质量少；表示与标准质量相等；表示比标准质量多． 【变式题7-1】.初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【答案】周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． 【变式题7-2】.现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了．在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是时，表示直径，单位是毫米（）．这样标注表示零件直径的标准尺寸是，实际产品的直径最大可以是，最小可以是，在这个范围内的产品都是合格的．如果生产了一个零件的直径是，它合格吗？这里的给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出． (1)直径为和直径为的零件是否合格？为什么？ (2)你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明． 【答案】(1)直径为的零件是合格的，直径为的零件是不合格的，理由如下： 根据题意，最大直径：， 最小直径：， ∵在范围内，不在范围内， ∴直径为的零件是合格的，直径为的零件是不合格的； (2)食品包装，化肥包装，机器零件的尺寸都是用正负数表示允许误差． 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数的意义求出合适的范围，然后判断即可； （2）食品包装等都用正负数表示允许误差． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-3】.某水库在星期一的水位是，星期二水位下降了，星期三水位上升了，星期四水位下降了．如果规定水位上升为正，下降为负，请你将每天的水位变化情况用正数或负数表示出来． 【答案】星期二为，星期三为，星期四为 【分析】本题考查正负数的意义．根据题意可知用正负数表示每天的水位变化为星期二为，星期三为，星期四为． 【详解】解：每天的水位变化情况：星期二为，星期三为，星期四为． 【题型 8】数轴整点与数轴折叠问题 1. 核心知识点:   数轴上整数点识别；折叠重合：折叠点是重合两点的中点，中点公式。 2. 解题方法技巧:   ①线段覆盖整数点，分起点是否为整数两种情况；   ②折叠题型，先求折叠中心（中点），再计算对应重合点；   ③无图题目，分类讨论，不要漏解。 【例题8】.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（　　） A．2023或2024 B．2022或2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上线段与整点的数量关系，解题的关键是分线段端点是否落在整点上两种情况讨论，避免遗漏其中一种可能性． 当线段的两个端点均在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度加1；当线段的两个端点均不在整点上时，盖住的整点个数等于线段长度；结合线段长为，可得出盖住的整点个数为2023或2024． 【详解】解：分两种情况讨论线段与整点的位置关系： 情况一：若线段的两个端点均落在整点上． ∵数轴单位长度为，线段长， ∴盖住的整点个数为线段长度加，即； 情况二：若线段的两个端点均不落在整点上． ∵端点在两个整点之间，线段长度为， ∴盖住的整点个数等于线段长度，即2023． 综上，线段盖住的整点个数是2023或2024， 故选：A． 【变式题8-1】.如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 【变式题8-2】.已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 操作一： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 　　的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题； ①表示5的点与表示 　　的点重合； ②若数轴上，两点之间的距离为13（点在点的左侧），且，两点经折叠后重合，求两点表示的数； （3）已知数轴上点表示的数是，点移动4个单位，此时点表示的数和是互为相反数，求的值． 【答案】（1）4；（2）①；②点表示的数是，点表示的数是7.5；（3） 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题，知道数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解题的关键． （1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论； （2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为1；①设5表示的点所对应点表示的数为，根据中点坐标公式列方程可得的值，可得结论；②根据折叠的性质可得结论； （3）根据相反数的定义可得结论． 【详解】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠点对应的数为， 则表示的点与表示4的点重合； 故答案为：4； （2）折叠纸面，使表示的点与3重合，折叠点对应的数为， ①设表示5的点与表示的点重合， 则有，解得， 即表示5的点与表示的点重合； 故答案为：； ②点表示的数为， 点表示的数为， 答：点表示的数是，点表示的数是7.5； （3）若点向右移动，则移动后的点表示的数为， 可有，解得， 若点向左移动，则移动后的点表示的数为， 可有，解得． 综上所述，的值是． 【变式题8-3】.已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 【答案】(1)经过3秒相遇，相遇点对应数为5 (2)4或 (3) 【分析】（1）先通过非负数性质求出、，再根据相遇时、的路程和等于、距离列方程求时间，进而求相遇点； （2）根据列绝对值方程，分情况解出对应的数，再计算与的距离； （3）先表示秒后、的位置，结合、表示、，根据列方程求，再求折叠点，进而得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴的距离：， 设经过秒、相遇，由题意得， 解得， 相遇点对应数：； （2）解：， 由，得， 当时，， 解得， 与的距离：； 当时，， 解得， 与的距离：； 当时：， 解得（舍去） 综上，与的距离为或． （3）解：秒后，对应数：，对应数：， ，， 由，得， 当时，， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或， 解得，（舍去）， 此时对应数：， 折叠点（、中点）：， 设对应数为，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值与平方的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离的表示方法，结合动点运动规律列方程求解是解题的关键． 【压轴素养题型】 【题型 9】绝对值几何意义求最值 1. 核心知识点:   表示数轴上数与数两点之间距离；多个绝对值相加的几何意义。 2. 解题方法技巧:   ①的最小值，当取之间（包含端点）时取得，最小值为两点距离；   ②奇数个绝对值相加，在中间点取得最小值；   ③读懂几何意义，避免大规模分段讨论。 【例题9】.我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当取得最小值时，整数可取的值有__________个． 【答案】4 【分析】根据，画出数轴，确定取得最小值时，的取值，并找出整数解. 【详解】解：表示数轴上表示数x的点与表示数的点的距离， 表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离. 当x在和2之间时，的值最小， 此时 所以满足条件的整数x为，0，1，2，共4个. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，以及数轴上点的位置与距离关系及整数值的确定,重点把握几何意义，通过几何意义求最小值. 【变式题9-1】.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和1为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和1为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故选：B． 【变式题9-2】.材料一： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【例】已知，求的值． 解：数轴上与表示2的点距离为5的点表示的数为7或， 或． 材料二： （i）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ii）探究问题：如图，点、、（看作动点）分别表示数、、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)当时，求出的值； (2)求代数式的最小值是多少？ (3)当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】(1)或 (2)11 (3)或 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义等知识点，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示与5的点之间的距离最小值，然后求解即可； （2）根据原式的最小值为2，得到在表示3的点的左边和右边，且到3距离为2的点即可． 【详解】（1）解： ∴数轴上与表示的点距离为2的点表示的数为或， 或． （2）解：的最小值是11，理由如下： ∵如图：， ∴的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，． ∴的最小值是11． （3）解：∵如图：， ∴的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上或点在线段上时，或， ∴或， ∴或． 【变式题9-3】.数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）1或3；（2）①6；②或；（3）当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）①根据当x在4和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解； ②根据题意得，即可求解； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，200，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点F上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和为：，即可求解． 【详解】解：（1）表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1或3； （2）①表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：6； ②表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和，当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2， ∴， 解得：或， 故答案为：或； （3）如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 表示x所对应的点到、、、、、、七个点的距离之和， ∴奇数个点时取正中间的数时有最小值，即时，， ∴当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 【题型10】数轴上点的规律探究 1. 核心知识点:   数轴、周期规律；圆、多边形在数轴滚动情境；周期循环。 2. 解题方法技巧:   ①写出前几组对应数据，找出循环周期；   ②总数除以周期，利用余数判断结果；   ③余数为 0，对应周期末尾位置。 【例题10】.如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字_________的点重合． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的数字规律问题，找出圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律是解决此类题目的关键．根据圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律可知，每四个数2，3，0，1一个循环，再根据即可得解． 【详解】解：由题意知，圆周上表示数字2的点与数轴上表示1的点重合， 圆周上表示数字3的点与数轴上表示2的点重合， 圆周上表示数字0的点与数轴上表示3的点重合， 圆周上表示数字1的点与数轴上表示4的点重合， 圆周上表示数字2的点与数轴上表示5的点重合， ， 每四个数2，3，0，1一个循环， ， 数轴上表示2025的点与循环数中第一个数2的点重合， 故答案为：2． 【变式题10-1】.如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 【变式题10-2】.如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【答案】157 【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1右边的第6个数13，第三行为13右边的第15个数43，第四行为43右边第24个数91，…，由此规律可得出第五行的数． 【详解】解：根据排列的规律得到： 第一行为数轴上左边的第一个数1， 第二行为1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行为13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行为43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行为91向右数第个数，为第个奇数，即． 故答案为：157． 【变式题10-3】.如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及数字的变化规律，找出点的变化规律是解题的关键． 根据题意可知从第一次开始计算，每两次移动的结果都是向左2个单位，因此先计算出有多少个两次移动，再将数量乘以，与原始位置的数据相加即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 易错点 1. 有理数分类容易漏写0；混淆非负数、非正整数概念；误将含的数判定为有理数。 2. 误认为一定是负数；多重符号化简时数错负号个数；遇到，先算外部负号，忽略绝对值运算优先级。 3. 绝对值概念误区：，只记，漏掉；，只记，漏掉。 4. 两个负数比较大小，沿用小学思维，绝对值大的数误认为数值更大。 5. 已知只写出一个解，漏掉负的解；数轴距离问题忘记分类讨论，出现漏解。 6. 画数轴缺少三要素（原点、正方向、单位长度）；负分数在数轴描点位置颠倒。 重点 1. 正负数、有理数相关概念辨析，有理数分类。 2. 相反数、绝对值概念理解，多重符号化简、绝对值基础计算。 3. 数轴三要素，数轴两点距离公式，数轴与有理数对应关系。 4. 有理数大小比较，结合实际情境用正负数表示相反意义的量。 难点 1. 绝对值非负性综合计算；利用绝对值几何意义求代数式最值。 2. 根据数轴上点位置，化简含有绝对值的代数式。 3. 数轴折叠、周期规律探究、新定义阅读理解题型，信息提取与知识迁移。 4. 数轴动点基础问题，结合距离做分类讨论，排除不符合题意的解。 【对应练习题】 一、单选题 1．的绝对值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．下列各数是负数的是（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴选项B、C、D对应的数分别为、、，均不是负数， 是负数，选项A符合题意． 3．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在数轴上的位置即可判断． 【详解】解：由数轴可知，点在1和2之间， ∴点表示的数可能是． 二、填空题 4．某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒，一盒草莓的标准质量为，如果比标准质量多记作，那么比标准质量少记作__________． 【答案】 【分析】正负数用于表示相反意义的量，已知比标准质量多记为正，可直接推出比标准质量少的记法． 【详解】解：∵比标准质量多记作， ∴比标准质量少应记作． 5．下面直线上点A表示的数是( )，点B用分数表示是( )． 【答案】 【详解】解：由图可知，向右为正方向，向左为负方向， 点位于左侧个单位长度处，即与的中点， 点表示的数为； 点位于与之间，该区间被平均分成3份，每份长度为，点位于右侧第2个分点处， 点表示的数为． 6．填空： （1）2.5的相反数是________； （2）________是的相反数； （3）是________的相反数； （4）________的相反数是； （5）8.2和________互为相反数． 【答案】 【详解】略 三、解答题 7．求下列各数的相反数和绝对值： ，，0，，30． 【答案】 的相反数为，绝对值为；的相反数为，绝对值为；的相反数为，绝对值为；的相反数为，绝对值为；的相反数为，绝对值为 【分析】根据相反数和绝对值的定义，对每个数分别计算即可. 【详解】略 8．把下列各数填入相应的集合里． ，，，，0，，，． (1)正数集合：{                          …}； (2)负分数集合：{                …}； (3)非正数集合：{                         …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先化简所有含绝对值的数，再根据正数、负分数、非正数的定义对各数进行分类即可． 【详解】（1）解： 先对含绝对值的数化简，得 ，，，， ∴正数集合为； （2）解：负分数集合：； （3）解：非正数集合：． 9．点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧．一个点从点出发，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，点表示的是什么数？ 【答案】点表示的数是 【分析】根据数轴的性质得到点表示的数为，进而求出移动后点表示的数． 【详解】解：如图，由题意得点表示的数是，一个点从点出发，向右移动个单位长度后，表示的数为，再向左移动个单位长度表示的数为，即点． 10．如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【答案】(1)； (2)点C在数轴上2和3的正中间位置； 点D在和之间，将到的线段平均分为3份，从出发向正方向数1份的位置即为点D． (3) (4)和 【分析】（1）先根据数轴刻度确定点A、点B表示的数，再依据相反数、绝对值的定义分别计算对应结果． （2）根据数的正负和大小，确定2.5和在数轴上的位置，标出对应点C、D． （3）依据数轴上两点间距离公式，即两点所表示数的差的绝对值，计算C、D两点的距离． （4）与点C距离为个单位长度的点有两个，分别在点C的左侧和右侧，用点C表示的数分别加减即可得到对应数值． 【详解】（1）解：从数轴可知：点A表示的数是1， 根据相反数定义，1的相反数是； 点B表示的数是， 根据绝对值定义，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是2． ∴点A表示的数的相反数是，点B表示的数的绝对值是2． （2）略． （3）解：数轴上两点距离等于两数差的绝对值：． （4）解：与点C（表示2.5）相距个单位的点有两个： 在C左侧时为； 在C右侧时为． ∴与点C距离个单位长度的点表示的数是和． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $