第2章 有理数的运算 单元复习（11大知识点+13大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第2章 有理数的运算 知识点1：有理数的加法法则 　　1.同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 　　2.异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 　　3.一个数同0相加：仍得这个数。 　　4.用字母表示（设a、b为正有理数，c为任意有理数）：同号相加，；异号相加分三种情况讨论。 知识点2：有理数加法的运算律 　　1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即。 　　2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即。 　　3.运算律的作用：简化运算，常把互为相反数的数、同号的数、能凑成整数的数先结合相加。 知识点3：有理数的减法法则 　　1.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即。 　　2.有理数的减法是有理数加法的逆运算。 　　3.减法转化为加法时，减数一定要改变符号，这是最易出错之处。 知识点4：有理数加减混合运算 　　1.方法一（减法转化法）：先将加减法统一成加法，再运用加法交换律和结合律简化运算；交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换。 　　2.方法二（省略括号法）：把加减混合运算改写成省略加号和括号的形式，再按“同号的数先相加”进行简化。 　　3.省略加号的和式的读法：如“-2-3+27-24”可读作“负2、负3、正27、负24的和”，也可读作“负2减3加27减24”。 知识点5：有理数的乘法法则 　　1.法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 　　2.用字母表示（设a、b为正有理数，c为任意有理数）：，，，。 　　3.多个有理数相乘：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数有奇数个时，积为负；有偶数个时，积为正；有因数为0时，积为0。 知识点6：倒数的概念与求法 　　1.概念：乘积是1的两个数互为倒数，即若a与b互为倒数，则；0没有倒数，1和-1的倒数分别是它们本身。 　　2.求法：整数的倒数是把它作分母、1作分子；分数的倒数是把分子、分母互换位置；小数的倒数是先化成分数再取倒数；带分数的倒数是先化为假分数再互换分子分母。 　　3.注意：相反数与倒数是两个不同的概念，符号相反的是相反数，乘积为1的是倒数。 知识点7：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac 　　注意：分配律可以正向使用，也可以逆向提取公因数使用，常用于简便计算。 知识点8：有理数的除法法则 　　1.法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即（b≠0）。 　　2.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 　　3.注意：0不能作除数；有理数的除法转化为乘法后，运用乘法法则与运算律计算。 知识点9：有理数的乘方 　　1.概念：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；中，a叫底数，n叫指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 　　2.表示n个a相乘：。 　　3.符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 　　4.注意区分：表示a的平方的相反数，而表示-a的平方，二者结果不同。 知识点10：有理数的混合运算 　　1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次进行；有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 　　2.可以运用运算律（加法的交换律结合律、乘法的交换律结合律分配律）简化运算，但要注意运算顺序不能随意改变。 知识点11：科学记数法与近似数 　　1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式，其中，n是正整数；如。 　　2.n的确定：n等于原数的整数位数减1。 　　3.近似数：与实际数值接近但不完全相等的数；用四舍五入法按精确度要求取近似数，精确到哪一位就看它后一位进行四舍五入。 【基础必考题型】 【题型1】有理数加减混合运算 1. 核心知识点： 　　统一成加法；省略加号和括号的和式；加法交换律、结合律简化。 2. 解题方法技巧： 　　①先把减法统一成加法，再改写成省略加号的形式； 　　②交换加数位置要连同符号一起交换； ③把同号数、互为相反数、能凑成整数的数分别先结合。 【例题1】.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）若（     ），那么括号里的数是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和括号的形式的是（     ） A． B． C． D． 【题型2】有理数乘法与除法计算 1. 核心知识点： 　　乘法法则（同号得正异号得负）；除法法则（除以一个数等于乘它的倒数）；0不能作除数。 2. 解题方法技巧： 　　①先确定积、商的符号（由负因数的个数决定），再计算绝对值的积、商； 　　②除法先转化为乘法再运算； ③多个数相乘，先判断符号，再统一算绝对值。 【例题2】.（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）（    ） A．2 B． C．1 D．4 【变式题2-2】.（26-27七年级上·湖北·期中）计算： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（2026六年级上·山东·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型3】有理数乘方计算 1. 核心知识点： 　　乘方的意义；幂的符号法则；区分与。 2. 解题方法技巧： 　　①理解表示n个a相乘，指数不参与相乘； 　　②负数乘方先定符号（奇负偶正），再算绝对值的乘方； ③分清与的不同。 【例题3】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）计算：________． 【变式题3-1】.（2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2) 【变式题3-2】.（26-27七年级上·陕西·阶段检测）计算：． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·山东·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4】用科学记数法表示大数与还原 1. 核心知识点： 　　科学记数法的形式；n等于整数位数减1；还原为原数。 2. 解题方法技巧： 　　①a的取值范围是，小数点在第一个非零数字后； 　　②带单位（如“亿”“万”）时要先换算再确定n； ③还原时根据10的指数移动小数点。 【例题4】.（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026·江苏淮安·中考真题）地球赤道的长度约为．数据用科学记数法可表示为__________． 【变式题4-2】.（2022九年级·安徽合肥·专题练习）山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ (1)北京故宫的占地面积约为； (2)人体中约有个红细胞； (3)港珠澳大桥全长． 【题型5】按要求取近似数 1. 核心知识点： 　　近似数的概念；四舍五入法取近似值；精确到十分位、百分位、个位等。 2. 解题方法技巧： 　　①明确精确到哪一位，看该位后一位四舍五入； 　　②精确到十分位要保留一位小数，末尾的0不能省略； ③大数取近似值可用科学记数法表示。 【例题5】.（25-26七年级上·湖南湘西·期中）把5.8965精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）__________． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）精确到___________位． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东梅州·期中）用四舍五入法，把精确到十分位的近似数是_____． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 【培优高频题型】 【题型6】含乘方的混合运算 1. 核心知识点： 　　有理数混合运算顺序；先乘方再乘除最后加减；有括号先算括号内。 2. 解题方法技巧： 　　①严格按“先乘方、再乘除、后加减”的顺序； 　　②遇到先算乘方再参与后续运算； ③一步一符号仔细，避免跳步导致符号错误。 【例题6】.（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式题6-1】.（26-27七年级上·湖北·期中）计算： (1)； (2) 【变式题6-2】.（26-27七年级上·湖北·期中）计算： (1) (2) 【变式题6-3】.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）计算题： (1) (2) (3) (4) 【题型7】运算律的简便计算 1. 核心知识点： 　　加法交换律结合律；乘法交换律结合律分配律；简便运算技巧。 2. 解题方法技巧： 　　①观察数字特征，把互为相反数、能凑整、同号数结合； 　　②乘法分配律可正向展开，也可逆向提取公因数； ③分数、小数混合时统一形式再运算。 【例题7】.（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 【变式题7-1】.（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【变式题7-2】.（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读与思考 巧用运算律进行简便运算例1：        例2： （依据1）    （依据3） （依据2）              (1)例中的依据为______律；依据为______律；依据为逆用______律． (2)模仿例中的方法计算：． (3)模仿例中的方法计算：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法：原式． 小红的解法：原式的倒数为， 故原式=． (1)你觉得________的解法更具有简便性． (2)请你用你认为更简便的方法，计算：． 【题型8】有理数加减乘除混合运算的实际应用 1. 核心知识点： 　　用有理数运算解决温差、海拔、盈亏、收支、产量增减等实际情境问题。 2. 解题方法技巧： 　　①读懂情境，把实际问题中的数量关系用加减乘除表示； 　　②温差=最高温-最低温，海拔差=较高-较低； ③列式后严格按运算顺序计算，并检验结果是否符合实际。 【例题8】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）依次记录了一周的盈亏情况（盈利正，亏损负，单位元）：，，，，，， (1)哪一天盈利最多？哪一天亏损最多？ (2)求本周总的盈亏情况． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）近几年，“麦田拍照打卡”成为热门话题，某村有4块用于农科研究的小麦试验田，既承担着产量观测任务，也因金黄麦浪成了村民和游客的拍照打卡点．以下是每块试验田今年的收成与去年相比的变化情况（增加为正，减少为负，单位：）： ，，，． 今年这4块小麦试验田的总产量与去年相比，增加（或减少）了多少千克？ 【变式题8-2】.（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下： ，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车的耗油量为，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【变式题8-3】.（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：）记录如下： ，，，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，老王在上午出发点的哪个方向？距上午出发点多远？ (2)若汽车耗油量为，这天上午老王耗油多少升？ 【题型9】判断运算过程中的错误步骤 1. 核心知识点： 　　运算顺序与法则的检验；识别计算中的常见错误。 2. 解题方法技巧： 　　①逐步骤核对：符号是否正确、乘方与乘除先后、括号处理； 　　②重点检查减法变号、除法转乘法、负号个数； ③找出第一步错误即可，不必重算整题。 【例题9】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在第 步出现错误； (2)写出本题的正确解答过程． 【变式题9-1】.（25-26九年级下·广东茂名·开学考试）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算： 解： 第一步 第二步 第三步 【变式题9-3】.（25-26七年级上·山东滨州·期中）（1）阅读下面的解题过程，并解答问题： 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步）． ①上面的解题过程有两处错误： 第一处错是第 步，错误原因是 ； 第二处错是第 步，错误原因是 ． ②请写出正确的解题过程． （2）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务A：①以上化简步骤中，第一步的依据是 ；②以上化简步骤中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务B：请写出该整式正确的化简过程． 【压轴素养题型】 【题型10】绝对值与乘方的非负性求值 1. 核心知识点： 　　、；若干个非负数之和为0，每个非负数都为0。 2. 解题方法技巧： 　　①看到型，直接得a=0、b=0； 　　②求出字母后代入代数式求值； ③注意乘方指数是偶数时结果非负。 【例题10】.（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如果，那么的值为________． 【变式题10-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则的值为________． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·河南驻马店·期中）若，则________． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·山东日照·期中）如果，那么______． 【题型11】程序流程图与有理数计算 1. 核心知识点： 　　程序框图中的运算流程；有理数混合运算；迭代计算。 2. 解题方法技巧： 　　①读懂程序，把每一步运算转化为算式； 　　②注意“是/否”分支决定是否继续循环； ③按流程逐步计算，必要时列表记录每一步结果。 【例题11】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 【变式题11-1】.（26-27七年级上·吉林四平·阶段检测）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示2，输入的数为，求计算结果； (2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则表示的数是_________． 【变式题11-2】.（26-27七年级上·山西·期中）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为__________． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 【题型12】新定义的有理数运算 1. 核心知识点： 　　新定义运算符号；严格按新规则代入计算；有理数混合运算。 2. 解题方法技巧： 　　①把新定义符号翻译成已知运算，再按规则代入数值； 　　②严格遵循题干给出的运算规则，不按习惯理解； ③多层新运算嵌套时，从内向外逐层计算。 【例题12】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示小于或等于的最大整数，例如，现定义，例如，则___________． 【变式题12-1】.（2026·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，，则________，________． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 【题型13】进制转换（跨学科·信息素养） 1. 核心知识点： 　　十进制与二进制、三进制等的互化；按位权展开；逢n进一。 2. 解题方法技巧： 　　①n进制转十进制：按位权展开求和，即； 　　②十进制转n进制：用n连续除取余； 　　③跨学科情境（芯片、计算机）题，抓住进制运算的本质。 【例题13】.（25-26七年级上·重庆大足·期末）在数学综合与实践学习中，我们认识到不同的进制有不同的计数规则．在密码学的基础应用中，也常常用到进制转换．已知有一种简单的密码规则是将字母转换为其对应的码值．（字母的码值为，其余大写字母的码值在的基础上按顺序加1得到．如字母的码值为，字母的码值为，以此类推．每个大写字母都有一个唯一的码值与其对应），再将该十进制数转换为三进制数进行加密． (1)年轻人把数学有趣又好玩翻译为“!”请你写出“MATH”这个单词各个字母在码中的值并计算出这些值的和为多少？ (2)现在收到一个加密后的三进制数，请将其转换为十进制数，并根据码表判断它对应的字母是什么？ 【变式题13-1】.（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是． 任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 【变式题13-2】.（2026·湖北襄阳·三模）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【变式题13-3】.（2026·湖北孝感·二模）综合与实践 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢进一就是进制．计算机使用的即是二进制数．为了区分不同的进位制，常在数的右下角表明基数，例如就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数：，记作：234； 二进制数：，记作：； … 各进制之间可以进行转换，如： 二进制数（或进制数）转换成与其相等的十进制数，只要将二进制数（进制数）的每个数字，依次乘2（或）的相应基数的幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数； 素材2 将十进制数转换成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： ， 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算．如： ，． 解决任务： 探究不同进位制的数之间的转换 (1)将二进制数转化成十进制数的值为________； (2)十进制数9转化成二进制数的值为； 探究进位制数的加法运算 (3)； 易错点 1. 减法转化为加法时，忘记改变减数的符号。 2. 异号相加时，符号判定错误，误取绝对值较小者的符号。 3. 乘法、除法忽略“同号得正，异号得负”，或因负因数个数判断错误导致符号出错。 4. 混淆相反数与倒数，或误认为0有倒数。 5. 混淆与，指数运算与乘法概念不清。 6. 混合运算中违反运算顺序，先加减后乘除，或随意改变括号。 7. 科学记数法中a的取值不在范围，或带单位换算出错。 重点 1. 有理数加法、减法、乘法、除法、乘方的运算法则，能正确熟练地进行运算。 2. 有理数混合运算的运算顺序与运用运算律简化运算。 3. 倒数的求法与科学记数法的表示、还原。 4. 用有理数运算解决实际情境问题（温差、海拔、收支、产量增减等）。 难点 1. 含乘方、绝对值、括号的混合运算，处理多重运算与符号。 2. 周期规律、新定义运算、进制转换等创新素养题的信息提取与归纳。 3. 数轴动点问题中的分类讨论。 4. 从特殊到一般的规律探究与裂项求和等技巧。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算的结果为（     ） A． B．11 C． D．3 2．如图，在数轴上有a、b、c、d四个数，有可能互为倒数的两个数是（     ） A．a和b B．b和c C．a和d D．b和d 3．某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若，，且，则的值是________． 5．如图为一运算程序，若输入的数为，则输出的数为________． 6．如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点、、，其中点到点的距离为，点到点的距离为，设点、、所对应的数的和是． （1）若以为原点，则数轴上点所表示的数是________； （2）若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为，则________． 三、解答题 7．计算： (1) (2)． 8．一辆养护车从基地出发，向东记正，向西记负，行驶记录（千米）： (1)养护车最后在基地东侧还是西侧？距离基地多远？ (2)养护车一共行驶多少千米？ 9．对于可以进行如下计算： 原式 = = ． (1)补全上面的式子 (2)上面这种方法叫分解法．仿照上面的方法，计算下面的式子． ． 10．【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算 知识点1：有理数的加法法则 　　1.同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 　　2.异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 　　3.一个数同0相加：仍得这个数。 　　4.用字母表示（设a、b为正有理数，c为任意有理数）：同号相加，；异号相加分三种情况讨论。 知识点2：有理数加法的运算律 　　1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即。 　　2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即。 　　3.运算律的作用：简化运算，常把互为相反数的数、同号的数、能凑成整数的数先结合相加。 知识点3：有理数的减法法则 　　1.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即。 　　2.有理数的减法是有理数加法的逆运算。 　　3.减法转化为加法时，减数一定要改变符号，这是最易出错之处。 知识点4：有理数加减混合运算 　　1.方法一（减法转化法）：先将加减法统一成加法，再运用加法交换律和结合律简化运算；交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换。 　　2.方法二（省略括号法）：把加减混合运算改写成省略加号和括号的形式，再按“同号的数先相加”进行简化。 　　3.省略加号的和式的读法：如“-2-3+27-24”可读作“负2、负3、正27、负24的和”，也可读作“负2减3加27减24”。 知识点5：有理数的乘法法则 　　1.法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 　　2.用字母表示（设a、b为正有理数，c为任意有理数）：，，，。 　　3.多个有理数相乘：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数有奇数个时，积为负；有偶数个时，积为正；有因数为0时，积为0。 知识点6：倒数的概念与求法 　　1.概念：乘积是1的两个数互为倒数，即若a与b互为倒数，则；0没有倒数，1和-1的倒数分别是它们本身。 　　2.求法：整数的倒数是把它作分母、1作分子；分数的倒数是把分子、分母互换位置；小数的倒数是先化成分数再取倒数；带分数的倒数是先化为假分数再互换分子分母。 　　3.注意：相反数与倒数是两个不同的概念，符号相反的是相反数，乘积为1的是倒数。 知识点7：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b+c)=ab+ac 　　注意：分配律可以正向使用，也可以逆向提取公因数使用，常用于简便计算。 知识点8：有理数的除法法则 　　1.法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即（b≠0）。 　　2.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 　　3.注意：0不能作除数；有理数的除法转化为乘法后，运用乘法法则与运算律计算。 知识点9：有理数的乘方 　　1.概念：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；中，a叫底数，n叫指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 　　2.表示n个a相乘：。 　　3.符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 　　4.注意区分：表示a的平方的相反数，而表示-a的平方，二者结果不同。 知识点10：有理数的混合运算 　　1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次进行；有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 　　2.可以运用运算律（加法的交换律结合律、乘法的交换律结合律分配律）简化运算，但要注意运算顺序不能随意改变。 知识点11：科学记数法与近似数 　　1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式，其中，n是正整数；如。 　　2.n的确定：n等于原数的整数位数减1。 　　3.近似数：与实际数值接近但不完全相等的数；用四舍五入法按精确度要求取近似数，精确到哪一位就看它后一位进行四舍五入。 【基础必考题型】 【题型1】有理数加减混合运算 1. 核心知识点： 　　统一成加法；省略加号和括号的和式；加法交换律、结合律简化。 2. 解题方法技巧： 　　①先把减法统一成加法，再改写成省略加号的形式； 　　②交换加数位置要连同符号一起交换； ③把同号数、互为相反数、能凑成整数的数分别先结合。 【例题1】.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）若（     ），那么括号里的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用两数的和减去其中一个加数，即可得到另一个加数． 【详解】解：括号内的数为． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）在计算时，按照有理数加法法则，需转化成（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 【详解】解：． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和括号的形式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行化简即可． 【详解】解： ． 【题型2】有理数乘法与除法计算 1. 核心知识点： 　　乘法法则（同号得正异号得负）；除法法则（除以一个数等于乘它的倒数）；0不能作除数。 2. 解题方法技巧： 　　①先确定积、商的符号（由负因数的个数决定），再计算绝对值的积、商； 　　②除法先转化为乘法再运算； ③多个数相乘，先判断符号，再统一算绝对值。 【例题2】.（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘除混合运算的去括号规则与同级交换律，化简各选项后与对比． 【详解】解：. 选项A：，与不相等； 选项B：； 选项C：； 选项D：． 【变式题2-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： ． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·湖北·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题2-3】.（2026六年级上·山东·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型3】有理数乘方计算 1. 核心知识点： 　　乘方的意义；幂的符号法则；区分与。 2. 解题方法技巧： 　　①理解表示n个a相乘，指数不参与相乘； 　　②负数乘方先定符号（奇负偶正），再算绝对值的乘方； ③分清与的不同。 【例题3】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）计算：________． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘法，利用负数奇次幂的性质计算． 【详解】解：∵是奇数， ∴， ∵， ∴原式 ． 【变式题3-1】.（2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·陕西·阶段检测）计算：． 【答案】8 【详解】解：原式 ． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·山东·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】（1）先计算一个数的乘方，再算括号里的，最后按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）先按照数的乘方、绝对值化简计算，再按照有理数的混合运算法则计算即可； （3）先去括号，再按照有理数的加减混合运算计算即可； （4）先按照数的乘方，绝对值化简计算，再按照有理数的乘除混合运算，最后按照有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4】用科学记数法表示大数与还原 1. 核心知识点： 　　科学记数法的形式；n等于整数位数减1；还原为原数。 2. 解题方法技巧： 　　①a的取值范围是，小数点在第一个非零数字后； 　　②带单位（如“亿”“万”）时要先换算再确定n； ③还原时根据10的指数移动小数点。 【例题4】.（24-25九年级下·山东聊城·阶段检测）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：3240万． 【变式题4-1】.（2026·江苏淮安·中考真题）地球赤道的长度约为．数据用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【详解】解：． 【变式题4-2】.（2022九年级·安徽合肥·专题练习）山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【答案】150000 【详解】解：． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ (1)北京故宫的占地面积约为； (2)人体中约有个红细胞； (3)港珠澳大桥全长． 【答案】(1) ； (2) 个； (3) ． 【详解】（1）解：； （2）解：个个； （3）解：． 【题型5】按要求取近似数 1. 核心知识点： 　　近似数的概念；四舍五入法取近似值；精确到十分位、百分位、个位等。 2. 解题方法技巧： 　　①明确精确到哪一位，看该位后一位四舍五入； 　　②精确到十分位要保留一位小数，末尾的0不能省略； ③大数取近似值可用科学记数法表示。 【例题5】.（25-26七年级上·湖南湘西·期中）把5.8965精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）__________． 【答案】 【详解】解：∵千分位上的数字是， ∴把精确到百分位是（用四舍五入法取近似数）． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）精确到___________位． 【答案】千 【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一个有效数字所在的数位确定精确位数. 【详解】解：先还原为原数，， 原数中最后一个有效数字位于千位， 因此精确到千位. 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东梅州·期中）用四舍五入法，把精确到十分位的近似数是_____． 【答案】 【详解】解：用四舍五入法，把精确到十分位的近似数是． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 【答案】 【分析】根据四舍五入法，向十位进1，十位数字4加1变为5，个位及后续数字舍去，得到近似数即可． 【详解】解∶精确到得到的近似数为． 【培优高频题型】 【题型6】含乘方的混合运算 1. 核心知识点： 　　有理数混合运算顺序；先乘方再乘除最后加减；有括号先算括号内。 2. 解题方法技巧： 　　①严格按“先乘方、再乘除、后加减”的顺序； 　　②遇到先算乘方再参与后续运算； ③一步一符号仔细，避免跳步导致符号错误。 【例题6】.（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【变式题6-1】.（26-27七年级上·湖北·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把减法统一成加法，再按有理数加法法则计算即可； （2）根据有理数混合运算的顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·湖北·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将减法统一成加法，再根据有理数加法法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）计算题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用有理数混合运算法则计算，可结合运算律简化计算，按运算顺序逐步推导即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型7】运算律的简便计算 1. 核心知识点： 　　加法交换律结合律；乘法交换律结合律分配律；简便运算技巧。 2. 解题方法技巧： 　　①观察数字特征，把互为相反数、能凑整、同号数结合； 　　②乘法分配律可正向展开，也可逆向提取公因数； ③分数、小数混合时统一形式再运算。 【例题7】.（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)54 (2) 【分析】（1）先化简符号，将小数化为分数，再分组结合同分母分数相加； （2）先把带分数拆成整百数减一个分数，除法转化为乘法，用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【详解】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读与思考 巧用运算律进行简便运算例1：        例2： （依据1）    （依据3） （依据2）              (1)例中的依据为______律；依据为______律；依据为逆用______律． (2)模仿例中的方法计算：． (3)模仿例中的方法计算：． 【答案】(1)加法交换律，加法结合律，乘法分配律 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据加法运算律，乘法运算律回答即可． （2）根据有理数加减中的简便运算方法计算即可． （3）运算乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：例中的依据为加法交换律，依据为加法结合律，依据为逆用乘法分配律． （2）解： ； （3）解： ． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法：原式． 小红的解法：原式的倒数为， 故原式=． (1)你觉得________的解法更具有简便性． (2)请你用你认为更简便的方法，计算：． 【答案】(1)小红 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的简便算法，熟练掌握简便算法的技巧是解题的关键． （1）小红的解法运用了运算律，更具有简便性． （2）先计算原式的倒数，利用乘法分配律可以更简便地计算，再取结果的倒数即可． 【详解】（1）解：小红的解法运用了运算律，这种方法避免了复杂的分数加减运算，直接得到结果，更具有简便性． 故答案为：小红． （2）原式的倒数为 ， 故原式 ． 【题型8】有理数加减乘除混合运算的实际应用 1. 核心知识点： 　　用有理数运算解决温差、海拔、盈亏、收支、产量增减等实际情境问题。 2. 解题方法技巧： 　　①读懂情境，把实际问题中的数量关系用加减乘除表示； 　　②温差=最高温-最低温，海拔差=较高-较低； ③列式后严格按运算顺序计算，并检验结果是否符合实际。 【例题8】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）依次记录了一周的盈亏情况（盈利正，亏损负，单位元）：，，，，，， (1)哪一天盈利最多？哪一天亏损最多？ (2)求本周总的盈亏情况． 【答案】(1)第一天盈利最多；第五天亏损最多 (2)本周一共盈利263元 【分析】（1）分别比较正数和负数的大小即可得到答案； （2）把一周的盈亏情况相加即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴第一天盈利最多； ∵，且， ∴， ∴第五天亏损最多； （2）解： （元）， 答：本周一共盈利263元． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）近几年，“麦田拍照打卡”成为热门话题，某村有4块用于农科研究的小麦试验田，既承担着产量观测任务，也因金黄麦浪成了村民和游客的拍照打卡点．以下是每块试验田今年的收成与去年相比的变化情况（增加为正，减少为负，单位：）： ，，，． 今年这4块小麦试验田的总产量与去年相比，增加（或减少）了多少千克？ 【答案】 今年这4块小麦试验田的总产量与去年相比增加了9千克 【分析】将4块试验田的收成变化量求和，判断总产量的增减及变化量. 【详解】解： （千克） ∵计算结果为正. ∴总产量较去年增加. 答：今年这4块小麦试验田的总产量与去年相比，增加了9千克. 【变式题8-2】.（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下： ，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车的耗油量为，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在初始位置向西处 (2)共耗油 (3)小李这天上午共得车费108元 【分析】（1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方； （2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案； （3）不超过的按8元计算，超过的在8元的基础上，再加上超过部分乘以12元，即可解答． 【详解】（1）解：， 答：小李在初始位置向西处； （2）解：， ， 答：共耗油； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费108元． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：）记录如下： ，，，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，老王在上午出发点的哪个方向？距上午出发点多远？ (2)若汽车耗油量为，这天上午老王耗油多少升？ 【答案】(1) 老王在上午出发点的西边，距出发点 (2) 这天上午老王耗油 【分析】（1）把司机老王上午的行车里程相加，可得，负号表示在出发点的西边，离出发点； （2）把司机老王上午的行车里程的绝对值相加即为老王的行车路程，用行车路程乘以耗油量即可得到这天上午老王的耗油量． 【详解】（1）解： ， 答：老王在上午出发点的西边，距出发点； （2）解： ， ， 这天上午老王耗油． 【题型9】判断运算过程中的错误步骤 1. 核心知识点： 　　运算顺序与法则的检验；识别计算中的常见错误。 2. 解题方法技巧： 　　①逐步骤核对：符号是否正确、乘方与乘除先后、括号处理； 　　②重点检查减法变号、除法转乘法、负号个数； ③找出第一步错误即可，不必重算整题。 【例题9】.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在第 步出现错误； (2)写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)一； (2) ． 【分析】根据有理数混合运算的运算顺序即可判断； 根据有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：小明在第一步中先计算了，即小明在第一步出现错误， 故答案为：一； （2）略． 【变式题9-1】.（25-26九年级下·广东茂名·开学考试）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算： 解： 第一步 第二步 第三步 【答案】 解：原解题步骤从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下： 原式 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律的符号运算规则是解题的关键．利用乘法分配律将分别与括号内的数相乘，再进行加减运算． 【详解】略 【变式题9-3】.（25-26七年级上·山东滨州·期中）（1）阅读下面的解题过程，并解答问题： 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步）． ①上面的解题过程有两处错误： 第一处错是第 步，错误原因是 ； 第二处错是第 步，错误原因是 ． ②请写出正确的解题过程． （2）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务A：①以上化简步骤中，第一步的依据是 ；②以上化简步骤中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务B：请写出该整式正确的化简过程． 【答案】 (1)①二，运算顺序错误；三，有理数的除法法则运用错误； ②解： ； (2)任务A：①乘法分配律；②二；去括号错误； 任务B：第二步开始出现错误；这一步错误的原因是去括号时第二项没有变号； 任务B、解： ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的加减运算．在有理数的混合运算中需要注意运算顺序；在整式的加减运算中需要注意添括号、去括号时的符号变化． 根据有理数的运算法则进行计算，计算过程中注意运算顺序； 根据去括号的法则去括号，再根据合并同类项的法则合并同类项，在去括号时需要注意符号的变化． 【详解】 解：第一处错误是第二步，没有按同级运算从左到右的顺序进行运算； 第二处错误是第三步，除法运算结果的符号错误； ②略； 任务A、解：第一步的依据是乘法分配律； 解：略． 【压轴素养题型】 【题型10】绝对值与乘方的非负性求值 1. 核心知识点： 　　、；若干个非负数之和为0，每个非负数都为0。 2. 解题方法技巧： 　　①看到型，直接得a=0、b=0； 　　②求出字母后代入代数式求值； ③注意乘方指数是偶数时结果非负。 【例题10】.（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如果，那么的值为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质可求出x和y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式题10-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每个部分必须为零，求出、的值，代入所求代数式计算即可得出结果，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·河南驻马店·期中）若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”是解题的关键．利用非负数的性质，由平方项与绝对值项的和为0，推出每一项都为0，进而求出a、b的值，再计算． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， 故答案为：． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·山东日照·期中）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型11】程序流程图与有理数计算 1. 核心知识点： 　　程序框图中的运算流程；有理数混合运算；迭代计算。 2. 解题方法技巧： 　　①读懂程序，把每一步运算转化为算式； 　　②注意“是/否”分支决定是否继续循环； ③按流程逐步计算，必要时列表记录每一步结果。 【例题11】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序流程图，结合有理数混合运算的法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵输入的数为， ∴，， ∴当输入的数为时，输出的数是． 【变式题11-1】.（26-27七年级上·吉林四平·阶段检测）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示2，输入的数为，求计算结果； (2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则表示的数是_________． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查与流程图有关的有理数混合运算，依据流程图列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）设表示的数是， ， 解得． 【变式题11-2】.（26-27七年级上·山西·期中）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方及程序框图，由，判断的关系，再代入计算输出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 【答案】 【分析】根据运算的程序进行计算，符合要求时输出即可． 【详解】解：当输入的时，，， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 输出，输出的值为． 【题型12】新定义的有理数运算 1. 核心知识点： 　　新定义运算符号；严格按新规则代入计算；有理数混合运算。 2. 解题方法技巧： 　　①把新定义符号翻译成已知运算，再按规则代入数值； 　　②严格遵循题干给出的运算规则，不按习惯理解； ③多层新运算嵌套时，从内向外逐层计算。 【例题12】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示小于或等于的最大整数，例如，现定义，例如，则___________． 【答案】 【分析】根据题目给出的新定义，先确定的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据定义可得 ∵表示小于或等于的最大整数，而小于或等于的最大整数是， ∴， ∴． 【变式题12-1】.（2026·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，，则________，________． 【答案】 【分析】先根据新运算的分段规则，分别判断两个运算中与的大小关系，再代入对应的公式进行计算． 【详解】解：，， ； ，， ． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①30；② (3)2 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加减运算，观察等式，归纳运算法则是解题的关键． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； （2）解：①； 故答案为：30； ②； 故答案为：； （3）解：∵， ∴与同号，即， ∴， ∵， ∴与异号，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 【答案】(1)7 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，n的值为5或7 (4) 【分析】本题考查定义新运算，数轴上两点间的距离，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当点表示的数是，求出点到点的距离与点到点的距离之和即可； （2）整点为、的“5格距点”，由数轴可求出这样的整点所表示的数即可； （3）由点到点的距离为1，可得点所表示的数为2或4，求出当点表示的数是2，求出点到点的距离与点到点的距离之和，以及当点表示的数是4，求出点到点的距离与点到点的距离之和即可； （4）点在数轴上点左侧运动，且点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则，据此可求出点表示的数，进而题目可解． 【详解】（1）解：点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 则称点为点、的“7格距点”， 故答案为：7； （2）解：由整点为、的“5格距点”，可知整点点到的距离与点到点的距离之和为5， 由数轴可知，此时点所表示的整数可能为，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6； （3）解点到点的距离为1， 点表示的数为或， 当点表示的数为2时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 当点表示的数为4时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 答：点表示的数为2或4，的值为5或7； （4）解：∵点在数轴上点左侧运动，且点到点的距离等于点到点的距离的2倍， ∴， 点表示的数为：， 此时， 答：的值为． 【题型13】进制转换（跨学科·信息素养） 1. 核心知识点： 　　十进制与二进制、三进制等的互化；按位权展开；逢n进一。 2. 解题方法技巧： 　　①n进制转十进制：按位权展开求和，即； 　　②十进制转n进制：用n连续除取余； 　　③跨学科情境（芯片、计算机）题，抓住进制运算的本质。 【例题13】.（25-26七年级上·重庆大足·期末）在数学综合与实践学习中，我们认识到不同的进制有不同的计数规则．在密码学的基础应用中，也常常用到进制转换．已知有一种简单的密码规则是将字母转换为其对应的码值．（字母的码值为，其余大写字母的码值在的基础上按顺序加1得到．如字母的码值为，字母的码值为，以此类推．每个大写字母都有一个唯一的码值与其对应），再将该十进制数转换为三进制数进行加密． (1)年轻人把数学有趣又好玩翻译为“!”请你写出“MATH”这个单词各个字母在码中的值并计算出这些值的和为多少？ (2)现在收到一个加密后的三进制数，请将其转换为十进制数，并根据码表判断它对应的字母是什么？ 【答案】(1) “MATH”这个单词各个字母在码中的值依次分别为77，65，84，72，这些值的和为298； (2) 三进制数转换为十进制数为73，根据码表判断它对应的字母是I． 【分析】本题考查不同进制数之间的转换、信息的编码，有理数的混合运算，理解题意中的编码和转换规则是解题的关键；根据有理数混合运算法则、乘法运算法则及码规则逐题计算即可． 【详解】（1）解：根据码值的定义规则可知，的码值为，的码值为，的码值为，的码值为，这些值的和为； （2）三进制数转换为十进制数为． ∵， ∴根据码表得73对应的字母是I． 【变式题13-1】.（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践 素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法． 素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25． 素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是． 任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ． 任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数． 【答案】（1）15；（2）①；②51或69 【分析】本题考查有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键，属于中档题． （1）根据三进制转换为十进制的方法计算即可； （2）①三进制四位数对应的十进制数为： ，因为和 都是 3 的倍数，6 也是 3 的倍数，所以 能被 3 整除，要使 N 能被 3 整除，d 必须能被 3 整除，进而可得出答案； ②先根据题意得出，由（1）知 ，得出，所以 a可以是1，2，b可以是0，1，2，满足 的情况有：当，时，此时三进制数为；当，时，此时三进制数为，分别求出即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：15； （2）①三进制四位数对应的十进制数为： 因为和 都是 3 的倍数，6 也是 3 的倍数， 所以 能被 3 整除． 要使 N 能被 3 整除，d 必须能被 3 整除． 又因为三进制数的数字只能是 0，1，2，所以 ； ②已知所有数位上的数字之和为 5，即 ， 由①知 ，代入得，即． 因为 a 是三进制四位数的首位，所以 a可以是1，2，b可以是0，1，2． 满足 的情况有： 当，时，此时三进制数为，对应的十进制数为： ； 当，时，此时三进制数为，对应的十进制数为： 所以，这个三进制数对应的十进制数为 51 或 69． 【变式题13-2】.（2026·湖北襄阳·三模）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 【变式题13-3】.（2026·湖北孝感·二模）综合与实践 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢进一就是进制．计算机使用的即是二进制数．为了区分不同的进位制，常在数的右下角表明基数，例如就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数：，记作：234； 二进制数：，记作：； … 各进制之间可以进行转换，如： 二进制数（或进制数）转换成与其相等的十进制数，只要将二进制数（进制数）的每个数字，依次乘2（或）的相应基数的幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数； 素材2 将十进制数转换成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： ， 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算．如： ，． 解决任务： 探究不同进位制的数之间的转换 (1)将二进制数转化成十进制数的值为________； (2)十进制数9转化成二进制数的值为； 探究进位制数的加法运算 (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，依据二进制转十进制的算法求出对应的十进制数即可． （2）由题意，依据十进制转二进制的算法求出9对应的二进制数即可． （3）根据素材，列竖式运算即可． 【详解】（1）解： 由题意可得，． （2）解：由题意可得， 十进制数9转化成二进制数的值为． （3）解：由题意可得， 易错点 1. 减法转化为加法时，忘记改变减数的符号。 2. 异号相加时，符号判定错误，误取绝对值较小者的符号。 3. 乘法、除法忽略“同号得正，异号得负”，或因负因数个数判断错误导致符号出错。 4. 混淆相反数与倒数，或误认为0有倒数。 5. 混淆与，指数运算与乘法概念不清。 6. 混合运算中违反运算顺序，先加减后乘除，或随意改变括号。 7. 科学记数法中a的取值不在范围，或带单位换算出错。 重点 1. 有理数加法、减法、乘法、除法、乘方的运算法则，能正确熟练地进行运算。 2. 有理数混合运算的运算顺序与运用运算律简化运算。 3. 倒数的求法与科学记数法的表示、还原。 4. 用有理数运算解决实际情境问题（温差、海拔、收支、产量增减等）。 难点 1. 含乘方、绝对值、括号的混合运算，处理多重运算与符号。 2. 周期规律、新定义运算、进制转换等创新素养题的信息提取与归纳。 3. 数轴动点问题中的分类讨论。 4. 从特殊到一般的规律探究与裂项求和等技巧。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算的结果为（     ） A． B．11 C． D．3 【答案】D 【详解】解： 2．如图，在数轴上有a、b、c、d四个数，有可能互为倒数的两个数是（     ） A．a和b B．b和c C．a和d D．b和d 【答案】C 【分析】根据数轴确定各点表示的数，利用倒数的定义进行判断． 【详解】解：由数轴得，，，， ∴有可能互为倒数的两个数是a和d． 3．某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的加法法则把这几个数相加即可得到结果． 【详解】解： ， 答：午夜的气温是． 二、填空题 4．若，，且，则的值是________． 【答案】或/或 【分析】先根据绝对值的定义及已知条件，分别求出m与n的值，再代入，即可得出结果． 【详解】解：因为，， 所以，， 又因为， 所以m只能取， ∴当，时，， 当，时，， 所以的值是或． 5．如图为一运算程序，若输入的数为，则输出的数为________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：． 6．如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点、、，其中点到点的距离为，点到点的距离为，设点、、所对应的数的和是． （1）若以为原点，则数轴上点所表示的数是________； （2）若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为，则________． 【答案】 11 17或 【分析】（1）根据两点间的距离，进行求解即可； （2）分原点在点的左侧和右侧两种情况进行讨论求解. 【详解】解：（1）∵为原点，点到点的距离为，点到点的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为； （2）当原点在点的左侧时，则点表示的数为4， ∵点到点的距离为，点到点的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； 当原点在点的右侧时，则点表示的数为， ∵点到点的距离为，点到点的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； 综上：或. 三、解答题 7．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．一辆养护车从基地出发，向东记正，向西记负，行驶记录（千米）： (1)养护车最后在基地东侧还是西侧？距离基地多远？ (2)养护车一共行驶多少千米？ 【答案】(1)在基地东侧，距离基地13千米 (2)131千米 【分析】(1)计算各里程的和，正数表示向东，负数表示向西，0表示回到原来位置解答即可． (2) 计算变化量的绝对值，再求和即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：养护车最后在基地东侧，距离基地13千米． （2）解： （千米） 答：养护车一共行驶了131千米． 9．对于可以进行如下计算： 原式 = = ． (1)补全上面的式子 (2)上面这种方法叫分解法．仿照上面的方法，计算下面的式子． ． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 10．【阅读理解】N进制数与十进制数之间的转换． 将N进制数转化为十进制数，只要将N进制数的每个数字依次乘基数n的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定： 如：； 将十进制数化为与其相等的N进制数，用十进制数除以基数n，然后将商继续除以n，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“”译成密码． 【答案】（1）改写成二进制数是（2）八进制数表示的十进制数为【迁移拓展】密码为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给十进制数转化为二进制数的方法是解题的关键． （1）根据换算法则将十进制数转换为二进制的数； （2）将八进制的数转换为十进制即，计算即可； （3）将二进制的数转换为十进制求出的值为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）， 答：改写成二进制数是； （2）八进制数表示的十进制数为： ； 答：八进制数表示的十进制数为； 【迁移拓展】二进制数转成十进制数为： ， ∵365为奇数， ∴密码为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $