第1章 有理数 单元复习（7大知识点总结+9大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年人教版数学七年级上册
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内容正文：
第1章 有理数
知识点1：正数与负数
1.正数与负数的定义：大于0的数叫做正数，正数前的"+"号可省略；在正数前面加上"−"号的数叫做负数，负数前的"−"号不能省略；0既不是正数，也不是负数。
名称
定义
符号
示例
正数
大于0的数
"+"可省略
3，1.8，3.5
负数
在正数前加"−"号的数
"−"不可省略
−3，−2.7，−4.5
2.0的意义：0是正数和负数的分界；0可以表示"没有"；0可以表示基准，高于基准的量记为正数，低于基准的量记为负数。
3.具有相反意义的量：用正数和负数表示一对意义相反的量（如收入与支出、上升与下降、高于与低于），把其中一种规定为正，则另一种记为负。
知识点2：有理数的概念与分类
1.定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
2.有理数的分类（两种标准）：
按定义分类
按符号分类
整数（正整数、0、负整数）
分数（正分数、负分数）
正有理数（正整数、正分数）
0
负有理数（负整数、负分数）
3.常见集合概念：非负数是正数和0；非正数是负数和0；非负整数是正整数和0；非正整数是负整数和0。
4.能化为分数形式的数都是有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数。
知识点3：数轴
1.定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。
2.数轴上的点与有理数：每个有理数都可以用数轴上的一点来表示；数轴上右边的数总比左边的数大。
3.距离：表示数的点与原点的距离是个单位长度。
知识点4：相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数，如与；特别地，0的相反数是0。
2.求法：在任意一个数前添上"−"号，所得新数即为原数的相反数。
3.几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数。
4.多重符号化简：与"+"号的个数无关，负号有奇数个结果为负，负号有偶数个结果为正（"奇负偶正"）。
知识点5：绝对值
1.定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
2.绝对值的判断：
的取值范围
的值
3.非负性：绝对值一定不小于0，即。
4.非负性的应用：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。如由可得，。
知识点6：有理数的大小比较
1.数轴法：数轴上右边的数大于左边的数。
2.符号法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。
3.作差法：若，则；若，则；若，则。
比较方法
适用情形
要点
数轴法
直观比较多个数
左小右大
符号法则
正数、0、负数之间
正>0>负
绝对值法
两个负数
绝对值大的反而小
作差法
一般情形
差的符号定大小
知识点7：易错警示
错误理解
正确理解
0的地位
0是正数或负数
0既不是正数也不是负数
相反数
0没有相反数
0的相反数是0
绝对值
绝对值一定是正数
绝对值是非负数，可为0
负数比较
负号越多数越小
两个负数绝对值大的反而小
【易错题型】
【题型1】"0"的符号陷阱
1.易错点总结
（1）误把0当作正数或负数，忽略"0既不是正数也不是负数"；
（2）误认为0没有相反数，忽略"0的相反数是0"；
（3）误认为大于0，忽略"0的绝对值是0"；
（4）在比较大小、判断正负时遗漏0的情形。
2.纠错技巧
（1）牢记0是正负数的分界，既不是正数也不是负数；
（2）0的相反数是0、，0参与相关运算有特殊规律；
（3）非负数包含0，非正数也包含0；
（4）判断正负、比较大小时，先单独考察0的情形。
【例题1】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）下列关于“0”的说法正确的是（ ）
A．0是正数 B．0是最小的整数
C．0是绝对值最小的数 D．0不是有理数
【答案】C
【分析】本题考查0的性质，包括正负性、整数、绝对值和有理数的定义．根据0既不是正数也不是负数，整数没有最小值，0的绝对值最小，以及0是有理数，逐一判断选项．
【详解】解：∵0既不是正数也不是负数，
∴A错误；
∵整数包括正整数、负整数和0，没有最小的整数，
∴B错误；
∵绝对值表示数到原点的距离，0的绝对值为0，其他数的绝对值均大于0，
∴0是绝对值最小的数，C正确；
∵有理数包括整数和分数，0是整数，
∴0是有理数，D错误．
故选：C．
【变式题1-1】.（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（ ）
A．0是最小的正整数 B．0没有相反数
C．0既不是正数，也不是负数 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的分类，相反数的定义．根据有理数的分类，相反数的定义对各选项依次判断即可解答．
【详解】解：A、最小的正整数是1，原说法错误，该选项不符合题意；
B、0的相反数是0，原说法错误，该选项不符合题意；
C、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，该选项符合题意；
D、当时，，原说法错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【变式题1-2】.（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（ ）
A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数
C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数
【答案】D
【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒
【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意；
B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意；
C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意；
D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒
故选：D
【变式题1-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下面关于0的说法，正确的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了零的意义、有理数的分类，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相关知识点逐项判断即可．
【详解】解：∵0既不是正数也不是负数，∴①正确；
∵自然数包括0和正整数，且0是最小的自然数，∴②正确；
∵正数大于0，0不是正数，∴③错误；
∵非负数包括0和正数，0是最小的非负数，∴④正确；
∵0能被2整除，属于偶数，∴⑤错误．
综上，正确说法为①、②、④，共3个．
故选：B．
【基础题型】
【题型2】用正负数表示相反意义的量
解题技巧：
（1）抓住"相反意义"：量成对出现（收入/支出、上升/下降、高于/低于、盈/亏）；
（2）规定基准：先明确哪种记为正，则意义相反的那种记为负；
（3）0表示基准量，既不是正也不是负；
（4）跨学科情境（温度、海拔、体温、体重等）：先找基准，再定正负。
【例题2】.（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）《墨经》中包含大量数学概念，是中国古代最早的数学著作之一，约成书于公元前4世纪将公元21世纪记作，则公元前4世纪记作______________．
【答案】
【分析】题目规定公元世纪记作，即正负数用于表示具有相反意义的量，公元纪年为正，公元前纪年为相反意义的量，需用负数表示．
【详解】解：∵题目明确将公元世纪记作，说明以公元纪年的世纪数为正方向的计量标准，
∴与公元纪年意义相反的公元前纪年的世纪数，应使用负数表示，
∴公元前世纪记作．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·广西桂林·期中）有关正负数的意义和正负数加减运算的记载，最早出现在《九章算术》中．如果气温升高记为，则气温下降记为________．
【答案】
【详解】解：气温升高记为，则气温下降记为．
【变式题2-2】.（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）下列各组量中，具有相反意义的是（ ）
A．向西走和向东走 B．前进25米和后退30米
C．盈利100元和支出100元 D．升高和零下
【答案】B
【分析】需从意义相反、带有具体数量的同类量两个维度判断各组量是否符合要求．
【详解】解：A．仅给出相反的行走方向，无具体数量，不是具有相反意义的量；
B．前进与后退意义相反，且分别带有25米、30米的长度数量，是具有相反意义的量；
C．盈利的相反意义是亏损，支出的相反意义是收入，二者不属于同一类的相反意义，不是具有相反意义的量；
D．升高的相反意义是降低，零下的相反意义是零上，二者不属于同一类的相反意义，不是具有相反意义的量．
【变式题2-3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果支出元记作元，那么收入元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【详解】解：∵支出30元记作元，即支出记为负．
∴收入与支出是具有相反意义的量，应记为正．
∴收入20元记作元．
【题型3】有理数的概念与分类
解题技巧：
（1）明确分类标准：按定义分整数和分数，按符号分正有理数、0、负有理数；
（2）判断一个数是否是有理数：看它能否化为分数形式；
（3）辨析集合边界：区分"正有理数""非负数""非负整数"的包含关系；
（4）探究点：有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循环小数不是有理数。
【例题3】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．最小的自然数是1 B．非负数就是正数
C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数
【答案】C
【详解】解：∵最小的自然数是，
∴A错误．
∵非负数包括正数和，
∴B错误．
∵正有理数、负有理数和统称为有理数，
∴C正确．
∵有理数包括整数和分数，
∴D错误．
【变式题3-1】.（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）下列各数：，，，，，（每两个之间多一个），，其中正有理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：正有理数有，，，共个．
【变式题3-2】.（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里：
，，，，，0，5，2026
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}；
非负数集合：{ …}．
【答案】；；；；
【分析】根据负数、整数、正分数和非负数的定义，在该组数中找出符合条件的数即可．
【详解】解：负数集合：；
整数集合：；
正分数集合：；
非负数集合：．
【变式题3-3】.（26-27七年级上·河北邯郸·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号内：
，0，，，，，，+6．
负数集合 ；
整数集合 ；
正分数集合 ；
非负有理数集合 ．
【答案】负数集合，，，；
整数集合，，，；
正分数集合；
非负有理数集合．
【分析】根据有理数的分类即可完成求解．
【详解】解：略．
【题型4】求一个数的相反数与绝对值
解题技巧：
（1）求相反数：在数前添"−"号，如；
（2）求绝对值：先判断正负，正数和0取本身，负数取它的相反数；
（3）含字母的绝对值，要先确定字母的正负或取值范围；
（4）利用非负性：任何数的绝对值都大于或等于0。
【例题4】.（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如果和2026互为相反数，那么表示的数是（ ）
A． B． C．2026 D．
【答案】A
【详解】解：∵与互为相反数，
∴．
【变式题4-1】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）的相反数是______；______．
【答案】 7 4
【分析】根据相反数定义与多重符号化简规则求解．
【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，
∴ 的相反数为．
∵ 多重符号化简时，式子中负号的个数为偶数时，最终结果为正，
∴ ．
【变式题4-2】.（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年七年级上学期10月阶段检测数学试题）若，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．0
【答案】C
【详解】解：绝对值等于3 的数有两个：3和，即．
【变式题4-3】.（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）的相反数是________，的绝对值是________．
【答案】
【分析】根据相反数的定义和绝对值的计算法则运算，即可得到答案．
【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴的相反数是；
∵负数的绝对值是它的相反数，
∴．
【题型5】在数轴上表示有理数
解题技巧：
（1）先确定原点、正方向、单位长度，再在数轴上描点；
（2）由点到原点的距离与符号确定点表示的数；
（3）借助数轴研究位置关系：右边的数大于左边的数；
（4）数轴折叠、滚动等情境：抓住"距离"与"对应关系"解题。
【例题5】.（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）如果数轴上点表示的数为，点到点的距离为，那么点表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：当点在点右侧时，点表示的数为，
当点在点左侧时，点表示的数为．
【变式题5-1】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）在所给的数轴上表示下列四个数，，0，，再把这四个数按从小到大的顺序，用“<”号连接起来．
【答案】解：在所给的数轴上表示为：
【分析】先根据数轴的特征表示各数，再根据数轴上右边的数大于左边的数用“<”号连接起来即可．
【详解】略
【变式题5-2】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止，此时与重合的点是点________（填“”“”“”或“”）、
【答案】
【分析】通过模拟正方形在数轴上的前几次滚动，确定顶点落在数轴上的顺序规律，发现每次滚动为一个循环组，利用余数性质求解．
【详解】由图可知，正方形边长为，初始位置点在处，点在处
第次滚动，点落在数轴上的处；
第次滚动，点落在数轴上的处；
第次滚动，点落在数轴上的处；
第次滚动，点落在数轴上的处；
由此可知，正方形顶点落在数轴上的顺序每次为一个循环组，依次为，，，，
当数字落在时，正方形滚过了个单位长度，
，
当正方形滚动到数字时，经历了个循环组，
此时与重合的点是点．
【变式题5-3】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，数轴的一部分被直尺遮挡，已知直尺左边缘所对应的数为，直尺右边缘所对应的数为9.9，则直尺遮挡住的整数的个数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据数轴上有理数的特点即可解答．
【详解】解：大于的最小整数是，小于的最大整数是，
故直尺遮挡住的整数的个数为（个）．
【提升题型】
【题型6】利用数轴比较有理数的大小
解题技巧：
（1）数轴上从左到右依次增大，左边的数小于右边的数；
（2）多个数比较：先在数轴上描点，或按法则逐对比较；
（3）含字母（如、）比较：借助数轴上点的位置判断符号与绝对值大小；
（4）两个负数比较：绝对值大的反而小，不被负号迷惑。
【例题6】.（26-27七年级上·山西大同·阶段检测），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把， ， ， 按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由数轴可知，，且，
∴．
【变式题6-1】.（26-27七年级上·全国·单元测试）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m________n．（填“”或“”）
【答案】
【详解】解：由数轴可知．
【变式题6-2】.（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，在数轴上点表示的有理数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴上点A的位置确定其取值范围，再判断各选项．
【详解】解：由数轴可知，点A位于与之间．
∴点A表示的数x满足．
∵，
∴选项A符合题意．
∵，，，
∴选项B、C、D不符合题意．
【变式题6-3】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）在数轴上表示下列各数：，，，，并按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来．
【答案】
【详解】略
【题型7】化简含多重符号的式子
解题技巧：
（1）化简顺序：先化简内层括号，再逐层向外；
（2）多重符号：数负号个数，"奇负偶正"；
（3）区分、、的含义与结果；
（4）化简结果为0时的特殊处理。
【例题7】.（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）______．
【答案】
【分析】根据负号个数，再结合“奇数个负号为负偶数个负号为正”的规则即可求解．
【详解】解：．
【变式题7-1】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B．2026 C． D．
【答案】A
【分析】根据去括号法则逐步化简．
【详解】解：．
【变式题7-2】.（26-27七年级上·山东日照·阶段检测）化简下列各数的符号，并回答问题：
(1)________；________；________；________；________．
(2)当前面有99个负号时，化简后的结果是________，当前面有100个负号时，化简后的结果是________；你能总结出什么规律？
【答案】(1)，，，，
(2)，；规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数
【分析】（1）根据化简多重符号的方法，分别计算；
（2）规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数，据此求解即可．
【详解】（1）解：，，，，；
（2）解：前面有99个负号时，化简后的结果是；前面有100个负号时，化简后的结果是，
规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数．
【变式题7-3】.（26-27七年级上·湖南湘西·阶段检测）完成以下问题
(1)化简下列各式：
①________； ②________；
③________； ④________；
⑤________； ⑥________．
(2)根据（1）回答：当前面有2024个负号时，化简后结果是多少？
(3)当前面有2025个负号时，化简后结果是多少？
【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥
(2)5
(3)5
【分析】（1）根据相反数的定义求得题干中个数的值即可；
（2）根据相反数的定义即可求得答案 ；
（3）根据相反数的定义即可求得答案．
【详解】（1）解:①原式；
②原式；
③原式；
④原式；
⑤原式；
⑥原式；
（2）解：当前面有个负号时，化简后结果是；
（3）解：当前面有个负号时，化简后结果是.
【培优题型】
【题型8】绝对值的非负性求值
解题技巧：
（1）核心性质：，几个非负数的和为0，则每个都为0；
（2）题型模式：由得且；
（3）先令各绝对值内的式子为0，解出未知数，再代入求值；
（4）注意是"绝对值之和为0"，而非"绝对值相等"。
【例题8】.（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）已知，则______．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，两个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
【变式题8-1】.（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）当_________时，有最小值_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性可知，的最小值为，据此计算的值和式子的最小值．
【详解】∵任意实数的绝对值为非负数，
∴，
∴当时，取得最小值．
解方程，得，
此时，
即式子的最小值为．
【变式题8-2】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，确定绝对值部分的最小取值，即可计算出整个式子的最小值．
【详解】解：∵ 任意有理数的绝对值为非负数，即，
∴ 当时，取得最小值，
∴最小值为 ．
【变式题8-3】.（26-27七年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】B
【分析】根据绝对值的非负性，进行求解即可.
【详解】解：∵，
∴当时，的值最大为．
【题型9】正负数在实际问题中的应用
解题技巧：
（1）实际中的"正负"表示相对标准量的偏差，0表示恰好符合标准；
（2）用绝对值衡量偏离程度：绝对值越小，越接近标准；
（3）判断合格与否：先看误差是否在允许范围内，再看绝对值大小；
（4）跨学科情境（直径误差、零件尺寸、视力、体重等）：转化为绝对值比较。
【例题9】.（26-27七年级上·全国·课后作业）体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5．
(1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？
(2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？
【答案】(1)
(2)以平均成绩为标准，他们的成绩应分别记为，，，，，，，
【详解】（1）解：这个小组8名男生的平均成绩是 ．
答：这个小组8名男生的平均成绩是．
（2）略
【变式题9-1】.（26-27七年级上·全国·周测）按要求完成下列各题：
(1)一个月内，李杰体重增加，周恒体重减少，周荣体重无变化，写出他们这个月的体重增长值．
(2)四种品牌的电脑今年第三季度的销售量与第二季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌减少，D品牌增长，写出今年第三季度这些品牌的电脑销售量的增长率．
【答案】(1)李杰体重增长，周恒体重增长，周荣体重增长
(2)A品牌为，B品牌为，C品牌为，D品牌为
【分析】根据正负数的实际应用求解．
【详解】（1）解：这个月李杰体重增长，周恒体重增长，周荣体重增长；
（2）解：四种品牌的电脑今年第三季度销售量的增长率是：A品牌为，B品牌为，C品牌为，D品牌为．
【变式题9-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）某火锅店以每天盈利元为标准，盈利超过元的部分记作正数，不足元的部分记作负数，如某天盈利元，记作元．下面是该火锅店某周的盈利情况统计表（单位：元）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
请你计算该火锅店这周共盈利多少元．
【答案】3750元
【分析】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负号在题目中所代表的含义是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，这周每天的盈利分别为元、元、元、元、元、元、元，
所以该火锅店这周共盈利（元）；
故答案为：该火锅店这周共盈利元．
【变式题9-3】.（26-27七年级上·全国·单元测试）一种实验器材的标准质量是，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，结果记录如下表．
序号
与标准质量的差
1
2
3
4
5
6
7
(1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？
(2)如果规定误差的绝对值在之内（含）是合格品；误差的绝对值在（不含，含）的是次品；误差的绝对值超过的视为废品，那么在抽查的这7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？
【答案】(1)6号实验器材
(2)2号、4号、6号、7号是合格品，3号是次品，1号、5号是废品
【分析】（1）根据绝对值的意义解答即可；
（2）先计算出绝对值，再结合题意分析即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，
∴6号实验器材的质量最接近标准质量．
（2）解：∵，，，，
∴2号、4号、6号、7号是合格品．
∵，
∴3号是次品．
∵，，
∴1号、5号是废品．
同步练习
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，
．
2．利川市某气象站以为基准，零上气温记为正．若某日中午气温为零上，记作，那么齐岳山草场当日夜间气温为零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵以为基准，零上气温记为正，
∴零下气温记为负，
∴零下应记作．
3．在下列各数中：0，，，，，3.14，，非负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：，，
非负数包括0和正数，则符合条件的数有0，，3.14，共3个．
二、填空题
4．化简_______．
【答案】
【分析】从最内层括号开始逐层去括号化简．
【详解】解：，
代入中括号内的表达式可得 ：，
代入大括号内的表达式可得 ：．
5．比较大小：___________（填“”或“”）
【答案】
【分析】两个负数比较大小，先比较两者绝对值的大小，再依据“两个负数，绝对值越大的数本身越小”的规则判断大小关系．
【详解】解：，，
，
．
6．绝对值不大于2.5的整数有___________．
【答案】0，，
【详解】解：根据题意得：绝对值不大于2.5的整数有0，，．
三、解答题
7．把下列各数填到相应的集合中．
，，，，，，，，，．
正数集合： ；
负数集合： ；
正有理数集合： ；
非负整数集合： ．
【答案】；；；
【分析】利用正数，负数，正有理数和非负整数的定义，逐项进行求解．
【详解】解：，，
∵大于零的数是正数，
∴正数集合：；
∵小于零的数是负数，
∴负数集合：；
正有理数集合：；
∵非负整数是正整数和零，
∴非负整数集合：．
8．数轴上表示下列各数，并把所有数用“”连接起来．，，，
【答案】
如图，
用“”连接的结果为：
【分析】先在数轴上表示出各个数，再比较即可．
【详解】解：，，，
用“”连接的结果为：．
9．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应．
(1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____；
(2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数；
(3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】根据两点间的距离公式求出答案即可；
根据题意得到点表示的数为，然后通过点在点左侧个单位，列算式即可得到答案；
点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为，从而求出数轴的原点对应刻度尺上的刻度值．
【详解】（1）解：若点表示的数为，则点表示的数应为，点表示的数应为，
故答案为：，；
（2）解：因为点与表示的数互为相反数，且点之间的距离为，
所以点表示的数为，
∴点表示的数为；
（3）解：因为点，表示的数互为相反数，且点之间的距离为，
所以数轴的原点对应刻度尺上的刻度值为．
10．对于数轴上的点，给出如下定义：点在数轴上移动，沿负方向移动个单位长度（是正数）后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度（是正数）后所在位置表示的数是，与这两个数叫做“点的对称数”，记作，其中．例如：原点表示0，原点的1对称数是
(1)若点表示，，请直接写出点的3对称数；
(2)若，求点表示的数和的值；
(3)若点表示，，求的值；
(4)已知，，若点、点从原点同时同向出发，且点的速度是点速度的2倍，是否存在点，使数轴上表示的点与表示的点之间的距离是数轴上表示的点与表示的点之间的距离的3倍?若存在，请求出点表示的数，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点表示的数为，的值为
(3)的值为
(4)存在，点表示的数为或
【分析】（1）根据“对称数”的定义，直接计算点沿负方向、正方向移动个单位对应的数．
（2）利用点是与的中点，结合的几何意义列等式求解．
（3）A表示，由题目得知，根据对称性及和的距离，进而求出
（4）设点表示的数为，用表示点的数及，根据距离的3倍关系列绝对值方程求解．
【详解】（1）解：∵点表示，．
∴，．
∴．
（2）解：∵的数值是关于对称，
∴的数值为．
根据和的距离求出．
（3）∵点表示，．
∴．
解得．
∴．
（4）存在．设点表示的数为．
∵点、从原点同时同向出发，点的速度是点速度的2倍．
∴点表示的数为．
由定义得：，，，．
由题意得．
代入化简得．
当时，，解得，此时点表示的数为．
当时，，解得，此时点表示的数为．
当时，，解得，不符合，
舍去．综上所述，点表示的数为或．
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第1章 有理数
知识点1：正数与负数
1.正数与负数的定义：大于0的数叫做正数，正数前的"+"号可省略；在正数前面加上"−"号的数叫做负数，负数前的"−"号不能省略；0既不是正数，也不是负数。
名称
定义
符号
示例
正数
大于0的数
"+"可省略
3，1.8，3.5
负数
在正数前加"−"号的数
"−"不可省略
−3，−2.7，−4.5
2.0的意义：0是正数和负数的分界；0可以表示"没有"；0可以表示基准，高于基准的量记为正数，低于基准的量记为负数。
3.具有相反意义的量：用正数和负数表示一对意义相反的量（如收入与支出、上升与下降、高于与低于），把其中一种规定为正，则另一种记为负。
知识点2：有理数的概念与分类
1.定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
2.有理数的分类（两种标准）：
按定义分类
按符号分类
整数（正整数、0、负整数）
分数（正分数、负分数）
正有理数（正整数、正分数）
0
负有理数（负整数、负分数）
3.常见集合概念：非负数是正数和0；非正数是负数和0；非负整数是正整数和0；非正整数是负整数和0。
4.能化为分数形式的数都是有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数。
知识点3：数轴
1.定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。
2.数轴上的点与有理数：每个有理数都可以用数轴上的一点来表示；数轴上右边的数总比左边的数大。
3.距离：表示数的点与原点的距离是个单位长度。
知识点4：相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数，如与；特别地，0的相反数是0。
2.求法：在任意一个数前添上"−"号，所得新数即为原数的相反数。
3.几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数。
4.多重符号化简：与"+"号的个数无关，负号有奇数个结果为负，负号有偶数个结果为正（"奇负偶正"）。
知识点5：绝对值
1.定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
2.绝对值的判断：
的取值范围
的值
3.非负性：绝对值一定不小于0，即。
4.非负性的应用：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。如由可得，。
知识点6：有理数的大小比较
1.数轴法：数轴上右边的数大于左边的数。
2.符号法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。
3.作差法：若，则；若，则；若，则。
比较方法
适用情形
要点
数轴法
直观比较多个数
左小右大
符号法则
正数、0、负数之间
正>0>负
绝对值法
两个负数
绝对值大的反而小
作差法
一般情形
差的符号定大小
知识点7：易错警示
错误理解
正确理解
0的地位
0是正数或负数
0既不是正数也不是负数
相反数
0没有相反数
0的相反数是0
绝对值
绝对值一定是正数
绝对值是非负数，可为0
负数比较
负号越多数越小
两个负数绝对值大的反而小
【易错题型】
【题型1】"0"的符号陷阱
1.易错点总结
（1）误把0当作正数或负数，忽略"0既不是正数也不是负数"；
（2）误认为0没有相反数，忽略"0的相反数是0"；
（3）误认为大于0，忽略"0的绝对值是0"；
（4）在比较大小、判断正负时遗漏0的情形。
2.纠错技巧
（1）牢记0是正负数的分界，既不是正数也不是负数；
（2）0的相反数是0、，0参与相关运算有特殊规律；
（3）非负数包含0，非正数也包含0；
（4）判断正负、比较大小时，先单独考察0的情形。
【例题1】.（2025七年级上·吉林长春·专题练习）下列关于“0”的说法正确的是（ ）
A．0是正数 B．0是最小的整数
C．0是绝对值最小的数 D．0不是有理数
【变式题1-1】.（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（ ）
A．0是最小的正整数 B．0没有相反数
C．0既不是正数，也不是负数 D．
【变式题1-2】.（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（ ）
A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数
C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数
【变式题1-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下面关于0的说法，正确的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数．
A．4 B．3 C．2 D．1
【基础题型】
【题型2】用正负数表示相反意义的量
解题技巧：
（1）抓住"相反意义"：量成对出现（收入/支出、上升/下降、高于/低于、盈/亏）；
（2）规定基准：先明确哪种记为正，则意义相反的那种记为负；
（3）0表示基准量，既不是正也不是负；
（4）跨学科情境（温度、海拔、体温、体重等）：先找基准，再定正负。
【例题2】.（26-27七年级上·甘肃临夏·期中）《墨经》中包含大量数学概念，是中国古代最早的数学著作之一，约成书于公元前4世纪将公元21世纪记作，则公元前4世纪记作______________．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·广西桂林·期中）有关正负数的意义和正负数加减运算的记载，最早出现在《九章算术》中．如果气温升高记为，则气温下降记为________．
【变式题2-2】.（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）下列各组量中，具有相反意义的是（ ）
A．向西走和向东走 B．前进25米和后退30米
C．盈利100元和支出100元 D．升高和零下
【变式题2-3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果支出元记作元，那么收入元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【题型3】有理数的概念与分类
解题技巧：
（1）明确分类标准：按定义分整数和分数，按符号分正有理数、0、负有理数；
（2）判断一个数是否是有理数：看它能否化为分数形式；
（3）辨析集合边界：区分"正有理数""非负数""非负整数"的包含关系；
（4）探究点：有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循环小数不是有理数。
【例题3】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．最小的自然数是1 B．非负数就是正数
C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数
【变式题3-1】.（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）下列各数：，，，，，（每两个之间多一个），，其中正有理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式题3-2】.（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里：
，，，，，0，5，2026
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}；
非负数集合：{ …}．
【变式题3-3】.（26-27七年级上·河北邯郸·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号内：
，0，，，，，，+6．
负数集合 ；
整数集合 ；
正分数集合 ；
非负有理数集合 ．
【题型4】求一个数的相反数与绝对值
解题技巧：
（1）求相反数：在数前添"−"号，如；
（2）求绝对值：先判断正负，正数和0取本身，负数取它的相反数；
（3）含字母的绝对值，要先确定字母的正负或取值范围；
（4）利用非负性：任何数的绝对值都大于或等于0。
【例题4】.（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如果和2026互为相反数，那么表示的数是（ ）
A． B． C．2026 D．
【变式题4-1】.（26-27七年级上·湖北恩施·期中）的相反数是______；______．
【变式题4-2】.（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年七年级上学期10月阶段检测数学试题）若，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．0
【变式题4-3】.（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）的相反数是________，的绝对值是________．
【题型5】在数轴上表示有理数
解题技巧：
（1）先确定原点、正方向、单位长度，再在数轴上描点；
（2）由点到原点的距离与符号确定点表示的数；
（3）借助数轴研究位置关系：右边的数大于左边的数；
（4）数轴折叠、滚动等情境：抓住"距离"与"对应关系"解题。
【例题5】.（26-27七年级上·重庆江北·阶段检测）如果数轴上点表示的数为，点到点的距离为，那么点表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式题5-1】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）在所给的数轴上表示下列四个数，，0，，再把这四个数按从小到大的顺序，用“<”号连接起来．
【变式题5-2】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止，此时与重合的点是点________（填“”“”“”或“”）、
【变式题5-3】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，数轴的一部分被直尺遮挡，已知直尺左边缘所对应的数为，直尺右边缘所对应的数为9.9，则直尺遮挡住的整数的个数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【提升题型】
【题型6】利用数轴比较有理数的大小
解题技巧：
（1）数轴上从左到右依次增大，左边的数小于右边的数；
（2）多个数比较：先在数轴上描点，或按法则逐对比较；
（3）含字母（如、）比较：借助数轴上点的位置判断符号与绝对值大小；
（4）两个负数比较：绝对值大的反而小，不被负号迷惑。
【例题6】.（26-27七年级上·山西大同·阶段检测），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把， ， ， 按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题6-1】.（26-27七年级上·全国·单元测试）有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m________n．（填“”或“”）
【变式题6-2】.（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，在数轴上点表示的有理数可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式题6-3】.（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）在数轴上表示下列各数：，，，，并按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来．
【题型7】化简含多重符号的式子
解题技巧：
（1）化简顺序：先化简内层括号，再逐层向外；
（2）多重符号：数负号个数，"奇负偶正"；
（3）区分、、的含义与结果；
（4）化简结果为0时的特殊处理。
【例题7】.（26-27七年级上·四川南充·阶段检测）______．
【变式题7-1】.（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B．2026 C． D．
【变式题7-2】.（26-27七年级上·山东日照·阶段检测）化简下列各数的符号，并回答问题：
(1)________；________；________；________；________．
(2)当前面有99个负号时，化简后的结果是________，当前面有100个负号时，化简后的结果是________；你能总结出什么规律？
【变式题7-3】.（26-27七年级上·湖南湘西·阶段检测）完成以下问题
(1)化简下列各式：
①________； ②________；
③________； ④________；
⑤________； ⑥________．
(2)根据（1）回答：当前面有2024个负号时，化简后结果是多少？
(3)当前面有2025个负号时，化简后结果是多少？
【培优题型】
【题型8】绝对值的非负性求值
解题技巧：
（1）核心性质：，几个非负数的和为0，则每个都为0；
（2）题型模式：由得且；
（3）先令各绝对值内的式子为0，解出未知数，再代入求值；
（4）注意是"绝对值之和为0"，而非"绝对值相等"。
【例题8】.（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）已知，则______．
【变式题8-1】.（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）当_________时，有最小值_________．
【变式题8-2】.（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是_________．
【变式题8-3】.（26-27七年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【题型9】正负数在实际问题中的应用
解题技巧：
（1）实际中的"正负"表示相对标准量的偏差，0表示恰好符合标准；
（2）用绝对值衡量偏离程度：绝对值越小，越接近标准；
（3）判断合格与否：先看误差是否在允许范围内，再看绝对值大小；
（4）跨学科情境（直径误差、零件尺寸、视力、体重等）：转化为绝对值比较。
【例题9】.（26-27七年级上·全国·课后作业）体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5．
(1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？
(2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？
【变式题9-1】.（26-27七年级上·全国·周测）按要求完成下列各题：
(1)一个月内，李杰体重增加，周恒体重减少，周荣体重无变化，写出他们这个月的体重增长值．
(2)四种品牌的电脑今年第三季度的销售量与第二季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌减少，D品牌增长，写出今年第三季度这些品牌的电脑销售量的增长率．
【变式题9-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）某火锅店以每天盈利元为标准，盈利超过元的部分记作正数，不足元的部分记作负数，如某天盈利元，记作元．下面是该火锅店某周的盈利情况统计表（单位：元）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
请你计算该火锅店这周共盈利多少元．
【变式题9-3】.（26-27七年级上·全国·单元测试）一种实验器材的标准质量是，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，结果记录如下表．
序号
与标准质量的差
1
2
3
4
5
6
7
(1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？
(2)如果规定误差的绝对值在之内（含）是合格品；误差的绝对值在（不含，含）的是次品；误差的绝对值超过的视为废品，那么在抽查的这7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？
同步练习
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．利川市某气象站以为基准，零上气温记为正．若某日中午气温为零上，记作，那么齐岳山草场当日夜间气温为零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
3．在下列各数中：0，，，，，3.14，，非负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
4．化简_______．
5．比较大小：___________（填“”或“”）
6．绝对值不大于2.5的整数有___________．
三、解答题
7．把下列各数填到相应的集合中．
，，，，，，，，，．
正数集合： ；
负数集合： ；
正有理数集合： ；
非负整数集合： ．
8．数轴上表示下列各数，并把所有数用“”连接起来．，，，
9．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上为数轴上的个单位长度），数轴上的点，，恰好分别与刻度尺上的刻度值“”“”和“”对应．
(1)若点表示的数为，则点表示的数应为_____，点表示的数应为_____；
(2)若点与表示的数互为相反数，求点表示的数；
(3)若点，表示的数互为相反数，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值．
10．对于数轴上的点，给出如下定义：点在数轴上移动，沿负方向移动个单位长度（是正数）后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度（是正数）后所在位置表示的数是，与这两个数叫做“点的对称数”，记作，其中．例如：原点表示0，原点的1对称数是
(1)若点表示，，请直接写出点的3对称数；
(2)若，求点表示的数和的值；
(3)若点表示，，求的值；
(4)已知，，若点、点从原点同时同向出发，且点的速度是点速度的2倍，是否存在点，使数轴上表示的点与表示的点之间的距离是数轴上表示的点与表示的点之间的距离的3倍?若存在，请求出点表示的数，若不存在，请说明理由．
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