湖北省武汉市育才高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

2026-2027 学年度武汉市育才高中 10 月高一训练 数　学 满分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组中的 、 表示同一集合的是（　　） ① ，；② ，； ③ ，；④ ，． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】判断两个集合是否相同，要看元素是什么、是否完全相同，而不是只看形式． 【解答】① 是数集（两个元素）， 是点集（一个元素），不同； ② 、 都是点集，但 ，不同； ③ 两集合都是函数 的值域 ，只是所用字母不同，相同； ④ 是数集（值域）， 是点集（图象上的点），不同．故选 C． 2．有下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（　　） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【分析】逐条对照集合的有关概念：集合相等、子集、空集、元素与集合的关系． 【解答】① 集合中元素无序，正确；② 任何集合都是它自身的子集，正确； ③ 不含任何元素，而 含一个元素 ，故 ，错误； ④ 含元素 ，不是空集，错误；⑤ 空集是任何集合的子集，正确；⑥ 正确． 所以不正确的是 ③④．故选 D． 3．设集合 ，，若 ，则由实数 组成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意 可以是空集（此时 ），再讨论 非空的情形． 【解答】当 时，，符合； 当 时，，由 或 得 或 ． 所以 组成的集合为 ．故选 D． 4．不等式 的解集为 ，则函数 的图象大致为（　　） 【答案】A 【分析】由解集知 且 ， 是 的两根，用韦达定理把 ， 用 表示，再判断 的开口方向与零点． 【解答】由解集 知 ，且 ， 是 的两根， 所以 ，，即 ，． 于是 ． 因为 ，所以抛物线开口向下，且与 轴交于 ，．故选 A． 5．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把两集合的元素统一写成同分母的分式，比较分子（整数的模）． 【解答】，其分子为全体奇数； ，其分子为除以 余 的整数，都是奇数， 所以 ；又 （ 时），但 （ 无整数解）， 所以 ．故选 B． 6．已知实数 ，，，且 恒成立，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用“ ”的代换求 的最小值，再转化为 ． 【解答】， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 ． 由 恒成立得 ．故选 B． 7．已知实数 ，， 满足 ，且 ，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 且和为 知 ，再逐项作差判断符号． 【解答】由 且 得 ． A：，因为 ，，所以 ，错误； B：，因为 ，，所以 ，正确； C： 与 的大小关系不确定，错误； D：，当 时等于 ，不满足严格小于，错误．故选 B． 8．已知关于 的不等式 恰有一个整数解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【分析】整理为 ，因式分解得 ，按 分类讨论解集，再由“恰含一个整数解”列不等式． 【解答】原不等式即 ，即 ． 当 时，，，解集为 ，含无穷多个整数，不符合； 当 时，，解集为 ，不符合； 当 时，，解集为 与 之间的开区间． 要使解集中恰有一个整数（只能是 ），需 ， 解得 ，即 ．故选 A． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．下列命题正确的是（　　） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C．“， ”的否定是“， ” D．命题“， ”是假命题 【答案】AB 【分析】逐项判断：A、B 检验两个方向；C 注意全称量词命题的否定只否定结论、不改范围；D 用零点存在定理判断方程是否有解． 【解答】A：，但 时可能 、，所以是充分不必要条件，正确； B： 时 ，即 ；反之取 ， 但 不成立，正确； C：否定应为“， ”，结论中的范围不应改变，错误； D：令 ，，，所以方程在 内有解，命题为真，错误．故选 AB． 10．对于实数 ，，，下列命题是假命题的为（　　） A．若 且 ，则 B．若 ，，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】AB 【分析】判断不等式是否恒成立，可举反例否定；C、D 用不等式性质证明． 【解答】A：取 ，，则 ，故为假命题； B：取 ，，，，则 ，故为假命题； C：由 得 （两边乘 ）且 （两边乘 ），故为真命题； D：， 因为 ，所以 ，，，，该式为正，故为真命题． 所以假命题为 AB．故选 AB． 11．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】ACD 【分析】由解集得 且 ， 是 的两根，把 ， 用 表示后逐项判断． 【解答】由解集 知 ，且 ，，即 ，． A：，正确； B：，错误； C： 即 ，即 ，由 得 ，正确； D： 即 ，其对应方程的两根为 与 ， 因为 ，抛物线开口向下，所以解集为 ，正确．故选 ACD． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知集合 ，，若 ，则实数 的值是 ______． 【答案】 【分析】并集中出现了 ，而 只能来自 ． 【解答】因为 ，且 中只有 ，，所以 ，解得 ． 此时 ，，符合题意． 13．命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】命题为假等价于“存在 使  ”，按 、、 讨论． 【解答】命题为假，即存在实数 使 ． 当 时， 不成立，此时原命题为真，不符合； 当 时，需 ，解得 ； 当 时，抛物线开口向下，必存在 使函数值不大于 ，符合． 综上， 或 ，即 ． 14．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】分离参数得 在 上有解，转化为 小于右侧函数的最大值． 【解答】当 时，，原不等式等价于 ． 由 （当 时取等号）， 要使不等式在 上有解，只需 ， 所以 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（15 分）解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）因式分解后按“大于取两边”写解集；（2）化为二次项系数为正，再用判别式；（3）移项通分，转化为整式不等式，注意分母不为零． 【解答】（1）由 得 ，解得 或 ， 所以解集为 ． （2）原不等式即 ，因为 ，且二次项系数 ， 所以对任意 都有 ，解集为 ． （3）由 得 ，即 ，也就是 ， 解得 ，所以解集为 ． 16．（15 分）已知全集 ，集合 ，． （1）求 ，； （2）求 ． 【答案】（1），；（2） 【分析】画数轴求交、并集；先求 在 中的补集，再与 求交集． 【解答】（1）把 ， 表示在数轴上，得 ，． （2）， 所以 ． 17．（15 分）解下列关于 的不等式（）：． 【答案】见解析 【分析】因式分解为 ，按 、、 以及 与 的大小分类讨论． 【解答】原不等式即 ． ① 当 时，，解集为 ； ② 当 时，不等式即 ： 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ； ③ 当 时，不等式即 ，又 ， 解集为 ． 18．（15 分）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为 m² 的花园，图中阴影部分是宽度为 m 的小路，中间 ，， 三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中 ， 区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为 m，鲜花种植的总面积为 m²． （1）用含有 的代数式表示 ； （2）当 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）（）；（2）当 时， 最大，最大面积为 m² 【分析】（1）由花园总面积为 得花园的另一边长为 ，再由图中的 m 小路得 ；（2）把 ，， 的面积用 表示，用基本不等式求最值． 【解答】（1）花园的一边长为 m，则另一边长为 m， 由图中小路宽 m 得 ，所以 （）． （2） 区域的面积为 ，， 区域的高均为 ，面积均为 ， 所以 ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 （m²），此时 ． 19．（17 分）已知有限集 （，），如果 中的元素 （）满足 ，就称 为“完美集”． （1）判断：集合 、 是否是“完美集”，并说明理由； （2）， 是两个不同的正数，且 是“完美集”，求 的取值范围； （3）若 为正整数，求：“完美集”． 【答案】（1） 不是， 是；（2）；（3） 【分析】（1）按定义检验元素之和与元素之积是否相等；（2）由 得 ，把所求式化为 ，再由 求范围；（3）按元素个数分类讨论，用“积增长快于和”证明只有 ． 【解答】（1）对于 ：元素之和 ，元素之积 ，，所以 不是“完美集”； 对于 ：元素之和 ， 元素之积 ，两者相等，所以 是“完美集”． （2）由 是“完美集”得 ，即 ． 所以 ． 由 且 ，可设 ，则 ， （因为 ）， 所以原式的取值范围是 ． （3）设 ， 为正整数且互不相同． 若 ：，即 ，得 ，与元素互异矛盾； 若 ：不妨设 ，若 ，则积 ，矛盾； 若 ，则 ，而 ，， 时 左边 远大于右边，矛盾； 所以 ．设 ，若 ，则 ，即 ， 得 ，，即 ，；若 ，则积 和，矛盾． 所以“完美集”． 育才高中 10 月高一训练　数学（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度武汉市育才高中 10 月高一训练 数　学 满分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各组中的 、 表示同一集合的是（　　） ① ，；② ，； ③ ，；④ ，． A．① B．② C．③ D．④ 2．有下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（　　） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 3．设集合 ，，若 ，则由实数 组成的集合为（　　） A． B． C． D． 4．不等式 的解集为 ，则函数 的图象大致为（　　） 5．已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 6．已知实数 ，，，且 恒成立，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．已知实数 ，， 满足 ，且 ，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知关于 的不等式 恰有一个整数解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．下列命题正确的是（　　） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C．“， ”的否定是“， ” D．命题“， ”是假命题 10．对于实数 ，，，下列命题是假命题的为（　　） A．若 且 ，则 B．若 ，，则 C．若 ，则 D．若 ，则 11．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知集合 ，，若 ，则实数 的值是 ______． 13．命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 14．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是 ______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（15 分）解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 16．（15 分）已知全集 ，集合 ，． （1）求 ，； （2）求 ． 17．（15 分）解下列关于 的不等式（）：． 18．（15 分）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为 m² 的花园，图中阴影部分是宽度为 m 的小路，中间 ，， 三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中 ， 区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为 m，鲜花种植的总面积为 m²． （1）用含有 的代数式表示 ； （2）当 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 19．（17 分）已知有限集 （，），如果 中的元素 （）满足 ，就称 为“完美集”． （1）判断：集合 、 是否是“完美集”，并说明理由； （2）， 是两个不同的正数，且 是“完美集”，求 的取值范围； （3）若 为正整数，求：“完美集”． 育才高中 10 月高一训练　数学　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $